Расщепляющие разложения в предельных задачах для обыкновенных квазилинейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы [Текст] / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. - М.: Наука, 1989. - 328 с.

7. Магомедов, А.М. Непрерывное расписание для специализированных процессоров без отношения предшествования [Текст] / А.М. Магомедов // Вестник Московского энергетического института. — 2009. — № 5. — С. 14—17.

8. Визинг, В.Г. Жесткая раскраска инциденторов неориентированного мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг // Дискретный анализ и исследование операций. — 2005. — Сер. 1. — Т. 12. — № 3 — С. 48—53.

9. Магомедов, A.M. Уплотнение расписания с директивным сроком, кратным количеству занятий каждого преподавателя [Текст] / А.М. Магоме-

дов // Математические заметки. — 2009. — № 1.-C. 65-72.

10. Визинг, В.Г. Задача раскраски инциденторов мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг, А.В. Пяткин // Матер. Рос. конф. «Дискретный анализ и исследование операций». Новосибирск, 28 июня — 2 июля 2004 г. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. — C. 6—11.

11. Магомедов, А.М. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять [Текст] / А.М. Магомедов, А.А. Сапоженко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — Т. 34. — № 1. — С. 39—44.

12. Магомедов, A.M. Условия существования непрерывных расписаний [Текст]: автореф. дис. ... д-ра ф.-м.н. / А.М. Магомедов // М.: ВЦ РАН. — 2011. — 30 с.

УДК 531 (07)

М.Р. Петриченко

РАСЩЕПЛЯЮЩИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение предельных задач для обыкновенных уравнений с помощью рядов известно как метод разложения по параметру. В задачах с физико-механическим содержанием роль параметра играет какой-либо масштаб предельной задачи. Важную роль играют предположение о малости (о порядке малости) параметра разложения, определение радиуса сходимости по параметру функционального ряда, а также метод (аналитического) продолжения решения за пределы круга сходимости. Первое предположение использует, как правило, физическую интуицию исследователя. Определение радиуса сходимости ряда по параметру связано с изучением предельных значений коэффициентов-функций разложения. Наибольший интерес для приложений представляет продолжение решения. Изучение сходимости разложений по малому параметру и техника вычисления периодических решений га-мильтоновых систем с параметром по Пуанкаре

приводится в известном курсе К.Л. Зигеля (см.

[1], с. 169—185). О решениях, представляемых рядами, в исторической ретроспективе подробно написано в главе XVI известного учебника

[2]. Принципиально новый подход к проблеме продолжения решений предложен С. Каплуном. Теорема продолжения Каплуна утверждает следующее [3]: пусть/(х; е) — функция, заданная на множестве Е, D(/) = Е, и такая, что

Тогда

f (х, е) — 0, Vx еЕ.

£—^+0

3 Ее, mes(E£AE) <с(е) — 0

£—+0 е.

/(х, е) ^ 0, Ух еЕ,.

Иначе говоря, в теореме Каплуна речь идет о продолжении функции на более широкое множество без увеличения нормы. Согласно

указаниям работы [3], доказательство теоремы С. Каплуна — это чистое доказательство существования; способа продолжения функции и расширения области определения не приводится. Теорема Каплуна обосновывает правомерность продолжения коэффициентов-функций разложений (или «склеивания», «сшивания») в рядах по параметру (е) и существование пограничных слоев решений (пересечений и симметрических разностей областей сходимости внешних и внутренних разложений). Условие равномерной сходимости, указанное в [3], излишнее: достаточно потребовать квазиравномерной сходимостиf (х) к нулю (или сходимости с точностью до е) на обоих множествах, Е, Ее.

В статье приводится некоторая схема, альтернативная методу разложения по параметру, позволяющая «стереть» параметр разложения и свести задачу о сходимости разложения к сходимости последовательности коэффициентов-функций разложения, безотносительно к величине параметра разложения.

Простейшие примеры расщепления

Применение расщепляющих разложений для решения нелинейного уравнения на бесконечном промежутке впервые продемонстрировано, по-видимому, в работе [4]. Вот пример тестирования. Пусть

— = 1 + у2, х > 0, у (0) = 0. йх

Тогда у = tgx ; решение этой задачи Коши можно попытаться искать в виде функционального ряда по степеням параметра X:

у = £-/ (х )• к=1

Подстановка в исходное уравнение и сравнение коэффициентов-функций при одинаковых степенях параметра X приводят к линейной расщепленной системе:

/=1 йх X'

^ -/12 = 0, йх

/ - £ //-; = 0,

i=1

причем все начальные условия однородны: /к (0 ) = 0, к > 1. Тогда

3

/ (х) = х• /2 (х) =

5 2}п (22п — 1)

2х г г \ \ /р „2п-1

/3 (х)=7ГГУ' •••' /п (х) =

15Х

Хп 2п!

Впх2

где Вп — числа Бернулли.

Иначе говоря, расщепляющий ряд приводится к разложению тангенса. Радиус сходимости полученного ряда равен п/2. Очевидно, что в данном примере любая сумма расщепляющего ряда не зависит от величины параметра расщепления X.

Выбор расщепляющего разложения произволен. В рассматриваемом примере можно взять, например, такое расщепляющее разложение:

У = 1+£хк/к (х); /1 (0 )+- = / (0 ) = 0. к=1 -

Условно говоря, первый член разложения задает некоторое значение у, правый фланг ряда — добавки к этому значению. Подстановка в исходное уравнение и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях параметра X расщепляет уравнение:

2к /1-2/1 = -; /к-2/ =£/к-■/■, к > 1.

X

1=1

Тогда

21

/1-2/1 =-,/1 (х ) = --

/2'-2/2 = А, /2 =

е2х -1

2Х

2

„ е2 х -1 ,, ч хе2х е2х-1

/з -2/3 = ~' /з(х) = + ^

и тогда

у = е2х -1 - хе2х +.

Получается разложение тангенса по степеням экспоненты (ряд Бюрмана—Лагранжа). В окрестности х = 0 оба разложения совпадают. И в этом случае алгоритм решения «стирает» параметр X из функционального ряда.

Пример тестирования решения линейного уравнения с нелинейными предельными условиями. Пусть рассматривается такая предельная задача:

у" + 2ху' = 0, 0 < х < «>;

у2 (0 ) + ау'(0 )-1 = у (<) = 0

с вещественным параметром а. Расщепляющий ряд имеет вид

y = i+ (*).

к=1

Тогда

У(* ) =

erfc(x)

1-

а

л/П

а

+-з

(а->/П)

*

a2 Jexp (-г2)dz

о_

(а-л/П)

О(а4).

каждый отрезок (конечный или бесконечный) расщепляющего ряда аппроксимирует пограничный слой решения на всем промежутке изменения независимой переменной.

Пример 1. Конечный промежуток: уравнение Л. Крокко (Ь. Сгоссо). Пусть

й2 Т ПА !

т—2 + и = 0, 0 < и < 1; йи

'£1 -м=».

Он сводит нелинейную предельную задачу к цепочке линейных задач:

ук + 2ху^ = 0, 2ук (0) + аук (0) = 0, к > 1, / (<) +1 = / (<) = 0.

и=0

причем т интерпретируется как касательное напряжение трения, и — скорость в пограничном слое. Матричная запись уравнения Крокко, а именно

d_

du

л

и

u

V ту

: = d т du

Пусть а ^ 0. Тогда у ^ егйс(х). При а ^ ^ у ^ 0 равномерно на промежутке 0 < х < <». Действительно, предельная задача

у" + 2ху' = 0, 0 < х << у'(0) = у (<) = 0,

имеет только тривиальное решение у= 0. Примеры нелинейных предельных задач

Ниже приводится несколько примеров решения нелинейных предельных задач для известных уравнений. Доказываются следующие свойства расщепляющих разложений:

расщепляющий ряд продолжает решение на весь промежуток изменения независимой переменной;

расщепляющий ряд не связан с необходимостью сращивания (аналитического продолжения) на границах различных промежутков значений параметра разложения. Поэтому исчезают границы между внутренними, промежуточными и внешними разложениями по параметру (по физическому масштабу задачи);

указывает на гамильтоновскую (лаксовскую) структуру этого уравнения.

Расщепляющий ряд берется в виде

Т = То + Е^к/к (u), к=1

что позволяет расщепить исходную предельную задачу в последовательность линейных предельных задач:

То ^ + £ = 0, (0) = /1(1) + = 0;

du2 А л

d2 / d2 /

Т0 тг+/1 -ft = 0, /2 (0) = /2(1) = 0;

du du

Т0 + £/// = 0, /к(0) = /к (1) = 0. йи г=1 йи

Ограничиваясь первыми членами расщепляющего ряда, получаем:

1 - u3 30т0 - 4 т =-+-- +

5 (1 - 6т0)

22

u -u

6

6т0

180т0

180т0

причем т0 = т( 0).

Пусть в расщепляющем разложении u = 0. Тогда

1

1

т0 =J- + J— = 0,4911. 0 V6 V180

+

Точное значение т(0) = 0,4696, т. е. первые три слагаемых расщепляющего ряда позволяют определить напряжения трения на стенке с погрешностью меньше 4 %, не прибегая к аналитическому продолжению рядов.

Структура расщепляющего ряда такова: первое слагаемое, т = т0, задает пристеночное трение. Последующие слагаемые, /(и), аппроксимируют распределение трения во внешней, струйной, части решения. Важно, что расщепляющий ряд описывает распределение трения в слое одной ветвью аналитической функции, без асимптотических и промежуточных разложений. Не требуется применять аналитического продолжения рядов из одного круга сходимости в другой.

Примечания к примеру 1 1. Решение однородной предельной задачи этого примера необходимо должно удовлетворять тождеству

\ -Т и = 1.

А йи I 2

0

2. Уравнение Крокко можно записать в виде системы:

й т = . й ; = и йи ' йи т

Очевидно, это каноническая система с гамильтонианом

с2

Е (т, и) = -у + и 1п т.

Тогда получается, что в действительном движении функционал (действие или первообразная функция)

^ (т) Ч

1 ( й т12 , 1

-I — | + и 1п-21 йи

л

йи ^ inf > 0.

Действительно, для F (т) необходимое условие минимума совпадает с уравнением Крок-ко. В данном примере исходное (нелинейное) уравнение совпадает с уравнением Лагранжа для некоторого положительного функционала.

Итак, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Необходимое условие экстремума (минимума) F(т) равносильно уравнению Крокко. Обратно, уравнение Крокко порождает гамильтонову систему, реализуемую на экстре-

малях F(т). Учитывая пункт 1 примечания, можно утверждать, что т(и) минимизирует F(т) в

классе т е W\ (0, 1) с ограничением — = 1.

йи

Пример 2. Свободно-конвективное движение (приближение Буссинеска) формализуется предельной задачей пятого порядка:

/'" + 3 //"-2 /'2 + в = 1, в'' + 3с/в' = 0;

/(0) = /' (0) = /' (ю) = в(0) -1 = в(ю) = 0. Векторная запись, т. е.

й-(/, и, т, в, q) = (и, т, 1 + 2и2 - 3/т, q, -3/);

и = й/ т •= йи .= йв й й й

указывает на отсутствие гамильтоновской симметрии у исходной системы.

Здесь/=/(0 — безразмерная функция тока; # = #(0 — безразмерный температурный напор; £ — безразмерная координата,

£=-(4, 5(х) = ,, Се(0, -); 5(х) \ g

х, у —продольная и поперечная координаты, х > 0, у > 0; 5(х) — толщина пограничного слоя; а — число Прандтля; штрихуется производная по переменной

Пусть а = 1. Расщепляющие ряды ищутся в виде

/(0 = а + £ -к/к (С), в(0 = £-квк (С), к=1 к=1

причем предельные условия на коэффициенты-функции ставятся таким образом:

а 1

/1(0) + а = /1(0) = /1 (ю) = в1(0) -1 = в1 (ю) = 0;

X X

/к(0) = /к(0) = /к (ю) = вк(0) = вк (ю) = 0.

Система расщепленных линейных уравнений записывается в виде

/1+ 3а/1'+ в1 = 0, в1' + 3ав1 = 0; к к /' + 3а/'-2£ //- + 3£ //- +

г=1

г =1

+вк= 0, в£ + 3авк+ 3£ / вк-г = 0.

г=1

0

к

В первом приближении распределение скорости и температурного напора по толщине пограничного слоя имеет вид

/ (0= /' (0=

1 - ехр(-3аО С ехр (-3а£)_

27а

9а

ехр (—3а^)

3а

; Э(£) = ехр(-3а£),

причем для определения параметра а используется следующее простое соображение: из расщепляющего ряда и предельных условий на коэффициенты-функции следует, что а = /(<).

Но /(<) = (3а) 3, т.е. а = 3 74 = 0,4387.

Во втором приближении распределение температурного напора имеет вид

3

Э(^) = ехр(-3аО + а£, ехр(-3аО ехр(-3а^) Сехр(-ба^)

+

3

54а3

ехр(-6ар + С ехр(-3а^) +

+

324а4

ехр(-3а^) 81а4

1

- +

27а3 1

3 108а4

ехр(-3а^),

и поэтому во втором приближении тепловой поток на обогреваемой стенке £ = 0 будет равен

й э! ,

— I = 3а - а -й ^=0

_=__^273

36а3 ^27 36

1

2

= 0,5448.

-э'(0) =

й Э

= 0,5046,

если не учитывать граничных эффектов на кромке (в окрестности сечения х = 0, где числа Рэлея малы) обогреваемой пластины. Обычно теплопередача рассчитывается по продольной координате х. Тогда во втором приближении:

3

= 0,5448; :=—; Gх := Щг-, 4Я к V2

где а, к — коэффициенты теплоотдачи (теплопередачи) и теплопроводности.

Завышенное значение теплопередачи компенсирует влияние передней кромки поверхности (х = 0(5)).

Пример 3. Вихревой шнур у твердой поверхности и экмановский пограничный слой (Д.К. Батчелор).

Система пятого порядка (без теплопередачи), т. е.

А т/'2=5 2 -»

^ + З + и^,-(1 + т) /к = 0,

плюс предельные условия — / (0 ) = /' (0 ) = /'(«) = g (0)-1 + 5 = g (<)-5 = 0

стилизуют вихревую плазму при вращении вязкой жидкости над твердой плоскостью

5 = 0, С:=у, 5= Е.

Исходная система уравнений не гамильто-новская, вектор правой части не обладает необходимой симметрией:

Полученное решение аппроксимирует действительное («струйное») распределение скорости в пограничном слое с максимумом скорости внутри слоя и монотонным падением напора поперек слоя, от нагретой стенки (у = 0) к внешней границе слоя (у ^ <»). Решение Эккер-та качественно совпадает с полученным здесь решением. Так, по Эккерту, тепловой поток на стенке

_й_ й С

(/, и, т, g, V) = (и, т, •

, и, т, g, V ) = (и, т, т2 - g2 + жи2-

3 + ж

/т, V, (1 + ж) ug - ^^/у 1,

V :=

й С'

В этих уравнениях / = /(О — функция тока радиального движения;

g = g (0 :=

S, т — параметры, определяемые как й 1п и<

ж :=-

й 1п г

, 5 = -

и< + К

ие — азимутальная компонента скорости в пограничном слое, ите — азимутальная скорость «внешнего» движения, ик — азимутальная скорость твердой поверхности, г — радиальная

2

и

е

координата в абсолютной (неподвижной) координатной системе.

Вращение вязкой жидкости над плоскостью £ = 0, неподвижной (5* = 1) или подвижной (5ф 1), порождает вторичное течение с осевой скоростью:

h (0=^ / (0-^ / (с).

2

2

Если h (га) >0, то вторичное течение направлено от твердой поверхности. Тогда f(<*>) < 0. Если же f(ra) >0, то осевой поток направлен внутрь пограничного слоя, h(^) < 0, пограничный слой «втягивает» в себя линии тока внешнего движения.

Известны следующие частные случаи:

S = 0, m = 1 — пограничный слой твердого вихря над вращающимся диском;

S= 1, m = 1 — твердый вихрь над неподвижной плоскостью;

S = varia, m = 1 — твердый вихрь над вращающейся плоскостью;

S= 1, m = varia — произвольный вихрь над неподвижной плоскостью.

Решения написанной системы ищутся в виде расщепляющих рядов:

/ (£) = а + £хк /к (^и (0 = ^ +£-к gk (С), к=1 к=1

причем коэффициенты-функции удовлетворяют предельным условиям:

/1(0)+а=/(0)=/(ю)=

X

= а(0) - ^ = gl (ю) = 0;

/к (0) = /(0) = /(ю) = gk (0) = = gk (ю) = 0, к> 2. Расщепленная система уравнений

я + Цт/* £ -(1 + т )£ /■ /-г +

i=1

+2Sgk +L g/gk-/ =

i=1

_ 3 + m , 3 + mk .

g' + —Г"a8k + —fiSk-t -

2

2

i=1

-(1 + m)f -(1 + mgfl-t = 0,

i=1

к > 2, имеет простые экспоненциальные решения.

Вот основные физические результаты, полученные в первом (к =1) приближении:

пусть 5= 0, т = 1. Тогда h (ю) = = -0,8408.

Точное значение составляет —0,886 (погрешность вычисления не больше 5%);

пусть 5=1, т = 1. Тогда h (ю) = 2^32 = 1,3678.

Точное значение составляет 1,35 (погрешность вычисления не больше 1%);

устойчивое движение твердого (т = 1) вихря возможно, если а — вещественное число. Но

a =

= 4,

'(1-25 )(1 + 6S )

32 '

значит параметр скольжения заполняет интервал — 1/6 < 5< 1/2. Предельное значение 5 = 1/2 означает, что и^ = и^ т. е. жидкость и твердая плоскость вращаются с одинаковой угловой скоростью. Никакого пограничного слоя нет, профиль азимутальной скорости иг однороден. Предельное значение 5 = —1/6 означает, что угловая скорость твердой поверхности в 7 раз больше угловой скорости, причем диск £ = 0 и твердый вихрь вращаются в разные стороны;

Таким образом, доказано следующее: расщепляющие разложения позволяют, во-первых, аппроксимировать решения нелинейных предельных задач, не привлекая внешних и внутренних масштабов и аналитического продолжения рядов; во-вторых, для каждого коэффициента-функции расщепляющего ряда удается получить линейную предельную задачу; наконец, в-третьих, для каждого коэффициента-функции расщепляющего ряда линейная предельная задача связана с минимумом некоторого положительного функционала, своего для каждого коэффициента-функции расщепляющего ряда;

вариационная задача не связана с линеаризацией исходного уравнения и не требует изо-спектральной деформации (преобразования) исходного нелинейного уравнения;

соответствующее линейное уравнение для каждого (локального) коэффициента-функции расщепляющего ряда необходимо для выполнения экстремального условия для неотрицательного квадратичного функционала («локальное необходимое условие слабого экстремума»).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зигель, К.Л. Лекции по небесной механике [Текст] / К.Л. Зигель. - М.: Изд-во ИЛ, 1959. С. 169— 185.

2. Уиттекер, Е.Т. Аналитическая динамика [Текст] / Е.Т. Уиттекер. — Ижевск: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 1998. — С. 540—573.

3. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике [Текст] / Дж. Коул. — М.: Мир, 1971. — С. 87—88.

4. Шварц, Л. Математические методы для физических наук [Текст] / Л. Шварц, Д. Юэ. — М.: Мир, 1965. — С. 76—77, пример 1-7.

5. Фаддеев, Л.Д. К теории устойчивости стационарных плоскопараллельных течений идеальной жидкости [Текст] / Л.Д. Фадеев // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных семинаров ЛОМИ. — Т. 21).—М.,Л.: Наука, 1971. — С. 164—172.