Распределение тока и импеданс рамочной антенны, расположенной на поверхности продольно замагниченного плазменного столба Текст научной статьи по специальности «Физика»

18 января 2012 г. 2:22

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Распределение тока и импеданс рамочной антенны, расположенной на поверхности продольно замагниченного плазменного столба

Исследованы электродинамические характеристики рамочной антенны, рослосаженной на поверхности продольно замагниченного плазменного столба и представляющей собой свернутую в кольцо бесконечно тонкую, идеально проводящую узкую ленту. Предполагается, что ток в антенне возбуждается гармонической во времени сторонней ЭДС, создающей электрическое поле с единственной азимутальной составляющей в зазоре с малой угловой шириной на поверхности ленты. Показано, что наличие плазменного столба может существенно влиять на распределение тока и импеданс антенны по сравнению со случаем ее размещения в свободном пространстве.

Зайцева А.С.,

аспирантка кафедры электродинамики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Кудрин А.В.,

д.ф.-мн., профессор, заведующий кафедрой электродинамики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, kud@rf.unn.rv

ри столба описывается г епюром ліп/ісктричсской проницаемости

(I)

ig £

0 О rj)

где са - электрическая постоянная. Компоненты тензора (I) приведены в |8J. Предполагается, что плазменный столб окружен однородной изотропной средой с диэлектрической проницаемостью ^ = ^.

1. Ввел с и не

Изучению электродинамических характеристик металлических антенн в ма1 нитоактинной плазме посвящено большое число публикаций. Интерес к данной проблеме обусловлен, в частности, широким применением антенных систем для проведения различных экспериментов в космической и лабораторной плазме. При выполнении таких экспериментов довольно часто используется кольцевая рамочная антенна (виток с электрическим током). В подавляющем большинстве теоретических работ по указанной проблематике рассматривается рамочная антенна в однородной замат ииченной плазме (см., например. (1-4) и цитируемую там литературу). В последнее время в связи с постановкой некоторых космических и лабораторных экспериментов повышенное внимание уделяется характеристикам антенн при наличии вытянутых вдоль внешнего магнитного ноля цилиндрических плазменных структур, способных направлять возбуждаемые электромагнитные волны (5-7). Однако до настоящею времени влияние таких плазменных неоднородностей на распределение тока и импеданс рамочной антенны в строгой постановке изучено не было.

В данной работе на основе метода интегрального уравнения решается задача о распределении тока и импедансе кольцевой рамочной антенны, расположенной на поверхности продольно замагниченного однородного плазменного столба. Предполагается, что столб окружен фоновой однородной изотропной средой. Основное внимание сосредоточено на изучении характеристик антенны в нсрсзонансной области частот магиитоактивной плазмы, когда диагональные компоненты тензора ее диэлектрической проницаемости имеют одинаковые знаки.

2. Постановка та дачи.

Вывод интральных уравнений для тока

Рассмотрим рамочную антенну, представляющую собой бесконечно тонкую, идеально проводящую ленту ширины 2</. свернутую в кольцо и расположенную на поверхности продольно замагниченного однородного плазменною столба радиуса а. Ось кольца параллельна внешнему магнитному полю В,, (см. рис. 1). Плазма внут-

Рмс. 1. Геометрия залами

Будем полагать, что описанная рамочная антенна воз-буждаегся гармонической во времени ( - схр(ил) ) сторонней ЭДС, создающей электрическое иоле с единственной азимутальной составляющей E'J'. отличной от нуля только при р = а, |z|S</ в угловом интервале («зазоре») | )S Д « я- :

Е '(а.ц>.г) = -«>„*■ A)-U(f>- *>. - Д >||(.'(г + «/»-Ч(: -<1 )|

2ал

<:>

Здесь уо = const - комплексная амплитуда приложенного к зазору напряжения. Д - угловая полуширина заюра. U - функция Хевисайда, р, <р. г - цилиндрические координаты. Величина Еможет быть записана в виде

. К sin(wA)

Am = —2------;—ехр( mup0 ) •

2я~ — *

(3)

(4)

2яв ічЛ

Плотность электрического тока возбуждаемого на ангеннс сторонним полем (2), будем искать в виде

] = ФщН<р.2)6(р-а). (5)

где | г !< с/. 6- дельта-функция Дирака. Линейная плотность тока /(</>.:) допускает, очевидно, следующее представление:

Н<Р.:) = ¿/„(х)ехр(-ми*)*

Дія отыскания распределения /(^.г) выразим азимутальную (£„) и продольную (Е:) компоненты электриче-

T-Comm, #11-2011

39

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

ского поля, возбуждаемого током (5). через неизвестные величины /„(г) и далее воспользуемся граничными условиями на поверхности плазменного столба (р-а*-эс<г<ж). а также фаничными условиями на поверхности а»ггенны (р - а. | г |< </):

Е0 + Е?ш 0. (7)

Е. = 0 • (8)

Описанная процедура позволяет по.тучить ннтеграль-иыс уравнения для указанных неизвестных величин и. таким образом, свести задачу о рае пределен и и тока на антенне к решению соответствующих интегральных уравнений.

Получение выражений для компонент поля, отвечающего плотности тока, представленной в виде (6). может быть выполнено стандартным образом [4J. При этом поде внутри и вне столба выражается через цилиндрические функции с соответствующими аргументами и удовлетворяет i раничным условиям на поверхности столба. Данные условия состоят в непрерывности тангенциальных komiio-нент £*. Е:, Hv на границе р = а • Что касается компоненты Н:, то она непрерывна на этой границе при :?></. а при | z |< d испытывает скачок, отвечающий поверхностному току (5).

Опуская чрезвычайно громоздкие промежуточные преобразования, приведем результирующие выражения для азимутальной и продольной компонент электрического поля на ipaxime р = а. которые потребуются нам в дальнейшем:

„ j

Eja.v.:)- ]Г exvi-imp) )/,(;'Wb-' <9)

вї; * z.

£.(a.»>.í) = ¿ cxp< -ітф) |*.(r - )/_(-' ></--''

• -4

Здесь

к.Ю=cxp(“ <P-..\i\)+

(10)

4.(0“ Sgn ,'| J K,. .(<()/: . „(«)cxp(- I*0p„|í|)+

(11)

(12)

где Jm - функция Бесселя порядка т. ка = &/с - I число в свободном пространстве. Е9„Лр) и -

функции, описывающие распределение по поперечной координате р азимутальной и продольной компонент электрического поля направляемых столбом собственных мод с азимутальными и радиальными индексами т и п соответственно (т = 0, ±1, ±2....: п = 1,2,...), Ымя - нормы собственных мод. ртл - их постоянные распространения. нормированные на ко, /Н</) (с* ~ </")' * “ нормиро-

ванная постоянная распространения нормальной волны фоновой среды, отвечающая поперечному волновому числу ^ = * /кл (предполагается, что 1т/Н?) < 0). Выражения дтя полей и норм собственных мод. поддерживаемых замат ничейным плазменным столбом, а также дис-псрсионнос уравнение, позволяющее определить их постоянные распространения, приведены в [5-7]. Остальные величины, входящие в (11) и (12). лаются формулами

"0Л(0)|

Q;JAV:)[ Є. • *.' Q

с, е. Q c.Q J

‘ f. Q ’J

Jf=(-ir -Cí* -i* J -< +■~ •?." j¿’| *

(13)

+(«• -«, í ^* p-£ k* ■+■J--•j?-j'j'

Г c.Q'l s. & ' '

4=-

/<</)«

Q^kjaq,, * = 1.2. / = 1,2.

где

.dJaí^sL,

QJM) «

j¡'

i!

¿L

mi

J':'

QJM) " er" Q-.JÁQ-) Й" д.uüfaí.

(14)

Д - волновой импеданс свободною пространства. //^' и Н™ - функции Ханкеля первого и второго рода соответственно.

Из фаничных условий дія тангенциальных компонент электрического поля на поверхности антенны с учетом выражений (3), (4). (9). (10) можно подучить интегральные уравнения для величин Ыг). Так. из условия (7) имеем

(15)

jKjwy.M*-—л,-

•4

Граничное условие (8) дает

(16)

В (15). (16) предполагаете*, что т = 0. ±1. ±2..... |г|<<У-

Поведение решений полученных интегральных уравнений определяется свойствами их ядер. Как будет показано ниже, в случае достаточно тонкой антенны, когда выполняются неравенства

и «а. (*„</): шах|с,|. )г|, |4 М!«Ь <|7>

свойства этих ядер позволяют получить приближенные решения уравнений (15). (16). Ниже мы изложим способ получения таких решений в случае нсрсзонансной плазмы. когда Sgn £ = Sgn //. Случай резонансной плазмы, отвечающий соотношению SgníГ*Sgn/7. является значительно более сложным, и его рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.

3. Решение ИНТС1 ральнмх уравнений ллм тока

Анализ ингстральных уравнений (15). (16) начнем с изучения некоторых свойств их ядер, даваемых соотношениями (II). (12). Представим ядра этих уравнений в виде

40

T-Comm, #11-2011

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

(14)

*!”(£ )=-й. ^ р;.,(*„<«/(«г!-+

* •

+¡2. ^ ~ р:(*о<|</ )*'.1 (</) е*р| - *. ^/!„1

*1"(») = 5*п г„ ^ ш ^ (*„<4 '(V) схр|^ -

(20)

К.(,) = *,’(*« - =

СИ

Заметим, что формулы (19). (20) получаются из соответствующих интегралов, входящих в (II), (12). путем выполнения предельного перехода q -* оо под их знаком. Величины ГЛ0./.Л0. которые здесь не приводятся из-за недостатка места, определяются, в свою очередь, слагаемыми. отвечающими собственным модам в (II), (12), а также иптаралами по </. подынтегральные выражения которых даются разностями соответствующих величин, входящих в строгие формулы для ядер А'ЛО. *«(0 и в соотношения (19). (20).

Нетрудно показать, что величины (19). (20) обращаются в бесконечность при ^ - 0. в то время как величины Г.Д0. /ЛО не имеют особенностей в данной точке. Таким образом, формулы (18) дают представления ядер кт в виде сумм сингулярных (К{'К к1У) и несингулярных (/•’*, /„) слагаемых. Последние, при выполнении условий (17), можно далее брать при £= 0.

Выражение (19) в случае (17) принимает вид

(22)

где у = 0,5772... - постоянная 'Эйлсра-Масксрони. ^(г)= </1пГ(г)/«£ - логарифмическая производная гамма-функции. Вт н Ст - коэффициенты, не зависящие от £ которые в общем случае могут быть определены только численно. В частном случае = гг// они допускают точное аналитическое представление:

Вя = -I. Ся = 1п^- + + /.

После проведенных выше преобразований, шгтеграль-нос уравнение (15) принимает вид

^ (*°Г/Й;ГС' -5-)'-<*•>*'■

2о ЗД, »1 +(*.«/я. «<?/*. -1

(23) где

(24)

В свою очередь, уравнение (16) в случае (17) преобразуется к следующему виду:

).%0' <25)

V г~*

При получении уравнения (25) учтены формулы (20), (21), а также соотношение [„(0) = 0. Можно показать, что решения уравнений (23) и (25) являются главными членами асимптотик решений исходных интстральных уравнений (15) и (16) в случае (17). Здесь мы ограничимся анализом лишь уравнений (23). (25).

Нетрудно убедиться, что решение уравнения (23) с логарифмическим ял ром автоматически удовлетворяет сингулярному уравнению (25) с ядром Коши (91. г>го обстоятельство позволяет рассматривать далее только уравнение (23). Его решение может быть найдено е помощью методов. игтоженных в |9]. и имеет вид

I (-)- У Мв.сдс, А, . ,26)

г9к0>/</*' -г: т' + в- €Т11е. 1н(4<|/</) — 5.

Подсгавляя выражение (26) в (6). получаем следующую формулу для линейной плотности тока /(<£>, г):

/(**)--------^_______ У ----е

- 7; - - тЛ |п(4л

ср^ил^-Й, |] (27)

(к.а'/ Я. а) с.

--------- <28>

«г +(*//)' Вшацс,

Из полученных формул видно, что вблизи кромок идеально проводящей ленты поверхностная плотность тока обращается в бесконечность. Такое поведение плотности тока отвечает известному условию Мейкснсра на ребре (10]. Отметим, что несмотря на расходимость величины 1(Ф^) при |г|—ч/. полный ток в сечении ^соп.чг. определяемый соотношением

(29)

/;(Р) =

являося конечным. Вычислив величину /¿(?). можно найти входной импеданс антенны £=/?+£¥ но формуле

/ !,/■(,О.

4. Результаты численных расчетов распределения

тока и входною импеданса антенны

Представленные в предыдущем разделе результаты весьма удобны для исследования распределения гока и импеданса антенны. Очевидно, что в общем случае сделать это можно только численно. Приведем некоторые выборочные результаты численных расчетов, дсмонефи-руюшие поведение данных характеристик.

В качестве примера на рис. 2 показаны рассчитанные численно зависимости нормированной на максимум амплитуды |Л(<р)\ и фазы ГК<р)=агс^( 1т Л( <р)/Ке /»<(р)) тока антенны от азимутального угла </> для двух значений плотности плазмы в столбе: У = Ю11 см 3 и N = 10,:см \ Предполагается, что центру области подключения сторонней ЭДС отвечает азимутальная координата <ри~0. Расчеты были выполнены при следующих значениях параметров: угловая частота т - 6.6-10Ч с*1, относительная диэлектрическая проницаемость фоновой среды си = I (свободное пространство). внешнее постоянное магнитное поле В0 = 200 Гс. а = 5 см, </ = 0,1 см. аЛ - 0.05 см. Указанные значения могут быть реализованы в лабораторных условиях и соответствуют случаю нерезонансной плазмы. Заметим, что диагональные компоненты тензора диэлск-фичсской проницаемости такой плазмы при выбранных значениях параметров являются отрицательными (¿- - 9.2. // - -6.3 при N = 10м см 3 и с = -101,2, ^ = -72,1 при N = 10,:см 3). Примечательно, что на распределение тока антенны вблизи области подключения сторонней ЭДС. как оказалось, заметно влияет наличие собственных мод, направляемых плазменным столбом. В частности, при значениях параметров, использованных для построения рис. 2, плазменный столб поддерживает три расиро-сфаняющисся собственные моды, поля которых имеют поверхностный характер, а азимутальный н радиальный индексы равны #и=0, п= 1 и т=±I, п=\.

Т-Сотт, #11-2011

41