CC BY
5
loads and impacts, a method is proposed for recognizing the diagnostic methods of the technical conditions of the bearing structures of special structures, taking into account various types of damage and damage damage (destruction).
Key words: operational suitability, emergency loads and impacts, damage levels, feature
space.
Mandritsa Dmitry Petrovich, candidate of technical sciences, docent, mandriza66@mail.ru, Russia, Saint Petersburg, A.F. Mozhaisky Military Space Academy,
Avsyukevich Dmitry Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, mandri-za66@mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Mirovnov Andrey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mandriza66@mail.ru, Russia, St. Petersburg, A.F. Mozhaisky Military Space Academy,
Aleksanyan Armen Martunikovich, employee, mandriza66@mail.ru, Russia, St. Petersburg, A.F. Mozhaisky Military Space Academy
УДК 531.01
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-342-346
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛЫ
Л.П. Семенова, О.А. Ткач
Рассматривается задача об устойчивости системы, состоящей из двух шарнирно-соединённых стержней и один стержень нагружен следящей силой, направленной всегда вдоль стержня.
Ключевые слова: стержень, механика, устойчивость, степень свободы, неконсервативные силы, уравнение Лагранжа.
Рассмотрим систему, которая состоит из двух однородных стержней длинной t j и
t2 (рисунок), связанных шарниром и спиральной пружиной жесткости С2 . Первый стержень
может вращаться вокруг опоры O , с которой связан спиральной пружинной жесткостью С^ .
На второй стержень действует сила F , направленная всегда вдоль оси стержня. Система имеет две степени свободы.
С помощью уравнений Лагранжа [1] составим характеристическое уравнение, корни которого характеризуют устойчивость или неустойчивость стержня. Проведем численный пример роста устойчивости.
Кинетическая энергия T приводится к виду [1] выписаны только члены второго порядка малости, причем обобщенные координаты приняты üj = (( Ü2 = (Р2, а обобщенные
скорости a 1 = ( ; a 2 = (2
Г 2 2 >
Г = I 2
an ( + 2a12 (l(2 + a22 (2
V J
2 1 2 где an = J; + m^b ai2 = ^2, a22 = J2 + m2^2.
Расчетная схема
На рисунке J1 - момент инерции первого стержня относительно точки O, J2 - момент инерции второго стержня относительно его центра тяжести, а m¡ и Ш2 - массы этих стержней.
Потенциальная энергия пружин ^определяется равенством [1]
П1 =1clP1 + 2c2{P2 )2. (2)
Обобщение силы Q1 и Q2, отвечающие следующей силе F, определяются следующим образом [2]. При изменении угла (i р = const), Sp - углу (1, тогда работа SA{ силы F равна:
SA1 = -F¿1 sin {(2 - P1 )Sp1 и для малых углов sin а ~ 2, обобщенная сила Q1 равна:
Q1 =-FÍ1 {P2 -P1)-
Полные обобщенные силы для углов (1 и (2 найдем следующим образом [2]
8П1
Qi = - р+Qk{ = 1,2).
dPk
(3)
Раскрывая формулу (3), получим
< = -£ ¡91 + £292; <22 = с291 - c292, здесь ¿1 = с\ + С2 - F£\, £ 2 = С2 - F£\.
Применяя уравнения Лагранжа, составим уравнения возмущенного движения системы около положения равновесия:
а11П + а\2Ф2 + ¿191 - £ 292 = Ф а2\Ф\ + а2292 + £291 - £292 = Ф\-
Здесь Ф1 и Ф2 - неучтенные ранее члены, содержащие 91 и 92 в степени выше первой. В уравнении (4) матрица жесткости
(4)
с1 =
¿1 - ¿ 2 " с2 с2
(5)
При координатах 91 и 92 матрица не симметрична. Разобьем (5) на симметричную и кососимметричные части
c =
c11 c12
c21 c22
Р =
O p - p O
(6)
и
где
- c~1 I c2 F ' ^ ;
C12 — c21 — 2 (F£ 1 2c2 ) ' C22 — c2 •
Тогда
p- -1 ( 2 - c2 ) — 2 F£ 1 •
Из формулы (6) видно, что следующая сила F создает неконсертивные позиционные
силы
Pl — 2 F£102'; Р2 — - 2 F£X<t>V
В потенциальную энергию всей системы:
П =1 (р1т2 + 2с12ФФ2 + С22Ф2 ). (7)
Составим характеристическое уравнение, учитывая коэффициенты формул (1) и (3) [3]
= 0 (8)
или раскрывая определитель (8)
an А2 + a^A2 -£2 a21^2 - c2, a22A + c2
4 2 aA + bA + cq — 0,
(9)
здесь и далее
a = ana2 -a122; d = a11C2 + а22£1 + al2(£2 + C2), ^ = ClC2 .
2
Рассматриваемая система будет устойчива, если все корни. относительно А будут вещественными отрицательными числами, т.е. чтобы выполнялись условия [3]
Ь > 0 Д = Ь2 — 4ac > 0 (a > 0 и со > 0) для любых значений следующей силы. Приведем пример, полагая ml = m2 = m; £1 = £ 2 = £ и с1 = с2 = с . Тогда коэффициент формул (1) и (3) равны
а11 = 3ш12; С112 =1 ш12; а22 =1 ш12; а = 3ш2£4; £1 = 2с — F£; £2 = с — F£. (10)
4 2 ~ 3
После подстановки (10) в (9) получим:
b — ml2 f 3c - 6F£J> 0; А — m2£4
'sc - 5 F£J2 - 20c2 6 J 3
> 0.
Отсюда рассматриваемая система будет устойчива при малых углах, если
77 6
F <5
/
3 -
л/20
3
c c
-« 0,504-.
£ £
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: Т.П. М.: Наука. 1983.
637 с.
2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчиврсти. М.: Наука 1976. 320 с.
3. Митяев А.Г., Ткач О.А. Устойчивость движения конического маятника. Вестник ТулГУ. Вып. 4. т. II, изд-во ТулГУ, 2008.
Семенова Людмила Петровна, канд. техн. наук, доцент, ludmilacemenova@yandex.ru , Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ткач Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент, tkachoa@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE SYSTEM EQUILIBRIUM UNDER THE TRACKING FORCE INFLUENCE
L.P. Semenova, O.A. Tkach
The problem of system consisting of two pivotally connected rods stability is considered. One rod is loaded with a tracking force directed always along its axis.
Key words: rod, mechanics, stability, degree of freedom, nonconservative forces, Lagrange
equation.
Ludmila Petrovna Semenova, candidate of technical sciences, docent, ludmilacemeno-va@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tkach Olga Aleksandrovna, candidate of technical sciences, docent, tkachoa@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
