РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3/.6

Немировский Ю.В., Федорова Н.А. Nemirovsky Yu.V., Fyodorova N.A.

Рациональные и эффективные криволинейные структуры армирования плоских конструкций

Determination of Rational and Effective Curvilinear Structures of Planar Constructions Reinforcement

В настоящей статье решена задача рационального армирования семействами криволинейных волокон осесимметричной кольцевой пластины в полярной системе координат. Поиск криволинейных структур армирования выполнен на основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи упругости. Изучено влияние структурных параметров на предельное нагружение конструкции. Приведены примеры армирования кольцевой пластины вдоль спиралей различного вида. Многообразие спиралевидных структур достигается построением траекторий, изогональных к данным семействам спиралей.

The problem of the rational reinforcement with curvilinear fibers sets of an axially symmetric ring-shaped lamel in polar coordinate system is solved in this work. Curvilinear reinforcement structures search is performed by reference to the structural model in terms of a non-homogeneous planar linear problem of elasticity. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied. The examples of ring-shaped lamel reinforcement with different kinds of spirals sets are cited. A manifold of spiral structures is achieved by generating trajectories which are isogonal to given trajectories.

Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории, изогональные траектории армирования.

Key words: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories, isogonal trajectories of reinforcement.

1. Постановка осесимметричной задачи армированных сред в полярной системе координат. Пусть армирование выполнено т*-ми семействами волокон; фт - углы армирования т-м семейством волокон (т = 1, ..., т*); 8т - деформация в волокне; Ют - интенсивность армирования т-м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [7]:

рр COS Фт + ре Sin Фт

-ре COS Фт Sin Фт

= S„

Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и компоненты вектора перемещений ыр, ив в условиях осесимметрич-ной деформации, имеют следующий вид:

ди

SP=-

др

P р =-P

ье =

дие

' рре = IT" P P дР

P

(1)

Закон Гука для неоднородного армированного материала запишем в виде:

*

Е т

Ор -2(8Р+У8е) + Еат®т СОЭ2 фт ,

се = Q

1 -V

E 1 -V2

т = 1

*

(pe+Vp P ) X ат®т

sln2 фт

аре = Q

E

1+ V

т =1

PP"+ ЕСТт®т COS Фт Sin Фт >

(2)

где Е, V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего материала;

Q = 1 -X

Ю-

удельная интенсивность

т = 1

прослоек связующего между армирующими слоями.

В соотношения (2) входят напряжения в волокне От, они удовлетворяют закону Гука; Ет -модули Юнга т-го семейства волокон. При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон [1] интенсивность армирования ют удовлетворяет следующим соотношениям в полярной системе координат:

— фШт C°s Фт ) + — (®т sin Фт ) = 0

(3)

Интенсивность ют найдем из (3) после определения углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования р = р(е) и начальных условий выхода арматуры на внутреннем контуре кольцевой пластины [3].

Подставим (2) в уравнения равновесия:

да

dP

p+0P^£ = 0,

да

2а

др

- + -

= 0.

т

P

P

1

т

Вестник СурГУ. 2014. Вып. 4 (6)

С учетом (1) получим относительно компонент перемещений систему дифференциальных уравнений:

2ие йа11 ап <3ир

й р2 йр р йр

й 2ир

211 , 2 + а13 й р 2

+(_ а2з + йа13) йие + (йа^ _ а22) ир+ р йр йр йр р р

+(_ йа1з + а2з) ие _ о йр р р

,2 2

й и й иЙ Мъ 2

а13 2 + а33 2 4 7 13' 7

йр2 йр2 р й р р й р

+(_ Оз! + йазз + 2азз) йие + р й р р й р

+(йа2з + агз) ир + (_ Озз _ йазз) о й?р р р р dр р

где введены коэффициенты:

+(°2з + +± а3

а11 _ т + Ё Ет®т сов4 фт,

(4)

т _ 1

а12 _ Ут1 + Ё Ет®т 81П2 Фт с^2 фт,

т _ 1

а1з _ Ё Ет®т С0^ Фт Фт>

т _ 1

22 _ т1 + Ё £тат ^ Фт

т _ 1

т

а2з _ Ё Ет®т Фт ЯПз Фт,

т _ 1

т

___2 ,

азз _ т2 + Ё Ет®т ™ Фт С0в Фт, т _ 1

п Е п Е

К разрешающей системе (4) относительно радиальных и окружных перемещений ир, щ добавим четыре граничных условия на внешнем и внутреннем контурах кольцевой пластины. Система и граничные условия представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициенты системы (4) содержат полный набор структурных характеристик: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования. Для численного

решения разрешающая система сводилась к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решалась методом ортогональной прогонки [5].

2. Условия разрушения. Проверка условий разрушения упруго армированного материала имеет свои особенности [2; 4]. Пусть материал изотропного связующего имеет различные пределы прочности при растяжении а+ и сжатии

а_. Тогда в случае плоского напряженного состояния условие прочности для неоднородного материала через напряжения арс, аес, ар9с в связующем для полярной системы координат имеют следующий вид [4]:

(аср)2 + (ае)2 + з(аре)2 _ (а^Ж) _

_ (а+ _ а_ )(ар +ар) <а+а_ ■

(5)

Для семейств армирующих волокон предполагаем, что пределы прочности т-го семейства

+ _

волокон при растяжении а+ и сжатии а_ различны. Армирующие семейства волокон остаются упругими, если выполняются неравенства:

ат < Етет < ат ■

(6)

Таким образом, для проверки прочности армированного материала необходимо анализировать два условия: условие на прочность материала связующего (5) и условие на прочность армирующих волокон (6). Поэтому вводится понятие предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой конструкции. При достижении этого состояния хотя бы в одной точке конструкции, в связующем или в волокне, происходит выход за пределы упругости. В данной точке может возникнуть микроразрушение.

3. Численные примеры. Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи. Рассмотрены примеры численного решения задачи для двух семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства алгебраических спиралей и им изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения [6]. В численном эксперименте рассмотрена кольцевая пластина со следующими криволинейными структурами армирования двумя семействами

т

*

*

волокон. Траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей, обозначим эту структуру символом «А + L», иллюстрация такого способа армирования приведена на рис. 1. Траекториями армирования являются семейства логарифмических спиралей и семейства «спицы велоколеса», обозначим + V» (рис. 2). Траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и семейства «спицы велоколеса», обозначим структуру символом «А + V». Семейства изогональных траекторий к семействам логарифмических спиралей показаны на рис. 3.

Для анализа рассматриваемых структур армирования вводится характеристика Р - «степень нагружения волокна», определяемая как отноше-

ние напряжений в волокне к пределу прочности соответствующего материала, выраженное в процентах. Для различных амплитуд внешней нагрузки и начальных условий выхода арматуры Ю01, Ю02 на внутреннем контуре кольцевой пластины получены зависимости Р для рассматриваемых структур армирования (см. таблицу).

Результаты таблицы показывают существенное влияние структурных параметров (выбора способа армирования и заданной начальной интенсивности армирования) на поведение композита. Предлагаемая методика позволяет в рамках единой схемы создавать конструкцию с заранее заданными свойствами и содержит широкий выбор возможностей армирования вдоль криволинейных траекторий.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Степень нагружения волокна P, выраженная в процентах

Способ армирования двумя семействами волокон «01 = 0,3; «02 = 0,3 «01 = 0,05; «01 = 0,0376 «01 = 0,1; «01 = 0,318

Семейства (А + L) 6 40 6

Семейства (А + V) 9 70 10

Семейства ^ + V) 14 80 22

Работа выполнена при частичной поддержке грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-90400 Укра.

Литература

1. Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Проектирование пластин, армированных равнонапря-женными волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композитных материалов. 1983. № 2. C. 278-284.

2. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск : Наука, 1986. 165 с.

3. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Самара. 2013. № 1(30). С. 233-244.

4. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : Изд-во СФУ, 2010. 136 с.

5. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1986. 288 с.

6. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального университета, математика и физика. Красноярск. 2011. № 4(3). С. 400-405.

7. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P.898-903.