CC BY
0УДК: 519.673 MSC2010: 68M14, 68U20
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ В СРЕДЕ ДИНАМИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
© Е. А. Лукьянова, М. С. Прочитанский, М. E. Лукьянова
Крымский ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
e-mail: lukyanovaea@mail.ru
Distributed Systems in a Dynamic Modeling Environment.
Lukyanova E. A., Prochitanskiy M. S., Lukyanova M. E
Abstract. This work is devoted to the consideration of modeling and research on the processes of the course of infectious diseases. The infectious process is one of the complex biological processes in nature, representing a serious danger to humanity and economic.
A common method for modeling a system of this type is to represent evolution of the system under study using a system of ordinary differential equations (ODEs), namely, the construction of analytical models the SIR-model and its extensions. These models are widely used for modeling the process of the course of infectious diseases, since they allow to consider various aspects of the disease: the path of infection, the spatial distribution of the infection, the influence of geographical factors, and others. Also, these models allow you to implement various disease control strategies and quickly adapt the model to new requirements.
Today, in connection with large-scale threats of epidemic spread, it is relevant to build adequate predictive models and use modern effective software for the implementation, simulation and research of models of such systems.
In this regard, new software "Environment for Dynamic Modeling of Technical Systems SimInTech" is using to solve the problem of constructing, calculating and studying the expansion of the SIR-model by the example of modeling the patterns of the course of an infectious disease Ebola virus fever.
Being an alternative to foreign analogues, such as Simulink, Scilab and others, software SimInTech allows you to simulate, calculate, research and synthesize various technical devices, including automation equipment and systems. Despite the fact that SimInTech is intended for modeling and calculation of technical systems and devices, while working with this software, SimInTech capabilities were discovered for modeling the process of the course of infectious diseases. It turned out that the simulation of such systems in SimInTech is possible thanks to the built-in programming language. To do this, using the tools of the built-in programming language SimInTech, the necessary user blocks were created and described, from which the model of the process of Ebola virus fever was formed.
In the process of building the model, it was revealed that when forming the SIR-type models the problem of an "algebraic loop" arises the inputs of the blocks implicitly depend on their
outputs. It is proposed to solve this problem by means of SimlnTech by introducing an additional block "Delay on the integration step" into the model structure.
A calculation model for the SIRDP-model of the spread of Ebola virus fever is constructed in the work and its simulation is performed.
Keywords: modeling environment, Ebola Virus Disease, EVD, disturbed systems, ordinary differential equations, SIR-model and elaborations
Введение
Сфера применения современных интеллектуальных технологий для описания и анализа систем реального мира постоянно расширяется, проявляясь в таких важных для человека областях, как медицина и здравоохранение. С точки зрения математического моделирования реальные объекты и явления представляют собой динамические системы, среди которых особый интерес представляют распределенные системы. В распределенных системах отношения местоположений элементов (или групп элементов) играют существенную роль с точки зрения функционирования системы, а, следовательно, и с точки зрения анализа и синтеза системы. Реальные системы, в том числе биологические системы, являются распределенными системами различного уровня сложности и внутренней организации. Одним из самых сложных биологических процессов в природе является инфекционный процесс, представляющий серьезную опасность для человечества и экономического развития.
Распространенным методом моделирования в этих сферах является представление закона эволюции исследуемой системы с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Моделями такого вида являются аналитические модели инфекционных заболеваний — SIR-модели. Идеи построения SIR-моделей возникли в начале XX века. В настоящее время разработано множество моделей, призванных детализировать SIR-модели и сделать возможным их практическое применение [1, 2, 4] для моделирования процесса протекания инфекционных заболеваний, поскольку позволяют учитывать различные аспекты заболеваний: пути заражения, вопрос пространственных характеристик распределения инфекции, влияние географических факторов и другие, а также позволяют внедрять различные стратегии контроля заболеваемости и быстро подстраивать модель под новые требования.
Сегодня в связи с масштабными угрозами распространения эпидемий актуальным является как построение адекватных прогнозирующих моделей, так и использование современных эффективных программных сред для реализации, симуляции и исследования моделей таких систем.
Цель работы: исследовать аппарат среды математического моделирования и симуляции SimInTech для построения, расчета и исследования расширения БШ-модели на примере моделирования закономерностей течения инфекционного заболевания — вирусной лихорадки Эбола.
Вирусная лихорадка Эбола впервые была обнаружена в 1976 году на территории Демократической Республики Конго, неподалеку от реки Эбола, откуда и берет свое название. С тех пор вспышки Эболы происходили уже более 25 раз на всей территории Африки. Вирус, прежде известный как геморрагическая лихорадка Эбола, является одним из самых смертоносных заболеваний для человека. В качестве модели распространения вирусной лихорадки Эбола рассмотрим модель, представленную в работе [? ]. Согласно введённым категориям индивидов и категории Р — концентрации вируса в окружающей среде, назовём её БШБР-моделью. Она является расширением БШ-модели и учитывает большинство путей распространения вируса, естественные демографические процессы и другие важные аспекты заболевания, но при этом не является слишком громоздкой.
Схема БШБР-модели показана на рис. 1. Информация о всех категориях и параметрах БШБР-модели показана в таблице 1.
Рассматриваемая БШБР-модель представляется с помощью системы ОДУ вида:
Складывая первое, второе и третье уравнения системы (1), получим уравнение
где N = Б + I + Я — общая численность населения (живые индивиды).
Итак, количество восприимчивых индивидов Б пополняется с постоянной скоростью п. Восприимчивые индивиды Б заражаются в результате контактов в с инфицированными I и контактов в2 с умершими индивидами В. Восприимчивые
1. Модель распределённой системы
7 О
— = п - (вх1 + в2В + АР)Б - ^Б
— = (в I + в,В + АР)Б - (и + 5 + 7)1
(1)
индивиды Б так же заражаются при контакте с зараженной окружающей средой Р со скорость Л. Скорость гибели инфицированных индивидов I увеличивается на 5 в следствии протекания болезни. Инфицированные индивиды I выздоравливают со скоростью 7. Умершие индивиды Б могут быть захоронены со скоростью Ь. Восприимчивые Б, инфицированные I и выздоровевшие индивиды Я умирают естественной смертью со скоростью Также инфицированные I и умершие индивиды Б загрязняют окружающую среду Р со скоростями £ и а соответственно.
Рис. 1. Схема распространения вируса Эбола для БШОР-модели
Таблица 1. Описание категорий и параметров БШОР-модели
Символ Описание
S Восприимчивые индивиды
I Инфицированные индивиды
R Выздоровевшие индивиды
D Зараженные вирусом и умершие индивиды
P Патогены вируса Эбола в окружающей среде
n Уровень пополнения восприимчивых индивидов (рождаемость)
n Скорость исчезновения вируса из окружающей среды
С Загрязнение окружающей среды инфицированными индивидами
a Загрязнение окружающей среды умершими индивидами
S Уровень смертности в результате болезни
в Коэффициент передачи вируса при контакте с инфицированными
в Коэффициент передачи вируса при контакте с умершими
Л Коэффициент передачи вируса при контакте с окружающей средой
Y Скорость выздоровления инфицированных индивидов
/ Уровень естественной смертности
1/b Скорость захоронения умерших
a Скорость заражения окружающей среды
2. Реализация модели в программной среде
Рассмотрим среду математического моделирования и симуляции Бт1пТеЛ. Программное обеспечение «Среда динамического моделирования технических систем Бт1пТесЬ>, разработано коллективом МГТУ им. Н. Э. Баумана и ООО «3В Сервис», и является альтернативой зарубежным аналогам (БтиИпк, БсПаЬ, МАТШХХ, и др.). Программное обеспечение Бт1пТеЛ позволяет рассчитывать, моделировать, исследовать и синтезировать различные технические устройства (механические, гидравлические, электротехнические и другие, в том числе средства и системы автоматики). Расчетные математические модели в Бт1пТеЛ создаются посредством функционально блочного программирования при помощи блоков, которые содержатся в различных библиотеках. Библиотеки блоков позволяют формировать в визуально понятном виде для пользователя расчетные модели для решения задач в таких областях, как: теплогидравлика, релейная автоматика, электрика (в действующих и мгновенных значениях), баллистика летательных аппаратов, механика и др.
Среда динамического моделирования Бт1пТеЛ имеет собственный встроенный скриптовый язык программирования, в котором с помощью операторов и функций можно решить, например, задачи расчета математических выражений и уравнений, работу над векторами и матрицами, управление отображением графических примитивов, реализацию простых алгоритмов управления для настройки и отладки моделей. Несмотря на то, что ПО Бт1пТеЛ предназначено для моделирования и расчета технических систем и устройств, в ходе ознакомления и работы с данным ПО были обнаружены возможности Бт1пТеЛ для моделирования сложных биологических процессов — процесса протекания инфекционных заболеваний. Оказалось, что моделирование таких систем в Бт1пТеЛ возможно благодаря встроенному языку программирования. Для этого в работе с помощью средств встроенного языка программирования Бт1пТеЛ были созданы и описаны необходимые пользовательские блоки, из которых и была сформирована модель.
Рассмотрим процесс построения в Бт1пТеЛ расширения БШ-модели на примере представленной выше БШБР-модели.
Для начала построения модели необходимо создать новый проект, в котором будет синтезирована модель. Модель формируется из блоков, моделирующих различные категории индивидов БШБР-модели. Для описания каждого блока, в главном окне на вкладке «Динамические», необходимо выбрать блок «Язык программирования», и разместить его в рабочей области окна проекта. Окно нового проекта, с размещённым в нём блоком, показано на рис. 2.
Далее, переходим к редактированию блока:
Рис. 2. Окно проекта с блоком «Язык программирования»
1) задаём входы блока с помощью команды input — значения других блоков системы, участвующих при расчете;
2) задаём выходы блока с помощью команды output;
3) с помощью команды init задаём начальные условия;
4) опишем основные вычисления, которые состоят из решения дифференциального уравнения, где в качестве неизвестного выступает x;
5) в последней строке укажем, какие переменные присваиваются выходам блока, описанным в output (относительно этих переменных будет разрешено уравнение или система уравнений).
Редактор блока «Язык программирования», представляющего категорию восприимчивых индивидов S, показан на рис. 3.
После описания всех основных блоков, расстановки их в окне проекта и соединения соответствующих портов (входов и выходов) в модель следует добавить средства для визуализации результатов расчета модели. Для этого в главном окне на вкладке «Вывод данных», необходимо выбрать блок «Временной график», и разместить его в окне проекта.
Для определения глобальных констант (параметров модели) воспользуемся «редактором скрипта», проекта, показанным на рис. 4.
При запуске расчета модели, построенной по выше изложенному алгоритму, возникнет следующая проблема — «Ошибка: Найдена алгебраическая петля».
Рис. 3. Блок категории восприимчивых индивидов Б
Рис. 4. Окно «Скрипт»
Наличие в структурной схеме алгебраических петель означает, что входы блоков неявным образом (через другие блоки и линии связи) зависят от их выходов. В математической форме уравнение алгебраической петли выражается в виде неявной функции от выходов:
У =
Для устранения такой ошибки необходимо воспользоваться дополнительным блоком «Задержка на шаг интегрирования», (обозначается Д£) из библиотеки «Нелинейные». Данный блок необходимо установить в разрез алгебраической петли.
Окончательный вид сформированной модели с установленными в ней дополнительными блоками показан на рис. 5.
Рис. 5. Окно проекта с построенной моделью
После того, как модель задана, можно произвести ее симуляцию (расчет). Значения параметров выбраны исходя из фундаментальных исследований, посвященных лихорадке Эбола [5]—[10] и статистике из открытых интернет ресурсов [11, 12]. На рис. 6 представлены результаты симуляции при следующих значениях параметров:
^ = 0.02, 5 = 0.6, 7 = 0.06, п =1, Ь = 0.8, £ = 0.4, а = 0.4, п = 0.03, вг = 0.006, в2 = 0.012, Л = 0.02, а = 0.6.
График
§
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Время t
| S — I R - [Г]
Рис. 6. Результаты симуляции Заключение
Рассмотрен подход к задаче моделирования и прогнозирования процесса распространения инфекционных заболеваний, основанный на использовании моделей типа SIR и новой отечественной среды динамического моделирования SimInTech. Установлено, что среда SimInTech, предлагаемая для работы с техническими системами и устройствами имеет возможности и для работы с такими биологическими процессами, как инфекционные. В работе в среде SimInTech реализован процесс протекания инфекционного заболевания — вирусной лихорадки Эбола, проведена его симуляция для значений параметров распространения вируса Эбола, являющимися реальными параметрами, используемыми в практике и теории врачей-эпидемиологов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боев, Б. В. Компьютерное моделирование и прогнозирование эпидемий птичьего гриппа / Б. В. Боев, В. В. Макаров // Ветеринарная патология. — 2005, 3. — C. 49-58.
BOEV, B. & MAKAROV, V. (2005) Computer modeling and forecasting of bird flu epidemics. Veterinary pathology. №3. Pp. 49-58.
2. Bao, L. (2012) A new infectious disease model for estimating and projecting HIV/AIDS epidemics. Sexually Transmitted Infections. Vol. 88, Suppl. 2. Pp. 58-64.
3. Araz, O. M., Fowler, J. W., Lant, T. W., Jehn, M. (2009) A pandemic influenza simulation model for preparedness planning. Proceedings of the 2009 Winter Simulation Conference. DOI: 10.1109/WSC.2009.5429732. Pp. 1986-1995.
4. Berge, T. A., Lubuma, J. M. -S., Moremedi, G. M. , Morris, N., Kondera-Shava, R. (2016) Simple Mathematical Model for Ebola in Africa. Journal of Biological Dynamics. DOI: 10.1080/17513758.2016.1229817. Pp. PMID: 29067875.
5. Bibby, K., Casson, L. W., Stachler, E., Haas, C. N. (2015) Ebola virus persistence in the environment: state of the knowledge and research needs. Environmental Science & Technology Letters. DOI: 10.1021/ez5003715. Pp. 2-6.
6. Francesconi, P., Yoti, Z., Declich, S., Onek, P. A., Fabiani, M., Olango, J., Andraghetti, R., Rollin, P. E., Opira, C., Greco, D., Salmaso, S. (2003) Ebola hemorrhagic fever transmission and risk factors of contacts. Emerging Infectious Diseases. DOI: 10.3201/eid0911.030339. Pp. 1430-1437.
7. Leroy, E. M., Rouquet, P., Formenty, P., Souquinre, S., Kilbourne, A., Froment, J. -M., Bermejo, M., Smit, S. (2004) Multiple Ebola virus transmission events and rapid decline of central African wildlife. Science. 303. Pp. 387-390.
8. Leroy, E. M., Kumulungui, B., Pourrut, X., Rouquet, P. (2005) Fruit bats as reservoirs of Ebola virus. Nature. 438. Pp. 575-576.
9. Piercy, T. J., Smither, S. J., Steward, J. A. (2010) The survival of filoviruses in liquids, on solid substrates and in a dynamic aerosol. Journal of Applied Microbiology. 109. Pp. 1531-1539.
10. Youkee,D., Brown, C. S., Lilburn, P., Shetty, N., Brooks, T., Simpson, A., Bentley, N., Lado, M., Kamara, T. B., Walker, N. F., Johnson, O. (2015) Assessment of environmental contamination and environmental decontamination practices within an ebola holding unit. PLOS Oney. 10(12). Pp. .
11. Данные по вспышке Эболы 2014 года // GitHub [Электронный ресурс]. — Режим доступа:
https: / / github.com / cmrivers / ebola
GitHub. (2015) Data for the 2014 Global Ebola outbeak. [Online] Available from: https: / / github.com / cmrivers / ebola.
12. Данные по вспышкам Эболы с 2004 по 2014 год // WHO.int [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https: / / apps.who.int / gho / data / node.ebola
WHO.int. (2015) Data for the Ebola outbeaks from 2004 to 2014. [Online] Available from:
https: / / apps.who.int / gho / data / node.ebola.
