Распределение земельного участка между производителями Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗЕМЕЛЬНОГО УЧАСТКА МЕЖДУ ПРОИЗВОДИТЕЛЯМИ Эфендиева Х.Д.

Эфендиева Хeджер Джавид - кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в статье рассматривается распределение земельного участка между производителями так, чтобы общая прибыль была бы максимальной. Строится математическая модель рассмотренной экономической задачи. Основой распределения ресурсов является их ограниченность, что требует их использования (соответственно распределению) с учетом критерии оптимальности. Проблема оптимального распределения ресурсов решается с помощью экономико-математических моделей (линейного и нелинейного программирования и т.д.). Далее эта задача, дискретизируясь, приводится к задаче целочисленного программирования.

Ключевые слова: математическая модель, дискретизация, оптимизация, максимальная прибыль.

Распределение ресурсов - это такое распределение, которое обеспечивает наилучшее, наиболее эффективное их использование. Основой распределения ресурсов является их ограниченность, что требует их использования (соответственно распределения) с учетом критерия оптимальности. Проблема оптимального распределения ресурсов решается с помощью экономико-математических моделей (линейного и нелинейного программирования и т.д.). При этом все экономико -математические модели направлены на то, чтобы обеспечить минимум затрат либо максимум эффекта при ограничениях по объему ресурсов и потребностей в них.

В данной работе рассматривается распределение земельного участка между производителями так, чтобы общая прибыль была бы максимальной. Строится математическая модель рассмотренной экономической задачи. Далее это задача, дискретизируясь, приводится к задаче целочисленного программирования.

Пусть п производителей хотят осуществить свою цель, используя при этом все

производительные участки, которые окружают область -О с: Я Допустим, что дана площадь использованного участка каждого участника и эти площади обозначены,

соответственно, через ' . Обозначим через Л е функцию,

которая характеризирует показатель значительности по области & к _г0 участника.

■ /* / \

О (Ь\НКТГИ!Г ■ * тттгя кяжлпгп

Если по области и функция к для каждого постоянная, то задача называется однородной.

О0сД /к(х) = О

Если в подмножестве " ^ , то это означает, что использование

области не дает никакой пользы ^ ~ му участнику.

Допустим, что к -й участник использует , тогда его производительный объем (прибыль) выражается следующей величиной:

здесь цель состоит в том, что распределить участок В между п производителями так, чтобы их общая прибыль была бы максимальной. Эту задачу математически можно записать следующим образом:

(3)

здесь

тез О,

и Д=Д ДпД. = О, ¿^у

к-1

(4)

площадь области

. СТ "К'Л' Д = С,

* . Ясно, что условие й

можно записать следующим образом:

^ёх=Ск , к -\,п

(5)

Условие

ДпД = 0, I *./

экономически показывает, что разные

которые

участники не могут использовать один и тот же участок.

Обозначим через ^ совокупность множеств ^ )

определяются из вьфажения (4). Другими словами,

1=1 .

Таким образом, здесь целью является найти такую совокупность

с} (Д, Д,..., Д) е АГ КОТОрая удовлетворяя условию (3) или (5), дала бы функционалу (2) максимальное значение.

Как видно, рассмотренная задача является задачей нахождения экстремума функционала, который зависит от области. Исследование таких задач, с математической точки зрения, связано со многими трудностями [1]. В случае, когда

области выпуклые, предлагаемый в работе [3; 4] подход можно

применить для изучения задачи (2)-(4). Однако, с точки зрения практики, условие

выпуклости областей ^р^г'-чД является жестким условием. Поэтому для решения поставленной задачи применим другой подход. В этом подходе мы не будем требовать выпуклости участка каждого участника.

Дискретизируя данную область Г) с малым шагом ^ > 0 заменим её

равномерной сеткой

ГШ)

Обозначим через

маленький квадрат.

соответствующий ' строке и ^ столбцу. Обозначим через такую совокупность

индексов . ' С~ ^, 3 ^. чтобы . Другими словами.

S = ^J)■.dueD(h),ieN,jeN}

(6)

Не нарушая общности, можно предполагать, что /И65'Г) = ГИе.Ч Г)( /! ) .

Возьмем любую точку А* е с/.,, и примем = /к (х) . Обозначим через Д. (/г ) участок сетки, который будет использовать ^ ~ ый участник. Допустим, что шаг ^

выбран таким образом, что числа — натуральные. Ясно, что

функционал (1) можно записать следующим образом:

здесь

Примем следующие обозначения:

(7)

Тогда дискретный аналог функционала (1) можно записать в виде:

'Ч •

(8)

л Х/Г4

Ясно, что должны выполняться следующие условия:

тъм-ь Оад=ад едгцу*>=*

Учитывая обозначения (7), условие А ( ) к можно записать в такой

форме:

А2 Е4"=с*

А условие (4) в дискретной форме может быть в виде:

2>Г = 1

к = I

Другими словами из квадрата '' может использовать лишь один участник. Таким образом, мы получаем следующий дискретный аналог задачи (2)-(4):

= ! шах

Ы

к = 1, /7,

I

2а> =

(10)

Отсюда видно, что задача (9)-(12) является задачей целочисленного линейного программирования. Чтобы решить эту задачу можно использовать программный пакет «МАТЛАБ».

Предположим, что решая задачу (9)-(12), найдены переменные

zf\ k = \,n,{i,j)eS

следующим образом:

. Тогда использованный участок каждого участника найдется

(13)

d„

Как видно из условия (13) квадрат 11 может принадлежать лишь одной из сеток

ЗД) к = й

Список литературы

1. Sokolowski J., Zolesio J.-P. Introduction to shape optimization. Shape Sensitivity Analysis, Springer, Heidelberg, 1992. 592 р.

2. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциального исчисления. М.: Наука, 1990. 400 с.

3. Нифтиев А.А., Гасымов Ю.С. Управление границами и задачи на собственные значения с переменной областью. Баку. изд. БГУ, 2004. 185 с.

4. Нифтиев А.А., Ахмедов Э.Р. Вариационная постановка обратной задачи относительно области. Дифференциальные уравнения, 2007. Т. 43. № 10. С. 1410-1416.

5. Moulin Н. Axioms of Cooperative Decision Making Cambridge Univ. Press, 1988. 483 p.

6. Laruelle А. and Valenciano F. Voting and collective decision making Cambridge Univ. Press, 2008. 512 p.

7. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 518 с.