CC BY
48
Известия Тульского государственного университета Естественные пауки. 2009. Вып. 1. С. 61-70
= Механика =
УДК 534.26
Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости
А.Г. Романов. Л.А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости.
Ключевые слова: звуковая волна, неоднородный упругий цилиндр, вязкая жидкость, рассеяние звука.
Рассеяние плоских звуковых волп па неоднородных упругих цилиндрических телах рассматривалось в ряде работ, например, [1-4]. При этом полагалось, что цилиндрические тела граничат с идеальными жидкостями. В настоящей работе рассматривается задача рассеяния плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром, граничащим с вязкими жидкостями.
Рассмотрим бесконечный радиально-неоднородный изотропный полый цилиндр с внешним радиусом г\ и внутренним радиусом Полагаем, что модули упругости А, ц и плотность р материала цилиндра описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты г. Окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкости являются вязкими и однородными. Их плотности, скорости звука и кинематические коэффициенты ВЯЗКОСТИ (первый И второй) соответственно равны Р\ , С] , , ¿д
И /92; С 2; V2, ^2-
Пусть из внешнего пространства па упругий цилиндр вдоль оси х падает плоская волна, потенциал скоростей которой равен
4^ = ехр[г(&|^г сое <р — ш£)];
где ш — круговая частота. В дальнейшем временной множитель е~шЬ будем опускать.
Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в его полости волны, а также найдем поле смещений в упругом цилиндрическом слое.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №09-()1-97504-р_центр).
Вектор скорости частиц вязкой жидкости представим в виде
Ф^ + го1 Ф ^ , (1)
гДе 3 = 1 соответствует внешней среде, а _у = 2 относится к жидкости в
полости цилиндра.
Тогда волновые поля в жидкостях будут описываться уравнениями Гельм-ГОЛЬЦсИ
ДЦ/О) + к\т¥з] = о, (2)
ДФ^ + 4^2Ф0) = о, (3)
где Ф^, Ф^ — потенциалы скоростей продольных и вязких волн соответственно во внешней (] = 1) и внутренней (] = 2) средах; к^\ к^р — волновые
числа продольных звуковых и вязких волн в j-й среде соответственно;
ки>2 - Ы'1 к{’] - (—\1/2 (1 + ¡1 1 “ 2 . 4 >' 2 " \2*,) 1 +,)-
с|-г + -/<;) 4
При этом
ф(» = г|/< + Ф.,, (4)
где Фя — потенциал скоростей рассеянной волны.
Акустическое давление в j-й жидкости определяется по формуле:
,У)2
(?)
= гр^и
к\
и V-1 ' 3'
1 + *— (о +
Ф°>. (5)
В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты г.
Учитывая, что
фУ) = фШ(Г) ¥,)е2 (; = 1,2), (6)
где е2 — орт цилиндрической оси г, векторное уравнение (3) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф^(г, (р):
ДФ^ + к^Ф^ = 0 и = 1,2). (7)
С учётом (1) и (6) компоненты вектора скорости частиц j-й жидкости определяются формулами:
т дЧ>^ 1 дфЫ
°Г — ~7. I-------Т. ;
от г ац>
ш _ 1 дЧгЫ дфЦ) (8)
г дц> дг = 0.
?
В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде:
оо
= 5Z inJn(kiii)r)elH<P< (9)
п=—оо
где Jn — цилиндрическая функция Бесселя порядка п.
С учетом условий на бесконечности для функций Ф^ и условия
ограниченности для функций Ф^ решения уравнений (2) и (7) будем
ИСКЯЛГЬ В ВИД61
'М»-, ¥>) = £”=_«,
Ф
(10)
^(2)(Г< ^ = £оо=_оо A^,,n{kf)r)ein^
Ф
где Нп — цилиндрическая функция Ханкеля порядка п.
Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид:
О Gгг 1 0(7 f-m (7 гг (7\пф о
7\----1------д----1----------= —^ риг,
ОТ Г ОШ Г , ,
• О1)
0<7Т(п 1 0<7т(п 2 о
ô I- ô I О'пр = PU(p,
от г ац> г
где ur,utp — компоненты вектора смещения u в цилиндрической системе координат; ег^- — компоненты тензора напряжений.
Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций соотношениями (обобщенный закон Гука):
(7гг — А(вр‘р‘ "Ь &ipip) ~Ь
&ipip — А(^€гг ~Ь ~Ь 0-^)
& Г (р — ^Р&Г(р'
Здесь р = р(г), А = А(г), р, = /х(г).
Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещения соотношениями:
диг 1 duv иг
£гг = Т; i £(р(р = ^ I ;
от г ац> г
1/1 диг ди^ 4
е""р 2 \r Bip дг i
Используя выражения (13), из (12) находим
,Л . диг л ( 1 диф иг агг = А + 2/х —- + Л - —^ + — дг \г дір г ,
_ ( 1 диг дну Utp^
^ уг дір дг г /
д'Ир , . і 1 dtim iif‘\
^ = Л— + (A + 2„)(--ÿ + -).
Подставляя выражения (14) в уравнения (11), получаем следующие уравнения, записанные через компоненты вектора смещения,
, А + /х d2U(p | /х д2иг | Л/ , о. / , А + 2/Л диг ,
^А + 2^^ + ^—^ + ^2 ~0^ + {Х +2^ +^—)1ьГ +
1 ( . А + 3/х\ O'Um (У? А —(— 2/х о
+ - А-------------+-------------------5— +ш /
V \ Г / ОЦ> \ Г 7-z
д2и(р А + /х д2иг А + 2/х <92 и^ / , /х \ <9 и^
^ дг2 г дгдр г2 д<р2 V г / дг
, 1 ( / , А + 3/х^ диг , ( /х' /х , 2
Н— I М Н---------I Н I----------------^ + ш (.
г \ г } дц> \ г г*
(15)
где штрих означает дифференцирование по г.
Компоненты вектора смещения и в упругом слое являются периодическими функциями координаты <р с периодом 2тг. Поэтому функции «Г(г, <р) и «^(г, ¡р), удовлетворяющие системе уравнений (15), будем искать в виде рядов Фурье:
«г(»-, <Р) = Е“=-0О
О6)
Мг> ¥>) = Е“=-оо «2пт(г)е*п^.
Подставляя выражения (16) в уравнения (15), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и\п(г) И и‘2л (?') для каждого п:
Ап^ + ВпЪ'п + Спип = 0, (17)
где и„ = («!„, и2п)Т', Ап, Вп, Сп — матрицы второго порядка,
А л
А + 2/х О О /х
В,,
/л' , О. / , А + 2/х Л +
А А ¡1 ------------ % ті--------
. А + /х
ъп----------------
( , А + (2 + п2)ц 2 А--------------------— + ш£рг
Сп
\
- , / , А + 3/х гп /х Н-----------------------
-р
• (\' А + 3/х ^
■" Iа - —)
п2 А + (2 п2 + 1 )/х
+ ш рг
Искомые функции Ф^, Ф^ и иг, и^р, определяемые разложения-
ми (10) и (15), должны удовлетворять граничным условиям па поверхностях
цилиндра.
Граничные условия заключаются в непрерывности скоростей частиц упругой среды и жидкости па внешней и внутренней поверхностях цилиндра и непрерывности напряжений па этих поверхностях:
при г = г і при V = 7'2
-гшиг
-гшиг
(О
■’г ,
■Я
■Г ;
Д1)
V ; .(2)
<7 у (7 г
СГ
(7
(О
гг ?
(2) ГГ ?
(7
пр
(7
пр
<7-
<7-
(1) Гір і
(2) пр ?
(І) « * « где сгд,у — компоненты тензора напряжении вязкой >]-и жидкости.
При этом [5]
а
(і)
к\.
-Р
и)6ы +
а
(і) к\. ;
(18)
(19)
где 6^1 — символ Кропекера.
В цилиндрической системе координат
¿.(і) и у‘у‘
Р.І
(О - + 2г/і
доР
дг
а.
(і)
Гір
Р.і1'.і
1 доР
?• дер
+
до
(і)
із)'
(20)
дг
Коэффициенты АІР и ВІР (_/ = !, 2) разложений (10), а также четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (17) подлежат определению из восьми граничных условий (18).
Подставим в граничные условия (18) выражения (8), (14), (16), (19), (20) с учетом формул (4), (5), (9), (10).
Из условий непрерывности скорости при г = г\ находим коэффициенты Ап \ Вп \ выраженные через величины «1п(гі); «2п(п)і а из тех же условий при V = 7'2 определяем Коэффициенты Ап \ Вп \ выраженные через величины и 1 л (7'2); М2«(?-2).
Будем иметь
Лз)
+
ДО')
^y[-4'2ul»(ri) + dV2u2n(rj)} + -[ind\3,¡,Ju{x\3)) -
ВЫ = '^j_^db)Ub^r.^ + dü)U2ft(r.)] + in
+
Д(і)
¡)[d2\x\3]К(43]) - ind^.ln{x^])}8\j, j
1,2,
где
д(і) _ ,/ОЬО) _
— “l 1 “22 12 “21 !
d1
(i) 11
7Á.i) y(j)’ í U)'| 1 ít \J'l J
/(І)
12
х0)(ж
Oh
/0)
21
*«;#>(
ж
Oh
/(І)
22
Ш
„(І)
(?)
m '•«' ' п~г .
„0)
(?)
2 O?
y(l) ____ гг
/(2)
(21)
Штрихи означают дифференцирование по аргументу.
Из оставшихся неиспользованными граничных условий находим краевые условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (17).
Получаем
и„и'„ + 4« и„)г=г1 = сп, (ÁnUn + /42)Un)r=ra = о,
(22)
(23)
где
/<;0)
Аз)
-и
Аз)
12
J-i) -21 -
Ai) — -'22 —
Аз) Аз) \
% % )• Gn = {gug*?
C-oi С-п
- А +
21 22 iuipj
Д(і)
>± (A¡)rÁ¡) _ Лі).Аз) j) \7l “22 72 “21
- П.Х +
шРз (Аз) Аз)
Э± (JÍ 3) I72
Аз).Аз) 7i “12
Д(і)
, шРзиз (Аз) Аз) _ Аз) Аз) ПМ + ду) ^7-1 “22 75 “21
7 +
Д(і)
ibjpjVj
Д(і)
éri
Pi
(O , (O 1 -7з + 7i -
ДО)
»^12'у«(^11}) -
+ 72
(1)
ДО)
Sp х\^ ,Ґ„(х^) — ind\\Kj,
її
/X
Oh
+
8 2
-А
Р\1'\ І (1) . (1) *
'76+ 74
ДО)
+
+ 75
(1)
ДО)
(бр х^ ,Ґ„(х^) — та^'Л/,
п
.х
ОЬ
-ІШГІ + Ж, (І) ( О + 7^'і
п
3^
у(з)(
П
+
+ (о - ^¡) 4гЧ(/}'(4г)) + к.? + х{р2/4р"(х{р).
со
7з
7<’’>
ішг2
'Пт;;
х
(і) у(зУ(,Лз)\ _ у
О /-І Г1 \tJuty I £Л г]
Аз)'
..(1)2
■1п{х\
- ^1 - 1>А^ А^^піхР) - ^1 + і
Лі) _ Олій ГГ(І) _ у(з)(Лз)
/4 — ¿ІІЬ лі \л1 / \л1
ІЬ] = -П2/#-](хР) + х{,р (Xі,р) - хР2Х(Р”(хР),
7а1 ^ = 2 !п[х\1) .Ґп(х\1)) - .Іп{хР)]іп.
Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (17) с краевыми условиями (22), (23).
Коэффициенты а\Р и ВІР (_у = 1,2) разложений (10) могут быть вычислены ЛИШЬ после определения значений функций и\п(г) И и‘2п (?') при V = V\ и г = Г2, для чего необходимо решить краевую задачу (17), (22), (23).
Указанную краевую задачу сведем к задачам с начальными условиями [6].
Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (17) может быть приведена к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка, имеющей вид:
Т'п = М(г)Тп,
ГДЄ V,, = (Ууіі) ^п2) У'пЗі ^14)^
Уп 1 = и\п(г), УП2 = и2п (г),
(24)
П.з
ЧпКЧ^ Уп4-и2пК,},
М (г) — матрица четвертого порядка коэффициентов системы, являющихся функциями радиальной координаты г.
Система (24) как и система (17) является линейной и однородной. Будем использовать известные свойства таких систем [7].
Для решения краевой задачи (17), (22), (23) найдем фундаментальную систему решений уравнений (17) па интервале (ггЛ'і).
Пусть и, и, и, и4 образуют такую фундаментальную систему. Тогда однородность системы (17) позволяет представить решение ип краевой задачи в виде линейной комбинации
4
ип = 5] С&. (25)
¿=1
Подставляя (25) в краевые условия (22), (23), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных коэффициентов С\, С2, Сз, С\\
Е<=1 Сг(АпЦ + 41)и)г=г1 = С„,
(26)
Е<=1 Сг(Апи + Л’п )и<)г=Г2 = о.
Определив из системы (26) коэффициенты Сг (г = 1, 2, 3, 4) и подставив их в (25), получим решение краевой задачи.
Рассмотрим теперь порядок построения фундаментальной системы решений для системы уравнений (17).
Необходимым и достаточным условием существования фундаментальной системы решений, определенных и непрерывных па интервале (гглч), является непрерывность па этом интервале коэффициентов системы дифференциальных уравнений первого порядка (24), которая эквивалентна системе (17). Это условие выполняется, если непрерывны не только функции р(т), Л (г), /х(г) по и первые производные Л/(?•), ц'{г). Кроме того, в указанном интервале должен быть отличен от пуля определитель с^, Ап. Тогда в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать любые шесть решений задачи Коши для системы (17) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми.
В качестве таких начальных условий можно выбрать следующие:
и = (¿1^, $2]) 1 и (* = 1,2,3,4), (27)
где ъ — порядковый помер задачи Коши, — символ Кропекера. Начальной точкой при этом может являться любая точка [г2, п]. Однако удобнее в качестве начальной точки процесса интегрирования выбрать граничную точку этого отрезка.
Таким образом, процедура решения краевой задачи (17), (22), (23) состоит из двух этапов. На первом этапе строится фундаментальная система решений уравнений (17) па отрезке [гглч] путем решения четырех задач Коши с начальными условиями (27). На втором этапе решаем систему четырех линейных алгебраических уравнений (26) и определяем коэффициенты С%. В результате находим решение краевой задачи в виде (25).
Отметим, что среди коэффициентов системы (17) есть и комплексные. Следовательно, решения, входящие в фундаментальную систему, также будут
в общем случае комплексными. Поэтому при решении задач Коши (17), (27) по существу нужно определить восемь вещественных векторов-функций.
Однако, учитывая, что краевое условие (23) является однородным, можем сократить объем вычислений вдвое. Действительно, в качестве базисных решений системы (17) можно выбрать два линейно независимых решения Ui, U2, удовлетворяющих граничному условию (23). Тогда в силу однородности как самой системы дифференциальных уравнений (17), так и граничного условия (23), любая линейная комбинация
Un = Ctü + C2U2 (28)
также является решением системы (17), удовлетворяющим условию (23).
Подберем коэффициенты С i, C‘¿ так, чтобы решение (28) удовлетворяло краевому условию (22). Подставляя (28) в (22), получим
2
UU
t= 1
Решив систему двух линейных алгебраических уравнений (29), определим С\ и C‘i- Подставив найденные коэффициенты в выражение (28), найдем решение краевой задачи (17), (22), (23).
U
и ранее, по в качестве начальной точки для задач Коши необходимо ис-
U
U
выполнепия граничного условия (23).
Таким образом, в качестве начальных условий для определения двух базисных решений можно выбрать следующие:
Ui\r=r2 = (<^,<%)Т, (* = 1,2), (30)
где А~х — обратная матрица.
Итак, построение базисных решений, удовлетворяющих с самого начала краевому условию (23), позволяет для нахождения решения краевой задачи решать лишь две задачи Коши (17), (30) и систему двух линейных алгебраических уравнений (29).
Решение задач Коши можно провести одним из численных методов.
U
упругом слое описывается согласно (16), а отраженное от слоя и прошедшее через слой звуковые поля определяются формулами (10).
Список литературы
1. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // А куст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С. 1060-1063.
2. Безруков A.B., Приходько В.Ю., Тютпекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами /'/' А куст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 6. С. 762-766.
3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн тра.нсверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. Вып. 1. С. 134-138.
4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре /7 Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц R.M. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
6. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 200 с.
7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. 564 с.
Поступило 25.12.2008
Ролшнов Антон Григорьевич, аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
'Голоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Scattering of a plane sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a viscous fluid
A.G. Romanov, L.A. Tolokonnikov
Abstract. In this paper the analytical solution of scattering of a plane sound wave by an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a viscous fluid is obtained.
Keywords: sound wave, inhomogeneous elastic cylinder, viscous fluid, scattering of a sound.
Romanov Anton, postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
