Равновесие Нэша производственных планов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

Качество должно пронизывать все виды деятельности организации, в том числе менеджмент. Встает проблема формирования культуры качества, и здесь роль самооценки деятельности организации неоспорима

Кроме того, в связи со все усиливающейся конкуренцией «легкий» бизнес закончился, требуется серьезная работа по развитию и совершенствованию, что не всегда встречает понимание среди руководителей. Необходим универсальный инструмент, с помощью которого можно измерять качество деятельности организации. Без измерения нет совершенствования. Самооценка деятельности организации как раз и есть тот инструмент, который позволяет провести бенчмаркинг, оценить деятельность по девяти общепризнанным критериям. Однако в России практика эталонного сопоставления с лучшими в своей области организациями, компаниями-лауреатами премии, конкурентами прививается плохо в силу «комплекса засекреченности» отечественного бизнеса.

В завершение следует сказать, что изучение содержания, методов, моделей и процесса самооценки деятельности необходимо, поскольку является одним из шагов на пути к осознанию необходимости активного применения инструментов управления качеством в практике деятельности российских предприятий и организаций. Возможности совершенствования, которые открывают модели премий качества, можно с успехом ис-

пользовать для построения конкурентоспособной организации в России уже сегодня - важно лишь знать о существовании этих возможностей и взять их на вооружение раньше конкурентов.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Самооценка деятельности организации на соответствие критериям Премии Правительства Российской Федерации в области качества 2006 года: Рек. для организаций- участников 2006 года - М.: ВНИИС, 2006. 78 с.

2. Салимова Т.А, Еналеева Ю.Р. Самооценка деятельности организации - М.: Академический проект,2006. 279 с.

3. Кощий С, Стерлинг М. Самооценка деятельности организации - механизм усиления конкурентных преимуществ // Стандарты и качество. 2008. №11. С.30

4. Щукин О. Молодые менеджеры используют методику самооценки организации // Стандарты и качество. 2007. №8. С.94

5. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. Перцептрон и теория механизмов мозга. М.: Мир, 1965. 480 с.

6. Hopfïeld J.J. Neural Networks and Physical systems with emergent collective computational abili-ties//Proc. Nat. Sci. USA. 1982. V.79. P. 25542558.

Зоркальцев В.И., Киселева М.А. УДК 519.833.2

РАВНОВЕСИЕ НЭША ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПЛАНОВ

Введение

Рассматривается проблема согласования производственных планов нескольких предприятий в случае, когда удельные затраты отдельных технологий данного предприятия зависят от ин-тенсивностей использования этих технологий другими предприятиями. Каждое предприятие стремится выбрать такой план интенсивностей использования технологии из допустимых, который имел бы минимальные затраты. Поскольку издержки зависят от интенсивностей использования тех же технологий другими предприятиями, то рассматриваемая проблема представляется в виде набора

взаимосвязанных задач оптимизации планов нескольких предприятий.

Естественно предположить, что если какое-либо предприятие имеет возможность улучшить свой план за счет изменения только выбираемых этим предприятием параметров (т.е. при неизменных интенсивностях использования технологии другими предприятиями), то оно осуществит эту возможность. Поэтому интерес представляет определение равновесных по Нэшу планов предприятий, т. е. ситуации, когда ни у одного из предприятий нет указанной возможности улучшения своего плана.

Здесь ограничимся случаем, когда ограничения в моделях предприятий линейные, а удельные затраты на технологические способы являются линейными возрастающими функциями от суммарных интенсивностей использования данных технологий всеми предприятиями. Докажем, что в этом случае проблема поиска набора равновесных по Нэшу планов предприятий сводится к задаче квадратичного программирования, для решения которой имеются эффективные алгоритмы (см., например, [1, 2, 3].

Исследуемая проблема может рассматриваться в качестве модели различных ситуаций согласования планов предприятий, в затратах которых имеются общие ингредиенты - единый природный ресурс, особый вид техники или рабочая сила данной квалификации. Увеличение спроса на общий ингредиент у одного предприятия ведет к росту цены и, соответственно, удельных затрат по данному ингредиенту у всех остальных предприятий. Одна из областей приложений - согласование планов перевозок нескольких клиентов общей транспортной сети с тарифами на перевозки по отдельным ветвям, зависящим от суммарных объемов перевозок по этим ветвям всех клиентов.

Затраты на перевозки транспортом общего пользования обычно нелинейно зависят от объемов перевозок [4]. В частности, эта нелинейность для автомобильного, водного, железнодорожного транспорта обусловлена тем, что с ростом объемов перевозок по отдельным транспортным путям возрастает среднее время транспортировки грузов. Нелинейная зависимость издержек от объемов транспортируемой продукции имеет место и для специализированных видов транспорта - трубопроводного, линей электропередач. Исследуемая здесь проблема согласования интересов имеет место в тех случаях, когда пользователи сами выбирают объемы перевозок по отдельным ветвям транспортной системы своих грузов (автомобильный и водный транспорт, некоторые варианты организации деятельности железнодорожного транспорта, системы транспорта газа, теплоснабжения городов при нескольких экономически независимых источниках теплоэнергии).

Стандартный путь при доказательстве существования равновесия Нэша состоит в использовании известной теоремы Брауэра о неподвижной точке. Этот способ для выяснения вопроса существования равновесия Нэша был использован нами в [5]. Этот путь не является конструктивным, поскольку не позволяет находить точку равновесия

Нэша. В этом отношении интересен способ определения равновесия Нэша через условия оптимальности каждого участника. Как показано в [6] этот путь в случае линейных удельных затрат приводит к задаче квадратичного программирования. Материал данной статьи является развитием результатов [6] в т.ч. для произвольных, не только транспортных предприятий.

1. Некоторые свойства задач квадратичного программирования

Приводимые ниже математические факты потребуются в дальнейшем.

Эквивалентные задачи квадратичного программирования. Назовем исходной следующую задачу квадратичного программирования:

« пп «

найти вектор х е к из условий

1 Т

2 х Qx + (с, х) ^ шт

(1)

при ограничениях

Ах = Ь,х > 0. (2)

Заданными являются векторы с е Яп, Ь е Я™ , матрица А размера т х п , симметричная положительно определенная матрица Q размера п х п. Как известно, данная задача имеет решение в том и только случае, если ограничения совместные. Это решение в силу строгой выпуклости целевой функции будет единственным.

Эквивалентная система уравнений. Из условий оптимальности для задачи минимизации строго выпуклой функции при линейных ограничениях (см., например, [3, 7]) следует, что вектор х е Яп будет решением задачи квадратичного программирования (1), (2) в том и только том случае, если для него выполняются условия (2) и при некотором и е Ят

Qx + с > АТи, (3)

хТ ^х + с - АТи) = 0. (4)

Система уравнений и неравенств (2)-(4) является равносильной исходной задаче квадратичного программирования (1), (2). Если векторы х, и являются решением системы (2)-(4), то вектор х будет решением задачи (1), (2), а вектор и будет состоять из множителей Лагранжа ограничений-равенств задачи (1), (2).

Двойственная задача квадратичного программирования. Пусть 5" - матрица п х п, обратная к Q, 5 = Q . Матрица 5, как известно, также будет симметричной положительно определенной.

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

Двойственной к (1), (2) назовем следующую задачу квадратичного программирования: найти векторы у е Я",и е Ят из условий

1 т

2у ^у - (Ь,и) ^ Ш1П

(5)

-2хОх- (Ь,и) ^ ш1п

(11)

при ограничениях

Ох - Аи >-с. (12)

Лемма 1. Пусть О - матрица Ь х Ь, диагональные коэффициенты которой больше 1, а остальные равны 1. Тогда О - положительно определенная матрица.

Доказательство. Пусть д = Е + С, где Е - матрица Ь х Ь со всеми единичными коэффициентами, С - диагональная матрица с коэффициентами С] > 0,] = 1,...,Ь по диагонали. Тогда для любого м е ЯЬ

Ь Ь

Т Т Т ч 2 ^^ ^ 2

М Ом = м Ем + м См = ( > М]) + > С]М]-.

у=1 ]=1

Первая составляющая полученного выражения - неотрицательная, вторая составляющая при

при ограничениях

у - Ати > -с. (6)

Согласно условию оптимальности Куна-Таккера векторы у, и будут решениями задачи (5)-(6) в том и только том случае, если для них выполняется условие (6) и при некотором х е Я" справедливы соотношения

х = Sy, (7)

-Ь = - Ах, х > 0, (8)

х (у - Аи + с) = 0. (9)

Отметим, что условие (7) равносильно выражению

у = Ох. (10)

Если использовать это выражение в (6), то система (6), (8), (9) будет совпадать с системой (2)-(4). Поэтому задачу (5), (6) можно считать равносильной исходной задаче оптимизации (1), (2). Оптимальные значения переменных исходной задачи, составляющие вектор х , являются множителями Лагранжа ограничений (6) двойственной задачи.

Модификация двойственной задачи. Используя выражение (10), двойственную задачу можно представить в виде задачи поиска векторов

переменных х е Я", и е Ят из условий

м ф 0 - положительная. Следовательно, при любом м Ф 0, м е ЯЬ мТдм > 0. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если О - положительно определенная матрица размера Ь х Ь с коэффициентами

Ч» = 2 Чу =11 Ф ]'> то обратной ей будет матрица S размера " х" с коэффициентами

" -1

= "ТГ'''] = "77'1Ф ]. " +1 " +1

Доказательство. Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица

м = gs

будет диагональной с единицами по диагонали. Действительно, она имеет следующие коэффициенты

2" -1 т = =--+ (" -1)-= 1,

' ' " +1 " +1

т.

=Е =

" „ч -1 2

(" - 2)-7--7 = 0,

]=1

" +1

" +1 " +1

при ] ФI.

2. Исходные определения

Пусть Ь - количество субъектов (предприятий), согласующих свои решения, " - количество используемых технологий каждым из предприятий, тг - количество производимых или потребляемых видов ресурсов предприятия 1 = 1,...,Ь . Для каждого субъекта заданы: векторы ресурсов Ь1 из Я , матрица технологических коэффициентов А1 размера т1 х " . Допускается, что какие-то технологии из рассматриваемого набора могут не использоваться некоторыми (но не всеми) субъектами: если предприятие I не использует технологию ], то столбец матрицы А1 с номером ] будет нулевым вектором.

Искомыми величинами являются интенсивности использования технологических способов отдельными субъектами. Пусть они составляют векторы х1 из Я",1 = 1,...,Ь . Вектор переменных х будем называть допустимым планом субъекта I, если выполняются условия

Ах = Ь,х > 0. (13)

Здесь первое условие выражает материальный баланс в производстве и использовании отдельных видов ресурсов 1 = 1,., т1. Второе усло-

вие - неотрицательность интенсивности технологии. Множество допустимых планов субъекта 1

обозначим X1.

Введем вектор суммарных интенсивностей использования технологий

(14)

i=1

i i z = z - x .

Издержки 1 -го субъекта на технологию ] полезно будет представить в виде функций от ве-

i i личин Zj и Xj

Fj (zj, xj) = Gj (zj + xj, xj).

Удельные затраты на каждую технологию 7 е {1,...,п} предприятия 1 е{1,...,Ь} будем рассматривать в виде функции Р7 (z■) от неотрицательного числа z■. Будем считать, что это линейно возрастающая функция

Р. (zj) = +в, 7 = 1,., п. (15)

Здесь а7 - заданные вещественные числа, причем а > 0 .

Произведение удельных затрат на интенсивность использования технологии 7 субъектом 1 дает затраты данного субъекта на эту технологию, которые можно рассматривать в виде функции

О (Zj, х1) = Р (Zj) х.. (16)

Замечание. Затраты субъекта 1 на технологию 7 можно представить в виде суммы двух величин: затрат от использования некоторого общего ресурса всеми субъектами и индивидуальных издержек, не связанных с интенсивностями использования данной технологии другими субъектами. Вторую составляющую будем рассматривать в виде линейной функции от интенсивности технологий. Соответственно удельные издержки можно представить в виде суммы двух составляющих

Р (Zj ) = Р (Zj ) +/7 ,

где

Р (Zj) = аjZJ +7°

- удельные затраты на общий для всех субъектов

1

ресурс при некотором заданном у7 ,

1 п1 о Г 7 = в7 -Г 7

- удельные затраты субъекта 1 в технологии 7 на остальные виды ресурсов.

Введем вектор суммарных интенсивностей технологий всех субъектов за исключением 1 -го

(17)

(18)

Суммарные издержки 1 -го субъекта являются функцией от векторов zl и х1

Р (^,х1) = £ Р) (^,х1]). (19)

7=1

Целью каждого предприятия является выбор такого допустимого для него плана, при котором суммарные издержки минимальны. При этом следует учитывать, что издержки каждого клиента зависят от выбора планов другими предприятиями. То есть имеем Ь взаимосвязанных задач оптимизации, нуждающихся в доопределении. Одним из способов доопределения такой многокритериальной проблемы является поиск равновесия Нэша, т.е. такого набора допустимых планов х1, 1 = 1,...,Ь каждого субъекта, при котором никому из них не выгодно менять свой план. Приведем строгое определение этого равновесия.

Равновесие Нэша при согласовании производственных планов. Набор допустимых планов х1 еX1 субъектов 1 = 1,...,Ь будет равновесным по Нэшу, если для любого те{1,...,Ь} не существует плана х е X такого что Р1(х1) < Р1(гТ,хТ),

где

1 Т = ^ х1.

1ФТ

3. Сведение проблемы поиска равновесия Нэша к системе уравнений и неравенств

Согласно приведенному выше определению равновесия Нэша векторы х 1, — хЬ составляют равновесный набор в том и только том случае, если для каждого 1 е{1, ..,Ь} вектор х1 является решением задачи оптимизации

F(zi, X) ^ min, X е Xi

-i xi ) v min X е X (20)

при фиксированном значении вектора

z

= Z xi.

(21)

T^i

Из (15)-(19) следует, что Р1 - сепарабель-ная, квадратичная строго выпуклая функция от

вектора х1 при любом векторе zl е Яп

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫМ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИЯХ

^,х1) = (х])2 +вх]. (22)

]=1 ]=1

Следовательно, если X1 ф0 , то задача (20) имеет и единственное оптимальное решение.

Обозначим

/ (г1, х1) = У ^ (г1, х1)

- градиент целевой функции задачи (20). Согласно (22) компонентами этой вектор-функции будут функции

(г],х]) = 2ах] +а£ + )),] = 1,.,". (23)

Согласно условиям оптимальности Куна-Таккера для задачи минимизации дифференцируемой выпуклой функции при линейных ограничениях (см., например, [7]) для того, чтобы вектор х1 был решением задачи (20) необходимо и достаточно выполнения условий

-/ -и' -I-

Alx1 = b,xl > 0, f (z1, X1) > Afu1,

(24)

(25)

(xl)T (f (zl,xl) - Ajul) = 0 (26)

при некотором u1 e Rщ . Вектор ul состоит из множителей Лагранжа ограничений-равенств Alx1 = Ь задачи (20).

Поскольку xl > 0, то условия (25), (26) равносильны следующему ограничению: если xj > 0, то j -ая компонента неравенств (25) должна выполняться в виде равенства. При введении такого ограничения исключается необходимость введения условия дополняющей нежесткости в виде (26). Итак, согласно (23) условия (25), (26) можно заменить на следующие

2ajxj + ajzl + р\ > (Aju1)j, (27)

2aJxlJ +ajz1j + filj = (Aju1 )j,если x1 > 0 (28) для всех j = 1,..., n . Учитывая, что a- > 0, xj > 0, условия (27), (28) равносильны ограничению

2aJxlJ = ((Aju1 )j - ajZj -fl')+, j = 1,.,n. (29)

Здесь ()+ - операция срезки: для любого вещественного t

t+ = max {0, t}.

Из определения операции срезки и неравенства a-xj > 0 следует, что условие (29) можно записать в таком виде

a]xj = ((Aju1) j-az-в)+,

где

^ = ^ + .

На основе приведенного рассуждения получаем доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Векторы х , х ,..., х из

Я" составляют равновесные по Нэшу планы рассматриваемых субъектов в том и только том случае,

если при некоторых векторах и1 е Ящ, 1 = 1,...,Ь выполняются условия

А1х1 = Ь,х1 > 0,1 = 1,.,Ь, (30)

ах = ((АТи1) ]-а -в ь

Т=\

] = 1,...,", I = 1,...,Ь. (31)

Данная теорема сводит проблему поиска равновесия Нэша к задаче решения системы уравнений и неравенств (30), (31), что может быть полезным для разработки алгоритмов поиска точки равновесия Нэша. При этом пока остаются нерешенными вопросы о существовании и единственности равновесия Нэша. Ответы на них будут получены в следующем разделе.

4. Представление проблемы поиска точки равновесия Нэша в виде задачи квадратичного программирования

Введем функции от векторов х1 е Я", 1 = 1,.,Ь . Пусть

1 " Ь Ь

Ф( х1,..., хЬ) = 2 ((£ х] )2 (х] )2),

2 ]=1 I=1 I=1

Н (х1,..., х^) = Ф (х1,..., х^) Т^^в'х.

]=1 1=1

Согласно лемме 1 функция Ф является квадратичной строго выпуклой, следовательно, таковой будет и функция Н .

Отметим, что

<Н(х ■,.■■■,х ) г , ^ г , ы

- = ах +а] Ь х ] +в].

dXj

Согласно (23)

1=1

dH(х1,...,xL) _ i i)

dxi _ (2L xi' xi)-

Рассмотрим задачу квадратичного программирования с переменными, составляющими векторы xl е Rn, l_ 1L :

H(x1xL) ^ min, x1 е X1,...,xL е XL. (32) Заметим, что в силу указанных выше свойств функции H, если задача (32) имеет до-

Таккера для задачи (32) набор векторов -1 ~L

пустимые решения, т.е. если X Ф0 для всех 1 = 1,...,Ь, то эта задача имеет и оптимальное решение. Причем оптимальное решение будет единственным.

Согласно условиям оптимальности Куна-

—1 —Ь

х , ■■,х

из кп будет составлять оптимальное решение этой задачи в том и только том случае, если это допустимое решение

ах = Ь1, х1 > о, 1 = 1,..., Ь (33) и при некоторых и1 е Я™1

/(£ хТ,х1) > АТй1, (34)

(х1 )Т(/ (X хТ,х) - АТи1) = о (35)

тф1

для всех 1 = 1,..., Ь .

Условия (33)-(35) совпадают с условиями (24)-(26) с учетом (21). Следовательно, оптимальным решением задачи (32) является набор равновесных по Нэшу планов отдельных субъектов. Получили доказательство следующих двух утверждений.

Теорема 2. Если у каждого предприятия имеются допустимые планы

X1 Ф0 для всех 1 = 1,...,Ь, то существует и единственный равновесный по Нэшу набор планов х1 е X1, 1 = 1,...,Ь .

Теорема 3. Равновесный по Нэшу набор планов х1 е X1 субъектов 1 = 1,...,Ь является решением задачи квадратичного программирования (32).

Поскольку для решения задач квадратичного программирования существуют эффективные алгоритмы, то можно считать, что теорема 3 дает конструктивный путь для вычисления точки равновесия Нэша.

5. Двойственная задача квадратичного программирования

К задаче квадратичного программирования (32) можно записать двойственную, относительно векторов переменных у1 е Яп, и1 е Ят :

1 п 1 ( Ь Ь Л

цЬл) X а-|х< У )2+(у7 ~£уТ )21-

2(П + 1) 7=1 а7 ^ 1=1 ТФ1

т1 ь

Z Z b'u'' ^ min'

i=1 1=1

при ограничениях

yj - (Afu1 )j >-ß\, l = 1,...,n, l = 1,...,L.

Модифицированная двойственная задача относительно векторов переменных xl е Rn, ul е Rm будет иметь вид:

in L L ml L

1Z «((Z xj)2 + Z (xj)2) -ZZ blul ^ min,

2 j=1 l=1 l=1 i=1 l=1

при ограничениях

2ajxlj + ajzlj + (Afu')j >-ßlj,l = 1,.,n,l = 1,...,L.

Несложно убедиться, что условия оптимальности Куна-Таккера для двойственной задачи (при У = Qx ) и модифицированной двойственной задачи совпадают с системой (33)-(35).

Таким образом, для рассматриваемой задачи продемонстрирован способ доказательства существования и единственности точки равновесия Нэша. Предложен конструктивный способ его нахождения на основе сведения исходной проблемы согласования интересов к задаче выпуклого квадратичного программирования.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Базара, М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. -М.: Мир, 1982. - 583 с.

2. Полак, Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. / Э. Полак. - М.: Мир, 1974. -376 с.

3. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

4. Васильева, Е.М. Нелинейные транспортные задачи на сетях / Е.М. Васильева, Б.Ю. Левит, В.Н Лившиц. - М: Финансы и статистика, 1981. - 105 с.

5. Зоркальцев, В.И. Равновесие Нэша в нелинейной транспортной модели / В.И. Зоркальцев, М.А. Киселева // Оптимизация, управление, интеллект. - 2007.-. №1(13). - С. 33-41.

6. Зоркальцев, В.И. Равновесие Нэша в транспортной модели с квадратичными затратами / В.И. Зоркальцев, М.А. Киселева // Дискретный анализ и исследование операций. - 2008. - Том 15. - №3. - С. 31-42.

7. Зоркальцев, В.И. Системы линейных неравенств: учебное пособие / В.И. Зоркальцев, М.А. Киселева. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007. - 127 с.