Распространение тяжелых металлов в зоне движения автотранспорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.14:504.75

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЯЖЕЛЫХ МЕТАЛЛОВ В ЗОНЕ ДВИЖЕНИЯ АВТОТРАНСПОРТА

Н.Д. Лёвкин, А.В. Лазеба

Рассмотрено решение задачи по оценке экологического состояния атмосферы вблизи автомобильных трасс, учитывающее вариант случайного характера появления автомобилей на дороге. Разработанная модель устанавливает влияние длины участка дороги и расстояния до контрольной точки на статистические характеристики процесса.

Ключевые слова: тяжелые металлы, стохастический процесс, модель переноса и рассеяния, концентрация примеси, шлейф выбросов.

Автомобильный транспорт относится к основным источникам загрязнения окружающей среды, масштабы которого в последние годы приняли угрожающий характер. В крупных городах на долю автотранспорта приходится более половины объема вредных выбросов в атмосферу. В мегаполисах этот показатель еще больше: Санкт-Петербург - 71 %, Москва - 88 % [0].

Продолжающееся увеличение транспортных потоков приводит к постоянному возрастанию загрязнения атмосферного воздуха, почв и водных объектов. Уровни загрязнения воздуха оксидами азота и углерода, углеводородами, тяжелыми металлами и другими вредными веществами на большинстве автомагистралей в несколько раз превышают предельно допустимые концентрации. В процессе функционирования автомобильный транспорт взаимодействует с биосферой, оказывая неблагоприятное воздействие на природную среду и непосредственно на человека.

Среди токсичных веществ одними из наиболее опасных загрязнителей считаются тяжелые металлы (ТМ). Как известно, тяжелые металлы, такие, как кадмий, никель, хром, медь, кобальт, свинец, марганец и др., оказывают канцерогенное, мутагенное, тератогенное или невротоксичное воздействие на человека [0]. Особенно опасно их синергическое воздействие.

Тяжелые металлы поступают в придорожное пространство как в результате работы автотранспортных средств, так и при истирании дорожного полотна. В результате истирания автопокрышек в почву вблизи автомобильной дороги поступают алюминий, кобальт, медь, железо, марганец, свинец, никель, фосфор, титан, цинк и другие элементы. Подшипники, вкладыши, тормозные масла источники поступления в окружающую среду меди и цинка.

Кадмий поступает в природную среду в результате износа шин и истирания асфальтобетона. Никель и хром продукты износа покрытий кузовов, железо продукт истирания цилиндров двигателя [0].

Известно, что существует взаимосвязь между транспортной нагрузкой, особенно на дорогах высокой технической категории, технологическими параметрами дороги, определяющими скорость движения по ней, скоростью ветра и количеством ТМ в воздухе над полотном.

Большая часть кадмия оседает в непосредственной близости от края автомобильной дороги. Их рассеяние в воздухе этого вещества зависит от метеорологической обстановки, главным образом от ветра. Информации о рассеянии других металлов при движении автомобильного транспорта еще недостаточно для разработки математических моделей этих процессов [0].

Таким образом, основная масса газовых выбросов оседает в непосредственной близости от автодорог. Остальная часть в зависимости от рельефа местности, направления ветра, типа почвы, растительного покрова, наличия лесозащитных насаждений, может распространяться на расстояния до 200 м от полотна дороги. Результатом суммарного действия рассеянных газовых выбросов и тяжелых металлов является изменение биоты придорожных зон. Наземные части растений загрязняются непосредственно из воздуха, через корневую систему и вторично - с поверхности почвы. Наибольшее отрицательное воздействие такого загрязнения наблюдается в стометровой полосе, непосредственно прилегающей к дороге.

Влияние автотранспортного загрязнения на растительные насаждения, прилегающие к автотрассам с интенсивным автомобильным движением, рассматривается во многих работах.

Статистические модели загрязнения воздуха строятся на основе прошлых данных и иногда без знания действительных физических процессов [0]. Используя эмпирический материал наблюдений, устанавливают корреляционные связи случаев высокой концентрации примеси с определенным сочетанием метеорологических условий. Однако статистические связи между загрязнением воздуха и метеорологическими параметрами не всегда оказываются достаточно тесными. Главным ограничением применения статистических моделей является то, что условия их использования могут отличаться от условий, в которых они были построены. Основные задачи, решаемые такими моделями: прогноз уровня загрязнения в местах, где отсутствуют станции наблюдения; прогноз частоты появления высоких значений концентраций и продолжительности высокого уровня загрязнения; определение установившегося значения концентраций загрязняющих веществ.

Существует множество математических моделей распространения примесей в атмосфере, в основе которых лежит теория диффузии. Эти модели имеют теоретическую и практическую ценность при изучении процессов распространения загрязняющих веществ в атмосфере [0]. Однако их

практическое применение затруднено, во-первых, из-за свойственных им ограничений; во-вторых, из-за неопределенностей, содержащихся в метеорологических параметрах, топографии местности и т.п.

В то же время интерес представляет решение задачи по оценке экологического состояния атмосферы вблизи автомобильных трасс, учитывающее вариант случайного характера появления автомобилей на дороге. Здесь основные трудности связаны с не стационарностью рассматриваемого процесса.

Рассмотрим один из возможных подходов к решению стохастической задачи о переносе автомобильных выбросов загрязняющих веществ атмосферными потоками.

Пусть в пространственной области О (рисунок) рассматривается протяженный (в направлении оси Ох) участок односторонней однорядной дороги длиной Ь и шириной И.

Предполагается, что скорости движения автомобилей по автотрассе одинаковы, постоянны и равны V.

Появление автомобилей в начале трассы является случайным и представляет собой простейший поток событий с постоянной интенсивностью X, определяющей среднее количество автомобилей, появляющихся в начальной точке, за единицу времени [2].

X

Схема переноса газовых выбросов автомобилей атмосферными потоками

Трасса обдувается горизонтальным потоком воздуха, имеющим скорость и и направленным перпендикулярно дороге.

Предполагается, что скорость воздушного потока во всех точках области О не зависит от расположения и характеристик автомобилей, постоянна и направлена против оси Оу.

В контрольной точке с координатами {0, 0, В}, находящейся на расстоянии Н от дороги, производится определение концентрации примеси, которая непосредственно зависит от объема примесей, выбрасываемых всеми автомобилями, одновременно находящимися на рассматриваемом участке и являющихся подвижными точечными источниками загрязнения с постоянной интенсивностью q (мощность точечного источника примеси).

Требуется исследовать зависимость от времени концентрации поступающих в контрольную точку газовых примесей, выбрасываемых автомобилями, определить ее статистические характеристики; установить зависимость этих характеристик от размеров участка, расположенного вблизи рассматриваемой автомобильной трассы.

Для исследования процесса загрязнения воздуха потоком автотранспорта, движущегося по трассе, построим приближенную модель переноса, и рассеяния потоком воздуха легкой загрязняющей примеси от отдельного автомобиля.

Рассмотрим систему координат О'х'у2', связанную с движущимся автомобилем.

В этой системе координат относительная скорость воздушного потока постоянна и равна и'=и~У.

Очевидно, что в подвижной системе координат О'х'у2' процесс переноса и рассеяния примеси от одиночного автомобиля является установившимся и, следовательно, описывается стационарным уравнением диф-

/

фузии примеси от точечного источника с координатами г3 ={х3', у/, 2/}, записанными в безразмерной форме [0]:

1 Г^ф+5(| г- г|)1 (1)

и' ■ Уф =

Ре 1еа

где г - радиус-вектор точки области, ф - безразмерная концентрация, Ре^ -

диффузионное число Пекле, 5 - дельта-функция Дирака.

Для определения безразмерных величин в уравнении (1) в качестве основных единиц выбраны: ширина дороги И, модуль скорости воздушного потока и, концентрация д/ц (ц - коэффициент диффузии).

Рассмотрим задачу в двумерной формулировке (горизонтальная плоскость). Такая постановка соответствует случаю сильной устойчивости атмосферы (инверсии), когда возможно интенсивное распространение облака примеси в горизонтальной плоскости, в результате чего оно (при малой собственной толщине) способно покрывать значительные площади. В этом случае уравнение (1) принимает вид

иХ ^ф + иу ^

<2.

<2.

дх ду \

дх " ду Рвё Воспользуемся решением уравнения (2), приведенным в книге [0]

ф(х,У>^К

0,5 Рвл [иХ ( х'-х, )+иу ( у'-у))]

(2)

(3)

хв

где Коф - функция Макдональда. Поскольку х =х + Ь/2 - (Б - путь, проходимый автомобилем), у =у-Н, х] =0, у =0, контрольная точка имеет координаты {0, 0}, выражение (3) примет вид

Фо () = ф(0,0) = ±Ко [о,5Рв^

х

(4)

хв

0.5 Рвл [у( 5,. -Ь/2)-иН ]

Учитывая, что Ь/2 - Б1=хг - горизонтальная координата источника в системе Оху, и используя асимптотическое приближение [3] для представления функции Макдональда,

К0 (2 ) = в" Ч п/21 + о(х - ), решение можно записать в форме

, ч 0,5Рвл ГV*, -4и2 х2 +Н2 "I /—22-—7

Ф0 (х )=Схв [ ] х2+н2,

где С = в'05^/фвРвУ (и2 + V2) .

В силу того, что хг=у1-Ь/2, концентрацию в контрольной точке можно определить и как функцию времени:

, ч 0,5РвлI У1г-л/и2+v2J(vt-0,5Ь)2 +Н2 I Г ~

Ф0 (г) = С?в '1 * ] ^/4(ш - 0,5Ь)2 + Н2 , (5)

где С = Св"^25 Р^Ь = в"0'25 Рв*(Ь+2иН>/^\6Рв\п2 (и2 + V2).

Решение уравнения (1) в трехмерном случае строится в виде [0]

(Л (Л 0,5 Рваи'( г-г,)

ф(г ) = Щ(г )в .

Подставим это выражение в уравнение (1) и получим следующее выражение:

V- Ущ -ащ = -б(р),

где а = ( 0,5Рв^|и'|)2, р =

г - г.

расстояние от произвольной точки - г

до точечного источника г' 5.

Решением этого уравнения является функция щ = в_ра , / 4пр, вследствие чего искомое решение уравнения (1) имеет вид

п еп-(и'(г'-г,)-ра0,5

ф(г ) = в

/4пр.

(6)

1

С учетом, что х = х - (5 - 0,5Ь), у = у - Н, z = z - Ь, координаты точечного источника х = 0, у 3 = 0, z 3 = 0, получаем для неподвижной системы координат 0xyz

г - г ) = -и(х + 0,5Ь - 5.) + и(у - Н),

Р

(х + 0,5Ь - 5.)2 + (у - Н)2 + (2 - Ь)2 , а 1/2 = 0,5Ре, (V2 + и2). Поскольку, как и ранее, 8 - 0.5Ь = х{ , выражение (6) принимает вид

-и(х—х)+и(у-Н)-VV2 +и2 х—Ху )2 +(у-Н)2+(г-Ь)2

0,5Ре,

ф(х, у, 2):

х - х )2 +(у - Н )2 + (г - Ь)

Концентрация ф0 (х) в контрольной точке {0, 0, В} может быть определена как функция координаты подвижного источника:

0,5Рвй ^^^-лД>2+и2 ^/х,2 +Н2 +(В-Ь)2

ф 0 ( х ) =

^х2 + Н2 +(В - Ь )2 Здесь использовано обозначение: бх = е 0 5РеиН /4л.

(7)

Если учесть, что х = М — Ь/2 , искомую концентрацию определим как функцию времени:

Ф(' ) =

0,5 Ре,

^-л/V2 +и2 ^-0,5£)2+Н2+(В-Ь)2

СД^Т+ЯЧ^В-Ь)

(8)

где б = 0,£

-0,25РеаЬ _ е~0>,5Рел(0,5г1+иН)

/4ти.

Выражения (7) и (8) получены для бесконечной области. В рассматриваемом случае область С ограничена горизонтальной полуплоскостью, на которой должно выполняться условие дф(х, у,0)/ д2 = 0 отсутствия потока примесей сквозь твердую поверхность. Для учета этого, согласно методу изображений [3], вводится фиктивный дополнительный точечный источник той же мощности, что и исходный.

Обозначим ф0+ и ф0- решения вида (7) для точечных источников, имеющих координаты { х{, Н, В } и { х{, Н, -Ь } соответственно.

Тогда решение, удовлетворяющее заданному граничному условию, для контрольной точки имеет вид

либо

ф0 (х ) = ф+(х/ )+фо(х/) ф0 ()=ф+(? )+ф-(^).

2

Суммарная концентрация примесей в контрольной точке от случайного числа N автомобилей, находящихся на трассе длиной Ь, может быть определена с помощью выражений

N

)=ХФо (х );

г=1

N

Ф(' )=ХФо ( - ц),

г=1

где II - момент появления /-го автомобиля в начале автотрассы; N - количество автомобилей на исследуемом участке трассы.

Наличие аналитических зависимостей (4), (5), (7), (8) позволяет получить оценки математического ожидания концентрации загрязнения

МФ=М[Ф] и среднеквадратического отклонения аФ=-/о[Ф].

Следует заметить, что сильная зависимость МФ от расстояния Н обусловлена ограниченностью используемой модели процесса: уход автомобиля с исследуемого участка приводит к исчезновению генерируемого им шлейфа выбросов, хотя в действительности газовое облако остается в рассматриваемой области О даже после ухода автомобиля с трассы [3].

Среднеквадратическое отклонение аФ с увеличением Ь и при неизменном расстоянии Н также стремится к постоянному значению.

В свою очередь, при возрастании Н величина аф приближается к нулевому значению. Это означает, что концентрация примеси на значительном удалении от дороги практически не зависит от случайного характера движения автомобилей [4].

Стохастический анализ трехмерного решения свидетельствует о существенном влиянии третьей пространственной координаты на характер распределения математического ожидания МФ концентрации примесей в рассматриваемой области. В то же время среднеквадратическое отклонение аф, как и в предыдущем случае, стремится к нулевому значению по мере удаления от автомобильной трассы [4].

Данная модель устанавливает, что распределение среднестатистической концентрации примеси в контрольной точке зависит от расстояния до дороги, высоты точки наблюдения и длины рассматриваемого участка трассы, исследует влияние длины участка дороги и расстояния до контрольной точки на статистические характеристики процесса.

Список литературы

1. Биомониторинг загрязнения почвы газовыми выбросами автотранспорта // Экология и промышленность России, 2001.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: КНОРУС, 2013. 448 с.

3. Владимиров С.Н. Загрязнение окружающей среды при эксплуатации, хранении, техническом обслуживании и ремонте автотранспортной техники, успехи современного естествознания. 2013. № 3. С. 118-119.

4. Автомобильные дороги в экологических системах (проблемы взаимодействия)/ Д.Н. Кавтарадзе [и др.]. М., 1999. 240 с.

5. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

6. Миронов Б.М., Саханов М.Т. О некоторых вопросах изучения рудеральной растительности городов// Экология. 2009. № 5.

7. Соколов Э.М., Качурин Н.М., Рябов Г.Г. Геоэкологические принципы использования вторичных ресурсов. Тула, 2000. 360 с.

Лёвкин Николай Дмитриевич, д-р техн. наук, доц., зав. кафедрой, [email protected], Россия, Тула, ГОУ«Учебно-методический центр по гражданской обороне и чрезвычайным ситуациям Тульской области»,

Лазеба Андрей Владимирович, техник, [email protected], , Россия, Тула, Тульский государственный университет

SPREAD OF HEAVY METALS IN TRAFFIC AREA N.D. Levkin, A.V. Lazeba

Solution to the task on estimation of the ecological condition of atmosphere near car roads, recognizing the option of random appearance of cars on the road, has been considered. Created model reflect of influencing the road section length and distance to the check point upon statistical characteristics of the process.

Key words: heavy metals, stochastic process, model of transition and dissipation, additives concentration, plume of emissions.

Lyevkin N.D., Doctor of Technical Science, Docent, Head of Department, [email protected], Russia, Tula, State Educational Institution "Learning and Teaching Centre of Civil Defense and Emergency Situations of Tula region",

Lazeba A.V., Technician, [email protected], Russia, Tula, Tula State University