Распространение волн в вязкоупругих плоских системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

при С=С*, когда этот глобальный коэффициент демпфирования максимален.

Список литературы

1. Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно -неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: Фан, 2004 г. -250 с.

2. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация . - М.: Высшая школа , 1976.- 276с.

Salieva Olima Kamalovna, associate professor (e - mail: saliyevaok@mail.ru) Bukhara engineering technological institute

FREE VIBRATION OF LAMELLICAL MECHANICAL SYSTEM WITH POINTED CONNECTIONS

The paper discusses the natural oscillations of viscoelastic lamellar mechanical systems with point connections. The received frequency equation is solved numerically by the method of Muller. Given the parametric analysis of complex eigenfrequencies in dependence on the geometric parameters.

Keywords: Free oscillations, dissipative system, vibrations, viscoelastic system.

УДК 681.3

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛОСКИХ

СИСТЕМАХ Салиева ОлимаКамаловна, к.т.н., доцент Атоева Шахноза Шофиддиновна, студентка (e-mail: saliyevaok@mail.ru) Бухарский инженерно - технологический институт г.Бухара, Узбекистан

В работе рассматриваются основные задачи по распространению волн напряжения в вязкоупругих плоских элементах. Установлена что, в отличие от случаев упругой среды находит применение дисперсия, вызванная вязкостью. Были получены численные результаты.

Ключевые слова: вязкоупругий плоский элемент, волны напряжения, упругая среда, дисперсия, реологическая модель.

В данной работе рассматриваются основные задачи по распространению волн напряжения в вязкоупругих плоских элементах. Дело касается прежде всего распространения плоских поверхностных волн во вязкоупругом полупространстве, продольных и изгибных волн во вязкоупругом слое со свободными поверхностями, или же аналогичных задач по распространению волн напряжения в слое на полупространстве.

Согласно работе [1], и исходя из операторных уравнений линейного вяз-коупругого тела для изменений объема и изменений формы, выведены из-гибные дифференциальные уравнения:

РР'

С д2 Л д и,

} =1

22 0 (Р'Ои,)+ 0

дх

дх1 дх ^

3 р 'О + РО'

и,

причем напряжения определены уравнениями

д 2 РР' =1т (2Р'2и, )+Ъ

дх, 1=1

д2

дх,

-1 Р'Ои, + Р< и

Р°* = 2

( ди, ди, *] —- + —-

дх, дх,

V 1 ,

, = 1,2 (1)

(2)

; , = 1,2; 1 = 1,2. Операторы Р, Q, Р', Q' определяют уравнения:

д т д т-1

Р = — + Рт-1 + - + Р0

ыт-

дгг'

д

(3)

п-1

< дп

2 = Чп — + Чп-1 др-Т + ••• + Ч

и аналогичен для Р', Q' причин Р0, Рь...,Рп-1; q0,q1...qn - постоянные коэффициенты, характеризующие физические и реологические свойства материалов.

Конкретные результаты решения задач распространения волн напряжения можно получить для выбранного типа реологической модели вязкоуп-ругого тела. Приведем пример, некоторые решения для реологической модели стандартного вязкоупругого тела, когда в операторных уравнениях (3) только коэффициенты Р0, Р1 , q0 , q1 и Р0', Р1' , q0' , q1' отличаются от нуля. Тогда как уже известно, свойства вязкоупругого тела характеризует реологические параметры т и п, или т' и п', причин т и т' времени релаксации и п, п' определяют отношение мгновенных модулей упругости к статическим модулям. Будем далее предполагать одинаковые реологические закономерности для изменений объема и изменений формы, следовательно, т = т', п = п' и коэффициент Пуасона V является постоянной.

Если предположим плоские волны напряжения в направлении х1, то смещения будут выражены функциями е1(№1 - 1 х), где ю - круговая частота и у - волновое число, которое должно быть комплексным числом

у = у + 1а, (3)

причин а < 0 коэффициент затухания, Г = 2п/Х, X - длина волны. Одновременно имеет силу известное соотношение ю = су, где с фазовая скорость. В качестве примера рассмотрим распространение волн в слое со свободными поверхностями.

При распространении плоских синусоидальных волн напряжения в направлении х1 будут смещения, которые даны уравнениями

и1 = ид х2у(а" ^

и2 = и2 (х2У ^

После подстановки в дифференциальное уравнение движения плоской деформации получим для неизвестной функции И^хг), и2(х2) систем уравнений

d d2 рс2и, -у* Zx (м)и - ^у * Z 2 (м) + 7(м) = 0

22

рсо2и2 -у*Z2(м)и2 -iу*Z2(м)+ 7х(м)

0x2

d_V2 ах 2

= 0

где

Z (М) =

X «п (сп

п_

X Рт (С

Z '(с) =

X яп (с)п

п_

X р т (с)к

/ Ч 4 ' г1(м) = з7+7 _

/ ч 1 '

72(м) = 3 7 + 7

После введения вспомогательной функции ф(х2) отношениями

и1 = 1у* Z 2 аф

0х2

d2

(4)

(5)

и2 = (рм2 -у*2 Zl + ^-—)ф

ах2

Получим из (4) дифференциальное уравнение четвертого порядка

ZZ1+ [(7 + 71) + у *2 (г2 -z 12 -Z2)]] + [р2с4 -сгу*(7. + ^)у*4 ZZl]ф = 0

Млл Млл

т

т

Его решением является

если

ф(х 2) = А1еяХ2 + А2 в - яХ2 + А3 в™2 + А4 в

2

q = а + в;

(

1

а = — 2

рс

-+—

7 7

б2 = а - в;

л

+ у

*2

причем

(Z 2 Zl Z л

1 у

ZZ Z Z

(6)

в =

2 4

2 Р ® 2 *2 а2 - —-+ рс у*2

^ 1 Z л - + А

Z Z1

У

4

У

2

С помощью уравнения (5) выражаются смещения, а уравнения (2) напряжения.

Выполнение краевых условий свободной поверхности полупространства х2 = 0 приводим к частотному уравнению [1]

апа22 - а12а21 = 0

для поверхностных волн напряжения. При распространении волн напряжения слоя толщины И со свободными поверхностями, условия нулевых напряжений на поверхностях позволяют вывести частотное уравнение

Чк як

2 _ аиа22

8 —

2 _ аиа22

, як а12 а 21 % 12 21

^Ф а!2а21

(7)

где

а,

= ^(ро2-у*2 2Х) + у*2 121 - - 2 + 7' Ч

3

а22 = рсо2 - у * 21 + р2 (2 - 22) .

а21 = рсо2-у*2 2Х + ч 2 (2 - 2г). а12 = я21 (ро2 -у*2 21 + я22) + у*2 22(-|2 + 2'

При предположении стандартной реологической модели вязкоупругого тела можно провести численный анализ с использованием вычислительной техники. Дисперсионные зависимости определяются установлением комплексных корней частотных уравнений для отдельных значениям безразмерных частот О = ют.

Рисунок 1 - Дисперсионные кривые разовых скоростей и коэффициента поверхностных волн в вязкоупругой среде

/ ___________

/ / /

г- ----- --- -—--

0 1 2 3 4

Рисунок 2 - Дисперсионные кривые антисимметрических волн напряжения

в вязкоупругой среде

На рис.1. изображены изменения дисперсионных кривых фазовых скоростей и коэффициентов затухания при поверхностных волнах в вязкоупругой среде, а рис.2. изменения дисперсионных зависимостей симметричных и антисимметричных волн напряжения в слое для параметра И/с2т = 1, если с2 = ^о/р (О0 - статический модуль упругости). Все решения отвечают стандартной реологической модели вязкоупругого тела с параметрами п = 1,4, V = 0,29.

Из графиков видно, что в отличие от случаев упругой среды находит применение дисперсия, вызванная вязкостью.

Теперь рассмотрим распространение волн в слое толщиной И на вязко-упругом полупространстве. В случае вязкоупругого слоя, который находится в контакте с вязкоупругим полупространством, приводят кривые условия и условия непрерывности на разделе к частному уравнению в виде

ч ^ 2 ^ 2 ^ _

tgs1h + 2 2 = 0

71 s1h

(8)

где

и2

и2

^ =

2 П2(1+Ю1)

г2 -

^0 2

Е (1 +

= О 01 -

1 +

1+а

^2 h =

7 = О -

2 02

г2 дУр+Тпр г0--2-

Е (1+п1)

_ 1

1 + /Л2Т0 1+/Т0 .

т CI

Т> =— * = 1Г

ох = wh ; Т1 ; ^ ; % = СТ/

Индекс I относится к слою, индекс II - к полупространству. Численное решение состоит в задаче определения для постоянного значения 01 комплексных корней F0 = yh + ia0 . На рис. 3 изображены первые две дисперсионные кривые разовых скоростей с/с12 и кривые коэффициенты рассеяния а0 = аИ для значений параметров:

Он/Оп = 0,070; е = 2,300; £=1; = л2 = 1,4, т0=1.

С/С,

\

\ 4 Хч

—— —------- —---^ ^

---

f

/ /

0,25 0,5 0,75 1,0

Рисунок 3 - Дисперсионные кривые волн напряжения Ляве в слое на вяз-

коупругом полупространстве

Список литературы

1. Р. Кристенсен «Введение в теорию вязкоупругости». Изд-во «Мир», Москва, 1974, 189 с.

2. И. И. Сафаров «Колебания и волны в диссипативно неоднородных сферах и конструкциях». Ташкент, Фан, 1992, 250 с.

Salieva Olima Kamalovna, associate professor

Atoyeva Shaxnoza - is a student (e - mail: saliyevaok@mail.ru) Bukhara engineering technological institute

WAVE PROPAGATION IN VISCOELASTIC FLAT SYSTEMS

The paper discusses the main challenges for wave propagation in viscoelastic stresses in flat elements. Established that, in contrast to the cases of an elastic medium is used, the dispersion caused by viscosity. Was obtained numerical results.

Keywords: visco-elastic flat element, of the voltage wave, elastic medium, dispersion, pheological model.