CC BY
117
Распространение электромагнитных волн с учетом отражения от границы раздела сред
Ключевые слова:
электромагнитная волна, разложение в ряд по полиномам Лежандра, граничные условия, показатель преломления средыы, граница раздела сред, интенсивность волны.
Рассматривается процесс распространения электромагнитной волны с учетом ее отражения от плоской границы раздела двух сред. Решается краевая задача для постановки которой используются уравнения Максвелла и граничные условия, представленные формулами Френеля. Для определения неизвестных функций напряженностей электрической и магнитной компоненты волны предлагается использовать их представление в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра, а коэффициенты, входящие в них в виде разложений в степенные ряды по малому параметру. После определения коэффициентов рядов в выбранной точке среды можно найти большинство волновых функций электромагнитного поля. Построены зависимости отношений интенсивностей отраженной и падающей волн для разных углов падения и различных соотношений показателей преломления смежных сред.
Локтев АА,
д.ф-м.н., профессор, МТУСИ, [email protected] Матасов А.С.,
к.т.н., Воронежский государственный технический университет, старший преподаватель, [email protected]
Изучение распространения электромагнитных волн вблизи границы раздела сред с различной плотностью представляет существенный интерес и с точки зрения фундаментальных вопросов электромагнитного поля [1-5], и с точки зрения прикладных задач [6-10] передачи данных, мониторинга окружающих объектов и систем, а также безопасности жизнедеятельности человека и охраны окружающей среды. В работе [1] развивается метод Эйхенвальда суммирования плоских электромагнитных волн, распространяющихся под углом друг к другу, проводится анализ энергетических соотношений потоков волн вблизи границы раздела сред в случае полного внутреннего отражения и траекторий векторов магнитной индукции в двух смежных средах. Наклонно падающие на границу раздела диэлектрической и биизотропной сред электромагнитные волны изучались в работе [2], было исследовано влияние параметров киральности на коэффициент отражения, а также поведение плоских волн ТЕ- и ТМ-поляризации при углах падения близких к углам Брюстера. Иногда решается обратная задача, т.е. по заранее заданным спектрам отраженных и преломленных электромагнитных волн определяются неоднородные диэлектрические проницаемости слоев определяются неоднородные диэлектрические проницаемости слоев [3], такой подход применим в случае моделирования слоев [4] из прозрачных и поглощающих материалов. В работе [5] автор разрабатывает аналитическую методику определения коэффициентов отражения для волн различной поляризации от слоя с неоднородным профилем киральности, при численных исследованиях принимается параболический профиль киральности. Слои произвольного поперечного сечения также рассматривались в работе [6]. Многослойная слоистая диэлектрическая структура со слоями толщиной в несколько раз меньшей, чем длина электромагнитных волн модели-
ровалась в [7], между слоями имелись воздушные зазоры, в результате исследований получены значения показателя преломления для различных направлений распространения волны, изучено влияние анизотропных свойств слоистой структуры на показатели отраженной и преломленной волн, похожие подходы были реализованы в работах [8,9]. В данной работе развивается подход, основанный на использовании граничных условий и представлении неизвестных величин, входящих в волновые уравнения Максвелла в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра, после определения коэффициентов рядов, построены графические зависимости интенсивностей электромагнитной волны после ее отражения от границы раздела сред в зависимости от угла падения и свойств смежных сред.
Распространение электромагнитных волн представлено на рис. 1 и описывается уравнениями Максвелла:
-I \ I
н(ш) _ -Н ис-д>
тоїн1=є\:
і і т.
- + / т = 1,2’
(1)
.р(и) (т)дн^т) ,
гоі£ =-Ц„ ---------------. т = 1,2’
ді
сЦу£(т) = ■£—-, т = 1,2’
-(«) са
сИу//*"'^ = 0, т = 1,2-
где и /?|ш| — напряженности электрической и магнитной составляющей электромагнитной волны, £1т) и
11'"') — абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды распространения, Л"') и 7(т) — объемные
плотности заряда и тока в среде, значение индекса т относится к одной из двух смежных областей.
Для постановки краевой задачи, которую нужно решить для полного описания процесса распространения волн с учетом их отражения и преломления, необходимо использовать граничные условия [10] на границе раздела сред, для этого подходят формулы Френеля, для волн линейно поляризованных в перпендикулярных плоскостях, поскольку в общем случае электромагнитную волну можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн:
(2)
(3)
(4)
МО. Ч^ооур
-20 | _ -00
lg{<p\-4>l) _ г, tg{<p\+<pl) р
2 sin (Р2 COS^?| sin(^>| +^2)cos(9,i ~<Рг) sin(ff>! -qh) _ . ,
(5)
(6)
(7)
(8)
/± +(рг)
^20 | . 251п^С05^| _ ,
Еоо)1 5ш(^+<г»2) х здесь Е(,0, Ею — амплитуды напряженности электрической компоненты соответственно падающей, отраженной и преломленной волны, индексы //, X обозначают две линейно поляризованные перпендикулярные компоненты.
0 S ‘ 2 11 1
Vvv’
*\Ъг&у "IX
Ч> 1 /
Щ \
п2
А Ё2
О)—
•г* 1-
Рис. 1. Схема распространения одной из линейно поляризованных составляющих электромагнитной волны
Для решения системы уравнений (I) - (4) необходимо записать ее в пространстве Лапласа, для преобразования производных по времени, и представить неизвестные функции напряженностей в виде разложений в ряды по полиномам Лежандра [11],
(9)
n+m^2n+i | cos~~ |cos(m<9)’
Н = Z Z Н 2п+п,Р2п+1 [ C0S7“ jcos(wö)’
(10)
И 2п+т = Н°1п+т е° + Н\п+т е' + Н;п+т е2 + н1+т е3 ЛИ) где £ = р~2, р - параметр пространства Лапласа.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях £, получим набор систем алгебраических уравнений относительно е1 и //' , в которых индекс /
^2п+т 112п+т г
соответствует показателю степени е• Мосле описанной процедуры можно определить значения интенсивности электромагнитного излучения в любой точке среды с учетом прихода прямой и отраженной волн
I
где Г-период электромагнитной волны.
Исследуем полученные соотношения и построим графические зависимости интенсивности электромагнитной волны от угла падения волны на г раницу раздела сред (рис. 2) и от отношения показателей преломления смежных сред (рис. 3).
На рис. 2 видно как влияет угол падения электромагнитной волны на границу раздела сред на значения интенсивности двух линейно поляризованных волн и их суммарной величины, эти кривые в целом похожи на зависимости коэффициента отражения от угла падения [7]. Точка на оси абсцисс, в которой интенсивность равна нулю соответствует углу падения равному углу Брюстера, что позволяет получить линейно поляризованную волну для любых смежных сред. На рис. 3 представлены графические зависимости отношения интенсивности отраженной волны к падающей от отношения показателей преломления двух граничащих сред для различных углов падения электромагнитной волны (значения углов падения указаны на рисунке в радианах). При увеличении отношения показателей преломления все кривые стремятся к единице, при близких значениях показателя преломления соседних сред можно добиться полного внутреннего отражения, которое широко используется в волоконно-оптических системах передачи.
п=0 т=0
где г - координата точки, в которой определяются напряженности, R - характерный линейный размер элемента, в котором распространяется волна.
Соотношения амплитуд напряженностей, определяемое по формулам (5) - (8) существенно зависит от угла падения электромагнитной волны на границу раздела сред, рассмотрим случай когда <р<(р„г•
(р = arcsin (/7, /и,) ~ предельный угол, при превышении
которого преломленная волна скользит по границе раздела сред, я, и «2 - показатели преломления смежных сред.
Подставляя выражения (9) и (10) в определяющие уравнения и используя свойство ортогональности системы косинусов на отрезке [-я, л], получим систему уравнений относительно коэффициентов F и И , для
4-'2п+т 2п+т
решения которой их необходимо представить в виде степенных рядов:
7°
F — Fv г® а- F*
^ 2n+m л-‘2п+т ö u2n+m
£ + £-2п*т £
“2 п+т
80 90 ф>(град)
Рис. 2. Зависимость интенсивности отраженного излучения от угла падения электромагнитной волны
Наименьшие значения интенсивности отраженной волны соответствуют отношению показателей преломления равному у/2, что соответствует условию эффективного вона излучения в смежную среду. На рис. 3 видно, что каждая кривая имеет точку перегиба, т.е. меняется направления выпуклости, и жесткая характеристика нелинейности становится мягкой.
«Вестник Московского государственного областного университета», 2012. № I.-C. 75-84.
2. Санников Д.Г. Особенности отражения и преломления плоских электромагнитных волн на границе раздела «диэлектрик - бии-зотропная среда» // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2010. Т. I3,№ 1.-С. 15-20.
3. Емец В.H.. Бычков И.В.. Бучельнчков В.Д., Бауэр Н.М. Моделирование неоднородных слоев с заданными спектрами отражения и прохождения электромагнитных волн // Вестник Челябинского государственного университета, 2009. № 8 (146), В.4.-С. 32-36.
4. Осипов О.В. Распространение плоской электромагнитной волны в периодически неоднородной системе из киральных магнитодиэлектрнческих слоев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006. Т. 9. № 4. - С. 59-63.
5. Наурзапин Р.Э. Приближенные аналитические выражения для коэффициентов отражения электромагнитной волны от неоднородного карального слоя // Журнал радиоэлектроники, 2011. №7.-С. 12-18.
6. Раевский С.Б., Седаков А.Ю., Титаренко A.A. Решение внешних краевых задач о распространении электромагнитных волн в открытых диэлектрических структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011. Т. 14. № 3. - С. 6-11.
7. Молотков Н.Я.. Постульгин A.B. Исследование анизотропии отражения сантиметровых электромагнитных волн от слоистой диэлектрической структуры // Вестник ТГУ, 2000. Т.5, В.1.-С. 102-108.
8. Арефьев A.C. Исследование полей собственных волн экранированного плоского волновода с двухслойным заполнением полупроводник-диэлектрик // Инфокоммуникационные технологии, т.7, № 4, 2009. - С. 13-23.
9. Хорошева Э.А. О распространении электромагнитных TM-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Труды международного симпозиума "Надежность и качество",. 2006. Т. I. - С. 300-302.
10. Жаров A.A., Додин Е.П. Эффекты плазменного резонанса при нелинейном отражении электромагнитной волны от полупроводниковой сверхрешётки // Известия вузов. Радиофизика, 2001. № 10.-С. 881-888.
11. Локтев A.A. Поперечный удар твердого тела по ортотроп-ной пластинке с учетом распространения упругих волн // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, №2(41), 2011, - С. 62-76.
The propagation of electromagnetic waves taking into account the reflection from the interface of media
Loktev АА, doctor of physical and mathematical sciences, Moscow technical university of communications and informatics, professor,
Матасов А.С, Candidate of Technical Sciences, Voronezh state technical university, senior teacher, [email protected] Abstract
This paper is considers the process of propagation of electromagnetic waves in the light of its reflection from a planar interface of two media. Solved by the boundary problem for the staging of using Maxwell equations and the boundary conditions, presented by the Fresnel formulas. For detection of unknown functions of the intensity of the electric and magnetic components of the wave proposed the use of their presentation in the form of expansions in series on Legendre polynomials, and the coefficients belonging to them in the form of expansions in power series on the small parameter. After determining the coefficients of the series in the selected point of the medium you can find most of the wave functions of the electromagnetic field. In this paper, a dependence between the intensity of reflected and incident waves for different angles of incidence and different ratios of refractive indices related environments.
Keywords: electromagnetic wave, the expansions of the series in terms of Legendre polynomials, boundary condttions, the refractive index of the medium, the border section environments, the intensity of the wave.
Рис. 3. Зависимость интенсивности излучения от отношения показателей преломления сред
Полученные графические зависимости позволяют сделать выводы о том, каким образом на интенсивность отраженной и суммарной электромагнитной волны влияют угол ее падения и значения показателей преломления соседних сред. На рисунках видно, в каких интервалах изменения углов падения и показателей преломления они влияют существеннее на конечных показатели интенсивности электромагнитного излучения. Примененная методика может быть востребована при решении задач построения систем передачи данных, систем инженернотехнической защиты информации, систем комплексной безопасности жизнедеятельности человека вблизи мест с мощными электромагнитными волнами.
Литература
1. Васильчикова Е.Н.. Говорова АД.. Догадина С.Н. Исследование поля плоских электромагнитных волн и энергетических потоков, создаваемых этими волнами, вблизи границы раздела сред при условии полного внутреннего отражения // Электронный журнал
