CC BY
13
УДК 519.837.4, 517.997.8
А.А. Васин1, А.А. Шарикова2
РАВНОВЕСИЯ ДВУХЭТАПНОГО РЫНКА СО СЛУЧАЙНЫМ ИСХОДОМ НА СПОТОВОМ РЫНКЕ*
Проблема повышения эффективности рынков однородных товаров (электроэнергии, газа и других ресурсов) представляет значительный интерес. Один из возможных путей снижения "рыночной власти" компаний — это введение возможности заключения форвардных контрактов. На примере симметричной олигополии рассматривается модель функционирования спотового и форвардного рынков, организованных как аукционы Курно. Производители стремятся максимизировать свою прибыль, используя стратегии, соответствующие совершенному подыгровому равновесию (СПР) рассматриваемой двухэтапной игры. Выяснены условия существования равновесия для коррелированных смешанных стратегий: в зависимости от случайного фактора на спотовом рынке реализуется "рынок быков" или "рынок медведей". Найдены оптимальные стратегии рациональных потребителей в зависимости от резервной цены и параметра, характеризующего избегание риска. Проведено сравнение СПР с равновесиями по Нэшу для одноэтапных моделей.
Ключевые слова: форвардный рынок, аукцион Курно, арбитражеры, равновесие.
1. Введение. В данной статье мы продолжаем исследование математических моделей форвардного рынка однородного товара. Тема является актуальной, поскольку в литературе форвардный рынок изучается как один из важнейших механизмов снижения рыночной власти компаний, а также как стабилизатор функционирования отрасли. В качестве структуры рынка рассмотрим симметричную олигополию. Такая ситуация представляет интерес, поскольку для электроэнергии и других ресурсов характерна значительная концентрация производства, в то же время потребители зачастую не имеют рыночной власти. (Обсуждение соответствующих данных см. в [1].) Другое важное предположение — наличие на рынке арбитражеров и связанное с этим равенство цен на спотовом и форвардном рынках. В работах [2-5] выяснялись равновесные стратегии участников рынка, соотношение цен на форвард-
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: vasinQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: agatha.sharikovaQubs.com
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-01-00249.
ном и спотовом рынках с ценой конкурентного равновесия и ценой равновесия по Курно. Для нашего исследования наиболее интересным является результат, полученный Дж. Бушнеллом [2]. Он рассмотрел двухкратный аукцион Курно при постоянных предельных издержках и показал, что возможность заключения форвардных контрактов снижает рыночную власть производителей так же, как увеличение числа производителей на рынке с п до п2. Анализ аукциона Курно представляет интерес с точки зрения исследования аукциона единой цены, являющегося самым распространенным способом организации спот-рынка электроэнергии. В работе [6] показано, что в общих предположениях устойчивым равновесиям Нэша игровой модели аукциона единой цены соответствует исход, являющийся равновесием по Курно. Отметим следующие проблемы, связанные с вышеупомянутыми исследованиями.
1. Фактическая динамика цен на рынках электроэнергии не соответствует гипотезе Бушнелла о равенстве цен на спотовом и форвардном рынках (см. [2]). Обычно цена на спотовом рынке несколько ниже, но иногда происходят скачки, при которых спотовая цена значительно превосходит цену на форвардном рынке.
2. В модели Бушнелла заложено предположение о приоритете потребителей с высокими резервными ценами при покупке товара на форвардном рынке. Это допущение выглядит странным, особенно в условиях равенства цен на спотовом и форвардном рынках. Трудно предположить возможность такого распределения потребителей, за исключением специального рационирования, которого нет на реальных рынках. В то же время в отсутствие этого допущения равновесия в упомянутой модели не существует.
В нашей предыдущей работе [5] мы отклонились от последнего предположения и рассмотрели пропорциональное правило распределения покупателей между рынками, которое кажется естественным при равенстве цен на спотовом и на форвардном рынках: р8 = р?. Согласно этому правилу, любой потребитель с резервной ценой г > р? с равной вероятностью, не зависящей от г, покупает товар на форвардном рынке, а производители с более низкими резервными ценами (г < р?) товар не покупают. Таким образом, в условиях пропорционального правила рационирования функция остаточного спроса на спотовом рынке имеет вид Брг(р, ) = тах{0, -С(р)^д^) прир ^ р^, Врг(р,д?) = при р > р?, где -С(р) — исходная функция спроса на форвардном рынке, — объем проданного товара на форвардном рынке. Оказалось, что равновесия в чистых стратегиях в такой модели не существует. Для модели с пропорциональным правилом рационирования нами были найдены равновесия в коррелированных смешанных стратегиях, которые неплохо согласуются с упомянутыми статистическими данными по соотношению цен на спотовых и форвардных рынках. Обычно такую динамику цен объясняют наличием случайных внешних факторов. Наша модель показала, что внешние факторы не обязательно являются основной причиной. Для указанной функции остаточного спроса в игре, описывающей спотовый рынок, существуют два локальных равновесия. Первое из этих равновесий (с низкой ценой) соответствует области крутого наклона функции остаточного спроса (р ^ р?, "рынок медведей"). Второе равновесие (с высокой ценой) соответствует области пологого наклона функции остаточного спроса (р > р?, "рынок быков"). В совершенном подыгровом равновесии в коррелированных смешанных стратегиях на спотовых торгах чаще реализуется "рынок медведей" с более низкими ценами, реже — "рынок быков" с более высокими ценами, форвардная цена равна математическому ожиданию спотовой цены. Однако в условиях случайной цены на спотовом рынке поведение потребителей, соответствующее пропорциональному правилу распределения, оказывается нерациональным с учетом их отношения к риску. В частности, потребителям с резервными ценами, близкими к р?, невыгодно покупать товар на форвардном рынке, т. е. такой характер потребления возможен только в условиях специального рационирования. В настоящей статье рассматривается модель двухэтапного рынка со случайной ценой на спотовом рынке. Предполагается существование на рынке риск-нейтральных арбитражеров, поэтому цена р? равна математическому ожиданию р8. В п. 2 описана стратегическая модель взаимодействия производителей, арбитражеров и потребителей, найдены оптимальные стратегии рациональных потребителей в зависимости от резервной цены и параметра, характеризующего избегание риска. В п. 3 исследуются свойства совершенных подыгровых равновесий (СПР) для данной модели в предположении, что доля риск-предпочитающих потребителей с высокими резервными ценами является постоянной. Доказано, что если доля риск-предпочитающих потребителей достаточно мала, то СПР существует. При этом оно обладает теми же свойствами, что и СПР в модели с пропорциональным правилом рационирования: обычно реализуется "рынок медведей", редко — "рынок быков", отклонение равновесной форвардной цены от цены конкурентного равновесия практически такое же, как в модели Бушнелла [2].
2. Стратегическая модель взаимодействия производителей и потребителей на рынке.
Пусть имеется конечное множество фирм-производителей А. Каждая фирма характеризуется функцией полных издержек Ca(q), а € А. Будем предполагать, что потребители мелкие, каждый из них характеризуется резервной ценой г5 и покупает единицу товара. Функция спроса на рынке имеет вид
Рм
D(p) = J p{r) dr, p
где p(r) — плотность распределения потребителей по резервным ценам. Подразумевается существование на рынке еще одного типа агентов — арбитражеров. Они могут продавать форвардные контракты и покупать товар на спотовом рынке для их выполнения или осуществлять обратную операцию. (Все контракты предполагаются стандартными, на единицу товара.) Важной характеристикой арбитражеров является их риск-нейтральность: в ситуации, когда исход случаен (в нашей модели — цена на спотовом рынке случайна), их интересует математическое ожидание прибыли. Взаимодействие между агентами происходит следующим образом. На первом шаге фирмы назначают объемы qf, а € А, предложения на форвардном рынке,
а£А
На втором шаге потребители решают, будут ли они участвовать в торгах на форвардном рынке. Участник торгов b подает заявку, в которой указывает свою резервную цену. Это означает, что он готов купить товар на форвардном рынке, если цена не превысит его резервной цены г&. В данной постановке потребитель не манипулирует своей резервной ценой. Потребители, которые решили покупать товар на форвардном рынке, формируют функцию спроса для форвардного рынка Df(p). Цена рf на форвардном рынке определяется из соотношения qf = D? (pf). На третьем шаге происходит аукцион Курно на спотовом рынке, фирмы выбирают объемы д® предложения и определяется ценар*:
а£А
где Ds(p) — функция остаточного спроса, Ds(p) = D(p) при р < pf, Ds(p) = D(p) — D^(p) при p ^ pf, поскольку все потребители, которые хотели купить товар на форвардном рынке и у которых резервная цена Г5 выше цены pf, покупают товар на форвардном рынке. Рассмотрим совершенные поды-гровые равновесия в этой модели. Остановимся сначала на случае, рассмотренном Бушнеллом. В его модели рассматривается симметричная олигополия с п производителями. Предполагается, что предельные издержки выпуска у всех производителей одинаковы и равны с, а функция спроса линейная: D(p) = max{D — dp, 0}. Цена pf на форвардном рынке совпадает с ценой ps на спотовом рынке. Пусть по форвардной цене pf продается объем товара qf, причем этот объем раскупается потребителями с максимальными резервными ценами г5. Тогда остаточный спрос на спотовом рынке задается функцией
Ds(p\qf) = D(p) - qf,
которая получается сдвигом вниз исходной функции спроса на объем q}. Равновесные (по Нэшу) объемы выпуска и цена ps аукциона Курно на спотовом рынке определяются из условий первого порядка: nqf = nd(p — с) = D — dp — qf => ps = (D + ndc — qf)/d/(n + 1) = pf. Отсюда суммарная прибыль производителя по итогам двухэтапных торгов выражается как функция от qf, а € А: ira(qf) = к¿(qf) + <(g/), где ^т¿ = qf(pf(qf) - с), <(g/) = d(pf(qf) - с) . Заметим, что записанная функция прибыли — это парабола по д{ ветвями вниз. Таким образом, условие первого порядка задает условие глобального максимума. В силу симметрии задачи у всех производителей получаются одинаковые равновесные объемы qf = nqf = (п — 1 )п(п + l)dA*/(n2 + 1), равновесная цена pf =р*(п + \)/(п2 + 1) + с(п — 1 )п/(п2 + 1), где р* — цена в равновесии Нэша для классической модели олигополии Курно для данного рынка, р* = (D + ndc)/d/(n + 1), А* /У - с (D - dc)/d/(n + 1). Выше предполагалось, что, принимая решения, игроки точно прогнозируют ситуацию на спотовом рынке. Однако торговля на форвардном рынке проходит за значительный срок до торгов на спотовом рынке. За это время происходят случайные события, влияющие на соотношение спроса и предложения. Отразим эту зависимость в модели. Пусть на спотовом рынке могут реализоваться две цены: с вероятностью w реализуется цена р\, а с вероятностью 1-го реализуется цена рг > Pi- Так как мы предполагаем наличие арбитражеров, то в равновесии должно выполнятся равенство ожидаемых цен на спотовом и форвардном рынках: pf = wpi + (1 — w)p2- Что можно сказать в этом случае про
принятие решений потребителями относительно выбора рынка? Будем считать, что при отказе от покупки товара на рынке потребитель получает нулевую полезность. Предположим, что в случае покупки функция полезности каждого потребителя b характеризуется, помимо резервной цены гь, параметром Аъ-> показывающим степень избегания риска потребителем, Аъ Е [Amin, Amax], Amin < 0 < Amax. Полезность монотонно зависит от разности А резервной цены гь и цены покупки р: Щ = £/(Д, А&) монотонно возрастает по А, причем [7(0, Хь) = О VA&. У риск-нейтральных потребителей Аь = О, функция является линейной. У риск-избегаюгцих потребителей Хь > 0, функция является вогнутой. У риск-предпочитаюгцих потребителей Хь < 0, функция является выпуклой. С увеличением А возрастает степень избегания риска потребителями (возрастает степень вогнутости функции):
1пг7(А,А)дЛ ^ 0. (1)
Пусть А = Атах — предельное значение избегания риска. Ему соответствует функция полезности вида U(А, А) = 1 VA > 0. Опишем поведение рациональных потребителей в зависимости от резервной цены и параметра отношения к риску.
Утверждение 1. 1. Потребители с резервными ценами гь < р^ покупают товар только на спотовом рынке, если на нем реализуется низкая цена pi < гь. Точно так же ведут себя риск-нейтральные и риск-предпочитающие потребители с < гь < Р2-
2. Для риск-избегающих потребителей с р? < гь < Р2 существует пороговое значение X(г), такое, что потребители с Хь > X(г) предпочитают покупку на форвардном рынке, а потребители с Хь < X(г) ведут себя, как указано в условии 1, причем X(г) монотонно убывает по г в этом интервале от Атах до 0.
3. Для риск-предпочитающих потребителей с гь > Р2 оптимальной является покупка товара на спотовом рынке по любой реализующейся цене. Для риск-избегающих потребителей с гь > Р2 оптимальной является покупка товара на форвардном рынке.
^min I_I_I
Рис. 1. Распределение потребителей между форвардным и спотовым рынком
Доказательство. Рассмотрим распределение потребителей между форвардным и спотовым рынком (рис. 1). Потребители с резервными ценами гь < р^ не будут покупать товар на форвардном рынке, а также на спотовом рынке при реализации высокой цены р2. Потребители с pf < гь < Р2, очевидно, не будут покупать товар на спотовом рынке по высокой цене р2- Для риск-нейтральных и риск-предпочитающих агентов с р$ < гь < Р2ч сравнивая полезность покупки товара на форвардном рынке с ожидаемой полезностью при указанной стратегии покупки товара на спотовом рынке, получим wU(rb —pi,0) = и(гь — wpi — (1 — ъи)гъ, 0) > 11(гь —wpi — (1 — w)p2, 0) = 11(гь —pf,0). Сравним теперь ожидаемые полезности, получаемые покупателями с pf < гь < Р2 при покупке товара на форвардном рынке и при покупке товара на спотовом рынке по низкой цене р±. У риск-нейтральных потребителей (А = 0) функция полезности линейна и с точностью до множителя равна г—р. Для потребителей этого типа U(г — pf, 0)/w/U(r — 0) = (г — pf)/(wr — wpi) = (w(r — p±) + (1 — w)(r — p2))/w/(r — Pi) = = 1 + (1 — w)(r — P2)/w/(r — pi) < 1 на рассматриваемом интервале резервных цен. При А = Атах U(r — р, А) = 1. Отсюда U(r — р?, Amax)/t¿;/?7(r — Amax) = l/w > 1 Уги С (0,1). Покажем теперь, что величина U(r — p^X)/U(г — Pi,X) монотонно возрастает с увеличением параметра А. Обозначим Д^ = г — pf, А1 = г — pi и рассмотрим величину
А1
1п([/(Д/, А)/[/(Д, А)) = 1п(!7(Д/, А)) - ln(U(A\ А)) = - J UA(Д, А)/[7(Д, A) dA.
А/
Из (1) производная по А подынтегральной функции неположительна. Таким образом, функция непрерывна и монотонна по Л. По теореме о промежуточном значении для риск-избегающих потребителей с р? < Г5 < р2 существует пороговое значение А (г) € [0, Атах], такое, что II (г — р^,Х(г)) = = т11{г —р1, X (г)). Потребители с Л& > А (г) предпочтут покупку на форвардном рынке, а потребители с Хь < X (г) предпочтут покупку на спотовом рынке. Покажем теперь, что А (г) монотонно убывает.
Эта величина определяется из уравнения -Р(г, А) 11(А?,Х) — и)11(А1, Л) = 0. По теореме о неявно заданной функции найдем
дХ/дг = -(дР(г,Х)/дг)/(дР(г,Х)/дХ) = ^'шиА(А\Х))/(и'х(А?,Х) - «^(Д1, А)).
При Л = А(г) определим сначала знак знаменателя:
в[%п(и'х(А^Х) - п,и'х{А1, Л)) = 8щп{и'х{А^Х)/и{А^Х) - и'х{А\Х)/11{А\Х)) =
д1
= 8щп{{Ыи{А^Х))х' ^{Ыи{А\Х))'х) = 8щп^ ^ (Ыи(А, Х))'ХАёА^ =+1
д/
из (1). Для определения знака числителя воспользуемся тем, что при фиксированном Л функция полезности возрастает по А и, кроме того, для риск-избегающих потребителей II вогнута. Отсюда ¿7д(Д^,А) > го£/д( А1, Л). Таким образом, дХ/дг < 0 и функция А (г) убывает. Для риск-предпочитающих агентов с г> Р2, пользуясь свойством выпуклости соответствующей функции полезности, получим II(г& — р?) = II(ио(гь — р\) + (1 — ио)(гь — Р2)) < 'ш11 (гь — р\) + (1 — 'ш)17(г& — р2)- Для риск-избегающих потребителей с г^ > р2 из вогнутости функции полезности следует противоположное неравенство.
3. Поиск СПР. Пусть распределение потребителей по резервной цене и параметру избегания риска Л задается функцией плотности р(г, А), интегрируемой на множестве (0, гтах) ® (Атт, Лтах). Исходя из утверждения 1 функция остаточного спроса на спотовом рынке имеет вид
А(г)
Р Ащт
Ниже будем считать, что доля риск-предпочитающих агентов постоянна и равна а, т. е.
о
J р(г, Л) йХ = а,
а функция спроса имеет вид 1?(р) = тах{^(гтах —р), 0}, где гтах = Б/й (потребители не покупают товар по цене, большей гтах). Пусть количество товара, проданного на форвардном рынке, равно дА Найдем вид функции остаточного спроса на спотовом рынке в этом случае. При цене р8 < р? купить товар на спотовом рынке захотят потребители с г^ > р8, не купившие товар на форвардном рынке. Так как Р^ ^ Р\-, все потребители, купившие товар на форвардном рынке, имеют резервные цены > р8. Таким образом, прир® < р? спрос на спотовом рынке имеет вид Б8{р\р < р?) = = с1(ггпах—р)—Я^-Рассмотрим теперь интервал цен р: р$ < р < р2. Согласно утверждению 1, для г ^ р? на спотовом рынке товар будут покупать потребители с параметром Л ^ Л (г). Спрос на спотовом рынке в этом случае равен
Р Ат1п
и на рассматриваемом промежутке представляет собой гладкую функцию. Рассмотрим р > р2. Из утверждения 1 следует, что при г5 > р2 только риск-избегающие потребители покупают товар на
форвардном рынке, остальные потребители покупают товар на спотовом рынке. Учитывая, что доля риск-предпочитающих агентов с гь > Р2 постоянна и равна су, получим
А(г)
J p(r, A) dX = a J p(r, A) dX
Amin
Amin
и ВБ(р\р > р2) = тах{<хО(р), 0} = тах{ай(гтах — р), 0}. Таким образом, остаточный спрос в равновесии на спотовом рынке выглядит, как показано на рис. 2.
Рис. 2. Функция остаточного спроса на спотовом рынке: 1 — <Р*) = ^(гтах - р) - qf; 2 —
гладкий переход; 5 — Р)8(р\р > Р2) = А^(гтах—р)
Займемся поиском равновесных стратегий производителей и соответствующих значений цен р\, Р2•) р^ и объемов выпусков. Стратегия фирмы а £ А задается набором , qsa1, qsa2), определяющим продаваемые объемы товара на форвардном рынке и на спотовом рынке при реализации первого и второго значения случайного фактора соответственно.
Утверждение 2. Если в данной модели существует СПР в коррелированных смешанных стратегиях,, то равновесные цены р\, и соответствующие объемы выпуска qSl, qS2 удовлетворяют следующим соотношениям:
if
<f 1 = nd{p1 - с) = nd А* -
Pi=P -d(n + 1)
d(n + 1)'
= nadA* < qs\
(2) (3)
Эти результаты следуют из необходимого условия существования равновесия Курно, найденного в [4]. Соответственно цена на форвардном рынке равна рf = wpi + (1 — w)p2 = р* — wqf /d/(n + 1), w E [0,1]. Для расчета всех характеристик равновесия осталось определить равновесное значение объема форвардных продаж. Эту величину найдем из условия равновесия на форвардном рынке с учетом того, что зависимость стратегии игроков на спотовом рынке от qf уже известна и определена выше. Суммарная прибыль производителя а равна тга = тт[ + wn^1 + (1 — w)7г^2, где тг[ = q[(pf — с) = = nd(pf - с)2 = д/(Д* - wqf/d/in + 1)), С = CiPl -с) = d(p! - с)2 = d( Д* - qf/d/(n + I))2, па2 = Я.а2{Р2 — с) = ad(A*)2. В равновесии прибыль каждого игрока достигает максимума по q( Соответствующее условие первого порядка принимает вид
/
дтга dql
= Ар 1 -
wq
/
2 w
n + lj d(n + l)
1+1—ц
п п + 1
= 0.
(4)
Утверждение 3. В рассматриваемой двухэтапной модели существование СПР в смешанных коррелированных стратегиях возможно лишь при ги Е [ги\{п, а), У02(п, а)]. При а ^ 0.5 СПР в модели не существует ни при каких значениях п. Для любого ги из данного интервала характеристики СПР определяются согласно (2) и (3), причем равновесный объем форвардных продаж равен ^ = ndA\n+l)(n+l-2w)/w/{n2+ 1).
Доказательство. В табл. 1 указаны нижние границы ^(п, а) и верхние границы и)2(п,а) допустимого интервала для параметра ю. Решая (4) относительно qf, получим указанное выражение для qf. Так как qf = то ql = ¿Д*(п+ 1)(п + 1 — 2т)/т/(п2 + 1). Остальные характеристики СПР
Табл и ца 1
Нижние и верхние границы допустимого интервала для параметра -ш
а 0 0.1 0.2 0.3 0.4
п VII №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2
2 0.667 0.667 0.74 0.772 0.81 0.837 0.874 0.9 0.944 0.963
3 0.75 0.75 0.828 0.864 0.909 0.941 0.987 1 — —
4 0.8 0.8 0.88 0.917 0.968 1 — — — —
5 0.833 0.833 0.92 0.94
6 0.857 0.857 0.948 0.976
7 0.875 0.875 0.966 0.995
8 0.889 0.889 0.984 1
9 0.9 0.9 0.99 1
10 0.909 0.909
следующие: р\ = р* — пА*(п + 1 — 2'ш)/'ш/{п2 + 1), р2 = р*, р? = р* — пА*(п + 1 — 2го)/(тг2 + 1), дЯ1 = п(1 Д*(1 — п(п + 1 — 2'ш)/'ш/{п2 + 1)), = апйА*. Заметим, что должны быть выполнены условия неотрицательности найденных параметров СПР: д{ ^ 0 п + 1 — 2го ^ 0. Отсюда го ^ (тг + 1)/2, что, очевидно, выполнено для любых целых п ^ 2. Кроме того, должно быть р\ > с, откуда 1 > п(п + 1 — 2'ш)/'ш/{п2 + 1) го > п/(п + 1). На спотовом рынке с указанной функцией остаточного спроса для производителя может оказаться выгодным отклонение от найденных локально-равновесных стратегий и изменение объема производства таким образом, что новая цена будет отвечать участку функции спроса с другим угловым коэффициентом. Поэтому найденные равновесия могут оказаться локальными, но не глобальными. Ниже мы исследуем оба локальных равновесия на устойчивость к большим отклонениям.
4. Исследование устойчивости локального равновесия. В случае локального равновесия, соответствующего цене р\ на спотовом рынке, для производителя а может оказаться выгодным отклонение от найденной нами выше стратегии — объема д®1 — при фиксированных стратегиях остальных игроков. Он может начать сокращать свой объем, тем самым увеличивая равновесную цену. Для линейной функции спроса необходимое условие равновесия является достаточным. Поэтому сокращение объема предложения данного игрока, недостаточное для того, чтобы новая цена превзошла форвардную цену, не позволит производителю увеличить свою прибыль. Но на правом участке функции спроса сокращение объема приводит к более значительному увеличению цены. Сравнивая ожидаемые выигрыши в случае применения локально-равновесной стратегии и в случае вышеописанного отклонения, можно уточнить условия существования равновесия в рассматриваемой модели. Прибыль производителя в случае использования найденной локально-равновесной стратегии составит 711 = 9а1 (Р1 ~ с) = — с)2, так как д®1 = й{р\ — с). Рассмотрим нижнюю оценку функции остаточного спроса: Г)(р) = айф/й — р) при р > р?. В случае вышеописанного отклонения новый локальный максимум прибыли соответствует значению = \Б8 (р)\(р1е™ — с) = — с), где находится из равенства (п — + ^а^ = осйф/й — Ожидаемый выигрыш в данной ситуации равен Я7/ = Яа™{рТ™ — с) = — с)2. Отсюда условие устойчивости равновесия имеет вид
(1(р 1 - с)2 > ай{р\™ - с)2 & (р! ^с)2 > а((3- йс)/й- (п - 1)(р1 -с)/2/в))3/4^
(рг - с) (2-х/а + П—1) > аф- (п- 1 + 2-х/а)(1 - (п2 + п - 2и)п)/и)/(п2 + 1)) + а(тг + 1) > 0.
Локальное равновесие с низкой ценой является равновесием в рассматриваемой модели, если т € € (и>1(п, а), 1), где го^тг, а) — величина, обращающая последнее неравенство в равенство. Приблизительные значения 101(71,0:) с точностью до трех тысячных для п = 2,..., 10 приведены в табл. 1. Заметим, что при интересующих нас значениях параметра а ограничение т > т\(п, а) является более сильным, чем ограничение го > п/(п + 1).
Исследование устойчивости локального равновесия по Нэшу в случае реализации высокой цены на спотовом рынке проводится аналогично вышеизложенному: нужно рассмотреть ситуацию, когда при фиксированных стратегиях остальных игроков производитель а увеличивает объем своего предложения столь существенно, что цена резко уменьшается и имеет место переход на крутой участок функ-
ции остаточного спроса. Сравнивая ожидаемые выигрыши игрока а в локальном равновесии и в случае вышеописанного отклонения, можно найти условия существования равновесия в рассматриваемой модели. Выведем необходимое условие, рассматривая нижнюю аппроксимацию остаточного спроса £)(р) = -С(р) — Я^ ■ Новый локальный максимум достигается при = \Б8 — с) = — с),
где находится из равенства суммарного предложения на спотовом рынке суммарному спросу на спотовом рынке: (п — ^)Яь\фа + яТ^ = -С* — Фге№ — Я^ ■ Соответствующая прибыль равна Ж] = = Яа™(Р2™ ~ с) = — с)2; а прибыль в локальном равновесии равна ттц = ай{р* — с)2. Отсюда
локальное равновесие будет равновесием в рассматриваемой модели только тогда, когда выполнено неравенство
Ж11 а(1(р* - с)2 > <Цр%™ - с)2
4Ф- а(р* ^с)2 > (р* - с)2(п^ 1 ^п(п+ 1)(п + 1 - 2ад)/ад/(п2 + 1) - а(п ^ 1))2/4^
а > (п + 1 - а(п - 1) - п(п + 1)(п + 1 - 2го)/го/(п2 + I))2/4-
Это неравенство определяет верхнюю границу «^(и, а) интервала допустимых значений ш € € (0, г«2(п,а)), при которых существует равновесие Нэша в рассматриваемой модели. Пересечение полученных допустимых интервалов для конкретных п и а дает интервал (го1 (п,а),Ю2(п,а)) значений параметров модели, при которых рассматриваемые локальные равновесия образуют СПР для двухэтапной модели (табл. 1). В табл. 2 указано отношение отклонения равновесных цен от издержек в исследуемой модели к аналогичному отклонению для классической олигополии по Курно ((р^(ад) — с)/(р* — с)), причем для каждой пары (п, а) берутся нижняя и верхняя границы допустимого интервала для го. Видно, что возможность заключения форвардных контрактов значительно снижает рыночную власть производителей. В табл. 3 показаны соответствующие увеличения суммарного объема продаж в двухэтапной модели по сравнению с одноэтапной моделью.
Табл и ца 2
Сокращение отклонения рыночной цены от цены Вальраеа
а 0 0.1 0.2 0.3 0.4
п VII №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2
2 0.334 0.334 0.392 0.418 0.448 0.47 0.499 0.52 0.555 0.57
3 0.25 0.25 0.297 0.318 0.345 0.365 0.392 0.4 — —
4 0.2 0.2 0.238 0.255 0.279 0.294 — — — —
5 0.167 0.167 0.2 0.208
6 0.143 0.143 0.172 0.181
7 0.12 0.12 0.15 0.159
8 0.111 0.111 0.135 0.138
9 0.1 0.1 0.12 0.122
10 0.091 0.091
Табл и ца 3
Коэффициент увеличения равновесного объема выпуска
а 0 0.1 0.2 0.3 0.4
п ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2 ■Ш1 №2
2 1.499 1.499 1.344 1.39 1.29 1.318 1.25 1.27 1.217 1.228
3 1.333 1.333 1.248 1.274 1.218 1.233 1.2 1.204 — —
4 1.25 1.25 1.196 1.213 1.176 1.184 — — — —
5 1.2 1.2 1.165 1.171
6 1.167 1.167 1.138 1.144
7 1.151 1.151 1.121 1.125
8 1.125 1.125 1.108 1.11
9 1.111 1.111 1.098 1.099
10 1.1 1.1
Замечание. Полученные условия являются необходимыми для СПР, поскольку, согласно утверждению 1, функция остаточного спроса превышает тах{1)(р) - (/I. а!)(р)}. Эти условия являются также и достаточными для существования СПР, если отклоняющийся игрок при выборе цены р в интервале (р^,р*) получает прибыль ниже, чем в локальном равновесии, т.е. справедливы следующие неравенства:
5. Заключение. Полученные результаты о соотношении равновесных цен и объемов для двух-этапного рынка и обычной олигополии Курно оказались близки к результатам Бушнелла [2]: введение форвардного рынка ограничивает рыночную власть производителей примерно так же, как увеличение числа производителей на рынке с п до п2. Имеет место понижение цен и рост объема выпуска. Отличие в том, что в рассмотренной двухэтапной модели взаимодействия потребителей и производителей равновесие связано с использованием производителями коррелированных смешанных стратегий и соответствующий исход является случайным: ожидаемая (а не фактическая) цена на спотовом рынке совпадает с ценой на форвардном рынке. При этом, как правило, на спотовых торгах цена ниже, чем на форвардных: чаще реализуется "рынок медведей" с более низкими ценами, реже — "рынок быков" с более высокими ценами. Исследованная модель позволила также охарактеризовать равновесное поведение потребителей. Показано, что риск-предпочитающие потребители никогда не будут покупать товар на форвардном рынке. Потребители такого типа с резервными ценами ниже цены Курно для данного рынка будут покупать товар на спотовом рынке, если реализуется низкая цена, меньшая их резервной цены, а при высокой цене откажутся от покупки. Так же поступят и риск-избегающие потребители с резервными ценами ниже цены на форвардном рынке. Риск-нейтральные и риск-предпочитающие потребители с резервными ценами выше цены Курно будут покупать товар на спотовом рынке по любой реализующейся цене. На форвардном рынке товар будут покупать только потребители с резервными ценами, превосходящими цену на форвардном рынке, и параметром избегания риска выше порогового значения. При этом доля покупающих на форвардном рынке среди риск-избегающих потребителей монотонно растет от нуля до единицы с увеличением резервной цены от форвардной до цены Курно.
1. Botterud A., Bhattaeharyya A.K., Ilic M. Futures and spot prices — an analysis of the Scandinavian electricity market // Proc. of North American Power Symp. Tempe, 2002.
2. Bushnell J. Oligopoly equilibria in electricity contract markets. University of California Energy Institute: CSEM Working Paper, WP-148. 2005.
3. Green R. R. The electricity contract market in England and Wales // J. Industrial Economics. 1999. 47. N 1.
4. NewberyD.M. Competition, contracts, and entry in the electricity spot market // RAND J. Economics. 1998. 29. N 4. P. 726-749.
5. Васин A.A., Гусев А.Г., Шарикова A.A. Теоретико-игровой анализ одноэтапных и двухэтапных аукционов одного товара // МТИП. 2009. 1. № 4. С. 3-30.
6. Васин A.A., Васина П. А., Рулева Т.Ю. Об организации рынков однородных товаров // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 93-107.
V А
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Р. 107-124.
Поступила в редакцию 01.04.10
EQUILIBRIA OF TWO-STAGE MARKET WITH RANDOM OUTCOME AT THE SPOT MARKET
Vasin A. A., Sharikova A. A.
Increasing of efficiency for homogeneous good markets is an important economic problem. One way to reduce the market power of large companies is to permit forward contracts. Our paper considers a model of two-stage market where spot and forward markets perform as Cournot auctions. We study the corresponding game of producers and consumers and find out conditions for existence of subgame perfect equilibrium (SPE) in correlated mixed strategies. We compare the SPE with Nash equilibria of one-stage markets.
Keywords: forward market, Cournot competition, arbitrageurs, equilibrium.
