CC BY
10
УДК 537.591
РАССЕЯНИЕ НЕСФОРМИРОВАВШЕГОСЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ВАВИЛОВА-ЧЕРЕНКОВА НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЛУНЫ ПРИ ЕГО ВЫХОДЕ В ВАКУУМ
Г. А. Гуссв
Рассмотрена модельная граничная, задача рассеяния нес-формировавшегося, излучения, Вавилова Черенкова неровной поверхностью Луны в борновском, приближении при его выходе в вакуум. Рассматривается, случай горизонтально направленного каскада. Принято точечное приближение для, ливневого диска, но с учетом, его эволюции вдоль трека. Поверхность Луны задавалась синусоидальной или волнистой с меняющейся длиной волны вдоль одной из осей, а также моделировалась различными модельными спектрами характерны,х размеров неровностей: гауссовским, экспоненциальным, и равномерным, спектрами.
Ключевые слова: излучение Вавилова Черенкова. граничная задача, ближняя зона, волнов&я зона Фраунгофера. диаграмма направленности.
Вопрос о том. какие наибольшие энергии частиц возможны в природе (при регистрации вблизи Земли) и каковы источники этих частиц [1. 2]. является одной из нерешенных проблем современной астрофизики высоких энергий и физики элементарных частиц. Все больше работ посвящается исследованию границы спектра космических лучей и нейтрино ультравысоких энергий (КЛУВЭ и НУВЭ) при энергиях более Ю20 эВ. Самая большая наземная установка для регистрации широких атмосферных ливней
(ШАЛ) и квазигоризонтальных нейтрино Auger observatory [3] уже зарегистрировала
20
Из-за редкости событий приходится искать наиболее адекватный метод в этой области энергий. Таковым оказывается радиометод. Апертура установки Auger будет доходить до 6 • 103 км2ср, а в предложенном эксперименте ЛОРД (лунный орбитальный
Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, 119991, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: gusevgag@mail.ru.
радиодетектор) апертура детектирования космических лучей более чем на порядок превышает апертуру установки Auger [4]. При использовании Луны в качестве митттени каскады от космических лучей развиваются вблизи ее поверхности, поэтому необходимо. как это было показано в работе [5], рассматривать задачу о выходе радиоизлучения в вакуум с учетом того, что поверхность находится в ближней зоне излучателя. Ранее это не учитывалось, и для падающего на границу излучения применялось приближение ДШ1БН6И волновой зоны (дифракция Фраунгофера).
В работе [5] получено приближенное решение для упрощенной модели каскада, разВИВ £ЬЮ Щ6 гося вблизи поверхности Луны (поверхность н&ходится в ближней зоне излучателя). Этот случай особенно интересен тем. что в рассматриваемом диапазоне длин волн излучение Вавилова Черенкова не успевает сформироваться в среде, и. в основном, формирование происходит в вакууме. Полученное в работе [5] приближенное решение может быть использовано для изучения рассеяния на неровной поверхности, каковой является поверхность Луны. Для этого будет использоваться теория возмущений, справедливая в случаях, когда рассеянная волна заметно меньше прошедшей и сохранившей когерентность волны. В противном случае разложение волны на прошедшую и рассеянную компоненты становится некорректным в том смысле, что нельзя пользоваться теорией возмущений для нахождения рассеянной волны. Проведены также расчеты для сильно неровной поверхности без разбиения поля на прошедшее и рассеянное.
Следуя постановке задачи в работе [5], мы будем теперь считать, что из-за неровностей поверхности глубина горизонтального каскада становится функцией h(x, y) от x, y на плоскости вида h0 + A(x,y). Будем также считать, что высота неровностей мала по сравнению с h0 : A(x,y) ^ ho, так что отклонение неровной поверхности от плоскости невелико, а потому неточности в граничном условии (3) работы [5] невелики ~ A(x,y)/h0. Проводя разложение по этому параметру малости, получим в первом при-
A/ho A
средняя амплитуда отклонений неровностей от горизонтали. Мы будем рассматривать
xy
вдоль направления каскада и поперек его (каскад x ). Кроме то-
го, будут рассмотрены волновые неровности с переменной длиной волны. Также будут рассмотрены случаи, когда поверхность моделируется непрерывными распределениями неровностей по горизонтальным размерам: равнораспределение, гауссовское распределение относительно некоторого размера и экспоненциональное (распределение Лапласа) также относительно максимального размера. Для простоты расчетов непрерывные
распределения заменяются гистограммами с конечным числом волн (характерных размеров волновых неровностей), то есть при этом возникает определенная погрешность по отношению к полностью непрерывным распределениям. Проверка неточности путем увеличения числа интервалов гистограммы в два раза показала небольшое различие для среднего значения поля по всем направлениям.
Итак, используя формулу (5) для модельного тока (1) работы [5], получим формулу для электрического поля рассеянной волны на сравнительно низких частотах (в контексте обычных рассмотрений, например, в проекте ЛОРД [4] в интервае 100 150 МГц) в приближении точечного ливневого диска каскада и в первом приближении по параметру A/h0:
Еш (r) = (2ni)2nnV2 cos eVi — sine(expik0r/r) j J j d££exp(-£2/2)dx'dy'A(x',y')x
(1)
x exp ik0(—x' sin e cos p — y' sin e sin p + £ + n) /(h0+
+(X — £ )2 + y'2))/\j (h0 + (x' — £)2 + y'2) •
Здесь Еш (r) - рассеянная волна, сдвинутая по фазе на п/2 относительно основной волны, n - показатель преломления реголита, e - угол между осью г и направлением на
p ko
и A(x,y) = A0f (x, y) есть малое возмущение поверхности, а функция f (x,y) описывает неровности лунной поверхности. Интегрирование ограничено областью на плоскости, достаточной для приближенного описания с точностью порядка 10%.
Как и в работе [5], тройной интеграл находим численно, используя стандартную программу языка MATLAB. В результате вычислений получаются угловые распределения амплитуды рассеянной волны по полярному углу (индикатриса рассеяния) для различных волновых и квазиволновых (волны переменного периода) возмущений вида
A(x,y) = A0 sinnx/l, A(x,y) = A0 sinny/l, (2)
A(x,y) = A0 sinnx2/l2, A(x,y) = A0 sinny2/l2•
l x y, Ao
кальном направлении. Здесь мы приведем результаты для азимута наблюдения p = 0° относительно скорости каскада.
e
сеянной волны для синусоидэльных неровностей, направленных вдоль оси x(sin(nx/l))
0.7 0.6 0.5 -д 0.4
I °-3 0.2
0.1
0
I
Рис. 1: Диаграммы направленности рассеянного в вакуум излучения от каскада вблизи лунной поверхности по зенитному углу 9 для трёх характерных размеров синусоидальных неровностей по оси х. Кривая 3 для неровноетей I = 0.3 м, кривая 2 — I = 3 м, кривая 1 — I = 10 м, ф = 0о.
с горизонтальными размерами (малыми, сравнимыми и большими по сравнению с длиной волны излучения) 0.3, 3, 10 м (соответственно, кривые 3, 2, 1) для глубины каскада Н0 = 1 м на частоте / = 100 МГц. Вертикальная амплитуда неровностей (волн) составляла 0.2 м. Заметим, что случай неровностей 0.3 м фактически за пределами применимости нашего подхода и соответствующие ему результаты весьма неточны (максимальная амплитуда прошедшей волны в наших условных единицах Этот случай приводится лишь для обозначения тенденции, и результат не противоречит физическому смыслу.
На рис. 2 в тех же условиях даны кривые в случае синусоидальных неровностей размерами 0.3, 3, 10 м (кривые, соответственно, 3, 2, 1), ориентированных по оси у. Все эти угловые распределения отличаются от соответствующих распределений для прошедшей волны [5], и их амплитуда зависит при одинаковых вертикальных размерах неровностей от горизонтальных размеров неровностей. Именно, максимальное рассеяние имеет место при сравнимых с длиной волны размерах неровностей.
0.25
0
О 0.2 0.4 0.6
0.8
1.2 1.4
В
Рис. 2: Диаграммы направленности рассеянного в вакуум излучения от каскада вблизи лунной поверхности по зенитному углу 9 для трёх характерных размеров синусоидальных неровностей по оси у. Кривая 3 для неровноетей l = 0.3 м, кривая 2 — l = 3 м, кривая 1 — l = 10 м, ф = 0о.
9
вакуум излучения от каскада вблизи лунной поверхности для трёх характерных размеров неровностей l то оси у вид a sin пу2/I2. Кривая 1 для неров ностей l = 3 м, кривая 2-1 = 10 м, кривая 3 - l = 0.3 м.
На рис. 4 рассмотрен случай неровностей по оси у вид a sin пх2/l2 для трёх характерных размеров l = 0.3 м (кривая 1), l = 3 м ^^ртвая 2), l = 10 м (кривая 3).
Вообще рассеяние от неоднородностей вида sinnx2/l2 и sinny2/l2 более чувствительно к параметру 1. Оно меньше рассеяния от синусоидальных неровностей, так как для последних имеет место некоторая "дополнительная" когерентность (см. рис.1) при сложении рассеянных волн от разных участков поверхности из-за сфазированности волновых неровностей. "Дополнительная" когерентность частично пропадает для переменных по размерам неровностей. Поэтому ясно, что рассеяние от статистического набора размеров неровностей будет заметно меньше, чем для волновых и квазиволновых неровностей. С целью подтверждения этого вывода рассматривались также различные волновые неровности с разными статистическими распределениями по размерам: нормальное распределение, линейное, экспоненциальное и равномерное. Мы не будем приводить здесь соответствующие результаты, отметим только, что, независимо от вида
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
Рис. 3: Диаграммы направленности рассеянного в вакуум излучения от каскада вблизи лунной поверхности по зенитному углу 9 трёх характерных размеров неровностей l по оси у вид a sin пу2 fl2. Кривая 1 для неровное тей l = 3 м, кривая 2 — l = 10 м, кривая 3 — l = 0.3 л*, р = 0о.
9
отличия заключены в пределах 20-30%. Амплитуда меньше максимальной (см. рис. 1) примерно в два раза.
Амплитуда рассеянной волны указывает на величину потерь прошедшей компоненты при рассеянии. Для больших высот неровностей рассеяние становится сильным, в то же время теория возмущений становится неприменимой, но она даёт указания на то, при каких неровностях следует ожидать большого рассеяния. Очевидно, что при сравнимых с длиной волны неровностях рассеяние максимально, и при выбранных параметрах неровностей мы уже приходим к границе применимости теории возмущений.
При очень мелких и длинных неровностях по сравнению с длиной волны излучения (в нашем случае 3 м), рассеяние невелико и может не учитываться. Впрочем, это было ясно и без расчётов из физического смысла интерференционного сложения полей, формирующих сигнал в месте приёма, которые приходят с разных участков поверхности.
Также исследовалось рассеяние от возмущений с более крутыми склонами, чем синусоидальные. Для простоты такие неровности моделировались функциями Д(х,у) = A sin2 nxfl и Д(х,у) = Дsin4 nxfl. В этом случае рассеяние оказывается сильнее. Рассмотрение неровностей в виде наложения с нулевым и случайным сдвигом фазы нескольких волновых возмущений с разными длинами волн показало, что эффект рас-
0.5
¿3 0.25 | 0.2
о.з
0.15 0.1 0.05
0.45
0.35
0.4
0
О 0.2 0.4 0.6
0.8
1.2 1.4
9
Рис. 4: Диаграммы направленности рассеянного в вакуум излучения от каскада вблизи лунной поверхности по зенитному углу 9 для трёх характерных размеров неровностей I по оси х вида sinпх2 fl2. Кривая 1 для неровноетей l = 0.3; кривая 2 — l = 3 м, кривая 3 — l = 10 м, р = 0°.
сеяния для сложения волн со случайными фазами убывает, что и следовало ожидать из физических соображений.
В заключение отметим, что в условиях лунного рельефа для частот 100-150 МГц, если оставить в стороне мелкие и средние кратеры, рассеяние будет невелико для поверхностей лунных морей и внутренних площадей больших кратеров и может быть существенным на материках. Для оценки возможных потерь в общей статистике событий в условиях эксперимента ЛОРД необходимо детальное изучение лунного рельефа. В то же время можно определённо сказать, что рассеяние более высоких частот в области 1 ГГц будет существенно снижать научный потенциал эксперимента ЛОРД и увеличивать неопределённость в определении энергии первичной частицы. Отметим, что сигнал, претерпевший сильное рассеяние, помимо уменьшения амплитуды будет иметь большую псевдошумовую компоненту (флуктуации амплитуды и фазы), чем сигнал с малым рассеянием, когда интерференционная картина, обусловленная рассеянной волной, по амплитуде ниже общего эффективного шума, складывающегося из внешних шумов и шумов аппаратуры. С точки зрения определения времени прихода сигнала, сильное рассеяние также увеличивает ошибку из-за фазовых флуктуаций. Также можно отметить, что при наличии мелких неровностей сильнее рассеивается высокочастот-
ная часть спектра сигнала, так что происходит сужение ширины полосы сигнала (эффективная фильтрация) и потому его удлинение во времени. Таким образом, можно ожидать, что экспериментальные данные в эксперименте ЛОРД позволят по разделению сигналов на более короткие по времени "чистьте" и более длинные "затттумленные" судить о мелкомасштабном (менее и порядка метра) лунном рельефе.
Работа выполнена при частичной поддержке программой Президиума РАН "Физика нейтрино и нейтринная астрофизика".
ЛИТЕРАТУРА
[1] М. Nagano and A. A. Watson, Rev. Mod. Phys. 72, 689 (2000).
[2] X. Bertou, M. Baratov, and A. Letessier Selvon, Int. J. Mod. Phys. A 15, 2181 (2000).
[3] J. Abraham, P. Abreu, M. Aglieuta, et al., Phys. Rev. Lett. 101, 061101 (2008).
[4] Г. A. Гусев. Б. H. Ломоносов. H. Г. Полухина и др. Математическое моделирование 20(6), 67 (2008).
[5] Г. А. Гусев. Краткие сообщения по физике ФИАН 38(12). 12 (2011).
Поступила в редакцию 27 декабря 2010 г.
