Распространение упругих волн в ортотропной пластинке от динамического воздействия ударника часть 1. Модель распространения волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКЕ ОТ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

УДАРНИКА

ЧАСТЬ 1. МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН

PROPAGATION OF ELASTIC WAVES IN ORTHOTROPIC PLATE AFTER DYNAMIC EXCITATION OF THE IMPACTOR PART 1. MODEL OF WAVE'S PROPAGATION

А. А. Локтев

A. A. Loktev

ГОУ ВПО МГСУ

Работа посвящена математическому моделированию процесса распространения упругих волн, образующихся от ударного воздействия, в ортотропной пластинке типа Уфлянда-Миндлина, обладающей криволинейной анизотропией и определению напряжений в месте контакта и различных характерных точках мишени. Для определения искомых величин на фронтах волн используются асимптотические разложения неизвестных в ряды по полиномам Лежандра и в ряды Лорана вблизи фиксированной точки.

The present paper is devoted to mathematical modeling of the elastic wave's propagation process, with generated from a impact interaction of the solid body, in the orthotropic Uflyand-Mindlin plate, whose dynamic behaviour is described by the wave equations taking the rotary inertia, shear deformations and curvilinear anisotropy into account. Also in the present investigation stresses in the contact area and in other typical points is obtain. Behind the wave fronts, the solution is constructed in terms of asymptotic expansions unknown functions in degree series on the Legandr's polynomial and Loran series near fixed point.

Проблеме распространения волн в телах при ударном воздействии на них посвящены работы многих исследователей [1-6]. В большинстве работ использование волнового похода к задаче ударного контакта ограничивалось определением таких динамических характеристик, как контактная сила и прогиб непосредственно в месте взаимодействия, т.е. в точке, от которой волны начинают распространяться [3], или на границе цилиндрической контактной области в случае удара по тонкой мишени [4-5]. В большинстве работ для определения искомых функций используются асимптотические разложения в степенные ряды по функциям Бесселя [3], по пространственной координате и времени [4-5], по полиномам Лежандра [6], в данной работе используется похожая процедура, поскольку волновые фронты в пластинке представляют собой или сферические, или цилиндрические поверхности - в зависимости от времени прошедшего с момента воздействия.

На рис. 1 приняты следующие обозначения I - ударник, FR - фрагмент пластинки, V - скорость падения ударника, h - толщина пластинки, а - местное смятие в зоне кон-

4/2010 М1 ВЕСТНИК

такта. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные -поперечной; стрелками указано направление распространения волн.

I

Рис. 1. Схема ударного взаимодействия и распространения волн в пластинке.

Распространение упругих волн в ортотропной пластинке от динамического воздействия ударника

Для существования в мишени волн, распространяющихся с конечными скоростями и влияющими на перемещения точек пластинки вне области контакта, необходимо использовать уравнения типа Уфлянда-Миндлина, учитывающие инерцию вращения сечений и деформацию сдвига [4]

дV 1 дт 1 дV 1 с7 с7аг + с3 8V с7 + с3 8т 12c4(дw ^ 5V ,,

—+--- + -г—т—7—+ -3—----2 93 у +-41--(р 1 =--+ М,

„2 „ .Л ^ дгде с г2 89 с ^г ) дт2

дг2 г дг г2 дв2 г2 с1

схг

5± с1 (1)

( Ъ 2 о w дф^ 1 с4 ' ^ у* 1 с4 д 2 w ду

^ дг2 дг ^ с1 ч гдг г , )' с, у г 2дв2 гдв )

д2 w

— + д^тщ,

д и + 1 ди

кдг2 г дг ^

дт

\ 2 2 2 с3 д и с2 и с2аг + с3 д V с2 + с3 ду д и + —^т—---- ~ + —-----—т2- — = —2 + д1 со8 а1 со8 а2,

с2 9 V + Сз с1г2 дв2 с

сг2 дв2 с1 г2 с1г дгдв с1г2 дв дт2

( -л2

д V 1 • + -

3 г2 г 5 г г2

с3 д и с2 + с3 ди д V

с1г дгдв с1г2 дв дт

2 + д1со8«18т«2,

д у 1ду у д г2 г д г г2

с2 д2^ сгв+ с3 д2ф с2 + с3 дф 12с5

с1г дв2 с1г д гдв с1г дв с1

1 д№ ---ш

V г дв \

дУ

ЩС w и V г Ег где , w = —, и = -, V = -, г = -, с = --—, с2 = -

к' к' к' к' 1 (1 -аго-в)р' 2 (1-ага0)р'

вгп КО__ КОЙ7 ак ,, 12а^1ео8а1 12Я,со8а,

—, с4 =—^,с5 =—^, а1 , м-1=—Ц—141,

р р р рс1 рке1 к

кЪ

вг = — вг, г 12 г

к3 к3

» = ^Вв, Вк = 12Вк, Сг = кБг, С, = кБв, Ск = кБк, ^ = »гав + 2», Е Е

Вг = --—, Бв =--, Вк = О^, Е^ = Е^, К = 5/6, Д, » и Сг, С, -

1 "^г^ 1

соответственно жесткости изгиба и растяжения-сжатия для направлений г, в; Ок - жесткость кручения; Ск - жесткость сдвига; Ег, Ев и ог, - модуль упругости и коэффициент Пуассона для направлений г, 0; О^, - модуль сдвига в плоскостях г2 и 01 соответственно; w(г,9) - нормальное перемещение срединной плоскости, и(г,в) и v(г,9) - тангенциальные перемещения срединной поверхности соответственно по координатам г, в ;

9) и цАт, в) - произвольные искомые функции координат г, в, р - плотность, а - нагрузка, а1, а2 - углы направления удара в вертикальной и горизонтальной плоскости соответственно (в данной работе они принимают значения л/2), Я1 - радиус сферического ударника.

В уравнениях (1) через с1, с2, с3, с4, с5 обозначены квадраты скоростей упругих волн, коэффициенты 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях г и 6> соответственно, коэффициент 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости гв, коэффициенты 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях, перпендикулярных плоскостям гг, & соответственно. Поскольку скорости волн связаны с упругими характеристиками материала в данном направлении, то их значения однозначно определяют свойства материала пластинки.

Для решения системы уравнений (1) запишем их в пространстве Лапласа и представим зависимости неизвестных перемещений и нагрузки а(1,г,9) от силы взаимодействия в месте контакта Р(г) в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра [6]

пг Л

2Я )

п=0 т=0

Х = ЕЕХ2и+тР2п+1 | |С0®{m0), (2)

Р ( р ).

/

41 = ±Рр- + 3)Р2«+1 С0ЙР2п+1 ^г](т#)

V 2Я

/

пг

2 Я

Л-Кс п=0 т=0

где Я - радиус пластинки; г1 - координата точки, в которой происходит динамический контакт; х - принимает значения ф, у/, w, и, V; черта над переменной показывает, что данная величина используется в пространстве Лапласа.

Для определения коэффициентов рядов (2) воспользуемся их представлением в

виде рядов Лорана вблизи исследуемой точки мишени [6], здесь е = р .

_ 0 О ,1 1 ,2 2 ,3 „3 (3)

х2п+т ~ х2п+т £ + х2п+т £ + х2п+т Е + х2п+т Е . (3)

С

3

4/2010

ВЕСТНИК .МГСУ

Подставляя ряды (3) с учетом соотношений (4) в систему (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим системы линейных алгебраических уравнений, из которых найдем коэффициенты соотношений (4)

¥\п+т = Р (Р )Р

¥1п+т = Р (Р

3

@2п+т

= Р (Р )

г а ^

с1 Я1 соБ а1 р

V с4

1

/

в3

2

Ф2п+т

=р (р А р

1 + в1 -Ц-- в

1 А3 А1

-2 - 7 + В2

р ( р ) ^1С08«1 с

А с4

Р ( р ) ^1С0Б«1 с1

А,

+В

а3 >

^2п+т ~

Р (р)^ (А? - А^^ )-^2+п1+т (43 А. - А А )"^2+п1+т (дВ " )"

с4

,(43

(4)

-^2я+тв2

Ф2п+т ~

(д3А -ДА3),

Р (р) Я1со/Ба1 с1

в3

а13 с4 А3 (в|А13 -в3А23)

^ ^ (а3 - А *1со8«1 )-

с4 А

л+1 '4>2п+т

' а2 ^ А3 А2 - А3 А2 + А-А1 а2 а2 а1 + 3

а1 у

-1//+1

'ав2 - а3в2+В2 ^ а1

3 _ ^3 3 ' г _ ^ 2 г+1 ^3 г Щп+т - _Ч г2п+т , т _ Ч г2п+т ~ Ч г2п+т '

у2п+т

соБа1Р(р)Бр Т соБа2 - Т3 8та21

Т3- Дт? Р ( р ) 5р у3п+тТ?

2п+т

и2п+т = со8а181п«2

52 52

(и2и+т со8 [т0)+ со8«2Р (р ^ 15*2 -( у2п+т со8 (т<9) + со8«1 ^«2Р (р )5р ) Д

Т3^2 - 5Т3

и2п+т -

и2п\т соБ(тв) + соБ«1 соБ«2Р(р)5р У2п+тТ23

где

А, = -т

с ад + с3

Vе 4

2 п+1, гг

+ т3 с1 г3 с4

с2 + с3

V с5г

[ 2п+1

\

т г

с2 + с3

Vе 4

2 п+1, г

[ 2п+1

слг

--12

т + -

т с2 + с3

A23 =

1 +

c2 + c3 l2c5 r2 J

P

1 2 n+1, r

m--V

Pn+3

1 c3 + c3

V r 12c5. j

Cl®e ^ C3 P2n+1,rrr

m + -J—E-- m-:--h

l2c5

[ 2 n+3

cl&ß+ c2 + 2c3 P2n+1,rr cla'e+ c3 3 P2n+1,r c2 + c3 3

H—-3----- m-:----3-—-r2- m -:-----=- m ,

B33 =

l2c5r

2 n+1, r

1 2n+3

m

1 2n+l

c2^r + c3

l2^r2 P2n+l l2c5r3

5

Л f

-5 ;

\\

l2r + -3-

C5r J)

c3 m

——r -12 + ■

C5 rl

C5r J

c5 Pn+3

1 P P

^ 2C3 2n+1,rr ^ c3r 2n+1,rrr

C5 Pn+1

D3 P2 n+1, r

B2 --

P2 n+1

m

c2°"r + c3

"5

l2r + -

2

_ 12 +

C5 r JJ

V C5r

C5r У

0 P P

^ 2C3 2n+1,rr ^ c3r 2n+1,rrr

C5 P2 n+1

[ 2 n+1

A22 =-

B22 =

l2c5c4

„ (

-m

c2 + c3

V

+ cxae + C3 I, a, =—Lm,

\

12c5r

1

V C4 У

, (

m +-

cr

12c5

-1+C3

c4

\ P с

r2n+1, rr c -— +

-1

/

! 2 n+3

12c5

v.

-3+C3

C4 ,

2 n+1, r

'2n+3

-3

12c5r c4

r + ■

12c5r J)

2 C,r P2n+1,r C, 1 r (C1 ) D A13 A22 - A2 A2 1 =-----, B =-, D —-Z-Z-Z-

Bi2 =-

! 2n+1

12c4 c5

D1 = .3 ,3

B23 A3 - B13 A23

D _ Al3 B22 - A3 B12 D2 "^Лз

B23 A,3 - B13 A2

—, D3 = -A,2 + Bi3Di, Ps = Ü^Z.&^L

C4 b2 A,3 — B3 A3

Cl3 =

12c5 m

12c5r 1 Г P -— + — r

P

2 n+1, rr ^ ^ 2 n+1, r

V P2n+3

r P

2n+1 V

C,2

J1

c3r 12c5 m

o3 P 2n+1,rr / л\ 1 P2n+1,r

S33 =-— cos (m0) + —

1 2n+3

r P

cos

{md) —

2 n+3

cr

cos

(me),

Т3 =- C2^r + C3 m sin (me) + ï2^! m sin (mû),

c3r

o3 _ + C3 P2n+1,r

S2

cr

c3r

m sin (me) - °г + 2C3 m cos (me),

Pn+1 ' C,r2

rr3 c2 2 í n\ . C3 2n+1,rr / n\ , c3

T3 ---m cos(m6) + —-—cos(m6) +

c P

2 n+1, r

c3r

Cl P

2n+3

C P

2n+3

cos (m0)—C3r-c,r

cos

(me),

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Sp =

in + 3

JiR

2 12n+l

f f W

nr

cos —

V V 2R/у

cos (me), i = 0,1,2.

Выражения (4) вычисляются для конкретной точки пластинки и места удара, т.е. г и в принимают определенные значения. После обратного преобразования Лапласа можно записать перемещения как функцию времени, двух координат и силы взаимодействия на пластинку

,т | = -

2

nRcEr 0 n=0m-0

ÍZZ(4n + 3)P (ti )P2n+l |cos Щ

P2n+l {C0s f|R

0 г,- /• \ . 1 /• \ . x2n+m (Г Г1 ) . x3n+m (Г Г1 ) x3n+mDirac- ) + x2n+m " ) +-^-- +-130--

drl.

cos (mû)

(5)

Данное выражение связывает перемещения с силой динамического воздействия на мишень. Для однозначного определения перемещений, а через них и напряжений в различных точках мишени, необходимо использовать уравнения, связывающие контактную силу и перемещения точек пластинки и граничные условия. Используя соотношения (5) можно определить любые перемещения точек мишени, с точностью до постоянных интегрирования, которые определяются при сшивании решений полученных внутри зоны контакта и вне ее.

Литература

1. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L.: Acad. Press, 1961.

2. Кукуджанов В.H., Левитин АЛ. О динамическом краевом эффекте при продольно-поперечном ударе по упруговязкопластическому полупространству // Механика твердого тела, 2003, № 4, С. 19B-214.

3. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите // Механика твердого тела, 1971, № 6, С. 102-109.

4. Локтев A.A. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. т. 11, N 4. С. 47B-492.

5. Локтев A.A. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика, 200B, Т. 72, В.4, С. 652-65B.

6. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Упругопласгический неосесимметричный удар параболического тела по сферической оболочке // ПМТФ, 2005, Т.46., № 1, С. 1B1-1B6.

Literature

1. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L.: Acad. Press, 1961.

2. Kukudzhanov V.N., Levitin A.L. O dinamicheskom kraevom effecte pri prodolno-poperechnom udare po uprugovyazkoplasticheskomu poluprostranstve // Mehanika tverdogo tela, 2003, № 4, s. 19B-214.

3. Filippov A.P. Poperechnii uprugii udar tyazhelim telom po krugloi plite // Mehanika tverdogo tela, 1971, № 6, s. 102-109.

4. Loktev A.A. Udarnoe vzaimodeistvie tverdogo tela i uprugoi ortotropnoi plastinki // Mehanika kompositsionnih materialov i konstruktsii. 2005. t. 11, N 4. C. 478-492.

5. Loktev A.A. Dinamicheskii kontakt udarnika i uprugoi ortotropnoi plastinki pri na-lichii rasprostranyauschihsya termouprugih voln // Prikladnaya matematika I mehanika, 2008, t. 72, v.4, s. 652-658.

6. Birukov D.G., Kadomtsev I.G. Uprugoplasticheskii neosesimmetrichnii udar parabolicheskogo tela po sfericheskoi obolochke // PMTF, 2005, t.46., № 1, s. 181-186.

Ключевые слова: ударное взаимодействие, ортотропная пластинка Уфлянда-Миндлина, динамические напряжения, отраженные волны

Key words: impact excitation, orthotropic Uflyand-Mindlin plate, dynamic stresses, reflected waves

Почтовый адрес авторов: г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, МГСУ Телефон авторов: Локтев Алексей Алексеевич - 8-909-994-14-44

e-mail: prtlokt@yandex.ru Рецензент: Егорычев Олег Александрович, д.т.н., профессор ГОУ ВПО МГСУ