Равновесно-арбитражная многокритериальная балансировка каналов в многосвязанном регулировании и управлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513.1

Е. М. Воронов, Ю. В. Мелехина, О.А. Веселовская, Е. Р. Мусин

РАВНОВЕСНО-АРБИТРАЖНАЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ БАЛАНСИРОВКА КАНАЛОВ В МНОГОСВЯЗАННОМ РЕГУЛИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ

Рассмотрено применение методов теории оптимизации в многообъектных многокритериальных системах в условиях исходной структурной несогласованности на примере параметрического синтеза двухканальной системы стабилизации в продольной и боковой плоскостях с учетом перекрестных связей каналов статически устойчивого летательного аппарата нормальной аэродинамической схемы.

С ростом информационной и структурно-целевой сложности функционирования и проектирования систем автоматического управления, проявляющейся в их многообъектности и многокритериальности, существенным становится учет факторов несогласованности (конфликтности) и неопределенности различного характера, который может быть осуществлен с использованием комбинированных подходов теории игр и классической теории управления. Данное комбинирование составляет основу теории оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами (ММС) [1]. Методы этой теории применяются для векторной оптимизации структурно-сложных систем, в которых, кроме получения векторно-оптимального управления, требуется обеспечить межобъектную устойчивость или балансировку подсистем в структуре по эффективности или потерям. Методы данной теории имеют особую значимость для трех классов задач управления структурно-сложными системами в условиях:

• исходной структурной несогласованности;

• конфликтной ситуации;

• неопределенности (среды, активного партнера, цели).

Рассматриваемая задача относится к первому классу задач управления.

Описание двухканальной системы стабилизации (ССт) статически

устойчивого летательного аппарата (ЛА) нормальной аэродинамической схемы [2]. Исследуемым объектом является указанная ССт в продольной и горизонтальной плоскостях. Режим полета ЛА — горизонтальный на высоте 10000 м в двух подрежимах: с максимальной (vmax = 1400 м/с) и минимальной (vmin = 500 м/с) скоростями. Структурная схема двухканальной ССт с описанием в каждом канале в виде соединения передаточных функций (ПФ) ЛА, рулевого привода, колебательного звена и измерителей — дифференцирующего гироскопа (ДГ) и датчика линейных ускорений (ДЛУ) — приведена на рис. 1 [2, 3].

На схеме обозначено: aj, bj — динамические коэффициенты ЛА в продольном движении и движении рыскания; '&о,1о — значения углов тангажа и крена на опорной траектории, относительно которой производилась линеаризация уравнений движения ЛА; И ,ф — угловые скорости тангажа и рыскания в отклонениях от опорной траектории; jwy, ]нг — нормальные ускорения; ¿в,5н — отклонения органов управления (рулей высоты и направления); Мвозм$, Мвозмф — возмущающие моменты, действующие на ЛА,

Рис. 1. Структурная схема двухканальной ССт

относительно осей связанной системы координат соответственно [3]; ^ЛА — скорость ЛА; кдГ1,2, кдлУ1,2 — коэффициенты усиления дифференцирующего гироскопа и датчика линейных ускорений соответственно.

Измерители и рулевой привод приняты безынерционными звеньями, так как значения их собственных частот гораздо больше значений собственных частот объекта — ЛА.

Описание модели системы в пространстве состояний.

f г- —

x1 = x2,

X 2 =

Ä13Ä21 + В23 В11

x1

Ä12Ä21 + В22В11

X2 +

А11А21 + В21 Ви о А11 ^21 + В21В11 D

, В13А21 — А23В11 , В12А21 — А22В11 +--ü-——— X3 + -:-;;—X4 +

+

Ä11Ä21 + В21В11 Ä11Ä21 + В21В11 ka15Ä21Mz возм + кЪ^БцМу возм

Ä11Ä21 + В21В11

XX 3 = X4,

Ä13 В21 — В23 Ä11

XX 4 =

Ä12 В21 — В22 Ä11 X1 + —---г-г— X2-

(1)

В11В21 + ÄnÄ21 л Вп В21 + Ä"11 Ä21

В13В21 + Ä23Ä11 В12В21 + Ä22Ä11

X3 -

В11В21 + Ä11Ä21 В11В21 + Ä11Ä21

kаl5В2lMzвозм + к&15 ÄnMy возм В11В21 + Ä11Ä21

X4-

где xi = i, x2 = i, ж3 = 0, = 0;

Aii = T2; A21 = T2;

A12 = 2£T + kaisкрпкдп Ti; A22 = 2£T + кЬ^крпкдо Ti; Ai3 = 1 + ка1зкрп(кдп + г^лАкдлуО; A23 = 1 + kbi3 крп(кдг2 + г>лАкдлУ2);

B11 = к cos 10 sin 7oT1; B21 = к sin 70T1;

B12 = к cos $o sin 7o(Tiaii + 1); £22 = к sin 7o(Tibn + 1);

B13 = к cos 10 sin70a11; B23 = к sin Y0b11.

(2)

Требуется рассчитать параметры кдГ1,2, кдЛУ1,2 для обеспечения основных требований к ССт.

Основные требования к ССт [3] — устойчивость, демпфирование колебаний, заданные статическая точность и время переходного процесса.

Проектирование систем стабилизации отличается большой сложностью, обусловленной особыми условиями работы этих систем: сложными связями между отклонениями объекта управления и параметрами движения ЛА; сильной зависимостью динамических свойств ЛА от быстро изменяющихся в полете скорости, высоты, массы и моментов инерции аппарата; сложным взаимодействием между каналами системы стабилизации; нелинейностью аэродинамических характеристик ЛА; большим числом возмущающих воздействий разного рода; разнообразием условий пуска и полета.

Типичный метод проектирования пространственной (многоканальной) ССт реализуется в виде следующей последовательности действий:

— выбор параметров одноканальной ССт, удовлетворяющих основным требованиям ССт [3];

—- использование имитационного моделирования для настройки параметров пространственной ССт на основе полученных параметров в каждом канале.

В настоящей работе для выполнения основных требований в пространственной (двухканальной) ССт предлагается заменить имитационное моделирование трехэтапным оптимизационным методом, который на основе результатов расчета параметров в одноканальной ССт позволяет получить векторно-оптимальные значения параметров на основе балансировки каналов по эффективности и парето-оптимизации [1].

Далее формируются критерии оптимизации пространственной ССт для обеспечения основных требований к ССт .

Критерий статической точности. Модель системы была составлена для случая работы ССт в режиме стабилизации (см. рис. 1). Входом является возмущающий момент, а выходом — угловые скорости тангажа и рыскания. Основная задача ССт в режиме стабилизации — парирование внешних возмущений, т. е. стабилизация углового положения ЛА (обеспечение заданного углового положения или угловой скорости) при воздействии возмущений. Поэтому в качестве одного из критериев выбирается точность, которая характеризуется статической ошибкой.

Статическую ошибку будем определять по реакции на типовое ступенчатое воздействие. При ступенчатом воздействии Мвозм = 120 Нм, iуст = 0уст = 0,000118 рад/с и естат^ = естат^ = 0,000118 рад/с.

Сформируем показатели в виде квадратичных невязок имеющихся и заданных установившихся значений угловых скоростей тангажа и рыскания:

JV9 = — ^ст.требч?)2;

^ст.требф^) ,

где £сттреб , = £ст.требф = 0,000118 рад/с; так как xi = tf, x3 = ф (см. (1) и (2)), то эти показатели имеют вид

= (xi - ^ст. треб)2 ^ min; (3)

= (x3 - ^ст.треб-ф)2 ^ min •

Критерий перерегулирования. Демпфирующие свойства автоматической системы оцениваются значением перерегулирования а, которое представляет собой динамическое отклонение регулируемой величины:

у _ у

xmax ^ст

а =-— •

xуст

Для рассматриваемой системы имеем

^max ^уст 'max фуст

^ = -Ii-, ^ =

или

ft w ib

и уст Ьуст

x1 max х1уст x3 max х3уст

а'& = -> аф = -■

'V-I г

x 1 уст х3уст

Показатели формируем в виде квадратичных невязок перерегулирования относительно требуемой величины:

J29 = (а9 - атреб9)2 ^ min

J2- = - атреб-i)2 ^ min,

(4)

1) треб -ф' где %еб= %еб-ф = 0,2 (20 %)•

Критерий времени переходного процесса. Для определения быстродействия в отдельном канале используем корневые оценки качества. Корневые оценки основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. полюсов ПФ замкнутой системы, а также ее нулей [4].

Одна из корневых оценок — степень устойчивости п — это расстояние от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости Л корней характеристического уравнения замкнутой системы. Если ближайшим окажется вещественный корень, то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса С1е_пЬ. Время ее затухания

113

Ьп = - 1п — « - (при Д = 5 %) (5)

п Д п

характеризует общую длительность переходного процесса, так как все члены решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее. Если ближайшей к мнимой оси оказалась пара комплексных корней, то доминирующая составляющая решения для переходного процесса С1 е8т(вЬ + С2) будет колебательной, но оценка длительности переходного процесса (5) останется прежней.

Значения п можно найти, не решая характеристическое уравнение. Введем новую переменную г = Л + п. Тогда на плоскости г мнимая ось в' пройдет через ближайшие корни, т.е. составленное относительно г характеристическое уравнение должно удовлетворять условию нахождения на границе устойчивости. Таким образом, если задано характеристическое уравнение

Я(Л) = аоЛп + а1Лп-1 + ... + ап_1Л + ап = 0, (6)

то, подставив в него Л = г — п, получим смещенное уравнение

ао(г — п)п + а1(г — п)п-1 + ••• + йп-1(г — п) + ^п = 0,

которое можно привести к виду

ао<гп + А^-1 + ... + Ап-1<г + А,п = 0, (7)

где

Ап = Я(—п);

Ап-1 = 1! ;

= Р(п-1)(—п) А1 = (п — 1)! '

(8)

Выражения (8) можно получить, разложив функцию D(A) (6) в ряд Тейлора при A = z—п. Затем к уравнению (7) применим условие нахождения системы на границе устойчивости, например по Гурвицу [4]:

А„(п) = 0 и Дп_1 (п) = 0. (9)

Найдем в соответствии с рис. 1 передаточную функцию в канале стабилизации:

к(Т Р + 1)

Ф(р) =_Т 2Р2 + ^ТР + 1_=

) i+ k k(TiP + 1) (h + уда , 1 + ai3kpn Т2р2 + 2£Тр + 1 (кдг + Т1РПk ДДУ

=_к(Т1р + 1)_

" Т2р2 + 2£ Тр + 1 + kai3kpn ((Т1Р + 1)кдг + УдАкдду). Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

D(p) = Т2р2 + (2£ Т + kai3kpn Т1к дг)р + 1 + kai3kpn (к дг + УдАк дду). По уравнениям (8) и (9) составляем уравнение для определения величины п:

Т2п2 — (2£Т + kai3kpn Т1к дг)п + 1 + kai3kpn (к дг + УдАк дду) = 0, откуда

= 2С Т+к* Т1к дг± V(2£ Т+к* Т1 к дг)2—4 Т2(1 + к* (к дг+УдАкдду)) п 2 Т2 '

к* = ka13 kpn.

(10)

Оценка времени переходного процесса обратно пропорциональна п и на ¿п накладываются жесткие требования, поэтому для дальнейших выкладок берем больший из корней уравнения (10).

В соответствии с выражением (5) имеем неравенство

6Т 2

*п < -, ■

2£ Т+к*Т1 к дг+Т+к* Т1к дг)2—4 Т2(1+к* (к дг + УдАк дду))

подставляя в которое числовые значения, получаем

<

tn <

0,039

:0,0081+0,103кдг^(0,0081+0,103кдг)2-0,026(1+0,058(кдг+1400кдлу)) = 1

" 0,21 + 2,64кдг ^^/(0,21 + 2,64кдг)2 - 0,67(1 + 0,058(кдг + 1400кдау))' Тогда оценка tn в канале тангажа

tm9 =

1

0,21+2,64кдп + \Л0,21+2,64кдП)2—0,67(1+0,058(кдП+1400кдлу1))! в канале рыскания

*п 4 =

= 1

= 0,21+2,64кдг2^\/(0,21+2,64кдг2)2-0,67(1+0,058(кдг2+1400кдлу2))'

Показатели формируем в виде квадратичных невязок. При этом в качестве требуемого времени переходного процесса возьмем ¿птреб $ =

= ^п.треб'ф =0,5 с,тогда

^3$ = (4$ - ¿п треб $) ^ т1П

/ 42 . (11)

Ъ* = ^пф - ^п.треб ф) ^ т1П.

Критерий устойчивости. Условие устойчивости является обязательным для системы стабилизации.

Для исследования влияния изменения параметров системы (кдп, кдлуь кдГ2, кдЛУ2) на ее устойчивость построим границу области устойчивости разбиение) в пространстве параметров [5].

Представим структурную схему системы (рис. 1) в виде, изображенном на рис. 2, где

л ( ^ к(Т\р + 1)

Фг(р) = ' '

Ф (р) =

Т2р2 + Тр + 1 + kaiskpn ((Tip + 1)k дгх + «лаkдлух)!

k(Tip + 1)

Т2р2 + 2£ Тр + 1 + kbiskpn ((Tip + 1)k дг2 + длу2)

— ПФ каждого канала системы в отдельности. Запишем ПФ разомкнутой системы:

^раз(р) = Ф1(р)(р + bii) sin7^2(p)(р + aii) sin Y cos tf.

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид

D(p) = 1 + ^раз(р) = 1 + Ф1(р)(р + Ьц^т7оФ2(р)(р + an) sin 70 cos^о;

D(p) = [Т 2р2 + 2^ Тр + 1 + kaiskpn ((Tip + 1)k дП + ОДА к ДЛУ1 )] х

Рис. 2. Структурная схема ССт

х [Т2р2 + 2£Тр + 1 + kaiskpn ((Tip + 1)кдг2 + УлАк ДЛУ2)] +

+ k2(Tip + 1)2(р + bn)(p + он) sin2 Yo costfo.

Введем обозначение: к* = ко13кРП. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем следующее выражение:

D(p) = Т 4р4 + Т 2{2£Т + к*Т1кдП + 2£Т + к*Т1кдг2}р 3+

+ { Т 2(1 + к* (кдг1 + УлАкдлух)) + (2С Т + к* Т^дп) х х (2£Т + к*Т1кдг2)+ Т2(1 + к* (кдг2 + УлАкдлУ2))}р2+

+ {(1 + к*(кдг1 + УЛАкдлУ1))(2^Т + к* Т1кдг2) +

+ (2£Т + к* Т1кдг1)(1 + к*(кдг2 + улакдлу2))} р+ + (1 + к*(кдп + УлАкдлУ1 ))(1 + к*(кдг2 + УлАкдлУ2)) + + к2 sin2 Yo cos 0о[Т?р4 + {2Т1 + Т?(аи + bn)}p3+ + {1 + 2Т1(ап + bn) + Т2апЬп }р 2+

+ {а 11 + b11 +2Та11611}p + а11b 11 ]. (12)

Каждому набору значений параметров системы кдГ1, кдГ2, кдЛУ1, кдЛУ2 соответствуют конкретные значения коэффициентов характеристического уравнения (12) и положение корней замкнутой системы на комплексной плоскости корней. При изменении параметров корни, в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов характеристического уравнения, будут описывать корневые годографы и при некоторых кдГ1, кдГ2, кдЛУ1 и кдЛУ2 попадут на мнимую ось, что соответствует нахождению системы на границе устойчивости и выполнению условия

D(jw) = 0. (13)

Уравнению (13) в пространстве параметров соответствует некоторая поверхность, при пересечении которой корни системы переходят из левой полуплоскости в правую, и которая делит все это пространство на области с одинаковым числом правых и левых корней. Такое разбиение называется D-разбиением. Граница D-разбиения является отображением мнимой оси плоскости корней в пространство параметров и определяется решением уравнения (13) при изменении ш от —то до

Поскольку в рассматриваемом случае граница D-разбиения представляет собой гиперповерхность в четырехмерном пространстве, что затрудняет анализ и ненаглядно, зафиксируем один из параметров, а именно кдлу2 = 0,085 В-с2/м, и будем строить сечения трехмерной поверхности границы D-разбиения, задаваясь значением кдГ2 и решая уравнение (13) относительно кдЛУ1 и кдГ1.

Выделим в уравнении (13) действительную и мнимую части (D(jw) = = U (ш) + jV (ш)):

U (ш, кдп, кдг2, кдлу1, кдлу2) =

= Т4ш4 — {2T2 + Т 2к*(кдп + УлАкдлУ1 + кдг2 + УлАкдлУ2)+ + (2СТ + к* Т1 кдГ 1 )(2£Т + к* Т1 кдг2)}ш2+

+ (1 + к*(кдп + УлАкдлУ1 ))(1 + к*(кдг2 + УлАкдлУ2)) + + к2 sin2 Yo costfo • [Т2ш4 — {1 + 2Т(а11+ hО + ТЧ1b 11}ш2 + а11611 ] = 0;

V(ш, кдП,кдг2, кдлу1,кдлу2) =

= — Т 2{4£Т + к* Т1кдП + к* Ткдг2}ш3+

+ {(1+ к* (к ДГ1 + УлАкдлУ1))(2^Т + к* Т1кдг2) +

+ (2£Т + к* Т1 кдг1 )(1 + к*(кдг2 + УлАкдлУ2))}ш+

+ к2 sin2 Yo cos tfo • [—{2Т1 + Т2(ап + Ьи)}ш3+

+ {ап + 611 + 2Т1 аиЬи}ш]=0. (14)

Уравнения (14) при указанных предположениях представляют собой систему двух уравнений с двумя неизвестными. Сгруппируем слагаемые при параметрах кдг1 и кдЛУ1:

кдг1 {—ш2 Т 2к* — ш2 Т1к* (2£ Т + к* Т1 кдг2) + к* (1 + к* (кдг2 + УлАкдлУ2)}+

+ кдлу1{—ш2 Т2к*УлА + к*УлА(1 + к* (кдг2 + ула кдлУ2)}+

+ ш4 Т4 — ш2{2Т2 + Т 2к*(кдг2 + УлАкдлУ2) + + 2£Т(2£Т + к* Т1кдг2)} + 1 + к*(кдг2 + УЛАкдлУ2) +

+ к2 sin2 Yo costfo• [ш4Т2 — ш2{1 + 2Т1(ап + Ьц) + Т^аиЬи} + аиЬп] = 0;

(15)

кдП{—ш3 Т2к* Т+шк*(2£Т+к* Т1кдг2)+шк* Т1(1+к*(кдг2+УЛАкдлУ2))} + + кдлУ1 {шк*УлА(2^Т + к*Т1 кдг2 )} — —ш3Т 2{4С Т+к*Т1 кдг2 }+ш{2^Т+к*Т1кдг2+2^Т (1+к*(кдг2+УлАкдлУ2))}+ +к2 sin2 Yo cos^o•[—ш3{2Т1 + Т2(ап+Ьи)}+{ап+bn +2Т1апЬп}ш] = 0.

Для удобства и краткости дальнейших выкладок введем обозначения: dn = -Л2k* - w2 Т^^Т + k* Т1кдг2) + k*(1 + + ЗДлкдт)),

di2 = -w2 Т 2к*^дл + Гзда(1 + k* (k дг2 + «да кдлу2),

di3 = w4 Т4 - w2{2T2 + Т2к*(кдг2 + «длкдду2) +

+ 2£Т(2£Т + к* Т1кдг2)} + 1 + к*(кдг2 + «длкдду2) + + к2 sin2 Y0 costfoiw4^2 - w2{1 + 2Т1(аи + bii) + Т^ацбц} + ацбц], d2l = -w3 Т2к* Тl + wk*(2^ + к*Т!кдг2^к*Т!(1 + к*(кдг2 + «длкдду2)), d22 = wk* «дл (2£Т + ГТкдп),

d23 = 2{4£Т + ГТкдоН

+ Ш{2£Т + к* Ткдг2 + 2£Т(1 + к*(кдг2 + «лАкдлУ2))}+

+к2 sin2 7о cos^о■[—ш3{2Т + Т^ац + bn)} + {ап + bii + 2Т1 ацЬц. С учетом принятых обозначений система (15) и ее решение будут иметь

diik ДГ1 + di2k длу1 + di3 = 0; d2ik дг1 + ¿22 к ДЛУ1 + ¿23 = 0;

вид

кДГ1 =

А =

—d13 d

d11 d12 d21 d22

12

—d23 d22

k

ДЛУ1

А

d11 —d13 d21 —d23

А

—d13d22 + d23d12 ;

dnd22 — d21d12

—dnd23 + d21d13

du d22 — d21d12

(16)

где ^ (ш, кдлу2, кдг2).

Зададимся ограничениями на параметры системы. На практике обычно выполняется: 0 < кдту» < 2 В-с2/м, 0 < кдГ2» < 10 В-с, г = 1;2. Тогда, принимая кдлу2 = 0,085 В-с2/м и изменяя кдг2 от 0,5 до 10В-с с шагом 0,5 В-с, определяя оставшиеся параметры в соответствии с уравнениями (16), получим область ^-разбиения, ограниченную трехгранным конусом (рис. 3).

На рис.4 приведено сечение границы ^-разбиения при кдГ2 = 2,5В-с. Определим область устойчивости, для чего нанесем штриховку в соответствии с правилом: при возрастании ш от —то до +то граница штрихуется слева по ходу движения, если А > 0, и справа, если А < 0.

Построим также особые прямые в пространстве параметров. Особая прямая соответствует случаю, когда при некотором значении частоты определитель А и определители А1 и А2 равны нулю одновременно, а именно: А = А 1 = А2 = 0, и система (16) имеет бесконечно много решений. В большинстве практических задач особые прямые получаются при ш = 0 или ш = то. При этом равны нулю либо свободный, либо старший коэффициенты характеристического уравнения: при ш = 0 а0 = 0; при ш = то ап = 0.

Рис. 3. D-разбиение пространства параметров

С,5 10 1.5 3.G 2 5 3D 3 S 4 0 К _ ' ' ' 1 ' ЛДГ1 ВС

Рис.4. Сечение границы D-разбиения при Кдт2 = 2,5В-c

В рассматриваемом случае имеем а4 = Т4 = 0; ао=(1+к*(кдп+УлАкдлУ1))(1+к*(кдг2+Уллкдду2))+к2 sin2 y cos #-aiibn=0, т.е. получаем особую прямую при ш = 0

k

ДЛУ1

k2 sin2 y cos $ • ацЬц 1 + k*(kдг2 + УлАкдлУ2) V k

-1 I k

ДГ1

1

УЛА '

Штриховка одинарная и нанесена таким образом, что заштрихованные и незаштрихованные стороны особой прямой и границы устойчивости направлены друг к другу [5].

-120

-130

-140

g .150

$ -160

& -170

-160

-190

-200 160

SO

S1 О

1 -SO -160 -270

10* ю-1 1оР 1Ü1 10® 10°

Frequency (radftec)

Рис. 5. ЛАФЧХ разомкнутого контура системы со связями между каналами

Область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости. Возьмем (см. рис. 4) пробную точку кдг1 = 2,5 В-с и кдЛУ1 = 0,05 В-с. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) разомкнутой системы приведена на рис. 5 — система устойчива.

Сравнивая запасы устойчивости в разных сечениях (табл. 1) и соответствующие переходные процессы, найдем центр области устойчивости (значения кдп,2, кдлу1, соответствующие наибольшим запасам устойчивости и приемлемым показателям качества переходного процесса):

кдГ1 = 1,5 В-с; кдЛУ1 = 0,01 В-с2/м; кдГ2 = 4,5 В-с; кдЛУ2 = 0,085 В-с2/м.

Таблица 1

Оценка центра области устойчивости

%1 ^ЛУ1 %2 ^ЛУ2 АА, дБ Аф0

5 0,01 1,5 170 179

1,5 0,01 2 123 10

2,5 0,05 2,5 141 83

1 0,01 3 168 154

1,5 0,01 3,5 169 149

2 0,01 4 171 161

1,5 0,01 4,5 172 163

2 2,5 5 0,085 171 164

1,5 0,01 5,5 171 165

1,5 0,01 6 171 168

1,5 0,05 6,5 172 166

1,5 0,01 7 172 172

1,5 0,01 7,5 172 168

1,5 0,01 8 172 167

2 0,1 8,5 173 163

Показатели оптимизации, предъявляющие требования к устойчивости системы, сформируем в виде квадратичных невязок значений параметров относительно выбранной центральной точки:

3$4а = (кДГ1 — кДГ1треб)2 ^ тШ; 3$4Ь = (кДЛУ1 — кДЛУ1треб)2 ^ ™1П;

Зф4а = (кДГ2 — кДГ2треб)2 ^ тШ; 3ф4Ь = (кДЛУ2 — кДЛУ2треб)2 ^ т1П,

(17)

где кдг1 треб = 1,5 В-с, кдЛУ1треб = 0,01 В-с2/м, кдг2 треб = 4,5 В-с, кдЛУ2 треб = 0,085 В-с2/м.

Таким образом, критерий оптимизации рассматриваемой системы является векторным и предъявляет требования к точности, демпфирующим свойствам, времени переходного процесса, устойчивости системы, т.е. многокри-териальность задачи связана с предъявляемым к системе набором требований, отражающим цель проектирования с учетом полноты отражения цели, независимости каждой скалярной компоненты векторного критерия и его ограниченной размерности. В дальнейшем в качестве критерия оптимизации будем использовать свертку показателей качества для каждого канала, определяемых выражениями (3), (4), (11) и (17), с одинаковыми весами:

3$

з = ;

Зф

3$ = 31$ + 32$ + Зз$ + 3$4а + 3$4ь;

(18)

Зф = 31Ф + 32ф + Ззф + Зф4а + Зф4Ь-

Структура трехэтапного метода равновесно-арбитражной балансировки.

Этап 1. Получение оптимальных параметров в каждом канале стабилизации (начальные приближения для арбитражно-равновесной балансировки каналов).

Этап 2. Нахождение балансировочного параметрического решения на основе равновесия по Нэшу.

Этап 3. Парето-оптимизация параметрического решения на основе арбитражной схемы Нэша.

Получение начальных приближений для арбитражно-равновесной балансировки каналов. Для этого была использована методика расчета ССт в одном канале, включающая в себя [6]:

метод стандартных коэффициентов (МСК), который позволяет получить переходной процесс заданного вида (с требуемым перерегулированием) и значения неизвестных параметров системы [6];

оптимизацию внутреннего контура демпфирования системы с дифференцирующим гироскопом (выбор коэффициента усиления датчика угловой скорости) по критерию минимизации резонансного пика ЛАЧХ замкнутого контура демпфирования, что позволяет снизить колебательность системы [6];

параметрический синтез (выбор коэффициента усиления датчика линейных ускорений) с использованием ЛАЧХ для достижения требуемых запасов устойчивости и точности [6].

В результате применения рассмотренных методик расчета в каждом канале ССт были получены следующие значения параметров: кдГ12 = = 2,5 В-с; кДЛУ1,2 = 0,085 В-с2/м.

Нахождение равновесного решения. Система стабилизации ЛА, математическая модель которой описывается уравнениями (1) и (2) с требова-

Рис. 6. Двухкоалиционная структура ССт

ниями по точности, перерегулированию, времени переходного процесса и устойчивости, предъявляемыми в виде векторного критерия (18), (3), (4), (11) и (17), представляет собой типичную многообъектную (двухобъектную, двухкоалиционную, двухсвязанную) многокритериальную систему в условиях исходной структурной несогласованности (рис. 6), в которой отдельным объектом является канал стабилизации и имеют место перекрестные связи между каналами.

Рассмотрим особенности проектирования ММС. В многоуровневой структуре сложной системы можно выделить три вида систем: система-объект, ММС и полная иерархическая система — т.е. ММС — горизонтальный ряд в общем случае равнозначных объектов (рис. 7). В рамках ММС формируется класс задач оптимизации, в котором известные подходы оптимизации для обеспечения эффективности объекта (вариационные методы, принцип максимума, методы динамического и нелинейного программирования) существенно дополняются игровыми подходами с собственными принципами оптимизации для обеспечения уравновешенного (стабильного) взаимодействия, способствующего достижению эффективности ММС в условиях естественной несогласованности. Методы решения в рамках данных принципов базируются на многообъектности структуры, многокри-териальности задач и свойствах конфликтного взаимодействия объектов. Таким образом, в задачах многообъектной многокритериальной оптимизации заложены фундаментальные понятия: стабильность, эффективность и стабильно-эффективный компромисс [1].

Стабильность ММС — это обеспечение межобъектно устойчивых (уравновешенных по целям) процессов функционирования и проектирования мно-

Рис. 7. Структура многоуровневой системы

гообъектных структур в условиях конфликтности (несогласованности) и/или неопределенности.

Эффективность ММС — это достижение максимального целевого качества объектов ММС и ММС в целом на основе устойчивого рационального коалиционирования.

Стабильно-эффективный компромисс (СТЭК) — это объединение свойств стабильности и эффективности в рамках множества решений - от полного совпадения данных свойств в одной точке пространства показателей до обеспечения возможной степени их сближения в условиях информационно-тактических расширений соглашений.

Далее для нахождения параметров рассматриваемой системы с учетом предъявляемых к ней требований используются методы оптимизации ММС. Для этого определяется равновесное решение по Нэшу, являющееся стабильным в том смысле, что при отклонении любого параметра от равновесного значения происходит ухудшение показателей качества (увеличение потерь), в первую очередь, у "отклонившегося" объекта. Набор параметров дг = (дг1,... дгт) является равновесным по Нэшу относительно скалярного

показателя Ф^ = ^^ А] , который является функцией потерь коалиции К^, если для любого дг € г € М^ = (1... т),

ФС(дг||дг) > ФС(дг),

где ||дг = дг1,...д™-1 , дг,дгг+1,...дгт. Подобный алгоритм нахождения равновесного нэш-решения реализован в программной среде (ПС) "МО-МДИС" (многокритериальная оптимизация многообъктных динамических систем) [1], которая и использовалась для расчетов.

ПС "МОМДИС" предназначена для многокритериальной оптимизации многообъектных систем и позволяет проводить анализ в пространстве показателей системы методами парето-оптимизации (нахождение сетевой области оптимальности по Парето, Парето-Слейтеру и др.), омега-оптимизации (нахождение точных решений в подобласти оптимальности по Парето), нэш-оптимизации (нахождение точек равновесия по Нэшу сетевым и точным методами), УКУ-оптимизации (нахождение точек, устойчивых по критерию угроз и контругроз), а также получать решение на основе различных СТЭК.

Программная среда состоит из двух больших подсистем: математической подсистемы, реализованной в среде МАТЪАВ 6.5 и включающей алгоритмы сетевых и точных методов оптимизации и пользовательского интерфейса, с помощью которого можно описать и ввести математическую модель исследуемой системы, выбрать метод решения, вывести результаты в удобной для пользователя форме и обработать их. Структура ПС "МОМДИС" приведена на рис. 8.

Уравнения системы в форме Коши имеют вид (1) и (2), критерии оптимизации — (18), (3), (4), (11) и (17). Кроме того, рассмотрим динамические условия, когда вычисляются показатели качества по статической точности и перерегулированию по окончании переходного процесса, время наблюдения которого с запасом было взято 1 с. Предварительно был проведен сетевой анализ области показателей для нормировки их таким образом, что все показатели были приведены к одному диапазону:

тнорм _ J,di J,di min in 11

J-&i _ J 1]'

Ji9i max Ji9i min

7норм _ min rn. ii • _ 1 TT

_ 7,. _ 7,. . fc 1 _ 1 ' 4

max min

Рис. 8. Структурная схема ПС "МОМДИС"

При этом интервалы изменения параметров кдп,2 и кдлУ1,2 выбраны таким образом, чтобы гарантировать устойчивость системы ±40 % относительно центра D-разбиения): кдГ1 € [0,9; 2]; кддУ1 € [0,005; 0,04]; кдГ2 € [2,5; 5]; кдлУ2 € [0,01; 0,1].

В результате расчета получены следующие значения параметров системы и показателей качества в точке оптимальной балансировки каналов (равновесия по Нэшу): кДГ1 = 1,4500В-с; кДЛУ1 = 0,0138 В-с2/м; кДГ2 = 4,3750В-с; кДЛу2 = 0,0775 В-с2/м;

Ji = 0,9748; J2 = 0,8865.

Нахождение СТЭК в форме равновесно-арбитражного решения. Задачи управления ММС имеют ряд свойств, которые свидетельствуют о необходимости формирования компромиссов и создают для этого определенную основу.

Значительную часть подходов оптимизации в рамках обязательных соглашений составляют арбитражные схемы [1]. В настоящей работе рассмотрено применение арбитражной схемы Нэша (АСН). Она имеет ряд полезных функциональных свойств, которые достаточно хорошо изучены. Поэтому данную арбитражную схему используют наряду с другими компромиссными решениями.

Исходной точкой модифицированной АСН является равновесное решение (см. [1], гл. 6), а результат дает одну из точек области оптимальности по Парето-Слейтеру [7]. Таким образом, удается достичь объединения свойств стабильности (обеспечиваемой равновесным решением по Нэшу) и качества (обеспечиваемого оптимальностью решения по Парето) и получить стабильно-эффективный компромисс.

По определению арбитражной схемы арбитражное решение удовлетворяет условию

шах П (J(u) - J*) ^ ua, (19)

u J-J-

ieMk

где 3* — компоненты вектора показателей 3*в начальной точке, иа — парето-решение. В качестве 3* выбирается равновесное решение по Нэшу.

Существует единственное арбитражное решение, удовлетворяющее следующему свойству [1], — решение оптимально по Парето и находится в точке, максимально близкой к балансировочной точке равновесия по Нэшу.

В результате расчета получены следующие значения параметров системы и показателей качества: кдГ1 = 1,5111 В-с; кдЛУ1 = 0,0167 В-с2/м; кдг2 = 4,1667В-с; кдау2 = 0,0900В-с2/м;

31 = 0,9458; З2 = 0,8707.

Таким образом, по сравнению с равновесным нэш-решением (табл. 2) удалось добиться улучшения показателей в точке стабильно-эффективного компромисса в форме равновесно-арбитражного решения. Графическое представление результатов приведено на рис. 9.

Особенностью оптимальных решений для рассматриваемой системы является близкое расположение точки нэш-равновесия к области оптимальности по Парето-Слейтеру [7], т.е. равновесное решение обладает и достаточной степенью эффективности. Это связано с большим количеством предъявляемых к системе требований: в критерии качества заложены требования и по точности, и по колебательности, и по времени переходного процесса, и по устойчивости в каждом канале системы стабилизации.

Результаты трехэтапного метода равновесно-арбитражной балансировки каналов ССт приведены в табл. 2.

Для оценки качества системы с рассчитанными параметрами было проведено моделирование ССт в режиме стабилизации при входном воздействии — возмущающем моменте Мвозм = 120 Н-м (рис.10). Полученные показатели качества переходных процессов приведены в табл.3; (для

Рис. 9. Результаты расчета равновесно-арбитражного решения

Таблица 2

Результаты применения трехэтапного метода равновесно-арбитражной балансировки каналов ССт

Применение метода кдл, В-с кдлУ1, Вс2 /м кдГ2, В-с кдлУ2, В-с2/м Ji J2

Расчет од- 2,5 0,085 2,5 0,085 — —

ноканальной ССт

Равновесная баланси- 1,4500 0,0138 4,3750 0,0775 0,9748 0,8865

ровка двух- канальной ССт

Равновесно- арбитражная баланси- 1,5111 0,0167 4,1667 0,0900 0,9458 0,8707

ровка двух- канальной ССт

Таблица 3

Показатели качества переходных процессов

Параметр Режим I («ЛА = 1400 м/с) Режим II («да = 500 м/с)

© © © © © ©

' | II 1/11// ; ¿ПП/^, с 0,16; Система неустойчива 0,10; 0,21 0,44; 0,70; 0,78 0,49; 0,33

^ст/ну; Eстjнz? м/с2 0,17; 0,48; 0,17 0,33; 0,33; 0,33 0,97; 0,33

&/ну; > % 17,6; 5; 14 7; 12; 27 0; 1

¿пп?; ¿пиА, с 0,21; 0,48; 0,50 0,54; 1,87; 1,97 0,79; 0,65

£ст ??; рад/с 0,000118; 3,4-10-4; 1,2-10-4 0,000661; 6,5-10-4; 6,5-10-4 2,0-10-3; 6,5-10-4

?? ' ^шах? рад/с 0,006; 8,73 х х10-3; 3,64-10-3 0,008; 0,012; 0,011 0,017; 0,006

Примечание: £ПП — время переходного процесса; ест — статическая точность; а — перерегулирование; (!) — одноканальная ССт; © — двухканальная ССт без балансировки; © — двухканальная ССт с равновесно-арбитражной балансировкой.

Рис. 10 (Начало). Переходные процессы в оптимизированной системе. Режим

стабилизации

iJ, рад/с

Режим II

, ню3 "Ф, рад/с

Рис. 10. (Окончание)

сравнения указаны также аналогичные параметры для одного канала и при использовании настроек, полученных при расчете одного канала, — для двух-канальной системы с перекрестными связями).

В частности, на режиме I отсутствие балансировки делает двухканаль-ную ССт неустойчивой, хотя в каждом канале имеет место полученный расчетом уровень устойчивости и качества.

Таким образом, значения параметров, рассчитанные с использованием элементов теории ММС, обеспечивают не только устойчивость двухканаль-ной системы стабилизации с перекрестными связями, но и высокое качество работы на рассматриваемых режимах по статической точности, перерегулированию и времени переходного процесса.

Постановка задачи равновесно-арбитражной многокритериальной балансировки в многосвязанном управлении. Задачу арбитражной и равновесной балансировки можно применить и для решения задачи определения оптимального управления ЛА. Для этого кратко рассмотрим концептуальную постановку.

Уравнения движения центра масс ЛА имеют вид [3]:

v = g(nx - sine), 6 = g(ny - cos6), Ф =--:

v v cos e '

Xg = vcos6cosí, Yg = vsin6, Zg = —vcos 6 sin Ф,

где v — скорость ЛА; 6, Ф — угол наклона и поворота траектории соответственно; n — вектор нормальной перегрузки; Xg, Yg, Zg — координаты центра масс ЛА в земной системе координат.

Вектор управления в форме перегрузок имеет вид [ni, n2].

Определим вид двухканального оптимального пространственного управления по векторному показателю: терминальной точности по положению центра масс ЛА и его вектору скорости, а также по быстродействию. Быстродействие Тип оценивается при решении задачи в одном из двух каналов, а терминальная точность (Хз, Уз, Z-j) в каждом канале задается критерием в виде квадратичных невязок по положению:

J1k = [X (Tmin) — Хз(Т1шп)]' + [Y (Tmin) — ^(Tmin )]2 +

+ [6(Tmin) — 6з (Tmm)]2 ^ min:

ni

J2 к — [X (Tmin) — Хз(Тт1и)] +

+ [Z(Tmin) - Z3(Tmin)]2 + [Ф (Tmin) - ^з (Tmm)]2 ^ min .

П2

Далее находим равновесное арбитражное решение задачи управления с начальными приближениями, рассчитанными для каждого канала отдельно, без учета перекрестных связей.

Как показывают результаты расчетов и моделирования, приведенную методику расчета (параметрического синтеза ССт) можно использовать как замену имитационному моделированию для перенастройки параметров системы стабилизации ЛА с учетом перекрестных связей каналов.

Результаты настоящей работы докладывались на международном симпозиуме [8] по проблемам управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-08-00509-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронов Е. М. Методы оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами на основе стабильно-эффективных компромиссов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 576 с.

2. К у з о в к о в Н. Т. Системы стабилизации летательных аппаратов (баллистических и зенитных ракет): Учеб. пособ. для вузов. - М.: Высш. шк., 1976. -304 с.

3.Лебедев А. А., К а р а б а н о в В. А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1956.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.

5. К о н ь к о в В. Г. Устойчивость управляемых технических систем: Учеб. пособ. / Под ред. В.И. Сивцова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. -78 с.

6. Веселов А. П., Евстифеев В. В., К а р а б а н о в В. А. Расчет и проектирование систем стабилизации летательных аппаратов: Учеб. пособ. по курсовому проектированию. - М.: МВТУ, 1979. - Вып. 5. - 22 с.

7. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 254 с.

8. Воронов Е. М., Мелехина Ю. В., Веселовская О. А., Мусин Е. Р. Равновесно-арбитражная многокритериальная балансировка каналов в многосвязанном регулировании и управлении // Тр. VII Междунар. симпоз. "Интеллектуальные системы" / Под ред. К.А. Пупкова. - М.: РУСАКИ, 2006.

Статья поступила в редакцию 29.08.2007

Юлия Викторовна Мелехина родилась в 1983 г., окончила в 2006 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант ОАО МНИИРЭ "АЛЬТАИР".

Yu.V. Melyokhina (b. 1983) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2006. Post-graduate of open stock company "OAO MNIIRE "Altair"

Ольга Александровна Веселовская родилась в 1982 г., окончила в 2004 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант ОАО МНИИРЭ "АЛЬТАИР".

O.A. Veselovskaya (b. 1982) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2004. Post-graduate of open stock company "OAO MNIIRE "Altair".

Евгений Рашитович Мусин родился в 1983 г., окончил в 2007 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Ye.R. Musin (b. 1983) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2006. Post-graduate of the Bauman Moscow State Technical University.