CC BY
10
УДК 004.94 ББК 32.97 Р 24
Пуховский Валерий Николаевич
Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета, Таганрог, тел. (8634) 371656, e-mail: vpuhovskiy@sfedu.ru Гушанский Сергей Михайлович
Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета, Таганрог, тел. (8634) 371656, e-mail: smgushanskiy@sfedu.ru Потапов Виктор Сергеевич
Ассистент кафедры вычислительной техники института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета, Таганрог, тел. (8634) 371656, e-mail: vitya-potapov@rambler.ru
Бородянский Юрий Михайлович
Кандидат технических наук, доцент кафедры программной инженерии и вычислительной техники Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А Бонч-Бруевича, Санкт-Петербург, e-mail: borodyanskyum@gmail.com
Рассмотрение приемов ускорения моделирования квантовых вычислений и реализация алгоритма оптимизации, исключающего тензорное произведение при моделировании*
(Рецензирована)
Аннотация. В работе рассматриваются приемы ускорения моделирования квантовых вычислений и реализации алгоритма оптимизации, исключающего тензорное произведение при моделировании.
Ключевые слова: квантовый алгоритм, запутанность, кубит, квантовый гейт, квантовый симулятор.
Pukhovsky Valeriy Nikolaevich
Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Computer Engineering, Institute of Computer Technologies and Information Security, Southern Federal University, Taganrog, ph. (8634) 371656, e-mail: vpuhovskiy@sfedu.ru Gushansky Sergey Mikhaylovich
Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Computer Engineering, Institute of Computer Technologies and Information Security, Southern Federal University, Taganrog, ph. (8634) 371656, e-mail: smgushanskiy@sfedu.ru Potapov Viktor Sergeevich
Lecturer Assistant of the Department of Computer Engineering, Institute of Computer Technologies and Information Security, Southern Federal University, Taganrog, ph. (8634) 371656, e-mail: vitya-potapov@rambler.ru Borodyansky Yuriy Mikhaylovich
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Software and Computer Engineering, St. Petersburg State University of Telecommunications named after Professor M.A. Bonch-Bruevich, St. Petersburg, e-mail: borodyanskyum@gmail.com
Consideration of techniques for accelerating the simulation of quantum computing and the implementation of an optimization algorithm that excludes the tensor product during modeling
Abstract. The paper discusses techniques for accelerating the simulation of quantum computing and the implementation of an optimization algorithm that excludes the tensor product during modeling. Keywords: quantum algorithm, entanglement, qubit, quantum gate, quantum simulator.
Введение
Современная наука и техника связана с необходимостью решения таких стратегически важных задач, как предсказание погоды и расчет климатических изменений, создание онкологических препаратов, обработка сигналов из Вселенной для поиска внеземных цивилиза-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 20-07-00916.
ций, обработка символьной информации, криптоанализ, опережающий расчет траекторий движущихся воздушных и космических объектов и другие задачи. Практическая реализация перечисленных задач на современных, даже суперкомпьютерных, системах требует недопустимо большого промежутка времени или вообще невозможна. Научная новизна данного направления выражается в разработке методики построения модульной моделирующей системы квантовых вычислений с открытой архитектурой, а также моделирующей системы выполнения квантовых алгоритмов.
В настоящий момент наибольшую перспективу в сверхбыстрых параллельных вычислениях представляет квантовый компьютер. Идея создание такого типа устройства, осуществляющего обработку информации при помощи механизмов квантовой механики, была высказана американским физиком Р. Фейнманом в 1982 году. Квантовый компьютер способен эффективно справляться с невыполнимыми за приемлемое время задачами на классической ЭВМ. Уже существуют работающие прототипы квантового компьютера [1], однако лишь ряд квантовых алгоритмов можно реализовать на их основе (алгоритм факторизации Шора [2], поисковый алгоритм Гровера). Для таких алгоритмов применяется моделирование на ЭВМ с классической архитектурой. Стремительный рост интереса к квантовым компьютерам наблюдается особенно после продажи действующих квантовых вычислителей.
Использование квантовых компьютеров позволяет существенно увеличить скорость решения вычислительных задач и, самое главное, экспоненциально увеличить скорость решения КР-полных проблем, которые на классических машинах могут решаться за неприемлемое время. Изучение запутанности является одним из важнейших направлений исследований в области теории квантовой информации и квантового компьютинга по причине важности понятия запутанности в прикладных алгоритмах.
На сегодняшний момент предложены варианты физического исполнения квантового компьютера, среди них:
- квантовый компьютер на ионных ловушках [3];
- ядерные магнитно-резонансные квантовые компьютеры [4];
- твердотельные квантовые компьютеры на квантовых точках [5];
- квантовые компьютеры на сверхпроводниковых элементах [6].
Область моделирования квантовых вычислений использует все возможные ресурсы для достижения наибольшей эффективности работы при симуляции процессов квантовых вычислений и затрагивает такие подходы, как:
- моделирование квантовых вычислений на многопроцессорных вычислительных системах [7];
- моделирование квантовых вычислений при помощи видеокарт [8];
- моделирование на ПЛИС (программируемых логических интегральных схемах) [9].
1. Математическая модель квантовых вычислений
В настоящее время существуют способы моделирования квантовых вычислений, которые главным образом используют математический аппарат представления квантовых вычислений. Чистое квантовое состояние (любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система) может быть описано при помощи уравнения волновой функции. Физический смысл волновой функции заключается в том, что плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.
В матричной механике чистое состояние описывается при помощи вектора состояния [10] (при моделировании данный вектор также называют квантовым регистром) или полным набором квантовых чисел для определенной системы. При этом считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний п или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантово-механической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чи-
сел. Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шредингера. Эквивалентность вытекает из того, что волновую пси-функцию можно разложить в ряд, используя определенный ортонормированный базис функций. Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций. Поэтому математическая модель квантовых вычислений дается в форме матриц преобразований и вектора состояния квантовой системы.
Если мы говорим, что механизмы манипуляции данными отличаются от классической схемы вычислений и что любая классическая арифметическая система не подходит для описания квантовых процессов, то стоит воспользоваться другим понятием, которое позволит описать элементарную единицу информации в квантовом компьютере. Такой единицей является кубит [11] (квантовый бит). Основным отличием такого бита от классического является то, что он способен находится в пограничных состояниях нуля и единицы. Или можно сказать, что состояние кубита описывается через вероятность в определенный момент быть нулем или единицей. Однако такое понятие, как вероятность, относится к кубиту только косвенно, а именно: состояния нуля и единицы описываются через амплитуды и фазы так, как это происходит в уравнении Шредингера [12]. Причем данное уравнение можно представлять как в виде дифференциального уравнения, так и в матричном представлении. Сейчас большинство моделей квантовых вычислений используют именно матричную модель, так как работа с дифференциальными уравнениями затруднительна с использованием цифровой схемотехники.
2. Описание приемов ускорения моделирования квантовых вычислений
В настоящее время появились различные приемы и методики для ускорения моделирования квантовых вычислений [9, 13-16]. Данные приемы включают как оптимизацию процесса общей математической методики моделирования работы квантового компьютера, так и используют нестандартную архитектуру в виде многопроцессорных вычислительных систем и видеокарт с поддержкой многопоточных вычислений. Одной из целей этих методик является редукция матриц преобразования и вектора состояния с целью уменьшения потребляемой памяти при моделировании.
Задачи, связанные с матричными операциями, хорошо распараллеливаются. С недавних пор при моделировании квантовых вычислений начали особенно выделяться подходы, использующие несколько параллельных процессоров при моделировании.
2.1. QuIDD: редукция матриц при помощи диаграмм решений
QuIDD (Quantum Information Décision Diagrams) - это способ представления квантовых преобразований в виде диаграмм решений. По существу, QuIDD это алгебраическая диаграмма решений (ADD), которая широко используется для логического описания классических схем.
Так как ADD призваны оптимизировать работу схем двоичной логики, QuIDD необходимы дополнительные свойства, чтобы работать с квантовой информацией. Во-первых, концевые вершины QuIDD являются комплексными значениями. Во-вторых, для оптимизации операций структура графа явно не содержит комплексные значения в вершинах, а хранит их в массиве, который содержит конкретные значения вершин. Это позволяет снизить сложность при вычислениях и применении операции на образованные QuIDD вектора и матрицы. Порядок вершин в QuIDD такой, что способствует компрессии шаблонов блоков матриц. Данная оптимизация возникает из-за того факта, что тензорное произведение при создании матриц преобразования производит множество регулярных шаблонных конструкций. При помощи правильной сортировки вершин избыточность шаблонов блоков устраняется, что ведет к уменьшению диаграммы решения при описании матриц.
Так как информация в квантовых схемах хранится в виде диаграмм решений вместо матриц и векторов, преобразования квантовой схемы производятся также при помощи тензорного произведения и матричного умножения. Однако преимущество у QuIDD в том, что
эти операции выполняются и имеют редуцированное представление. Это ведет к существенному увеличению производительности. Для матриц, представленных в виде вершин a и Ь, сложность тензорного произведения составляет O(ab), а сложность матричного умножения 0((аЬ)Л2).
Можно привести простой пример работы QuIDD [см., например, 17, с. 72, 73]. Пусть нам необходимо промоделировать следующую квантовую схему, которая описывает применение операции Уолша-Адамара (рис. 1):
Кубит 2
1 H /
/ / 4
Кубит 1
1 H /
/ / 4
Рис. 1. Квантовая схема операции Уолша-Адамара
В представлении QuIDD данная схема выглядит следующим образом, приняв тот факт, что вектор состояния находится в состоянии |00> (рис. 2):
Рис. 2. Квантовая схема операции Уолша-Адамара в QuIDD
3. Сравнение программной реализации алгоритма оптимизации моделирования квантовых вычислений с математическим моделированием
В работе [18] был разработан алгоритм оптимизации, исключающий тензорное произведение при моделировании. Он используется как в программных ядрах, так и в многопроцессорных системах для уменьшения операций, связанных с тензорным произведением и полным исключением конструирования матрицы преобразования.
Для проверки эффективности алгоритма оптимизации вначале используется программа для сравнения результатов моделирования. Далее сравнивается реализация алгоритма оптимизации при помощи программы и ускорителя. В случае математического моделирования квантовых вычислений необходимо совершать операции тензорного и матричного умножения. Алгоритм оптимизации по сложности вычислений и объему памяти является наиболее предпочтительным. Схема генерации состояний для многокубитовых квантовых вентилей в интерфейсной части отличается от блока генерации пар состояний для многокубитовых вентилей только наличием двух дополнительных входов QUBIT2 и QUBIT3. Однако алгоритмы генерации пар состояний для многокубитовых вентилей являются индивидуальными для каждого типа многокубитового вентиля (рис. 3).
HALT
QUBIT1 /
Рис. 3. Графическое представление блока генерации пар состояний для многокубитовых вентилей
В таблице 1 представлены результаты моделирования одного воздействия квантового вентиля на модели квантовых регистров с разным количеством кубитов.
Таблица 1
Результаты моделирования воздействия однокубитового вентиля на модель квантового регистра при помощи программных средств
Кол-во Время выполнения однокубитового воздействия Время выполнения однокубитового
кубитов по методике математического моделирования, нс воздействия с оптимизацией, нс
3 21026 7447
4 46433 10513
5 137546 18398
6 539669 30663
7 2049166 54755
8 8273321 102940
9 31202691 204128
10 53175813 408695
Как видно из таблицы 1, использование алгоритма оптимизации может повысить эффективность моделирования в случае однокубитовых вентилей, что делает его использование оправданным и необходимым при построении аппаратного симулятора.
4. Сравнение программной реализации алгоритма оптимизации с аппаратной реализацией
Для сравнения программной реализации алгоритма оптимизации и его аппаратной версии для однокубитовых квантовых вентилей, имея модель в САПР Quartus II, можно привести следующие расчеты. Количество тактов блока генерации пар состояний для однокубитовых вентилей составляет [18]:
ОЮУ = ц + 2п-1 • 5, (1)
где 2п_1 - количество тактов на генерацию пар состояний; ц - номер кубита; п - количество кубитов в квантовом регистре; 5 тактов тратятся на вычисление следующего индекса состояния.
Количество тактов блока АЛУОКВ является постоянным:
ЛШОКУ = 24 . (2)
Данное количество тактов получается ввиду перемножения матрицы однокубитового
квантового вентиля на пару значений из вектора состояний модели квантового регистра. Причем перемножаются комплексные числа. Количество тактов блока управления арифметико-логическим устройством и выборки состояний (УАЛУ и ВС) из ОЗУ составляет постоянное число 5. При чтении из ОЗУ тратится 3 такта, а при записи 2. Используя данные значения, представим таблицу сравнения программной и аппаратной реализации моделей (табл. 2). Для аппаратуры будем считать, что частота ПЛИС равняется 130 МГц. Такая частота была оптимальной при моделировании в Quartus II на ПЛИС Бйайх III БР383Б50Е780С4Ь модели квантового регистра из 5 кубитов.
Таблица 2
Результаты сравнения программного и аппаратного моделирования в случае однокубитовых вентилей
Кол-во Время выполнения однокубитового воз- Время выполнения однокубитового
кубитов действия с оптимизацией, нс воздействия в аппаратной модели, нс
3 7447 4466
4 10513 8932
5 18398 17864
6 30663 35728
7 54755 71456
8 102940 140912
9 204128 285824
10 408695 455532
Получение выигрыша аппаратной реализации достигается за счет реализации матричного умножителя. При числе квантовых битов 5 или более аппаратная моделирование уступает программному. Также стоит заметить, что частота процессора ПК заметно выше по сравнению с частотой ПЛИС. Поэтому можно дать рекомендации по использованию более мощной ПЛИС, поддерживающей частоту на уровне 200 МГц и выше.
Заключение
Конструирование алгоритмов для новых информационных технологий и специализированных вычислительных систем является динамичной областью, о чем свидетельствует количество существующих работ в данном направлении.
Разработками моделирующих систем, способных к поиску элементов (будь то число, массив чисел, набор символов или др. форма представления) в неструктурированной базе данных с использованием классических компьютеров занимаются многие, и эта область давно не нова. Аналогичная же процедура в квантовых системах, при их разработке потребует на один, а то и несколько порядков меньше операций, что делает разработку квантовых систем, нацеленных на решения данной проблемы, важной и полезной задачей.
Основным недостатком программных симуляторов является их неспособность работать с упрощенными типами данных. Так, на основе анализа математической части квантовых вычислений был предложен формат хранения амплитуд квантовых состояний в более компактной форме, что позволит уменьшить расход ресурсов на хранение модели квантового регистра. Также к преимуществам аппаратной части стоит отнести возможность создания спец операций, которые превышают по производительности операции стандартных процессоров. При использовании ПЛИС как возможной реализации аппаратного ускорителя можно также выделить гибкость методики, которая не нацелена на моделирование жестко заложенного количества кубитов.
Примечания:
1. Visuvius: A closer look - 512 qubit computer gallery. URL:
http://dwave.wordpress.com/2011/12/01/vesuvius-a-closer-look-512-qubit-processor-gallery/ (свободный).
References:
1. Visuvius: A closer look - 512 qubit computer gallery. URL:
http://dwave.wordpress.com/2011/12/01/vesuvius-a-closer-look-512-qubit-processor-gallery/ (free).
2. Shor P. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring // Foundations of Computer Science: Conference Publications. 1994. P. 124-134.
3. Cirac J.I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, No. 20. P. 4094-4097.
4. Gershenfeld N.A., Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. Vol. 275, No. 1. P. 350-356.
5. Lent C.C., Tougaw P.D. A Device Architecture for Computing with Quantum Dots // Proc. IEEE. 1997. Vol. 85, No. 4. P. 542-557.
6. Bockom M.F., Herr A.M., Heldman V.J. Prospects for quantum coherent computation using superconducting electrons // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1997. Vol. 7. P. 3638-3641.
7. Massively Parallel Quantum Computer Simulations: Towards Realistic Systems / M. Richter, G. Arnold, B. Trieu, T. Lippert // John von Neumann Institute for Computing, NIC series. 2007. Vol. 38. P. 61-68.
8. Diez-Pier S., Venegas-Andraca S.E., Gomez-Munos J.L. Classical Simulation of Quantum Adia-batic Algorithms using Mathematica on GPUs. 2011. URL: http://hgpu.org/?p=3144 (свободный).
9. Khalid A.U. FPGA Emulation of Quantum Circuits: master of Computer Engineering thesis: 31.10.2005 / Khalid Ahmed Usman; McGill University, 2005. 73 pp.
10. Валиев К., Кокин А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Ижевск: РХД, 2004. 320 с.
11. Schumacher B. Quantum coding // Phys. Rev. 1995. Vol. A 51, No. 4. P. 2738-2747.
12. Feynman R.P. Simulating physics with computers // International Journal of Theoretical Physics. 1982. Vol. 21, No. 6. P. 467-488.
13. Viamontes G.F., Markov I.L., Hayes J.P. QuIDDPro: High-Performance Quantum Circuit Simulator. 2004. URL: http://vlsicad.eecs.umich.edu/Quantum/qp/ (свободный).
14. Massively Parallel Quantum Computer Simulations: Towards Realistic Systems / M. Richter, G. Arnold,
B. Trieu, T. Lippert // John von Neumann Institute for Computing. NIC series. 2007. Vol. 38. P. 61-68.
15. Diez-Pier S., Venegas-Andraca S.E., Gomez-Munos J.L. Classical Simulation of Quantum Adia-batic Algorithms using Mathematica on GPUs. 2011. URL: http://hgpu.org/?p=3144 (свободный).
16. Евсеев О.К., Гушанский С.М., Гузик В.Ф. Метод моделирования квантовых вычислений на основе QUIDD-графов // Известия ЮФУ. Технические науки. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. № 1 (138). С. 127-130.
17. Viamontes G.F., Markov I.L., Hayes J.P. Quantum Circuit Simulation. Dordrecht; Heidelberg; London; New York: Springer, 2009. 200 pp.
18. Гушанский С.М., Переверзев В. А. Моделирование квантовых вычислений с использованием аппаратного вычислительного ядра игр // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. Краснодар: КубГАУ, 2016. № 09 (123).
C. 1-13. URL:
http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/37.pdf (дата обращения: 19.06.2020).
2. Shor P. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring // Foundations of Computer Science: Conference Publications. 1994. P. 124-134.
3. Cirac J.I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, No. 20. P. 4094-4097.
4. Gershenfeld N.A., Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. Vol. 275, No. 1. P. 350-356.
5. Lent C.C., Tougaw P.D. A Device Architecture for Computing with Quantum Dots // Proc. IEEE. 1997. Vol. 85, No. 4. P. 542-557.
6. Bockom M.F., Herr A.M., Heldman V.J. Prospects for quantum coherent computation using superconducting electrons // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1997. Vol. 7. P. 3638-3641.
7. Massively Parallel Quantum Computer Simulations: Towards Realistic Systems / M. Richter, G. Arnold, B. Trieu, T. Lippert // John von Neumann Institute for Computing, NIC series. 2007. Vol. 38. P. 61-68.
8. Diez-Pier S., Venegas-Andraca S.E., Gomez-Munos J.L. Classical Simulation of Quantum Adia-batic Algorithms using Mathematica on GPUs. 2011. URL: http://hgpu.org/?p=3144 (free).
9. Khalid A.U. FPGA Emulation of Quantum Circuits: master of Computer Engineering thesis: 31.10.2005 / Khalid Ahmed Usman; McGill University, 2005. 73 pp.
10. Valiev K., Kokin A. Quantum computers: hopes and reality. Izhevsk: RKhD, 2004. 320 pp.
11. Schumacher B. Quantum coding // Phys. Rev. 1995. Vol. A 51, No. 4. P. 2738-2747.
12. Feynman R.P. Simulating physics with computers // International Journal of Theoretical Physics. 1982. Vol. 21, No. 6. P. 467-488.
13. Viamontes G.F., Markov I.L., Hayes J.P. QuIDDPro: High-Performance Quantum Circuit Simulator. 2004. URL: http://vlsicad.eecs.umich.edu/Quantum/qp/ (free).
14. Massively Parallel Quantum Computer Simulations: Towards Realistic Systems / M. Richter, G. Arnold, B. Trieu, T. Lippert // John von Neumann Institute for Computing. NIC series. 2007. Vol. 38. P. 61-68.
15. Diez-Pier S., Venegas-Andraca S.E., Gomez-Munos J.L. Classical Simulation of Quantum Adia-batic Algorithms using Mathematica on GPUs. 2011. URL: http://hgpu.org/?p=3144 (free).
16. Evseev O.K., Gushansky S.M., Guzik V.F. QUIDD based quantum computing modeling // News of SFU. Technical Sciences. Taganrog: Publishing House of TTI SFU, 2013. No. 1 (138). P. 127-130.
17. Viamontes G.F., Markov I.L., Hayes J.P. Quantum Circuit Simulation. Dordrecht; Heidelberg; London; New York: Springer, 2009. 200 pp.
18. Gushansky S.M., Pereverzev V.A. Simulation of quantum computing using the hardware computing core of games // Polythematic Online Scientific Journal of Kuban State Agrarian University. Krasnodar: KubSAU, 2016. No. 09 (123). P. 1-13. URL: http://ej.kubagro.ru/2016/09/pdf/37.pdf (access date: 19.06.2020).
