Равновесие Нэша в игре двух лиц для вариантов информированности игроков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Равновесие Нэша в игре двух лиц для вариантов информированности игроков

УДК 519.862.8

A.B. Жариков

Равновесие Нэша в игре двух лиц для вариантов информированности игроков

Рассматривается оператор управления состояниями объектов, которые функционируют в динамической случайной среде. Управление проводится с использованием принципа осреднения входных переменных [1]. Предполагается, что управление выбирается из условий максимизации некоторого функционала и разной информированности субъектов [2-5].

Особенность постановки данной задачи позволяет свести ее к задаче теории игр. Причем количество игроков соответствует количеству управляемых объектов.

Пусть 5 = {1,2,...,л} - индексы всех компонент вектора х\ 5,5 с 5 - совокупность индексов, определяющих информационную структуру для /-ого игрока, имеющего стратегию и, = и, (с/,), (11 = (х/) ;

/ 6 / = {1,2} - множество игроков.

Условие разной информированности игроков:

du (d ) ox,

где и.

и.:

ди,{х)

дх.

= 0 ,Ü?S,),u,eC2(X)

а'„< 0, VI'. (3)

Задача (2) при условии (1), по сути, является вариационной задачей, тогда соответствующие уравнения Эйлера запишутся в виде

1> ь ( 2 2+л

a a W=1 J=!

Ф(х)с{р, = 0,i£l, (4)

где р, = {ху}^гЛ ,с/, = {х;} ,€Л . Таким образом, задача

нахождения равновесия по Нэшу сводится к решению системы (4) при условии (3).

Далее, решение (4) будем искать для частных случаев информационной структуры игроков и характера входного случайного вектора х.

Множество индексов компонент вектора* 5= {1,2}

и = {х2},^ = {*,}.

Компоненты х[Гх2 - независимые случайные величины с плотностью распределения Ф(лг ) = ^(х,) (р2(х2), тогда оптимальные управления отыскиваются

в классе линейных функций и‘(х2) = (?1хг + ,

Соответственно, функция полезности г-го игрока запишется в виде интегрального выигрыша:

/ =!■■■! Р1(х,и)ф(х)сЬс,1€1,

а а

где х е X и имеет плотность распределения Ф(л).

Следовательно, игровая постановка задачи примет вид:

Л ь

J,(u) = /.../^ (х,м)Ф(х)с£с —> шах,г £ I,

u2(x¡) = Q2д-1+Л2, при условии Вы-

а\ 1 а22

ражения для соответствующих коэффициентов можно найти в [4].

Случайные величины х^2 имеют общую зависимость и функцию распределения Ф(;г1Гх2), тогда (4) можно свести к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода

и(у) - Х\К{х, y)u{x)dx = /(.у),

(5)

Рассмотрим случай квадратичной структуры Ft(x,u),iel, т.е. F,(x,u)=(A'(u,x),(u,x)},ieI -

квадратичная форма с матрицей А' = (о£т) t (2+ Таким образом, получаем следующую задачу

Jt(u) = f-f(A'(u,x),(u,x))<$(x)dx—>max,i£/, (2)

а а ’

при условии (1).

Согласно [2], равновесие по Нэшу в задаче (2) при условии (1) существует, если

гДе

а\ \ агг

*,(*,,*,) = а^’хг) , К2(х„хг) = al,J<b(xt,x2)dx,

К2(х,,х2) О

а|,Ф(дг,,дс2)

Мхг)

а12[Ф(х,,л;2)dx2

а

-al3f xfi(x,,x2)dx, - al4x2f Ф(х„х2)сЬ,

A(xi) =

a‘nf Ф(х„х2)ей,

a

A h

~а1гх\ 1ф(хP X2 №2 ~ «24 I х2ф(х<, X2 )dx2

a22f Ф(х„х2)0х1

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

Как показано в [3], решение системы (5) может быть представлено в виде

где Z = (*а.......jr„). Ц,,,.....х2к) — (V|.....V1). -Y = (X,....

О Kt(x,y,z)'

»(■*) = f(x) + jR(x,y,X)f( y)dy,

а

при условии

(¿-а) шах

alj<è(x,.x2)dx,

ап$(х,,х2)

Ф(х,. лг2 )с6г2

(6)

<1, (7)

К2{х,у,:) О

а‘,Ф(д:, V. г)

a,J'P(x,y,:)dx

а1п) Ф(х,у,z)dy

, 2+/»

где Щх,уЛ) = А-,(л-,у) + ДА^2(*,у)+ ... +Я”'1 А'я(.т,>')+... (резольвента ядра К (дг,д2)).

Множество индексов компонент вектора х 5 = {1,...,«} и с/| — {дг^,,сі2 = = А є {1.2,...,и/2}.

Пусть функция распределения входного вектора .г имеет вид

тогда, аналогично пункту 1.1, Оптимальные управления отыскиваются в классе линейных функций

и‘(^,)= £ 0‘/х1 + /?,./ = 1,2, при условии 1.

"!і 4

Коэффициенты £?' находятся из (4).

Компоненты случайного вектора х имеют общую зависимость и функцию распределения <!>(*,,...дл). Уравнения Эйлера (4) примут вид

-¡■■■¡Еа1,х1_^Ф(х,у,:)ск

/,1у.=) = я"я^------------—------------.

аиФ(х,у,:)с1х

а

-/■■■/Еа1х^и1Ф(х,у.1)с/у

/2(*.г) = -*—^------------------------

а2 2/Ф(х.у.г)с/у

Ч

Аналогично случаю 1.2, решение системы (9) представимо в виде

и(х,-) =/{х,2) + \...\Н(х,у,2,\)/{у,:)({у. . (10)

п и

при условии

(b-af шах

а'п/Ф(х,у,:)ііх

а2п/Ф(хгу,:)Лу

<1,

h л а' Ф< г)

и,Ы,)+ I —;-----------Ф,

н. \ и' Ф( t)

МЛ.Н I —;-------:—-<Jp: =

' * ““ Ï S'H-'W;

-f-J E“!,*. . ,Ф(л)</р,

f...J‘P(x)ilp, -/.../‘¿о;,.», , ,Ф(.г)ф, > 1

І /Ф(л)ф,

(8)

Систему (8) можно свести к системе, аналогичной системе (5)

u(y,z)~ I JK(х,у, 2)к(х, г)<& = /(.у, г).

(9)

где Я(х,у,2,Х) = К1(х.у,2)+ ХК2(х,у^)+...+ Я"''А'п(х,у,г)+...

Остальные случаи являются следствиями рассмотренных выше. Следует отметить, что система (4) не всегда может быть сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Данное преобразование возможно при определенном виде информационной структуры игроков, а именно

{х1:^1,...гх2к,...тхп}, с/2 - {х^,...^к, ••>■*„}

к е {1,2,...,я/2}.

Таким образом, при остальных видах информационной структуры, уравнения (4) не могут быть сведены к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.

Библиографический список

1. Гермейер, Ю.Б. Введение в теорию исследования операций / Ю.Б. Гермейер. - М., 1973.

2. Жариков, A.B. О существовании равновесия по Нэшу в игровой постановке задачи управления при разной информированности субъектов / A.B. Жариков // Материалы десятой региональной конференции по математике. - Барнаул. 2007.

3. Жариков. A.B. Применение принципа сжатых отображений в задаче управления игры двух лиц при разной

информированности игроков / A.B. Жариков // Известия АлтГУ. -2007. -№1.

4. Жариков, A.B. О решении частной задачи управления в случае разной информированности субъектов / A.B. Жариков, A.B. Максимов // Известия АлтГУ. - 2006. - № 1.

5. Максимов, A.B. Многопользовательские информационные системы: основы теории и методы исследования / A.B. Максимов, Н.М. Оскорбин. - Барнаул. 2005.