Распространение упругих волн в средах с начальными напряжениями Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 535.012.2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В СРЕДАХ С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ

Егор Васильевич Лысь

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, тел. (383)330-13-37, e-mail: lysev@ipgg.sbras.ru

Евгений Игоревич Роменский

Институт математики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: evrom@math.nsc.ru

Владимир Альбертович Чеверда

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, тел. (383)330-13-37, e-mail: cheverdava@ipgg.sbras.ru

Михаил Иванович Эпов

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3, академик, директор, тел. (383)333-29-00, e-mail: epovmi@ipgg.sbras.ru

Предложена линейная модель распространения упругих волн в средах с предварительным напряжением, основывающаяся на теории конечных деформаций. Уравнения сформулированы в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, переменными которой выступают скорости смещений, компоненты тензора напряжений и деформаций упругой среды. Рассмотрены кинематические аспекты распространения упругих волн в данной модели и предложен конечно-разностный алгоритм для численного моделирования.

Ключевые слова: конечные деформации, теория упругости, моделирование, анизотропия.

ELASTIC WAVES PROPAGATION IN PRESSTRESSED MEDIA

Egor V. Lys

Institute of Petroleum Geology and Geophysics, 630090, Russia, Novosibirsk, Kouptug av., 3, Ph. D., researcher, tel. (383)330-13-37, e-mail: lysev@ipgg.sbras.ru

Evgeniy I. Romenski

Sobolev institute of mathematic, 630090, Russia, Novosibirsk, Kouptug av., 4, Ph. D., senior researcher, e-mail: evrom@math.nsc.ru

Vladimir A. Cheverda

Institute of Petroleum Geology and Geophysics, 630090, Russia, Novosibirsk, Kouptug av., 3, Ph. D., head of laboratory, tel. (383)330-42-86, e-mail: cheverdava@ipgg.sbras.ru

Mishail I. Epov

Institute of Petroleum Geology and Geophysics, 630090, Russia, Novosibirsk, Kouptug av., 3, Ph. D., academician, head of institute, tel. (383)333-29-00, e-mail: epovmi@ipgg.sbras.ru

Linear model for elastic waves propagation through prestressed media based on the general theory of finite deformations was proposed,. The governing equations in terms of velocities, stress and small rotations are formulated in the form of the first order partial differential equathions system. Presented a kinematic characteristic of the model and numerical simulathion algorithm.

Key words: finite deformations, elastic theory, simulation, anisotropy.

Введение

Внутренняя структура земной коры обладает зонами характеризующимися повышенными негидростатичными напряжениями, которые могут быть следствиями таких факторов, как гравитационные аномалии, температурный градиент, тектонические процессы и т.д.. Резонно ожидать, что такие зоны непосредственно влияют на процессы распространения сейсмических волн и должны учитываться при решении прямых и обратных волновых задач геофизики. Впервые влияние предварительных напряжений в среде на процесс формирования волнового поля было исследовано в работе (Bio, 1965). Впоследствии эта тема не получила должного развития, хотя отдельные работы по исследованию этого типа задач проводились см. например (Liu and Sinha, 2003), (Sharafutdinov and Wang, 2012).

В данной работе предложена линейная модель упругой среды с предварительными напряжениями, основывающаяся на уравнениях общей теории деформации упругих сред. Построена конечно- разностная аппроксимация соответсвующей дифференциальной задачи и проведена серия чиссленных экпериментов демонстрирующих влияние начальных напряжений на формирование волнового поля.

Вывод уравнений для упругих волн малых возмущений

Выведем уравнения для упругих волн. малых. возмущений для случая, когда упругая энергия изотропной среды является квадратичной функцией от тензора деформаций. Окончательная версия уравнений будет выписана в предположении, что тензор деформаци. предварительного напряженного состояния также является малым, а значит, соотношени. межд. напряжениями и деформациями предварительно напряженного состояния выражаются классическим законом Гука.

Предположим, что упругая энергия изотропной среды как функция от тензора деформации выражается квадратичной функцией

^ О. N М О

Е = —tr 2(е) +-(е2) 2 Q Q

Здесь X, у. - параметры Ламе, -плотность среды в ненапряженном состоянии, е-тензор деформации.

Для связи упругой энергии и тенора напряжений воспользуемся известной формулой

дЕ

а = -2oG* — * dG

где a - тензор напряжений, g - плотность, G - тензор Фингера, Е - упругая энергия.

Тензор фингера в свою очередь линейно выражается через тензор деформаций Альманси

G = I-2e Здесь I - единичный оператор.

Так соотношение напряженно - деформируемого состояния примет вид

а = Q(À.tr(s)I — 2(Atr(e) — — 4^£2)

Дифференцируем полученное равенство по времени и принимая во внимание малость деформаций производим линеаризацию по £ , опуская несложные преобразавания в итоге получим соотношение

до

— = —EU — i/*Z — 2Etr(W) — 2Àtr(£°U)I + Àtr(W)I + 2^W — Àtr(W)tr(£0)/ ot

—2^tr(s0)W — 2Atr(W)£0 — 4^Ws° — 4^s°W (1)

Здесь E - тензор предварительных напряжений, U-тензор скоростей

^ U+U* Л 1 s—, À -p-,

смещений, w=-,£и =—(z--5—trZ) - закон Гука

2 ' 3(А+§д) У 3

преднапряженного состояния.

Предполагая, что тензор напряжений представляется в виде суммы предварительных напряжений и малых возмущений а = E + s и учитывая, что предварительные напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия получаем

du ds , лдТ. . .

Q т = т" + (£ + т" (2)

^ dt дх к J дх w

Здесь Шц = (---л )- оператор вращений.

С/ Xj l/Aj

Особенности распространения упругих волн в среде с начальными напряжениями

Коэффициенты уравнений (1),(2) содержат, кроме упругих модулей, значения начальных напряжений и их производных. Это может приводить как к анизотропии, так и к дисперсии волн. Для анализа волновых полей оказывается удобным рассматривать систему уравнений второго порядка для скоростей смещений, которая может быть получена из путем дифференцирования уравнений для скоростей по времени и исключения производных от напряжений:

д2щ

д2и< ди

1 +Вт 1

д12 ^к1дх]дхь тдхк

На рис. 1 представлены индикатриссы продольных и поперечных волн в среде с начальными напряжениями !,11 = @1^2/50(слева) и !,11 = — дУр /50 (справа) скорости упругих волн в среде: Ур = 3000м/с, = 2000м/с, плотность д = 2000кг/м3

0 18

120 Vp 3000 60

150 / Ж . Vs 2000 ,/' 10,00 \ \ 30

V

210 \ 330

240 300

Рис. 1. Зависимость скоростей упругих волн от направления распространения соответствующие разреженной среде(слева)

и сжатой(справа)

0

Можно видеть, что ненулевые начальные напряжения являются источником анизотропии скоростей упругих волн.

На рис. 2. представлен эксперимент когда волна от источника типа центр расширения с координатами Х=7.7км, 7=7.9км проходит сквозь слой мощностью 1500м в котором !,11 = дУр /10(вверху) и !,11 = —дУр/ 10 (внизу), в то время как остальные упругие параметры идентичны вмещающей среде. Общий размер области 90км на 30км.

Хорошо видно, что вследствие анизотропии, вызванной начальными напряжениями волновая картина существенно меняется, появляются отраженные и преломленные обменные волны.

Таким образом учет влияния предварительных напряжений может улучшать результаты решения прямых и обратных задач геофизики, а также объяснить некоторые «белые пятна» формирования волновых полей при различных сейсмических процессах.

z <1

0.5 1.0 1$ 2.0 2.5 JO

г ю о

0.5

1.0

1.5 2.0 2.5 Л.О

01 2345678

Х- 10

Рис. 2. Мгновенные снимки волнового поля (компонента ст^), экперимент демонстрирующий влияние начальных напряжений на прохождение волны сквозь анизотропный напряженный слой

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Biot. M. A. Mechanics of incremental deformations. Wiley, 1965.

2 . Liu, Q.H. and Sinha, B.K. [2003] A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stressed formations, Geophysics, 68(5), p. 1731-1743.

3 . Sharma M.D., Wave propagation in a prestressed anisotropic generalized thermoelastic medium, Earth Planets Space, V. 62, 2010, p.381-390.

4 . Lys, E.V., Romenski, E.I., Cheverda, V. A., Epov, M. I. Interaction of seismic waves with zones of concentration of initial stresses, Doklady Earth Sciences, 2013, 449 (2), p. 402405.

5. Sharafutdinov V. and Wang J. Tomography of small residual stresses. Inverse Problems, 2012, V. 28, doi: 10.1088/0266-5611/28/6/065017, (17 pp).

© Е. В. Лысь, Е. И. Роменский, В. А. Чеверда, М. И. Эпов, 2014

ю

01 2345678

X 10