Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства x и x х C Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 24-31

= Математика =

УДК 515.12

Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства X и X X С *

Е.В. Осипов

Аннотация. Для компакта X доказывается равенство 1г-К-(Ит(Х х С) = 1г-к-(ИтХ, где С — канторово совершенное множество, а К — симплициальный комплекс.

Ключевые слова: симплициальный комплкес, компактное пространство, канторово совершенное множество.

В 2009 году Федорчук [6] рассмотрел понятие К--тё-пространства (соответственно 8-К--тё-пространства). Напомним его.

Пусть дан симплициальный комплекс К. Семейство замкнутых множеств {^1,..., } будем называть К-системой, если нерв этой системы (как ком-

плекс) * вкладывается в К. Окрестностью К-системы Ф = {^1,... ,Ек} будем называть такое открытое семейство ОФ = {ОР1,... ,ОРи}, что Fi С ОЕг и N(ОФ) С N(Ф), соответственно перегородкой К-системы Ф будем называть такое замкнутое множество Р, что X \ Р есть тело некоторой К-окрестности Ф.

Из леммы о раздутии (см. например, [2]) следует, что у любой К-системы существует К-окрестность.

Через Ехр^ (X) будем обозначать множество всех К-систем в X.

Определение 1 [6]. Последовательность ф = {Ф1,..., Фг}, Фi £

€ Ехр^ (X), называется несущественной, если существуют такие перегородки Pi систем Ф^ что П[=1 Pi = 0, в противном случае такую последовательность назовем несущественной .

Определение 2 [6]. Нормальное пространство X называется К--тё-пространством (соответственно 8-К--тё-пространством), если всякая последовательность {Ф^^ш К-систем несущественна (соответственно, существует такое N, что последовательность {Ф^£=1 несущественна).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНП 2.1.1. 7988.

* Нервом системы и мы называем такой комплекс N (и), вершины которого однозначно соответствуют элементам и, т.е. N (и) = {аи .и £ и} и различные вершины аи1,... , аип £ £ N (и) образуют симплекс комплекса N (и), если р| "=1 и = 0.

Из определения легко вытекает следующее включение:

S-K-wid С K-wid.

При K = S0 = {0,1} класс K-wid-пространств (соответственно S-K-wid-пространств) совпадает с классом слабо бесконечномерных пространств, которые еще в 1948г в Предисловии к русскоязычному переводу монографии Гуревича и Волмэна [1] рассмотрел П.С. Александров (соответственно спустя 10 лет Ю.М. Смирнов).

В своей работе Борст [5], основываясь на построенном им методе, распространил лебегову размерность dim на трансфинитный случай. Оказалось, что эта размерность корректно определена для всех S-слабо бесконечномерных пространств. Данный метод оказался универсальным, и можно размерность определять для S-K-wid-пространств (см. [6]).

Напомним конструкцию Борста [5]. Пусть L — произвольное множество. Обозначим семейство всех непустых конечных подмножеств L через FinL.

Пусть M С FinL. Для a £ {0} U FinL. Полагаем

Mа = {т £ FinL и a U т £ M : а П т = 0}.

Для a £ L множество Mбудем обозначать M“.

Определение 3. [5] Порядковое число Ord M определяется по индукции.

1) Ord M = 0, если M = 0.

2) Ord M ^ а, если Ord M“ < а для любого a £ L.

3) Ord M = а, если Ord M ^ а и неравенство Ord M < а не выполняется.

3) Ord M = о, если Ord M > а, для любого а.

В дальнейшем нам понадобится следующие леммы.

Лемма 1. [5] Пусть даны отображение j : L ^ L', а также множества M С FinL и M1 С FinL', такие, что для любого а £ M имеем:

(1) Y(a) £ M';

(2) \Y(a)l = М-

Тогда Ord M < Ord M'.

Лемма 2. [5] Пусть L — множество и пусть M, M\ и M2 — подмножества FinL, такие что M С M\ U M2. Тогда

Ord M ^ max{Ord M\, Ord M2}.

Также напомним определение нижней суммы ординалов. Пусть а, в ординалы. Представим их в виде а = а' + p и в = в' + q, где а', в' предельные ординалы, а p и q целые положительные числа.

Определение 4. [5] Нижняя сумма ординалов а и в определяется следующим образом:

{а, если а' > в',

а + q = в + р, если а' = в',

в, если а' < в' ■

Пусть а и в — ординалы. Если а ^ в, то полагаем Ф(а,в) = а ® (в + + 1), если же а ^ в, то полагаем Ф(а, в) = в Ф (а + 1). Очевидно, при а = в функция Ф корректно определена.

Теперь, через Fin Ехрк(X) обозначим семейство всех непустых конечных множеств K-систем в X и рассмотрим его подмножество

Tk(X) = [a G Fin Ехрк(X): а существенно}.

Воспользуемся теперь конструкцией Борста, положим L = Fin Expm(X) и M = Tk(X). Тогда определена ординальнозначная функция OrdTk(X) (может быть принимающая значение то). Полагаем

tr-k-dim(X) = Ord Tk(X)■

В.В. Федорчук доказал [6], что tr-k-dimX < то тогда и только тогда, когда X является S-K-wid-пространством. Аналогично тому, как это делается в статье [4], можно доказать теорему суммы для размерности tr-k-dim. Именно, если X = Xi U X2, где Xi и X2 замкнуты в X, то

tr-k-dim2X ^ max[tr-k-dim2Xi, tr-k-dim2X2} ® ф (tr-k-dim2(Xi П X2) + 1).

Данные результаты хорошо согласуются с той картиной, которую мы имели при K = S0 (и как увидим позднее, что функция tr-k-dim также монотонна по замкнутым множествам), так как tr-S0-dim = dim.

Хорошо известен классический результат о размерности произведения компактных конечномерных пространств. Размерность произведения не превосходит суммы размерностей множителей (см. [2]). Для трансфинитой размерности dim Борст доказал, что dim2(X х C) = dim2 X, где X — компактное пространство, а C — канторово совершенное множество. Цель данной работы доказать, что для размерности tr-k-dim верен аналогичный результат.

Теорема 1. Если X компакт, то

tr-k-dimX = tr-k-dim(X х C)■

Неравенство

tr-k-dim(X х C) ^ tr-k-dim(X)

можно получить если мы докажем монотонность функции tr-k-dim по замкнутым множествам. Действительно, X ~ X х [0} С X х C.

Доказательство монотонности предварим несколькими леммами и определением.

Пусть Е замкнуто в X. Определим отображение : Ехрк(X) ^ ^ Ехрк(Е) следующим образом. ({Е1,..., Ет}) = {Е1 П Е,..., Ет П Е}.

Положим Ехрк (X )|Е = (Ехрк (X)). Сужением последовательно-

сти а = {Ф}=1, где Фi = {Е\,...,Ет}, назовем последовательность ар = {1Е(Ф^ЙЦ. Также, пусть

ТЕхрк (х)|г = | а £ Пи Ехрк (X): а = {Ф}=1 и для любых перегородок Pi (в X) К-систем Фi имеем Е П (П д) = 0}.

Лемма 3. Пусть X представляется в виде дизъюнктной суммы замкнутых подпространств Xl и X2. Тогда Ут £ {0} и Ехрк(X) имеем

Огё Тк^)т ^ тах{Огё ТЕхрк(х)х, Ог^ ТЕхрк(X)х}.

Доказательство. Воспользуемся леммой 2. Лемма будет доказана, если мы покажем, что

Тк^)Т ^ ТЕхрк(Х)|Х1 и ТЕхрк(X)|Х2 .

Фиксируем а £ Тк(X)т. Тогда 7 = а и т £ Тк(X), т.е. 7 существенно. Пусть 7 = {Ф}=1, где Фi = {Щ,..., Ет}.

В этом случае либо {{Е1 П Xl,...,Fm П X1}}?=l £ ТЕхрк(X)|Х1, либо {{Е1 П Xl,...,Fгm П Xl}}r^=l £ ТЕхрк (х)|х2, в противном случае 7 несущественна, т.е. 7 £ Тк (X). Отсюда следует, что либо а £ ТЕхрк (х)|х1, либо

а £ ТЕхрк(х)|х2.

Лемма 4. Пусть в топологическом пространстве даны замкнутое множество Н и последовательность К-систем а = {Ф1,..., Фп}• Пусть также известно, что система ащ несущественна в Н. Тогда существуют такие перегородки Pi для Ф^ г = 1.. .п, в X, что

н п( П р^) = 0.

м=1 '

Доказательство. Фиксируем перегородки Si для К-систем

{Е{ п н, ... П Н}

в Н такие, что Р|™=1 Si = 0 и пусть Н \ Si = и?=1 О, где системы {О1,...

..., Огк} являются К-окрестностями семейств {Е{ П Н,... П Н} в Н. По лемме о раздутии существуют такие открытые в Н множества OSi, что Si С OSi и ПП=1 OSi = 0. Кроме того, можно дополнительно потребовать, чтобы OSi П (и^=1 Е%) = 0, г = 1,... ,п. Очевидно,

[О!-]н С О) и Si, г = 1,... ,п, ] = 1,... ,к.

Полагаем

является К-системой в X для любого г = 1,... ,п. Возьмем произвольную перегородку Рг для Ф' (хотя бы одна такая перегородка существует, так как существует окрестность для Ф'). Легко видеть, что Рг искомые. Действи-

Следующая лемма очевидна.

Лемма 5. Пусть Ф = {Е-\_,..., Ет} и Ф' = {Е[,..., Ет} две К-системы, и Еі С Е', і = 1,... ,т. Тогда

1) последовательность (Ф, Ф') несущественна;

2) Тк(Х)ф С Тк(X)ф.

Лемма 6.

тЕхрк(Х)\^ = {с Є РіпЕхрк(X): с\Р существенно и \с\р\ = \с\}.

Доказательство. Включение С следует из предыдущих двух лемм. Докажем включение 2>. Пусть с = {Фі}П= і, где Фі = {Е',...,Ет'%т} — К-система в X, такая что последовательность {{Е1 П Е,..., Е^ П Е}}П= і несущественна в Е. Пусть ОФ = {ОЕ\,..., ОЕ^} — произвольная К-окрестность системы Фі для і = 1,... ,п, соответственно, Рі = X \ Уі= і ОЕі — перегородки. Тогда Р' = Рі П Е является перегородкой К-системы {Е\ П Е,..., Е^ П П Е}. По условию последовательность {{Е{ П Е,..., Е^ П Е}}”= і существенна, а значит,

11 п. п.

следовательно, а Е ТЕхрк(х)|^.

Теорема 2. Пусть Е замкнуто в X. Тогда

^-к-ётЕ = Огё ТЕхр^(Х)|^ ^ tr-k-dimX.

Доказательство. Очевидно, ТеХРк(х)|^ С Тк(X) откуда следует, что

тельно

П

П

0 = П Р'г = Е Пр| Рі,

ОгёТЕхрк(Х)\^ ^ ОгёТк(X) = tr-k-dimX.

Аналогично Тк(Е) С ТЕхрк(х)\^, поэтому

Огё Тк(Е) = ^-к^ітЕ ^ Огё ТЕхрк(х)\^.

Очевидно, для каждого а Е ТеХРк(х)|е имеем

^е(а) Е Тк(Е) и \а\ = \^е(а)|.

Из леммы 1 следует, что

ОгёТЕхрк(Х)|Е ^ ОгёТк(Е) = ^-к-ёшЕ.

Итак, монотонность для ^-к-ёш, а следовательно и неравенство ^-к-ёш^ х С) ^ tr-k-dim(X),

установлено.

Лемма 7. Пусть {Е1,... ,Ет} является К-системой в X х С. Тогда существует дизъюнктное покрытие {В ..., Вр} пространства С, состоящее из открыто-замкнутых множеств, а также набор из р К-систем Фj = {Е^,..., } в X, таких, что С \Ур= 1 (Е/' х Dj).

Доказательство. В силу компактности пространства X х С, существуют открытое покрытие {Щ}к= 1 пространства X и дизъюнктное покрытие {Вг}Р= 1, состоящих из открыто-замкнутых множеств (в силу нульмерности пространства С), такое, что для любого Uj х В1 выполнено следующее условие:

I

если |^| = 0, то существует такое 1 ^ во ^ I, что Ггзо П ([Uj] х Dj) = 0.

в= 1

(1)

В силу нульмерности С, можем считать что покрытие {В 1,..., Вр} состоит из открыто-замкнутых дизъюнктных множеств.

Для г = 1,... ,т и ] = 1,... ,р полагаем

¥1 = п(Е П В х X)),

где п : X х С ^ X — проекция на первый сомножитель.

Проверим, что для любого ] = 1...р, система {Fj ,...,Е^} является К -системой.

Пусть П 1=1 = 0. Если Р| 1=1 Е? = 0, то для х Е Р| 1=1 Е? существует

такое го, что х Е иг0. Но тогда П ([Цг0] х в?) = 0, для любых г8, в = = 1,... ,1, а это противоречит (1). Итак {Е^,..., }, является К-системой.

Включение Ег С ир=1(Е/ х в?) очевидно.

Лемма 8. Пусть даны компакт X, последовательность К-систем

т = {Ф1,..., Фга} Е {0} и Ет Ехрк(X),

где Фг = {Е1,..., }. Пусть Ф' = Щ х С,...,Егт х С} и т' = {Ф^,..., Ф^}.

Тогда т’ Е {0} и Ет Ехрк(X х С) и

Огё Тк(X)т = Огё Тк(X х С)т'.

Доказательство. Докажем неравенство

Огё Тк(X)т ^ Огё Тк(X х С)т'.

Доказательство проведем индукцией по а = ОгёТк(X х С). При а = 0 неравенство выполняется, так как Огё Тк(X)т ^ 0 = а. Пусть неравенство выполняется при всех в < а. Рассмотрим случай, когда а — непредельный ординал, т.е. а = в +1. Тогда существует К-система Ф = {О1,... ,От} Е Е Ехрк(X х С), такая, что

Ф Е т' и Огё Тк(X х С){ф}ит' = в.

Для 3 = 1,... ,т, г = 1,... ,п положим через Ог? = х С. По предыдущей

лемме существует открытое покрытие {В1, ..., Вр} и существуют К-системы {Нк,..., Н^}, к = 1,... ,р в X, такие, что

р

о? (Н х ), 3 = 1,...,т.

к=1

Для к = 1, . . . , р определим следующие множества

Ук = X х 1Эк и Тк = ТЕхрк(XхО)У .

В силу леммы 3 существует ко Е {1,... ,р}, такое, что

Огё Т{ф}ит = в.

Заметим, что

О? П Уко С Нк0 х С, 3 = 1,... ,т. (2)

Полагаем Еп+1 = Нко и Оп+1 = Еп+1 х С, 3 = 1,...,т. Пусть

ф' = {е^1, ..., Ет+1} и ф = {оп+1, ..., от+1}.

Включения (2) можно переписать в виде

О? П Уко С О™+1 П По, 3 = 1,... ,т. (3)

Так как т' и {Ф} Е Тк0, то из леммы 5 и включений (3) следует, что т' и {Ф} Е

Е Тк0 а значит Ф £ т'. Из той же леммы 5 следует, что Ф' £ т и ТФо С Т^о,

поэтому

Огё Тк(X х С){ф}ит' ^ Огё Т^}ит' ^ Огё Т{ф}ит' ^ в.

По индуктивному предположению имеем Огё Тк(X){ф'}ит ^ в, следовательно

Огё Тк(X)т ^ а,

так как Ф' Е т.

Осталось доказать неравенство для предельных а. Пусть а — предельный ординал. Так как для любого в < а имеем Огё Тк(X х С)т ^ в, то Огё Тк(X)т ^ в, следовательно, Огё Тк(X)т ^ а.

Обратно, X С X х С, и X = X х {0}. Мы можем считать, что Fjj С Fjj х

х C, j = m, г = n, поэтому Т EXPk (х хс )|х С Тк (X х C ). С ДРУгой стороны TK(X) С ТExpK(XxC)|X. Откуда следует требуемое неравенство

Ord Тк(X)т < Ord Тк(X х С)т'.

Теперь неравенство tr-k-dim(X х С) ^ tr-k-dim(X) легко следует из предыдущей леммы, если положить т = т' = 0. Теорема 1 доказана.

Список литературы

1. Александров П.С. Предисловие к русскому переводу. В кн. В. Гуревич, В. Вол-мен, Теория размерности. М., 1948. 232 с.

2. Александров П.С'., Пасынков Б.А. Теория размерности. М.: Наука, 1973. 576 с.

3. Левшенко Б.Т. О бесконечномерных пространствах // ДАН СССР. 1961. Т.139, №5. С.286-289.

4. Осипов Е.В. Теорема суммы для dimm // Сб. Современные проблемы математики и механики. Математика. Геометрия и топология. М.: МГУ, 2009. Т.3. Вып.2.

C.164-167.

5. Borst P. Classification of weakly infinite-dimensional spaces. I. A transfinite extension of covering dimension // Fund. Math. 1988. V.130, №5. P.1-25.

6. Fedorchuk V.V. Questions on dimensions modulo simplicial complexes III. Transfinite dimension // Questions Answers Gen. Topology. 2010. V.28, №2. P.25-52.

Осипов Евгений Вячеславович ([email protected]), аспирант, кафедра общей топологии и геометрии, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

The equality of dimension modulo simplicial complexes for compacta X and X x C

E.V. Osipov

Abstract. For compacta X we prove equality tr-k-dim(X х С) = tr-k-dimX, where С — the Cantor set, and K — simplicial complexes.

Keywords : simplicial complex, compact space, Cantor set.

Osipov Evgeniy ([email protected]), postgraduate student, department of general topology and geometry, Lomonosov Moscow State University.

Поступила 05.06.2010