Рассыпчатые полугруппы, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.572

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(3).41-46

РАССЫПЧАТЫЕ ПОЛУГРУППЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ОБОБЩЕННЫЕ ВНЕШНЕПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ КЭЛИ

П. О. Мартынов

Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия

Информация о статье Аннотация. Изучаются рассыпчатые полугруппы, допускающие обобщенные внешне-

Дата поступления планарные графы Кэли, доказано соответствующее характеристическое свойство.

20.03.2018

Дата принятия в печать 29.06.2018

Дата онлайн-размещения 29.10.2018

Ключевые слова

Граф Кэли полугруппы, обобщенные внешнепланарные графы, рассыпчатые полугруппы

CRISP SEMIGROUPS ADMIT GENERALIZED OUTERPLANAR CAYLEY GRAPHS.

Abstract. We enumerate crisp semigroups how admitting generalized outerplanar Cayley graphs.

P.O. Martynov

Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia

Article info

Received 20.03.2018

Accepted 29.06.2018

Available online 29.10.2018

Keywords

Cayley graph of a semigroup, generalized outerplanar graphs, crisp semigroups

Данная статья продолжает исследование [1; 2], посвященное перечислению полугрупп, допускающих обобщенные внешнепланарные графы Кэли.

Общеупотребительные понятия теории графов мы приводить не будем, их определения можно найти, например, в [3]. Хотелось бы лишь напомнить, что обобщенным внешнепланарным графом называется планарный граф, который можно уложить на плоскости таким образом, что каждое ребро обладает хотя бы одной концевой вершиной на границе одной и той же грани [4].

Традиционно [5] графом Кэли полугруппы S относительно множества образующих ее элементов X называют помеченный ориентированный мульти-граф Сау(5, X), состоящий из множества вершин S и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а,х,Ь), где а,ЬеБ, ХЕX и ах = Ь .

Необходимо отметить, что обобщенные внешнепланарные графы впервые ввел в рассмотрение Иржи Седлачек. Данное понятие сыграло важную роль при изучении локальных свойств графов [6].

Кроме того, Седлачек нашел характеризацию обобщенных внешнепланарных графов в терминах запрещенных подграфов. Нас будут интересовать графы вю и ви из 12 графов Седлачека.

Рис. 1. Запрещенные графы Седлачека G10 и G11

Положим а°Ь = Ь(а°Ь = а), \/а,Ь&Ип (£п), очевидно, введенная операция о ассоциативна. Полугруппу с такой операцией называют полугруппой правых (левых) нулей, п - количество элементов полугруппы.

Рассыпчатыми полугруппами называются ординальные суммы сингулярных полугрупп. Напомним, что ординальной суммой попарно непересекающихся полугрупп Бе, где е пробегает цепь Р, называет полугруппа = / в которой е</ для любых ае и ь е действует правило умножения

а • Ь = Ь • о = о. Сингулярными называются полугруппы левых или правых нулей.

Известны условия, при которых рассыпчатые полугруппы допускают планарные [7] и внешнепла-нарные [7] графы Кэли. Следующая теорема характеризует рассыпчатые полугруппы, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли.

Теорема 1. Пусть Б - рассыпчатая полугруппа и 5 = иеер5е соответствующая ординальная сумма сингулярных полугрупп. Тогда Б допускает обобщенный внешнепланарный граф Кэли тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) |р| = 1 и ((| ^ < 5, если Б - полугруппа правых нулей) или (Б - полугруппа левых нулей));

2) |р| = 2 и выполнено одно из условий:

а) обе компоненты являются полугруппами правых нулей < 5;

б) только одна из компонент ^ является полугруппой правых нулей и |5е| < 3, а другая компонента одноэлементная (при |5е| = 3);

в) обе компоненты - полугруппы левых нулей и одна из них содержит менее трех элементов;

3) |р| = з и выполнено одно из условий:

а) все компоненты - полугруппы правых нулей и \s\ < 5;

б) две из компонент содержат по одному элементу, а третья компонента - полугруппа левых нулей;

в) все компоненты являются полугруппами левых нулей и |s| < 5;

4) |р| = 4 и |s| = 4 .

Доказательство. Для полугрупп, удовлетворяющих условию теоремы, строится плоская укладка соответствующего графа Кэли. Если полугруппа не удовлетворяет приведенным выше условиям, то ее граф Кэли содержит подграф, гомео-морфный К5 или кзз.

1. Если единственной компонентой является полугруппа правых нулей R, то при числе элементов не менее 5 соответствующий граф Кэли не является планарным [7]. На рис. 2-5 приведены графы, удовлетворяющие условию. Для полугруппы левых нулей граф Кэли будет планарен для любого числа вершин [8].

0°

Рис. 2. 5 = R± CayR ,a)

° " ^ Ь

QCZX)

Рис. 3. 5 = R2 CayR ,{a,b})

b

Рис. 4. cay(R3,{a,b,c}) является планарным

Ь с

Рис. 5. Основа графа Кэли полугруппы S = R.

а

Граф на рис. 5 не внешнепланарен [7], но обобщенно внешнепланарен, так как каждое ребро обладает хотя бы одной концевой вершиной на границе одной и той же грани.

2. Имеет смысл рассмотреть все возможные ситуации объединения двух полугрупп, когда количество слогов ординальной суммы |р| = 2 . Граф

Кэли будет представлен двудольным графом, в каждой из долей будут находиться вершины соответствующие объединяемым полугруппам. Учитывая, что Р - цепь, элементы каждой полугруппы будут связаны между собой ребрами.

а) Обе компоненты являются полугруппами правых нулей, <5 - необходимое условие пла-

нарности [7]. В таб. 1 приведены графы, подходящие под данное условие, следует отметить, что все из них удовлетворяют условию обобщенной внешней планарности.

Таблица 1

Основы графов Кэли для полугрупп ординальных сумм двух слагаемых

Ординальная сумма

S = R ^ R

S = R ^ R

S = R ^ R

Основа графа ординальной суммы из двух слагаемых

В2

R3

Ri

б) Только одна из компонент является полугруппой правых нулей и < 3, а другая компонента одноэлементная (при = 3). На рис. 6 приведены их соответствующие плоские укладки.

L

L

3

3

Рис. 6. Удовлетворяющие условию обобщенной внешней планарности основы графов Кэли полугрупп, представляющих ординальную сумму двух слагаемых

R

L'

Рис. 7. Не удовлетворяющие условию обобщенной внешней планарности основы графов Кэли полугрупп, представляющих ординальную сумму двух слагаемых

Графы на рис. 7 гомеоморфны запрещенному графу Седлачека вы из [1]. При увеличении вершин больше трех, мы будем получать полный граф К4. Причем каждая из его вершин, в виду того, что Р -цепь, будет соединена ребром с одной из вершин, соответствующей элементу второй компоненты ординальной суммы, таким образом получим граф, го-меоморфный К , и невыполнение условия обобщенной внешней планарности.

а) Обе компоненты - полугруппы левых нулей, и одна из них содержит менее трех элементов.

п

п

i

L

L

n

R

2

R

R

i

i

R

L

2

S = R ^ R

S = R ^ R

i

S = R ^ R

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 41-46

-ISSN 1812-3996

Рис. 8. Основы графов Кэли ординальных сумм полугрупп левых нулей

L

L„

Рис. 9. Основа графа Кэли ординальной суммы Ц ^^

Все основы графов, представленные на рис. 8, допускают обобщенную внешнюю планарность.

Двудольный граф не является планарным, если число вершин каждой компоненты больше либо равно трем. Например, основа графа Кэли полугруппы, являющейся ординальной суммой двух трехэлементных полугрупп левых нулей на рис. 9, является полным двудольным графом К .

3. |р| = з и выполнено одно из условий:

а) Все компоненты - полугруппы правых нулей и к| < з .

R

R

R. R.

R

2

Рис. 10. Обобщенно внешнепланарные основы графов Кэли ординальных сумм трех полугрупп правых нулей

Рис. 11. Обобщенно внешнепланарные основы графов Кэли полугрупп правых нулей

в) Все компоненты являются полугруппами левых нулей и к|<5 или к 1 = 2для любого 6ЕР.

Рис. 12. Обобщенные внешнепланарные основы графов Кэли

L

L

Рис. 13. Основы графа Кэли ординальной суммы 1 ^12 ^12 слева и 12 ^^12 справа

Изображение графов на рис. 13 не доказывает обобщенную внешнепланарность в виду ребер, выделенных жирным, оба конца которых не лежат на внешней грани. Но, так как эти графы не содержат подграфов, гомеоморфных одному из графов Седла-чека, то граф всё же является обобщенным внешне-планарным, и для получения такой укладки как раз достаточно переместить крайнюю левую вершину во внутрь указанной стрелкой грани. Получим графы

L

L

L

L

2

1

1

1

L

L

2

2

1

1

R

2

1

на рис. 14, на которых 11 и есть та самая перемещенная вершина, а две вершины 12 - остальные слагаемые ординальной суммы, двухэлементные полугруппы левых нулей, содержащие по две несвязные вершины в каждом. Не трудно заметить, что основы графов изоморфны.

L

L„

L„

L„

Рис. 14. Основы графов Кэли ординальных сумм полугрупп ¿2 ^^ ^ ^

L

L

Рис. 15. Основы графов Кэли ординальных сумм полугрупп ^ ^¿2 ^^ и ¿2 ^^ ^^

На рис. 15 изображен описанный ранее перенос вершины. Далее рассмотрим граф с ординальной суммой ^ ^ ¿2 ^ ^ на рис. 16, он содержит подграф Седлачека бп, следовательно, не является обобщенно внешне планарным графом Кэли по теореме Седлачека.

Рис. 16. Основа графа Кэли ординальной суммы

полугрупп ¿2 ^^ ^¿2 4. В таб. 2 приведены графы, удовлетворяющие условию |р| = 4 и |ы| < 5 .

Как видно из таблицы, единственным подходящим ограничением, удовлетворяющим обобщенной внешней планарности, является |р| = 4 и Ы = 4

Таблица 2

Основы графов Кэли для полугрупп ординальных сумм четырех слагаемых

Основы графов

G &

О

с

>3 ^

G

S

Си §

О

^ ¡Г

О I О

>3 Си I

3

Си I (О >3

0

1 I

Си ?

о о

2 G10

3 Ks

3 Gw

3 G10

3 Gw

В статье были описаны рассыпчатые полугруппы, допускающие обобщенные внешнепланар-ные графы Кэли, доказано соответствующее характеристическое свойство. Основным направлением дальнейшего исследования является применение машинных вычислений [9] для проверки допустимости графов Седлачека, взятых с некой ориентацией и пометкой ребер в качестве графов Кэли полугрупп, опираясь на ранее проведенные исследования для графов Кз,з и Кб.

Автор выражает благодарность Д.В. Солома-тину за постановку задачи и ряд важных замечаний.

L

i

L

L

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 41-46

-ISSN 1812-3996

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Мартынов П. О. Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие обобщенно внешнепланарные графы Кэли // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 5-9.

2. Мартынов П. О., Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы и полугруппы с нулем, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 22-26.

3. Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 300 с.

4. Sedlàcek J. On a generalization of outerplanar graphs (in Czech) // Casopis Pëst. Mat, 1988. Vol. 113, no. 2. P. 213-218.

5. Zelinka B. Graphs of Semigroups // Casopis. Pest. Mat, 1981. Vol. 106. P. 407-408.

6. Sedlàcek J. On local properties of graphs again // Casopis Pëst. Mat, 1989. Vol. 114, no. 4. P. 381-390.

7. Соломатин Д. В. Строение полугрупп, допускающих внешнепланарные графы Кэли // Сиб. электрон. матем. изв. 2011. Т. 8. С. 191-212.

8. Соломатин Д. В. Рассыпчатые полугруппы с планарными графами Кэли // Изв. ВГПУ: Серия «Естественные и математические науки». Волгоград : Перемена, 2005. № 4 (13). С. 27-31.

9. Соломатин Д. В. Проверка допустимости графа в качестве графа Кэли полугруппы. Программа для ЭВМ, зарегистрированная в ОФАП № 50200600078 от 2 февраля 2006 года.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Мартынов Павел Олегович - аспирант кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. Тухачевского, 14; e-mail: 3mbar90@ gmail.com.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Martynov Pavel Olegovich - Postgraduate Student of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, Tukhachevsky quay, Omsk, 644099, Russia; e-mail: 3mbar90@gmail.com.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Мартынов П. О. Рассыпчатые полугруппы, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 41-46. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).41-46.

FOR QTATIONS

Martynov P.O. Crisp semigroups admit generalized outerplanar Cayley graphs. Vestnik Omskogo universi-teta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 41-46. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).41-46. (in Russ.).