РАВНОВЕСНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ РАЗВЕРНУТОГО КАПИЛЛЯРНОГО МЕНИСКА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1606-867Х (Print) ISSN 2687-0711 (Online)

Конденсированные среды и межфазные границы

https://journals.vsu.ru/kcmf/ Оригинальные статьи

Научная статья УДК 532.6

https://doi.org/10.17308/kcmf.2023.25/10980

Равновесная форма поверхности развернутого капиллярного мениска

А. А. СокуровИ

Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»,

ул. Шортанова, 89 А, Нальчик 360000, Кабардино-Балкарская Республика, Российская Федерация Аннотация

В работе рассматривается задача о равновесной форме развернутого капиллярного мениска в однородном гравитационном поле. Отличие принятого в настоящей работе подхода от уже существующих заключается в том, что учитывается размерная зависимость поверхностного натяжения. Наличие подобных моделей может позволить в будущем лучше понять особенности поведения малоразмерных капиллярных тел, а также выявить эффекты, обусловленные размерными зависимостями физических параметров. Для достижения поставленной цели предлагается использовать аналог известной формулы Толмена, выражающий размерную зависимость поверхностного натяжения для случая границы раздела фаз с произвольной геометрией. Учет размерной зависимости поверхностного натяжения приводит к уравнениям, которые ожидаемо сложнее классических. По причине сложной нелинейности они, как и раньше, не разрешимы в терминах элементарных функций, в связи с чем применяются численные методы. Математическая модель мениска представлена в форме, лучше подходящей для численного моделирования профилей. Проведены вычислительные эксперименты по определению степени и характера влияния параметра, отвечающего за размерную зависимость поверхностного натяжения, на равновесную форму мениска. Проанализированы частные случаи, когда удается выписать точное решение уравнения Лапласа и получить точные соотношения между координатами профиля мениска.

Ключевые слова: капиллярный мениск, поверхностное натяжение, размерная зависимость, капиллярная поверхность, уравнение Лапласа, капиллярные явления, межфазные границы

Для цитирования: Сокуров А. А. Равновесная форма поверхности развернутого капиллярного мениска. Конденсированные среды и межфазные границы. 2023;25(1): 125-131. https://doi.org/10.17308/kcmf.2023.25/10980 For citation: Sokurov A. A. Equilibrium shape of rolled out meniscus. Condensed Matter and Interphases. 2023;25(1): 125-131. https://doi.org/10.17308/kcmf.2023.25/10980

И Сокуров Аслан Артурович, e-mail: asokuroff@gmail.com © Сокуров А. А., 2023

|@ ® 1 Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.

А. А. Сокуров Равновесная форма поверхности развернутого капиллярного мениска

1. Введение

Развернутые мениски, наряду с лежащими/ висящими каплями и жидкими мостиками, относятся к числу основных типов осесимметрич-ных капиллярных менисков. Обычно их можно наблюдать при неполном погружении цилиндрического стержня или шарообразного тела в жидкость. Вследствие смачивания поверхность жидкости искривляется, принимая определенную форму. Малый объем жидкости, который теперь начал возвышаться над нулевым уровнем, и есть развернутый мениск. В англоязычной литературе такие капиллярные системы называются по-разному - «островки» (holms), «стержневые мениски» (rod menisci) и др. В русскоязычной можно встретить название «шейка». Нами же используется терминология, принятая в монографии [1]. Отличительной чертой данного типа менисков служит поверхность, асимптотически переходящая в горизонтальную плоскость по мере удаления от линии смачивания.

Исследование физических проблем, связанных с развернутыми менисками, имеет большую теоретическую и практическую ценность [2-6]. Их конфигурации встречаются, например, в экспериментах по определению величин поверхностного и линейного натяжений, при изучении явлений смачивания и растекания, в технологиях по выращиванию монокристаллов из расплавов (способы Чохральского и Степанова), при изучении явлений тепломассопереноса и электропроводности в наносистемах, в теории флотации, зондо-вой микроскопии и литографии, нанофлюидике.

В подавляющем числе случаев, когда развернутый мениск привлекается в качестве модельного объекта, приходится сталкиваться с задачей о его равновесной форме. Суть задачи заключается в нахождении формы, принимаемой мениском во внешнем силовом поле. На основе ее решения можно сделать качественные и количественные выводы о закономерностях поведения некоторых процессов, протекающих на границе раздела несмешивающихся сред. Задача о равновесной форме в общей постановке не имеет точного решения. Поэтому принципиально важной следует считать также разработку численных методов, позволяющих в тех или иных ситуациях с хорошей точностью рассчитывать профили развернутых менисков. Среди работ, посвященных данному вопросу, выделим [7-13]. В целом, развернутым менискам в литературе уделено значительно меньше внимания, нежели каплям и мостикам.

В настоящей работе рассматривается задача о равновесной форме развернутого мениска, находящегося в однородном гравитационном поле. Новизна подхода состоит в том, что при построении модели учитывается размерная зависимость поверхностного натяжения, которая описывается обобщенной формулой Толмена.

2. Размерная зависимость поверхностного натяжения

Поверхностное натяжение а является важнейшей термодинамической характеристикой границы раздела фаз; его проявление обуславливает практически все капиллярные явления [1]. Хорошо известно, что величина поверхностного натяжения при прочих равных условиях зависит от кривизны межфазной поверхности [14-18]. Эту зависимость принято называть размерной. Физически причина этой зависимости кроется в изменении межатомных или межмолекулярных взаимодействий вблизи поверхности раздела фаз. В качестве примера можно указать, что энергии, которые требуются для испарения атомов или молекул из плоской и искривленной поверхностей, могут отличаться друг от друга в десятки раз. Если поверхность вогнута, то энергия испарения будет выше, чем в случае плоской границы. Для выпуклой поверхности энергия испарения оказывается меньшей (см. рис. 1).

Влияние размерной зависимости поверхностного натяжения сильнее всего сказывается в малоразмерных термодинамических системах, ввиду чего ее изучение особенно актуально для развития современных нанотехнологий. На данный момент с уверенностью можно сказать, что теория размерных эффектов составляет самостоятельное (далеко незавершенное) направление в физике межфазных явлений, кото-

Рис. 1. Частица на границе раздела фаз

рое лежит в основе т. н. капиллярных явлении 11-го рода (по терминологии Л. М. Щербакова).

Зависимость поверхностного натяжения для малой сферической капли дается хорошо известной формулой Толмена [14, 15]:

s =

s

1 +

28' R

(1)

где а ' - поверхностное натяжение плоской границы раздела фаз, Я - радиус капли, 8 - неотрицательный параметр, характеризующий толщину межфазной области (длина Толмена). Для границ раздела с произвольной геометрией мы будем использовать обобщение формулы (1) [19]:

s=

s

1 + 8

1 1

VR1

R

2 У

Никаких ограничений относительно радиуса цилиндра в данной задаче нет. Он, однако, не должен быть настолько мал, чтобы макроскопическое описание мениска было уже неприменимо.

Связанная с профилем мениска система координат и принятые обозначения приведены на рис. 2: 5 - длина дуги профиля, отмеряемая от точки касания, ф - угол наклона касательной к профилю мениска с горизонтальной осью х, (х, г) - координаты произвольной точки профиля. В поле силы тяжести условие механического равновесия мениска определяется формулой Лапласа для избыточного давления [1]:

1 1

+

ё R

R

= - р/ -Pv\gz>

(3)

■2 J

(2)

где и Я2 - радиусы кривизны поверхности раздела фаз в главных направлениях. Как легко видеть из (2), а ^ при 8^0.

3. Теоретическая модель

Прежде чем перейти к выводу уравнений, обратим внимание на следующее. Обычно о размерной зависимости поверхностного натяжения принято говорить, когда объемы конденсированной фазы достаточно малы. Влияние же силы тяжести на форму мениска, напротив, существенно проявляется в области больших размеров. Т. е., там, где учитывается размерная зависимость поверхностного натяжения, наличие силы тяжести можно игнорировать, и наоборот. Однако с возрастанием температуры растет толщина межфазного слоя 8. Поэтому зависимость поверхностного натяжения от кривизны поверхности, по-видимому, должна сказываться и в макроскопических системах, например, вблизи критической точки. Во-вторых, в рассуждениях, проведенных ниже, ничто не мешает поле силы тяжести заменить искусственным однородным гравитационным полем с большей напряженностью; в задаче это повлияет только на численное значение всего лишь одного параметра. В любом случае представляет интерес вывести наиболее общие уравнения, которые учитывали бы одновременно и размерную зависимость поверхностного натяжения, и поле силы тяжести.

Рассмотрим развернутый мениск, образованный касанием вертикально расположенного цилиндра свободной поверхности жидкости.

где р;, ру - плотности жидкой и газообразной фаз соответственно, g - ускорение свободного падения. Далее будем иметь ввиду, что величина поверхностного натяжения а непостоянна как считалось раньше, а зависит от средней кривизны поверхности согласно формуле (2). После подстановки (2) в (3) получим:

+ = bz R + R 1 + 8pz'

(4)

где р = |р( - ру £ / - капиллярная постоянная. Если поверхность обладает вращательной симметрией, ее главные кривизны определяются через меридиональное сечение г(х):

1 1

d2 z / dx2

3/2

■ = +

1 + (dz / dx )2

dz / dx ' 2-|1/2 1 + (dz / dx)

Тогда, определившись со знаками, (4) перейдет в уравнение:

Рис. 2. Профиль мениска

d2z / dx2

dz / dx

bz

1 + (dz / dx )2

3/2

1 + (dz / dx )2

1/2

1 + 8pz

(5)

Обычно к уравнению для профиля развернутого мениска добавляются краевые условия вида:

dz dx

=tan (p-j0

= 0,

(6)

где х0 - радиус зоны контакта, т. е. цилиндра, Ф0 - угол наклона касательной в точке х = х0. Первое условие (6) обусловлено смачиванием жидкостью цилиндра, второе - асимптотическим вырождением поверхности мениска в плоскость при удалении от линии соприкосновения.

Главные кривизны поверхности вращения можно записать и по-другому:

dj ds '

1 = sin j

(7)

1 "" "2

Исходя из (7), основное уравнение (4) пере-

пишется так:

dj ds

bz

sin j

1 + 8pz

(8)

С другой стороны, для гладкой плоской кривой справедливы выражения:

dx

dz

= cos j, — = - sin j. ds ds

(9)

(10a)

(10b)

Выписать аналитически общее решение (5) или (10) не представляется возможным, в связи с чем приходится обращаться к численным методам. Наиболее удобная методика численного моделирования профилей развернутых менисков [10] основана на линеаризации уравнения (5). Положим пока 8 = 0. Для больших значений переменной х выполняется неравенство dz / dx ^ 1. Поэтому, если в знаменателе пренебречь бесконечно малыми величинами более высокого порядка, (5) перейдет в уравнение:

d2 г 1 dz а _

¿Г^Г^0' (11)

Решение уравнения (11), обладающее горизонтальной асимптотой, дается выражением:

z(*) = CK0 ((х),

(12)

где С - постоянная интегрирования, К0 (у) - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Функция (12) описывает только «хвост» профиля мениска, а он не особо интересен: z ~ 0. Чтобы найти лежащую в области малых х часть профиля, сначала необходимо при фиксированном С произвольному, но достаточно большому значению х = х", с помощью представления (12) подобрать соответствующие г = г" и угол ф = ф":

j =

tan-1 [TP CK ((л

Комбинируя (8) и (9), окончательно придем к системе уравнений:

dx = (1 + 8pz) x cos j dj pxz + (1 + 8pz )sin j'

dz = (1 + 8pz) x sin j d j pxz + (1 + 8pz) sin j'

Таким образом, равновесные профили развернутого мениска в поле силы тяжести и с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения описываются решениями уравнений (5) или (10). Легко проверить, что в отсутствие размерных эффектов, когда параметр 8 равен нулю, эти уравнения переходят в известные из литературы уравнения [1, 10]. Заметим, что здесь речь идет только об осесимметричных конфигурациях. В отсутствие симметрии математическая сторона вопроса сильно усложняется, и вместо обыкновенных дифференциальных уравнений возникают уравнения в частных производных.

где K1 (y) - модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка. Затем набор чисел ф", x" и z" используется в качестве начальных данных задачи Коши для системы (10). Последняя эффективно решается, например, методами Рунге-Кутты или Адамса.

Однако описанная выше процедура не годится при 8> 0, т. к. уравнение (5) не линеаризуемо прежним образом. В этом случае возьмем за основу систему (10). Проведем в ней замену y = p-ф:

dx (1 + 8pz) x cos y

dy pxz + (1 + 8pz) sin y' dz _ (1 + 8pz) x sin y

(13a)

(13b)

dy pxz + (1 + 8pz) sin y

По свойству развернутого мениска z ^ 0, когда x . Значит, условия к (13) должны быть следующие:

X (y = y о ) = Х0 <+•, z (y = p) = 0.

(14)

Задача (13)-(14) тоже относится к краевым задачам. Но в отличие от (5)-(6) она рассматривается на конечном отрезке уе[у0, л] и ее численное решение методом стрельбы не вызывает никаких трудностей.

Для перехода в системе (13) к безразмерным координатам в качестве характерной величины целесообразно выбирать капиллярную длину 1/ .>Ур . Поделив обе части каждого из уравнений (13) на , получим:

dX = (1 + ) X cos y dy XZ + (1 + Z" ) sin y'

dZ = (1 + Z") X sin y dy XZ + (1 + Z" ) sin y'

X (y = y о ) = X 0,Z (y = p) = 0.

(15a)

(15b)

(16)

где X = у[рх, Z = ^Jрz и " = Л/р8 . На рис. 3 проиллюстрированы типичные решения задачи

(15)-(16). Результаты трехмерного моделирования поверхности развернутого мениска можно видеть на рис. 4.

Выше было отмечено, что задача о равновесной форме капиллярной поверхности не разрешима аналитически. Сказывается сложная нелинейность уравнения Лапласа. Иногда, все же, удается упросить характер нелинейности и выписать разного рода точные формулы или аналитические приближения к теоретическому профилю. Например, в отсутствие внешних силовых полей капиллярная поверхность превращается в поверхность с постоянной средней кривизной. Лежащая (висящая) капля принимает сферическую форму, поверхность мостика - форму катеноида. Аналогично, если в уравнении равновесия (5) для развернутого мениска пренебрегать вкладом силы тяжести, положив р = 0, точным решением будет:

z(х) = C ± C2ln ( + Jx

2 — Г2 C2

(17)

Рис. 3. Безразмерные профили мениска при X = 2, y0 = 30° и разных A: a = 0, b = 0.4, c = 1

Рис. 4. 3D модель мениска

где Cx 2 - постоянные. В (17), однако, значение постоянной C2 должно равняться нулю, иначе функция z (x) окажется неограниченной. В итоге поверхность мениска вырождается в плоскость z = 0. Данное тривиальное решение, очевидно, физического интереса не имеет. Вообще, в отличие от других основных типов менисков образование развернутого мениска в условиях полной невесомости принципиально невозможно - без воздействия силового поля жидкость ограниченного объема собирается в шар, и удовлетворить второе краевое условие (6) невозможно.

Более важным частным случаем являются двумерные (цилиндрические) мениски, у которых азимутальная кривизна 1 / R2 в каждой точке равняется нулю: sin j / x ~ 0. Для развернутого мениска это приводит к соотношению между координатой z и углом j:

z ln (1 + 8pz)

= 1 - cos j.

(18)

8 р82

Выразить из него г элементарным образом при положительных 8 по-прежнему не удается. Приходится решать нелинейное уравнение, но оно уже скалярное, а не дифференциальное. Протабулировав с помощью (18) функцию г (ф) в некотором диапазоне изменения угла ф, соответствующие значения х легко вычислить из определения производной.

Если параметр 8 устремить к нулю, левая часть равенства (18) устремится к рг2 / 2. Тогда из (10) и (18) получаются известные из литературы точные выражения для х и г [1]:

г = -^тф, х = С —^Г 1^апф + 2^ф, (19)

# 2' ^ 4 2/

где константа С определяется условием х(ф0 ) = х0. Из (19) следует, что максимально возможная высота г0 развернутого мениска составляет 2/^/р , причем в независимости от величины х0. У трехмерных менисков максимальная высота, как правило, увеличивается при увеличении радиуса контактной линии.

С другой стороны, хотя из соотношения (18) г не удается выразить аналитически, оно позволяет проанализировать характер зависимости максимальной высоты мениска г0 от параметров р и 8. Подставим ф = я в (18):

Zo ln (1 + 8pzo ) = 2

8 p52 - (20) Воспользовавшись теоремой о дифференци-

руемости неявной функции, из неявного уравнения (20) найдем:

^ < о, ^ > о, йр й8

т. е. увеличение 8 сопровождается увеличением г0, а увеличение р - уменьшением. Заметим, что и с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения максимальная высота г0 мениска не зависит от х0 . Не зависит от длины Толмена 8 также и поведение г0 при изменении капиллярной постоянной р .

4. Заключение

Равновесная поверхность развернутого капиллярного мениска в однородном гравитационном поле описывается решениями нелинейных дифференциальных уравнений и их систем. Учет размерной зависимости поверхностного натяжения приводит в уравнениях к появлению дополнительных членов, еще больше усложняющих характер нелинейности. Выписать их точные решения в общем виде невозможно. Поэтому для расчета профилей менисков необходимо использовать численные методы. Из-за специфических краевых условий применение многих численных приемов также ограничено. Наиболее практичная методика численного моделирования профилей развернутых менисков, основанная на линеаризации уравнения Лапласа, неприменима в присутствии параметра, отвечающего за размерную зависимость. Таким образом, остается иметь дело только с краевыми задачами. Однако при должном выборе переменной параметризации дуги профиля мениска область, где ищется решение, получается свести к ограниченному отрезку вместо бесконечной полуоси. Далее становятся доступными хорошо известные численные методы, например, метод пристрелки.

В настоящей работе проведены вычислительные эксперименты, целью которых являлось выявление степени и характера влияния параметров математической модели мениска на его равновесную форму. Из анализа их результатов, в частности, следует, что размерная зависимость поверхностного натяжения способна приводить к существенному искажению формы мениска.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет известных финансовых конфликтов интересов или личных отношений, которые могли бы повлиять на работу, представленную в этой статье.

А. А. Сокуров Равновесная форма поверхности развернутого капиллярного мениска

Список литературы

1. Русанов А. И., Прохоров В. А. Межфазная тензиометрия. СПб.: Химия; 1994. 400 с.

2. Rapacchietta A. V., Neumann A. W., Omenyi S. N. Force and free-energy analyses of small particles at fluid interfaces: I. Cylinders. Journal of Colloid and Interface Science. 1977;59(3): 541-554. https://doi. org/10.1016/0021-9797(77)90050-9

3. Ivanov I. B., Kralchevsky P. A., Nikolov A. D. Film and line tension effects on the attachment of particles to an interface: I. Conditions for mechanical equilibrium of fluid and solid particles at a fluid interface. Journal of Colloid and Interface Science. 1986;112(1): 9 7- 107. https://doi.org/10.1016/0021-9797(86)90072-X

4. Bozon A., Fries L., Kammerhofer J., Forny L., Niederreiter G., Palzer S., Salman A. Effect of heterogeneous hydrophobic coating on floating of insoluble particles. Powder Technology. 2022;395: 592-603. https://doi.org/10.1016Zj.powtec.2021.10.015

5. Feng D., Nguyen A. Contact angle variation on single floating spheres and its impact on the stability analysis of floating particles. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2017;520: 442-447. https://doi.org/10.1016/j.colsur-fa.2017.01.057

6. Klochko L., Mandrolko V., Castanet G., Pernot G., Lemoine F., Termentzidis K., Lacroix D., Isaiev M. Molecular dynamics simulation of thermal transport across solid/liquid interface created by meniscus. arXiv. 2021; https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.11609

7. Ward T. Evaporation driven detachment of a liquid bridge from a syringe needle in repose. Physics of Fluids. 2020;32: 084105. https://doi. org/10.1063/5.0016257

8. Lee J. The static profile for a floating particle. Colloids and Interfaces. 2018;2(2): https://doi. org/10.3390/colloids2020018

9. Huh C., Mason S. G. The flotation of axisymmet-ric particles at horizontal liquid interfaces. Journal of Colloid and Interface Science. 1974;47(2): 271-289. https://doi.org/10.1016/0021-9797(74)90259-8

10. Huh C., Scriven L. E. Shapes of axisymmetric fluid interfaces of unbounded extent. Journal of Colloid and Interface Science. 1969;30(3): 323-337. https://doi. org/10.1016/0021-9797(69)90399-3

11. O'brien S. B. G. The meniscus near a small sphere and its relationship to line pinning of contact

lines. Journal of Colloid and Interface Science. 1996;183(1): 51-56. https://doi.org/10.1006/ jcis.1996.0517

12. Lo L. The meniscus on a needle - a lesson in matching. Journal of Fluid Mechanics. 1983;132: 65-78. https://doi.org/10.1017/S0022112083001470

13. Hyde A., Phan C., Ingram G. Determining liquid-liquid interfacial tension from a submerged meniscus. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2014;459: 267-273. https://doi. org/10.1016/j.colsurfa.2014.07.016

14. Русанов А. И. Фазовые равновесия и поверхностные явления. Л.: Химия; 1967. 388 c.

15. Tolman R. C. The effect of droplet size on surface tension. The Journal of Chemical Physics. 1949;17: 333-337. https://doi.org/10.1063/1.1747247

16. Рехвиашвили С. Ш., Киштикова Е. В. О размерной зависимости поверхностного натяжения. Журнал технической физики. 2011;81(1): 148-152. Режим доступа: http://journals.ioffe.ru/articles/ viewPDF/10213

17. Рехвиашвили C. Ш. Размерная зависимость поверхностного натяжения малой капли в предположении постоянства длины Толмена: критический анализ. Коллоидный журнал. 2020;82(3): 386390. https://doi.org/10.31857/s0023291220030088

18. Burian S., Isaiev M., Termentzidis K., Sysoev V., Bulavin L. Size dependence of the surface tension of a free surface of an isotropic fluid. Physical Review E. 2017;95(6): 062801. https://doi.org/10.1103/ physreve.95.062801

19. Сокуров А. А., Рехвиашвили C. Ш. Моделирование равновесных капиллярных поверхностей с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения. Конденсированные среды и межфазные границы. 2013;15(2):173-178. Режим доступа: http:// www.kcmf.vsu.ru/resources/t_15_2_2013_014.pdf

Информация об авторе

Сокуров Аслан Артурович, к. ф.-м. н., м. н. с. отдела теоретической и математической физики, Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» (Нальчик, Российская Федерация).

https://orcid.org/0000-0001-9886-3602

asokuroff@gmail.com

Поступила в редакцию 05.07.2022; одобрена после рецензирования 15.07.2022; принята к публикации 15.09.2022; опубликована онлайн 25.03.2023.