Распространение звука в плазме самостоятельного газового разряда азотосодержащих газов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 533.9

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПЛАЗМЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ГАЗОВОГО РАЗРЯДА АЗОТОСОДЕРЖАЩИХ ГАЗОВ

А.В. КАНЫГИН*, В.О. НЕКУЧАЕВ**, В.С. СУХОМЛИНОВ*

*Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург **Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта prima-ivs@mail.ru

Работа посвящена теоретическому исследованию распространения акустических волн в плазме самостоятельного газового разряда. Особое внимание уделено плазме азотосодержащих газов и, в частности, воздуха. Получено и решено уравнение распространения звука в такой среде. Обнаружено, что зависимости коэффициента усиления звука при распространении волны вдоль вектора электрического поля в плазме от частоты звука и безразмерного параметра энерговклада носят немонотонный характер. Результаты расчетов согласуются с известными экспериментальными данными других авторов.

Ключевые слова: Рэлеевский механизм, распространение звука, коэффициент усиления звука, безразмерный параметр энерговклада

A.V. KANYGIN, V.O. NEKUCHAEV, V.S. SUKHOMLINOV. SOUND PROPAGATION IN GAS DISCHARGE PLASMA OF GASES WITH NITROGEN IMPURITY

The paper deals with theoretical research of propagation of acoustic waves in gas discharge plasma. Special attention is given to plasma of gases with nitrogen impurity and, in particular, air. The equation of sound propagation in such environment is obtained and solved. It is found that dependence of amplification of sound factor from sound frequency and dimensionless parameter of power input at propagation of wave along electric field vector in plasma has nonmonotonic character. Results of calculations are in good agreement with known experimental data of other authors.

Key words: Rayleigh energy release mechanism, sound propagation, amplification of sound factor, dimensionless parameter of energy addition

В последнее время наблюдается интерес к исследованиям различных гидродинамических явлений в плазме газового разряда. Это, в частности, связано с применением плазмы в аэродинамических и аэрокосмических приложениях [1, 2]. Эксперименты показывают, что прохождение звуковой волной плазменных образований может приводить к значительному изменению ее амплитуды [3, 4].

На наш взгляд, проблема взаимодействия акустических волн с плазмой молекулярных газов при таких условиях исследована недостаточно полно, особенно при значительном энерговкладе. Большинство работ по этой тематике посвящено изучению распространения акустических волн в плазме инертных газов при сравнительно малых энерговкладах [4]. В работе [5] теоретически рассматривалось взаимодействие акустических волн с плазмой молекулярных газов в условиях, когда время колебательной релаксации много больше периода колебаний. В то же время при значительных энер-

говкладах в плазму, например, в воздухе, а также для низких частот порядка сотен Гц возможно обратное соотношение времени колебательной релаксации и периода колебаний. В свою очередь следует отметить, что у разных авторов по измерениям коэффициента усиления акустических колебаний в плазме азота и воздуха среди результатов имеются расхождения в несколько раз [4, 6].

Одним из основных выводов о механизмах взаимодействия акустических колебаний с плазмой самостоятельного разряда, сделанным авторами цитируемых работ, является то, что главную роль, по-видимому, играет, так называемый, Рэлеевский механизм [4, 7]. Суть его состоит в том, что если в среде с тепловыделением мощность объемного источника тепла зависит от плотности среды, то в такой среде будут наблюдаться усиление или ослабление звуковой волны в зависимости от сдвига фаз между пространственными зависимостями плотности среды и тепловыделением в волне. При

этом, если электрическое поле в плазме и волновой вектор ортогональны, то волна будет ослабляться, если коллинеарны - то усиливаться [4, 8]. Нами рассмотрено взаимодействие плоской звуковой волны с неограниченной плазмой газового разряда в одномерной постановке. При этом исследован и случай молекулярных газов.

Вывод и решение уравнения распространения акустических колебаний в упругой среде с Рэлеевским механизмом тепловыделения

Будем полагать, что в отсутствии звуковой волны Рэлеевская среда представляет собой газ без объемных источников тепла, нагретый до некоторой температуры. Наличие звуковой волны приводит к неоднородности газа, что, в свою очередь, ведет к появлению тепловыделения. Пусть в единице объема газа выделяется мощность Q(х, t),

где х, t — координата и время соответственно. Предположим также, что данная мощность в явном виде зависит только от плотности газа р , что соответствует Рэлеевскому механизму влияния среды на акустическую волну. Используя нестационарную одномерную систему уравнений Эйлера, можно получить уравнение распространения звуковой волны в однородном газе с тепловыделением, зависящим от плотности:

д_

дt

д 2и

д и I , п 2 dg\

= (У - 1)аоР-т\ ар р

д 2и

(1)

дх2 ] ар р Ро дх2

скорость распространения возмущений

где а0

бесконечно малой амплитуды; и — массовая скорость, вдоль которой распространяется волна;

g = -Q; р0, Р0 — плотность и давление газа в

Р

отсутствии волны. Как видно, это уравнение третьего порядка, в отличие от обычного волнового уравнения второго порядка. При этом, как можно показать, при выполнении условия

ди

>>

ді

(у - 1)а2 арі р=ро\іраі'

ёр

др

дх

(1а)

т.е. при малом тепловыделении, уравнение (1) эквивалентно

2 52и 52и

dg

ди

0 дх2

2

ді2-(у- 1)Роар|р=ро

(2)

с точностью до величин первого порядка малости

йя |

по ---- р=р . Введем пока произвольные парамет-

ры со0, k0, имеющие размерности с-1 и см-1, соответственно, и удовлетворяющие соотношению

<а0

—^ = а0. Тогда уравнение (1) можно переписать в

кп

'"О

виде:

д \д2и д2и |= д2и

дт I дт"

ді2

ді2

(3)

где т = со0І; і = к0х — безразмерные время и координата, соответственно;

у -1 роо dg I

Ь = ■

р=ро

(4)

2 со0 йр'

Уравнение (3) в этих переменных имеет вид

д2и д2и ди

—г-----------------т = 2Ь-. (5)

дт дх дт

Отметим, что условие применимости уравнения (5) для гармонической волны можно переписать в ином виде:

>> 2у8 , (6)

• (г - 1)Ро йё\

где

yg =■

— частота

2п

нагрева [4].

Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что частным решением уравнения (3) является:

и (х, t) = ехр[([ + 1р)т - К ], (7)

где [, р — некоторые параметры и

1т[ = 1тр = 0. Поскольку уравнение (3) является линейным, то общее его решение есть сумма частных решений. Коэффициенты этого разложения находятся из начальных и граничных условий известными методами [9].

Таким образом, достаточно найти решение для случая гармонической волны. Подставляя (7) в (5) и приравнивая мнимые и реальные части получившегося равенства к нулю, получим:

[3 - 3р2[ + [ + 2Ь = 0

р(-р2 + 3[2 +1) = 0 Система уравнений (8) имеет два типа решений:

р2 = 1 + 3[2

4[3 + [-Ь = 0 р = 0

[3 + [ + 2Ь = 0

Очевидно, что решение (9) соответствует бегущей волне с амплитудой, зависящей от времени, решение (10) - стоячей волне с амплитудой, зависящей от времени.

Рассмотрим решение системы (9). Поскольку

по определению 1тр = 1т[ = 0, то, используя формулы Кардано [9], имеем:

(8)

(9)

(10)

2

А

± ^1 + 3р2, Р= А + В

Ь +

Ь2 +

1

3

27

(11)

1

Аз

ь-д ь2 +

27

в =

2

Различные знаки у параметра р соответствуют волнам, бегущим в прямом и обратном направлениях, при этом знак величины [ совпадает со знаком параметра Ь . Формулы (11) для параметра [ имеют следующую асимптотику:

Р

ь ; Р

Аналогичным способом можно получить, что уравнение (5) имеет решение в виде бегущей волны (7) с параметрами:

= +д/1 + 3Ь2

(12)

р1

[1 = ь

Вторая из формул (12) тождественно совпадает с формулами, полученными в работах [5, 10]. Как мы видели ранее, они верны только при выполнении неравенства (6). В общем же случае следует пользоваться формулами (11).

Можно показать, что решение уравнения (3), соответствующее системе (10), не имеет физического смысла.

Вычисление параметра Ь для плазмы воздуха и азота

Как следует из определения величины Ь , поставленная задача сводится к расчету величины

й? | 1 dQ

ар

р=ро

уро ар

, где Q - изменение коли-

р=ро

чества тепла, выделяющегося в единице объема плазмы за секунду из-за наличия звуковой волны.

Известно, что в плазме азота и воздуха в рассматриваемых условиях практически вся энергия электронов расходуется на возбуждение колебательных степеней свободы молекул азота, которые затем релаксируют по колебательным состояниям в результате V - Т процессов или на стенках, ограничивающих объем плазмы [11]. В соответствии с этим предположим, что в некоторый момент времени т = 0 однородная плазма обладает

плотностью р0, в плазме существует стационарное распределение молекул азота по колебательным состояниям; энергия, накопленная в колеба-

и время V - Т

тельных состояниях, равна є

релаксации - т/Т0. Пусть при т > 0 плотность плазмы начинает меняться по некоторому закону р = р(т), что вызывает изменения мощности тепловыделения и времени V - Т релаксации т/Т (р). Тогда уравнение для энергии, накопленной

в колебательных состояниях , запишется в

виде

аєт.

ат

-+-

gн (р(т))

(р(т)—о

(13)

—

1'/т\г\''; а^0 ^0

Здесь ?н (р(т)) — объемная плотность мощности

закачки энергии в колебательные состояния моле-

2

кул азота в единицах р0а0 = уР0; е/Т измеряется также в этих единицах.

При этом очевидно, что искомое изменение

мощности тепловыделения ? и величина е/Т связаны соотношением:

£ =

'УТ

'УТ о

тъ

. (14)

' /Т ь /Т 0

Используя то, что в звуковой волне отклонения параметров газа от средних значений малы, получаем решение дифференциального уравнения

(13) с начальными условиями є

1 т ат'

УТ |т=0 єут о

[9]:

єут(т ) = ехр \--------1

О 0 тУТ

ЄУТ о +

—

І- т ехр (— £н( т )ат

оо

Юо о тУТ

(15)

При условии, что амплитуда звуковой волны такова, что выполняется неравенство

2п р- ро

<< 1,

(16)

с использованием малости амплитуды звуковой волны можно получить следующий результат:

ЄУТ ЄУТ о 1 атУТ

£(т) = -^ = - £н о

( р-ро ) + £н о ехр<

'■ут о т

а р

х| (р- ро )ехр \ —— \ ат

а р

+■

£Н о а р

(17)

ут о '

Отсюда видно, что для молекул газа предположение о том, что функция ? (т) в явном виде зависит

1

2

1

Р=Рс

х

Р=Ро

Р=Ро

только от р(т), строго говоря, выполняется только в следующих случаях:

1) если (о0тУТ0 >> 1, тогда

1 атут

gр) * - £н о-------------Т~

тут о ар

(р- ро):

р=ро

2) если

2п

>> 1 , то

ехр

— т

О4, УТо У

(18)

быстро

меняющаяся функция по сравнению с р- ро, и

g (р)

ар

(р- ро).

(19)

р=ро

В промежуточных случаях ?(т) зависит в явном виде не только от р(т), но и от т , и, таким образом, уравнение распространения звуковой волны будет содержать член, пропорциональный

д? (Р(т),т)

дт

Поскольку, как легко видеть,

р=const

функция ? (т), определяемая формулой (17), является монотонной функцией параметра (о0т/Т0,

то с достаточной степенью точности можно пользоваться любой интерполяционной формулой, которая в предельных случаях дает соотношения (18) и

д? дт

р-свт1

Далее при проведении конкретных расчетов будет предложен один из вариантов такой интерполяционной формулы.

Таким образом, с использованием полученных результатов (18) и (19), для параметра Ь в плазме воздуха и азота имеем:

Ь = - ^ р ?н 0 1 *

(19) и удовлетворяет равенству —

= о.

' УТ

и Ь =

2 —

у -1 ро

ар

при—отУТо >> 1

р=ро

2 — о ар

р=ро

при

2п

(19а) >> 1, (19б)

— отУТ о

соответственно.

Вычисление величин

УТО

''УТ о

ар

р=ро

ар

для плазмы воздуха и азота

р=ро

Физические причины изменения времени У - Т релаксации при изменении плотности состоят в том, что, во-первых, при увеличении плотности растет частота столкновений между молекулами, во-вторых, в сжатиях увеличивается температура, что из-за резкой зависимости тУТ от этой

величины приводит к еще большему ускорению V - Т процессов. Для вычисления величины

1 йт

1 кл Ьуг 0

----------= у запишем закон сохранения

тУТ 0 йр р=р0

энергии для газа с дополнительным тепловыделением (теплопоглощением) в виде:

= (у - 1)1+-^е, (20)

йр р С1/ю0р йр

где = -0н0у , Оно = у ?Н0Р0 .

йр

Как известно [12], случай колебательной релаксации молекул азота хорошо описывается формулой:

1 I В 0 1

г1/т К— ехр \ ,

р {Т /з 1

где В0 « 234,9 ; Т выражено в °К.

С учетом этого, используя соотношение (20), можно получить:

(у -1) В0

1 +

У =

1

ОТ/ 3

Л о

ро 1 __

BоQн

3То роСу—о

Теперь рассмотрим величину

ар

(21)

При

р=ро

давлениях газа в несколько десятков Торр и выше и характерных частотах со0 от нескольких десятков

кГц и ниже частоты энергетической релаксации электронов в плазме воздуха и частота ионизации много выше со0 [13]. Поэтому за время сжатия в

звуковой волне успевают установиться стационарные значения электрического поля и концентрации электронов, соответствующие данной плотности нейтралов.

В силу этого, например, при рассмотрении случая, когда звуковая волна распространяется вдоль электрического поля, т.е. градиент плотности и электрическое поле коллинеарны, можно получить [14]

ар

g

н о

р= ро

ро

ІЕ УР ро

(22)

В случае же, когда звуковая волна распространяется в направлении, перпендикулярном электрическому полю, то, как отмечается в [14], поле в силу потенциальности будет сохраняться, а плотность тока - уменьшаться. Таким образом, в этом случае

ар

р=ро

£Н0

ро

(22а)

т

н

н

и

Обсуждение полученных результатов и их сравнение с теоретическими и экспериментальными данными других авторов

Рассмотрим полученные результаты более подробно. Из первой формулы (11) следует, во-первых, что независимо от направления движения звуковой волны в плазме скорость распространения ее выше, чем в нейтральном газе, нагретом до той же температуры в р > 1 раз. Коэффициент

усиления (ослабления) волны с частотой со0, рассчитанный на единицу длины плазмы, связан с параметром [ следующим соотношением:

—0 ~

К = -°- р. а

(23)

В то же время по результатам других авторов [5, 10]:

К = — Ь ап

(24)

Эти формулы тождественно совпадают при выполнении неравенства (6) и дают разную зависимость от параметров плазмы в обратном случае. Например, коэффициент усиления (ослабления) К1 не зависит от частоты, в то время как величина К является растущей величиной со0. При этом

К1 > К при любом со0. Графики зависимости

а0К1 (ю0) и а0К(®0) при различных параметрах

% = Ьа0 приведены на рис. 1, 2. Зависимость

Рис.1. Зависимость величин а0К, а0К1 от круговой частоты звуковой волны при параметре % = 50 с 1.

К (®0) качественно совпадает с экспериментальными данными [13], полученными для случая взаимодействия стоячих акустических волн с плазмой аргона при давлениях в десятки Торр и частотах до 1кГц. Отсутствие некоторых данных эксперимента в цитированной работе не позволяет провести количественно сравнение, однако тенденция роста коэффициента усиления звука с увеличением частоты звука при распространении его вдоль направле-

аКЦХс1)

акцхс)

22С 2001— 180 16С 14С 12С 10С 8С / 6С ’ КСГ

% = 200 с-1

ттаю

Рис. 2. То же, что и на рис. 1, но при % = 200 с 1.

ния электрического поля, зарегистрированная экспериментально авторами [13], свидетельствует о качественном согласии нашей теории с этими экспериментальными данными.

Покажем результаты вычисления величины

ар

. Как видно из соотношений (18) и (19), при

р=ро

временах V - Т релаксации много меньших периода звуковых колебаний изменение тепловыделения в плазме происходит за счет изменения мощности накачки энергии в колебания из-за изменения плотности газа. При обратном соотношении за малый период звуковых колебаний колебательная энергия не успевает отреагировать на изменение мощности накачки, и изменение тепловыделения происходит за счет того, что изменяется время

Затем рассмотрим зависимость величин К

К

от параметра

У -1 ]Е

= ц в случае, ко-

2 УРа0

гда звук усиливается. Нетрудно видеть, что, как следует из формул (22) и (24), К1 линейно растет с увеличением этого параметра, что совпадает с результатами [4]. Величина же К при малых ц растет также линейно, однако затем асимптотически стремится к К ~ .

Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство. Как уже отмечалось, время колебательной релаксации тУТ в воздухе существенно

зависит от температуры газа. Поскольку при увеличении параметра ц растет энерговклад в плазму,

то увеличивается температура газа, что приводит при фиксированной частоте со0 к уменьшению параметра со0тУТ 0 и, в конечном счете, к смене механизма изменения тепловыделения в звуковой волне. Это обуславливает дополнительную зависимость величины К от параметра ц и, как мы увидим в дальнейшем, может при низких частотах

и

со0 приводить к немонотонной зависимости К(ц) . На рис. 3 представлены результаты расчета величин К (ц) для условий эксперимента работы [4] -

У0 = 5 кГц , давление воздуха Р0 = 12,3 Торр и экспериментальные данные из этой же работы. Интерполяционная зависимость для параметра Ь при различных значениях со0тУТ0 выбиралась в виде

' ' = ' = (25)

где Ь,

определяются с использованием

формул (21) и (22) соответственно; 1 -

1 + // 234,91

1 + //

F2 =

А

/ =— ехр\ 25,89 -—

1/ Т /3

(25а)

(25б)

ц(м-1)

Рис. 3. Коэффициент усиления звуковой волны в плазме воздуха в условиях экспериментов работы [4]; кривая - расчет по разработанной теории, точки - результаты эксперимента.

Как видно из (25б), /1 пропорциональна величине 1

-------, здесь А0 - подгоночный параметр. В

асимптотических случаях ®0т(7Т0 ^ да и (о0т1Т0 ^ 0 (25) дает для Ь формулы (19а) и (19б) соответственно. Поскольку авторы приводят данные о температуре газа Т0 « 600° К лишь для

ц « 0,23, то мы аппроксимировали температуру формулой

Т (0 К) = 300д/13,333ц +1,

при ц = 0,23, Т = 605° К , (26)

что соответствует зависимости решения уравнения теплопроводности для температуры в центре трубки от мощности объемных источников тепла в

предположении, что коэффициент теплопроводности пропорционален Т . Авторы работы [4] расчеты коэффициентов ослабления звука проводили по формуле с точностью до обозначений, идентичной соотношению (24) и без учета механизма изменения энерговклада в молекулярных газах при росте температуры газа. В рамках этих допущений результаты эксперимента и расчеты авторов хорошо согласуются для инертных газов, когда величины параметра Ь малы и имеют значительные расхождения для воздуха. Как видно из данных рис. 3, построенная в настоящей работе теория позволяет хорошо описать данные эксперимента. В то же время в экспериментальной работе [6] при следующих условиях: Р = 78 Торр, j — порядка немА

скольких единиц

см

, /0 = 170 Гц для тлеюще-

го разряда в азоте получено значение коэффициента усиления порядка 1,5 м 1 уже при параметре

ц порядка сотых м 1 (а не десятых м 1, как в работе [4] и согласно расчетам настоящей работы). К сожалению, авторы не приводят данные эксперимента, которые не позволяют проанализировать причины столь большого расхождения экспериментальных результатов [4], расчетов по полученным формулам, и данных в работе [6].

На рис. 4 приведены зависимости величин К(ц) и К1(ц) для различных частот со0 < 5 кГц

и условий эксперимента работы [4]. Как и следует из качественного анализа полученных формул, величина К снижается при уменьшении со0. Кроме того, из этих же данных можно видеть, что зависимость К (ц) при малых частотах является немонотонной, что связано, как уже отмечалось, со сменой механизма тепловыделения в звуковой волне.

К,(л) (м-1)

ц (м-)

Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но в более широком диапазоне величины энерговклада и различных частотах звука.

Построенная теория не учитывает потерь тепла в плазме за счет теплопроводности на стенки, ограничивающие плазму. Как показывают исследо-

и

вания [4], учет этого явления приводит к незначительному уменьшению коэффициента усиления (ослабления) акустических волн в плазме.

Рассмотрим бесстеночный тлеющий разряд в воздухе (как наиболее перспективный в аэрокосмических приложениях) при значительных энерговкладах, а именно при следующих условиях: давление - от 10 до 100 Торр , плотность тока - от 5

до 100 мА / см2 . Для выполнения расчетов величины К необходимо знание температуры газа в области плазмы. Поскольку в настоящее время такие экспериментальные данные отсутствуют, то можно воспользоваться развитой в работе [15] теорией, где, в частности, рассчитывалось радиальное распределение температуры газа в бесстеночном разряде в воздухе.

Оценки и измерения газовой температуры в плазме воздуха при давлениях в десятки Торр и

плотностях тока в десятки мА/см2 показывают

K (м'1)

[1З] температура в

Е В

[25], что при — * 10-------------

Р см Торр

центре разряда превосходит величину порядка 15СС СК. Основываясь на данных [14] о скорости процессов У - Т релаксации в воздухе, можно утверждать, что при частотах звука —0, меньших

нескольких десятков тысяч с отношение (19б).

выполняется со-

K (м"1) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

j (мА/см2)

Рис. 5. Зависимость коэффициента усиления (ослабления) звука в бесстеночном разряде в воздухе от плотности тока.

На рис. 5 приведены зависимости коэффициента усиления (ослабления) звука от плотности тока при различных давлениях воздуха и частотах

звука. При этом для воздуха принималось у « 1,4 . Из этих данных видно, что при увеличении плотности тока величина К растет независимо от частоты звука. Это, очевидно, вызвано увеличением энерговклада в плазму. На рис. 6 приведены результаты расчетов зависимости К (Р) при различных плотностях тока. Видно, что величина коэффициента усиления (ослабления) в плазме слабо зависит от давления воздуха. Это объясняется тем,

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,З

0,2

v„=5 кГц

j=100i A/ci

j=20i A/ci

10 20 30 40 50

Р (Торр)

Рис. 6. Зависимость коэффициента усиления (ослабления) звука в безстеночном разряде в воздухе от давления.

что при данных условиях в плазме энерговклад с ростом давления увеличивается очень медленно, что связано с медленным ростом электрического поля при увеличении давления из-за уменьшения плотности нейтралов в результате значительного неоднородного разогрева [15]. Скорость же звука в плазме растет с ростом давления, поскольку увеличивается температура газа. Как мы видели ранее, при увеличении скорости звука в плазме величина К падает. Указанные обстоятельства и приводят к незначительной зависимости величины К от давления.

Работа поддержана госконтрактом П585 на выполнение поисковых научно-исследовательских работ в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-исследовательские кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.

Литература

1.

Ganguly B.N., Bletzinger P. and Garscadden A. Phys. Lett. A230 218 (1998).

2. Roth J.R., Sherman D.M. and Wilkinson S.P. AIAA J. 38. 1166 (2000).

3. Soukhomlinov V., Stepaniuk V., Tarau, C. et al // Acoustic Wave Control Using Glow Discharge Plasma”, AIAA Paper no. 2002-2731 (2002).

4. Александров Н.Л., Напартович НП., Паль АФ.

Усиление звуковых волн в плазме газового разряда // Физика плазмы. 1990. Т.16.

Вып.7. С. 862-870.

5. Елецкий А.В., Степанов Е.В. Нелинейное усиление звуковой волны в неравновесном молекулярном газе // Химическая физика. 1989. Т. 8. № 9. С. 1247-1250.

6. Галечан ГА., Мкртчан А.Р. Усиление акустических волн в плазме молекулярного газового разряда // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 3. С. 314-318.

7. Цендин Л.Д. Влияние разогрева электронов на акустическую неустойчивость плазмы в электрическом поле // ЖТФ. 1965. Т. 35. Вып.11. С. 1973-1977.

8. Soukhomlinov V.S., Sheverev VA and Otugen M.V. Evolution of a vortex in glow discharge plasma. Ph. Fl., 17, 058102, (2005).

9. Korn GA, Korn I.M. Mathematical handbook for scientists and engineers // MeGrow-Hill Book Comp. New-York, 1968. 831 p.

10. Hasegava V. Amplification of sound waves in partially ionized gases. J. of the Soc. Of Japan. Vol.37. No. 1. 1974. Р. 193-199.

11. Александров Н.Л., Высикайло Ф.И. и др. Теплофизика высоких температур, 1981. Т.19. №1. С. 22-27.

12. Candler G.V., Macheret S.O., Adamovich I.V., Kelley I.D. «Modeling of RF Plasma Kinetics and Aerodynamics of the AEDC Ballistic Range Experiments», AIAA Journal, 2001. No. 0494. Р.1-9.

13. Галечян ГА., Диванян Э.Г., Мкртчян А.Р. Усиление звука в плазме // Акустический журнал. 1990. Т. 36. С. 364-366.

14. Aleksandrov N.L. and Napartovich A.P. Sov. Phys. Usp. 36, 119 (1993).

15. Soukhomlinov V.S., Sheverev V. A., Otugen V. «Distribution of Gas Temperature in an Unconfined Glow Discharge Plasma», J. Appl. Phys., 94. No.2 (2003). Р. 844-851.

Статья поступила в редакцию 1.02.2012.