CC BY
29
УДК 27 21 00
РАЗБИЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ КЛАССА B НА ПОДКЛАССЫ
© 2012 г Т.М. Пуолокайнен
Карельская государственная педагогическая академия, Karelian State Pedagogical Academy
ул. Пушкинская, 17, г. Петрозаводск, 185680, Pushkinskaya St., 17, Petrozavodsk, 185680,
rector@kspu. karelia. ru rector@kspu. karelia. ru
Выполнено разбиение на классы выпуклых многогранников, которые содержат призматическую часть. Разбиение этого класса выпуклых многогранников на подклассы осуществлено по количеству однолистников и (или) шапочек, приклеенных к призме. Классификация многогранников связана с проблемой Хадвигера о покрытии геометрических тел их образами при гомотетии.
Ключевые слова: выпуклые многогранники, классификация, покрытие многогранника, гомотетия.
The paper is continuation of the author's series of paper devoted to the solution of Hadviger s problem of covering convex polyhedrons with body images at homothety. The problem under discussion in this paper can be described as follows: to give the classification of all convex polyhedrons which surface include prismatic part. Principle of classification the following: exists addition to prism or does not exist.
Keywords: convex polihedrons, classification, mvering polihedron, homothety.
В работах [1, 2] сформулирована и решена задача покрытия некоторых классов выпуклых многогранников трехмерного евклидова пространства образами тел при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы.
Проблема покрытия выпуклых многогранников образами тел при гомотетии в трехмерном евклидовом пространстве и проблема классификации выпуклых многогранников очень тесно связаны. Разбиение выпуклых многогранников на классы необходимо для того, чтобы рассматривать проблему покрытия не отдельно взятого выпуклого многогранника, а класса. В [3] все выпуклые многогранники трехмерного евклидова пространства разбиты на 4 класса: А, В, С, Б.
В [4] рассмотрена классификация выпуклых многогранников класса А, в [5] осуществлено покрытие выпуклых многогранников этого класса трехмерного евклидова пространства образами тел при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы.
В [6] Хадвигер сформулировал гипотезу, согласно которой для покрытия любого выпуклого тела в п-мерном евклидовом пространстве Бп достаточно 2П тел меньших размеров.
Настоящая работа посвящена проблеме классификации выпуклых многогранников класса В трехмерного евклидова пространства.
О классификации многогранников класса В
В [3] дано определение выпуклого многогранника класса В. Напомним его.
Определение 1. Пусть М - выпуклый многогранник; q - некоторая прямая в пространстве. Имеется п граней многогранника М, параллельных прямой q (п>3), образующих одну компоненту связности, го-меоморфную кольцу между двумя окружностями. Граница компоненты связности состоит из двух замкнутых непересекающихся ломаных, каждая из которых топологически эквивалентна окружности.
В этом случае будем говорить, что граница выпуклого многогранника содержит призматическую часть.
Выпуклый многогранник, граница которого содержит хотя бы одну призматическую часть, отнесем к классу В.
Все многогранники класса В разобьем на 3 подкласса выпуклых многогранииков, содержащих призматические части, параллельные: В1 - одному направлению в пространстве; В2 - двум; В3 - трем и более направлениям в пространстве.
Все многогранники класса В1 разобьем на три подкласса: призмы; призмы с одним однолистником или одной шапочкой; призмы с двумя однолистника-ми или шапочками.
Классификация многогранников подкласса призмы
Призмы подразделяются на 4 подкласса: обычные, усеченные, обычные с отсечениями, усеченные с отсечениями.
Подкласс обычные призмы включает в себя только такие призмы, основания которых - многоугольники, у которых никакие 2 стороны не параллельны. Если основание призмы содержит одну пару параллельных противоположных сторон, то такая призма принадлежит классу В2, а мы рассматриваем многогранники класса В1.
Определение 2. Пусть имеется некоторая призма. Рассмотрим плоскость а, которая не параллельна основаниям, пересекает боковые ребра призмы во внутренних точках и не пересекает основания. Плоскость а разбивает призму на 2 многогранника. Каждый из полученных многогранников назовем усеченной призмой.
Обозначим АоВоСсРо - сечение призмы плоскостью, о которой говорится в определении 2. Грань А0В0С0Б0 в дальнейшем будем называть основанием усеченной призмы. Если АВСВА0В0С0В0 - усеченная призма, то у нее 2 основания: АВСБ и А0В0С0Б0.
Определение 3. Рассмотрим некоторый выпуклый многогранник М. А - его вершина. Обозначим ребра, исходящие из вершины А, - АВЬ АВ2, ..., АВП. Пусть плоскость р такова, что она пересекает каждое из ребер АВ1, АВ2, ..., АВП во внутренней точке С1, С2,...СП. Плоскость в отсекает от многогранника М выпуклую пирамиду АС1С2.СП. Новый выпуклый многогранник М1 содержит грань С1С2.СП и не содержит вершину А. Такое преобразование многогранника М в многогранник М1 назовем отсечением 1-го вида.
Определение 4. Пусть имеем некоторую обычную призму М и выполнено одно или несколько отсечений первого вида. Новый многогранник назовем обычной призмой с отсечениями.
Замечание 1. Процесс отсечения 1-го вида может быть применен к новым вершинам нового выпуклого многогранника. К призмам с отсечениями отнесем и такие многогранники, к которым отсечения 1 -го вида применены многократно.
Определение 5. Усеченную призму назовем усеченной призмой с отсечениями, если выполнено одно или несколько отсечений 1-го вида этой призмы.
Замечание 2. Все рассмотрения, проведенные выше, относятся как к прямым призмам, так и к наклонным.
Классификация многогранников подкласса призмы
с одним однолистником или одной шапочкой
Далее рассмотрим 2-й подкласс класса В1 - призмы с одним однолистником или с одной шапочкой.
В [3] все выпуклые многогранники были разбиты на четыре класса: А, В, С и Б. К классу А относились те выпуклые многогранники, поверхность которых не содержит призматической части и ее фрагментов. В [4] введено понятие «однолистник». Напомним его определение.
Определение 6. Пусть М - выпуклый многогранник класса А. Одну из его граней назовем основанием, все остальные - боковыми гранями. Проведем единичный вектор внешней нормали к основанию и перенесем его внутрь единичной сферы. Плоскость, проходящая через центр сферы перпендикулярно вектору, разбивает сферу на 2 полусферы. К каждой боковой грани многогранника проведем единичный вектор внешней нормали. Перенесем все единичные векторы внешних нормалей боковых граней на единичную сферу так, чтобы начала векторов совпадали с центром этой сферы. Если концы единичных векторов внешних нормалей боковых граней расположены внутри свободной полусферы, то такой выпуклый многогранник назовем однолистником.
Рассмотрим призму, усеченную призму или параллелепипед. К одному из оснований этого многогранника приклеим однолистник с основанием, равным основанию призмы. Склеивание осуществим так, чтобы новый многогранник остался выпуклым. Такой многогранник назовем призмой с одним однолистни-ком.
Замечание 3. Поверхность призмы с одним одно-листником может содержать одну призматическую часть (боковую поверхность призмы). В этом случае многогранник принадлежит классу В1. Если поверхность призмы с одним однолистником содержит 2 призматические части, то такой многогранник отнесем к классу В2. Если поверхность многогранника содержит 3 и более призматических частей, то многогранник отнесем к классу В3.
Замечание 4. К этому же классу призм с одним однолистником отнесем выпуклые многогранники, которые получены из призмы с одним однолистником отсечениями 1 -го вида, которые могут быть выполнены только при вершинах основания призмы или усеченной призмы.
В [4] введено понятие шапочки. Напомним его определение.
Определение 7. Рассмотрим выпуклый многогранник М класса А, не являющийся ни однолистни-ком, ни объединением 2 однолистников. Прямая q, не параллельная ни одной из граней многогранника, задает в пространстве направление. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную направлению q. Пусть центр О единичной сферы 82 лежит в плоскости, которая разбивает сферу на 2 полусферы, условно верхнюю и нижнюю. К каждой грани многогранника проведем единичный вектор внешней нормали. Выполним параллельный перенос всех векторов единичных внешних нормалей так, чтобы начало каждого вектора совпало с точкой О. Так как прямая q не параллельна ни одной из граней многогранника, то ни один из нормальных векторов с началом в точке О не лежит в плоскости. Рассмотрим только те единичные векторы внешних нормалей, концы которых лежат в верхней полусфере. Геометрический объект, являющийся объединением всех граней многогранника, концы единичных векторов внешних нормалей которых лежат в верхней полусфере, назовем шапочкой.
Воспользуемся понятием шапочки для того, чтобы ввести понятие призмы с одной шапочкой.
Пусть имеем некоторую шапочку, ограниченную замкнутой ломаной L. В пространстве выбрана некоторая прямая q. Плоскость, в которой лежит граница полусферы, перпендикулярна прямой q. Все единичные нормали граней, принадлежащих шапочке, лежат внутри полусферы.
Рассмотрим многогранную цилиндрическую поверхность, для которой ломаная L является направляющей, а образующая параллельна прямой q, а также выпуклый многогранник, ограниченный этой цилиндрической поверхностью, шапочкой и некоторой плоскостью, пересекающей цилиндрическую поверхность и не пересекающей ломаную L. Полученный выпуклый многогранник назовем призмой с одной шапочкой.
Замечание 5. Выше, в замечании 3, было отмечено, что призма с одним однолистником может принадлежать одному из классов B1, B2, B3. Аналогичное утверждение имеет место и для призмы с одной шапочкой.
Замечание 6. К классу призм с одной шапочкой отнесем также те многогранники, которые получаются из многогранников этого типа отсечениями 1 -го вида при вершинах основания.
Классификация многогранников подкласса призмы с двумя однолистниками или шапочками
Остановимся более подробно на классификации призм с двумя однолистниками или шапочками.
Введем понятие призмы с двумя однолистниками. Рассмотрим призму или усеченную призму. Обозначим ее М1. К каждому из оснований призмы или усеченной призмы приклеим по многограннику М2 и М3, каждый из которых является однолистником и имеет основание, равное соответствующему основанию призмы (усеченной призмы). Однолистники выбираем такими, чтобы новый многогранник М = М^М^ иМ3 был выпуклым. Склейка многогранников осуществлена по равным основаниям. Полученный многогранник назовем призмой с двумя однолистниками.
Введем понятие призмы с однолистником и шапочкой. Для получения такого выпуклого многогранника поступим следующим образом. Выше мы ввели в рассмотрение призму с одной шапочкой. Рассмотрим такой многогранник: к основанию призмы с одной шапочкой приклеим однолистник так, чтобы новый многогранник был выпуклым. Полученный таким образом выпуклый многогранник назовем призмой с однолистником и шапочкой.
Для введения понятия призмы с двумя шапочками рассмотрим выпуклый многогранник М класса A, не являющийся ни однолистником, ни объединением двух однолистников. Пусть q - некоторая прямая в пространстве, не параллельная ни одной грани многогранника М. К каждой грани многогранника проведем единичный вектор внешней нормали. Пусть S2 - единичная сфера, экваториальная плоскость которой перпендикулярна прямой q. Все единичные внешние нормали граней перенесем на единичную сферу так, чтобы начала векторов совпали с центром сферы. Ни один из векторов не лежит в плоскости экватора.
Часть единичных векторов внешних нормалей лежит в верхней полусфере, часть - в нижней. Все грани многогранника разобьются на 2 класса. К первому отнесем те грани многогранника М, концы единичных внешних нормалей которых после переноса лежат в верхней полусфере, ко второму классу - в нижней. Граница выпуклого многогранника М разбилась на 2 шапочки M1 и M2, разделенные ломаной L.
дМ = М и М ; М ПМ = Ь .
12 12
Пусть теперь имеется шапочка M1, краем которой является ломаная L. Рассмотрим цилиндр, направляющей которого является ломаная L, а образующая параллельна прямой q. Эта поверхность ограничена с одной стороны шапочкой M1. С другой стороны ограничим полученную поверхность шапочкой M2 так, чтобы граница полученного выпуклого многогранника состояла из двух шапочек и призматической части. Полученный выпуклый многогранник назовем призмой с 2 шапочками.
Замечание 7. В определении призмы с 2 шапочками края шапочек - равные пространственные ломаные. На самом деле это требование не является необходимым. Края 2 шапочек, приклеенных к призматической части, могут быть различными. Для построения призмы с 2 шапочками в этом случае начало построения такое же, как и выше. Затем на цилиндрической поверхности выбираем простую замкнутую пространственную ломаную L1, лежащую на цилиндрической поверхности и не равную ломаной L. Далее рассмотрим шапочку, краем которой является ломаная L1, причем шапочку выбираем так, что концы всех единичных векторов внешних нормалей ее лежат внутри нижней полусферы.
Замечание 8. Если призма с 2 однолистниками или шапочками содержит более одной призматической части, то такой многогранник не принадлежит классу В1.
Классификация многогранников класса В1
Имеет место
Теорема 1. Все многогранники класса B1 можно разбить на 3 подкласса: призмы, призмы с одним од-нолистником или одной шапочкой и призмы с двумя однолистниками или двумя шапочками.
Доказательство. Пусть M - выпуклый многогранник класса B1. Его поверхности принадлежит одна призматическая часть, грани и ребра призматической части параллельны прямой q, расположенной в отвесном направлении, плоскость а пересекает все боковые ребра призматической части поверхности многогранника M во внутренних точках. Обозначим через L плоскую ломаную, которая получилась в сечении. Рассмотрим цилиндрическую поверхность, направляющей которой является ломаная L, а образующая параллельна прямой q. Призматическая часть поверхности многогранника M ограничена 2 замкнутыми простыми ломаными, лежащими на цилиндрической поверхности. Обозначим верхнюю ломаную Р, нижнюю - К Возможны 3 случая: обе ломаные плоские; одна ломаная, например, Р - пространственная, а вторая - плоская; обе ломаные - пространственные.
1-й случай. Пусть в - плоскость, в которой лежит ломаная Р; у - плоскость, в которой лежит ломаная Я. Поскольку многогранник М выпуклый, то возможны 3 случая.
Выше плоскости в и ниже плоскости у точек многогранника нет (1а).
Выше плоскости в есть вершины и грани многогранника, а ниже плоскости у точек многогранника нет (1б).
Выше плоскости в и ниже плоскости у есть вершины и грани многогранника (1в).
1а. Если плоскости в и у параллельны, то многогранник М является призмой, не параллельны - усеченной призмой.
1б. Очевидно, что в этом случае многогранник является призмой с одним однолистником, который «приклеен» к верхнему основанию.
В 1в многогранник представляет собой призму с 2 однолистниками.
Рассмотрим 2-й случай: пусть ломаная Р - пространственная, а ломаная Я - плоская. Многогранник М выпуклый, ломаная Р лежит на цилиндрической поверхности. Очевидно, грани многогранника, лежащие выше ломаной Р, образуют шапочку. Поскольку ломаная Я - плоская, то возможны 2 случая: 1) ниже плоскости у точек многогранника нет; 2) грани, лежащие ниже плоскости у, принадлежат однолистнику.
Итак, если Р - пространственная ломаная, а Я -плоская, то многогранник М в этом случае может быть либо призмой с шапочкой, либо призмой с шапочкой и однолистником.
Замечание 9. Частным случаем многогранника, полученного во 2-м случае, может быть призма (усеченная призма) с отсечениями или призма с одним однолистником и отсечениями.
Рассмотрим 3-й случай: пусть обе ломаные Р и Я -пространственные. Нетрудно убедиться в том, что многогранник представляет собой либо призму с двумя шапочками, либо призму с шапочкой и отсечениями, либо призму или усеченную призму с отсечениями.
Итак, все многогранники класса В1 исчерпываются призмами (или их частными видами), призмами с одним однолистником или одной шапочкой и призмами с двумя однолистниками или шапочками. Теорема доказана.
Классификация многогранников класса В2
Дадим определение многогранника класса В2. Выше дано определение призматической части поверхности. Пусть М - выпуклый многогранник; q, т - некоторые непараллельные прямые в пространстве, поверхности многогранника М принадлежит первая призматическая часть, каждая грань которой параллельна прямой q, вторая призматическая часть, каждая грань которой параллельна прямой т, каждая призматическая часть состоит не менее чем из четырех граней.
Выпуклый многогранник, поверхность которого содержит 2 призматические части: одну, параллельную прямой q, вторую - параллельную прямой т, отнесем к классу В2.
Замечание 10. Нетрудно убедиться в том, что, если к каждой из граней призматической части много-
гранника провести единичный вектор внешней нормали, то все векторы принадлежат одной окружности большого круга единичной сферы. Сумма всех углов, образованных попарно единичными векторами внешних нормалей, равна 360°.
В [3] сформулирована
Теорема 2. Пусть имеется выпуклый многогранник класса В1, призматическая часть которого параллельна направлению q. Не существует другой призматической части, параллельной направлению q и принадлежащей поверхности многогранника.
Имеет место
Теорема 3. Две призматические части многогранника класса В2 имеют непустое пересечение.
Доказательство. Пусть М - многогранник класса В2. Всякий многогранник этого класса содержит 2 призматические части. Рассмотрим призматическую часть многогранника М, параллельную прямой q. Его граница распадается на 3 части: призматическую и 2 области, каждая из которых гомеоморфна кругу. Пусть 2-я призматическая часть многогранника М, параллельная прямой т, не пересекает первую. Тогда 2-я призматическая часть принадлежит какой-либо из оставшихся частей поверхности, гомеоморфных кругу. Единичные внешние нормали такой части поверхности лежат внутри полусферы, на границе которой находятся единичные внешние нормали граней 1 -й призматической части. Тогда все единичные внешние нормали 2-й призматической части лежат внутри полусферы, что противоречит замечанию 10. Итак, предположение о том, что 2 призматические части многогранника не имеют общих точек, противоречит свойству призматической части, чем и завершается доказательство теоремы.
Замечание 11. Нетрудно догадаться, что фигурами, по которым пересекаются 2 призматические части, являются 2 грани многогранника.
Имеет место
Теорема 4. Пересечение 2 призматических частей многогранника М класса В2 состоит из 2 параллельных граней.
Доказательство. Обозначим грани 1-й призматической части а1, а2,...,Ог, 2-й - въ в2, --,вп . Пусть а, = вэ и а = вр . Так как а, лежит в 1-й призматической части, то существует такая прямая q1, которая параллельна q и лежит в плоскости грани а,. Аналогично, так как вз принадлежит 2-й призматической части, то вэ параллельна прямой т. Итак, в плоскости грани взСа) лежит прямая т^ параллельная прямой т. Так как q и т не параллельны, то q1 и тз пересекаются. Точно также найдем прямые qk и тр, лежащие в плоскости грани а (вр). Грани, по которым пересекаются призматические части, параллельны по признаку параллельности 2 плоскостей, чем и завершается доказательство теоремы.
Все многогранники класса В2 разобьем на подклассы. Это разбиение осуществим в зависимости от того, что собой представляет оставшаяся часть границы многогранника, если исключить обе его призматические части.
Пусть М - многогранник класса В2; дм - его граница; П1 - 1-я призматическая часть многогранника, параллельная прямой q; П2 - 2-я, параллельная прямой т.
1-й случай. Замыкание множества дм \ ^ и п^ j
состоит из 4 компонент связности. Каждую многогранную поверхность с краем, на которые распадается замыкание множества дм \ ^П и П j, назовем луночкой.
Итак, в первом случае граница многогранника M состоит из 6 частей: 2 призматические части и 4 луночки.
2-й случай. Замыкание множества дм \ П и п ] состоит из 3 компонент связности, граница многогранника M - из 2 призматических частей и 3 луночек.
3-й случай. Замыкание множества дм \ ип ) состоит из 2 компонент связности, граница многогранника M - из 2 призматических частей и 2 луночек.
4-й случай. Замыкание множества дм \ \п и п ]
состоит из одной компоненты связности. В этом случае граница многогранника M состоит из 2 призматических частей и одной луночки.
5-й случай. Замыкание множества дм \ \п и п ] -
пустое множество, т.е. граница многогранника M представляет собой объединение 2 призматических частей.
Нетрудно убедиться в том, что имеет место
Теорема 5. Если принципом классификации многогранников класса B2 выбрать количество луночек, то все многогранники этого класса можно разбить на 5 классов.
Классификация многогранников класса В3
Дадим определение многогранника класса B3. Пусть M - выпуклый многогранник; q, т, g - некоторые прямые в пространстве, попарно не параллельные; имеется п граней многогранника M, параллельных прямой q (п>4), образующих одну компоненту связности, гомеоморфную кольцу. Граница компоненты связности состоит из 2 замкнутых непересекающихся ломаных, каждая из которых топологически эквивалентна окружности. Грани, параллельные прямой q, образуют призматическую часть, принадлежащую поверхности многогранника M.
Пусть этот многогранник M имеет еще 2 призматические части: одну, параллельную прямой т, и другую, параллельную прямой g. Такие выпуклые многогранники отнесем к классу B3.
Замечание 12. Может оказаться так, что выпуклый многогранник имеет более 3 призматических частей. В этом случае его также отнесем к классу B3.
Аналогично тому, как доказана теорема 3, может быть доказана
Теорема 6. Любые 2 призматические части многогранника класса B3 имеют непустое пересечение.
Теорема 4 остается истинной и для многогранников класса B3.
Теорема 7. Пересечение 2 призматических частей многогранника M класса B3 состоит из 2 параллельных граней.
Доказательство теоремы 7 осуществляется точно так же, как и доказательство теоремы 4.
Все многогранники класса B3 разобьем на подклассы. Разбиение осуществим аналогично тому, как было выполнено разбиение на подклассы класса B2.
Пусть M - многогранник класса B3; дМ - его граница; П1, П2, П3 - призматические части многогранника M, параллельные прямым q, т, g. Будем рассматривать замыкание множества дм \ ^ПуП уП ^. Возможны следующие случаи.
1-й случай. Замыкание множества дМ \ ^ п и П и П ^
состоит из 8 компонент связности. Каждую многогранную поверхность с краем, на которые распадается
замыкание множества дЫ \ \П И П U П \, назовем
^ 1 2 3)
луночкой, как и выше. В 1-м случае граница многогранника состоит из 3 призматических частей, попарно имеющих непустое пересечение, и 8 луночек.
Замечание 13. Существуют многогранники класса B3 с 6 луночками, призматические части которых обладают тем свойством, что пересечением всех 3 призматических частей является пара параллельных граней.
Рассмотрены 5 случаев разбиения многогранников класса B2 на подклассы. Можно, удаляя последовательно по одной луночке каждый раз, получить многогранник класса B3, имеющий 7, 6 луночек и т.д., 1 луночку и многогранник, не имеющий на поверхности луночек.
Выделим один частный случай многогранников класса B3, не имеющих луночек, - параллелепипеды. В этом случае каждая из 3 призматических частей представляет собой объединение 4 параллелограммов.
Замечание 14. Если многогранник класса B3 содержит 4 и более призматических частей, то классификацию таких выпуклых многогранников можно осуществить аналогично.
Итак, если выпуклый многогранник класса B3 содержит 3 призматические части, то существует 9 подклассов такого класса выпуклых многогранников (по количеству луночек, принадлежащих поверхности выпуклого многогранника класса B3).
Литература
1. Puolokainen T. Covering Some Classes of Convex Polyhe-
drons With Body Images at Homothety // Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. Petrozavodsk, 1998. P. 330-334.
2. Puolokainen T. Covering Three Classes of Convex Polyhe-
drons With Body Images at Homothety // Teaching Mathematics in Secondary and Higher Education. Petrozavodsk, 2000. P.236-239.
3. Пуолокайнен Т.М. Классификация выпуклых многогран-
ников // Тр. Петр. ГУ. Сер. Математика. 2004. Вып. 11. С. 34 - 40.
4. Пуолокайнен Т.М. Разбиение многогранников класса А
на подклассы // Альманах современной науки и образования. Тамбов, 2008. № 7 (14). С. 151 - 154.
5. Пуолокайнен Т.М. Покрытие многогранников класса A
образами многогранников при гомотетии // Вестн. ВСГТУ. Естеств. науки. 2008. № 4. С. 39 - 44.
6. Hadwiger G. Ungeloste Probleme // References Elem. der.
Math. 1957. № 20. P. 121.
Поступила в редакцию
25 марта 2011 г
