CC BY
90
УДК 658.64
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ ПО МНОЖЕСТВУ НЕЗАВИСИМЫХ ПРОЕКТОВ
В.Н. Бурков, С.А. Баркалов, И.Ф. Набиуллин, А.М. Ханов
В настоящей статье рассматриваются задачи распределения ресурсов при реализации мультипроектов в зависимости от скорости реализации работ и количества самих ресурсов
Ключевые слова: проект, скорость, реализация, ресурсы
Введение
Рассмотрим мультипроект, состоящий из п проектов. Каждый проект представляет собой последовательную цепочку из трех работ*. На рис. 1 приведен сетевой график мультипроекта. Вершины соответствуют работам, а дуги отражают зависимости между работами.
1.1
-И 1.2
1.3
2.1
-И 2.2
О
3.1
3.3
Рис. 1. Сетевой график мультипроекта
Для каждой работы задан объем и зависимость у (у у) скорости выполнения работы от количества ресурсов у ее выполняющих. Работы
могут выполняться ресурсами различных видов, количество которых ограничено. Задача заключается в распределении ресурсов по мультипроекту, минимизирующему его продолжительность. Рассмотрим классификацию задач. В качестве первого основания классификации примем вид ресурсов, выполняющих первые, вторые и третьи работы каждого проекта.
Выделим пять классов задач.
Первые, вторые и третьи работы проектов выполняются различными видами ресурсов.
Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00
Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07
Набиуллин Илигиз Фнунович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Ханов Анатолий Михайлович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Первые и вторые работы проектов выполняются одним видом ресурсов, а третьи - другим.
Первые и третьи работы проектов выполняются одним видом ресурсов, а вторые - другим
Вторые и третьи работы проектов выполняются одним видом ресурсов, а первые - другим.
Все работы проектов выполняются одним видом ресурсов.
В качестве второго основания классификации примем вид зависимостей скорости работ от количества ресурсов. Здесь выделим два класса задач. В первом классе зависимость скорости работ от количества ресурсов является непрерывной, а во втором - дискретной. Первый класс будем обозначать буквой Н, а второй - Д. Классы задач будем обозначать двумя буквами, первая из которых выделяет задачу по первому основанию классификации, а вторая - по второму.
Так, например, обозначение БД означает класс задач, в которых первые и вторые работы проектов выполняются одним видом ресурсов, третьи - другим, а зависимости скорости работ от количества ресурсов являются дискретными. Рассмотрим методы их решения.
Класс АН
Задачи этого класса в общем случае относятся к так называемым КР-трудным задачам, не имеющим эффективных точных методов решения
[1]. Примем, что зависимости у у(у у) имеет вид:
(1)
Обозначим NУ, У = 1,2,3 количество ресурсов у-го вида. Покажем, что существует оптимальное решение, в котором все работы выполняются максимальным количеством ресурсов (возможно с перерывами) за время
= Ш у т у-
(І>Л и у < N у
ау
Действительно, пусть не некоторой работе в течение интервала Т . Тогда на какой-либо другой работе (к,у) этого же типа щ < в течение того же интервала (или на нескольких работах). За время Т будет выполнено Шу = иу * т объема работы (I, у) и Шку = Щ т объ-
ема работы (к,у). Определим другой календарный план. Сначала ресурсы Nу направляются на работу (I, у). Объем работ Шу будет выполнен за время
Т г
N
■ < Т
Затем ресурсы направляются на работу (к,у). Объем работы Ж ку будет выполнен за время
= Жу = щ*т <т Т NJ NJ
и работа будет завершена в момент т1 + Т2 = т .
Итак, в новом плане первая работа завершается ранее, а вторая - в то же время. Повторяя эту операцию каждый раз, когда и у < N,, приходим к плану, в котором для всех работ и у = NJ, если работа выполняется.
В этом случае, получаем классическую «Задачу о станках», известную своей сложностью
[2].
Рассмотрим несколько подклассов.
1. Ограничены ресурсы первого вида, то
есть
Е ал > N і
.=1
(3)
Ресурсов второго и третьего вида достаточно и соответствующие работы выполняются за минимальные времена тл .
2. Ограничены ресурсы второго вида, то
есть
Е а. 2 > N 2
(4)
Работы первого и третьего типа выполняются за минимальные времена т-2 .
3. Ограничены ресурсы третьего вида, то
есть
Е а.з > N з
(5)
Работы первого и второго типа выполняются за минимальные времена.
Ограничены ресурсы первого и второго вида, то есть имеют место условия (3) и (4). Работы третьего типа выполняются за минимальное время
тз .
Ограничены ресурсы первого и третьего вида, то есть имеют место условия (3) и (5). Работы второго типа выполняются за минимальное время
т-2 .
Ограничены ресурсы второго и третьего вида, то есть имеют место условия (4) и (5). Работы первого типа выполняются за минимальное время
та .
Ограничены ресурсы всех видов, то есть имеют место условия (3), (4) и (5).
Рассмотрим методы решения этих подклассов задач.
Подкласс АН1
Поскольку ресурсов второго и третьего вида достаточно, то продолжительности работ второго и третьего типа равны соответственно та и т3 ,
I = 1, п .
Обозначим:
Ч = т-2 +т-3 (6)
Упорядочим работы по убыванию ч . , то
есть д> 42 > к > Чп .
Для решения задачи определим двудольную сеть из 2(п+1) вершин (Рис. 2). Вершины первого слоя сети (не считая вершины - входа) соответствуют проектам, а вершины второго слоя - интервалам времени. Пусть Т - момент завершения мультипроекта. Примем пропускные способности дуг (0, I) равными с0 = ШI■, а пропускные способности дуг (у, г) равными
С1г =(Т-Ч1)' Ш=Лу N1
Суг = (Чу-1- Чу )■ Ш=Л у • N1 (7)
Пропускные способности дуг (1,у) примем равными Су = ау ■ Лу, I,у = 1,п, I > у.
Определим поток максимальной величины в полученной сети.
Теорема 1. Минимальное Т, при котором поток максимальной величины насыщает входные дуги, определяет оптимальное решение задачи.
Доказательство. Пусть Т задано. Обозначим Хи, - объем первой работы г'-го проекта, выполняемого в 5-м интервале (первый интервал - это интервал (0, Т - Ч1), второй - это (Т - Т - 42) и
т.д.
Для того чтобы все работы были выполнены необходимо и достаточно выполнение условий
Ё XI,=Ш I , >=1, п
,=1
При ограничениях
Ё X ■ < С , 5 =1, п
1= э
0 < х■ < с■ , I,, =1, п
Следовательно, {,) это поток и поэтому минимальное Т, при котором этот поток насыщает
и уТ
входные дуги соответствует минимальному времени завершения мультипроекта. Теорема доказана.
Оценку снизу для минимальной продолжительности мультипроекта можно получить из условия
¥1=ЁЖ1 <Ё Сэг = (Т - Ч) N1
5 =
60 - 58 N1
Получаем
Т > + а
N1 Чп
(8)
Пример 1. Рассмотрим мультипроект из четырех проектов, данные о которых приведены в таблице 1.
Таблица 1
і 1 2 3 4 V
Ж 12 10 18 20 60
Ж.2 18 9 20 12 59
Ж.3 24 15 8 18 65
а.1 4 2 3 5
а.2 3 3 4 6
а.3 6 3 4 6
Т1 3 5 6 4
Т2 6 3 5 42
Та 4 5 2 3
Имеем а1 = 10, а2 = 8, аз = 7, а4 = 5 Пусть N1 = 6
Из условия (1.8) получаем начальную величину времени завершения мультипроекта т 60 15
Т1 = —=15 6
На рис. 3 приведена сеть (числа в скобках равны пропускным способностям).
—6»
/1(1°) 1°
Ч т
РШ1—»(^)-------
Рис. 3. Сеть для случая Т1 = 15
Максимальный поток равен 58 < У1 = 60 . Следовательно, Т1 - необходимо увеличить. Заметим, что увеличение Т увеличивает пропускные способности только дуг сл (I = 1, п) и С1г . Минимальное увеличение Т составляет
Это позволяет увеличить поток по дугам (0, 1), (1, 1) и (1, г) на 2 единицы. Полученный поток насыщает входные дуги. Поэтому получает оптимальное решение с продолжительностью муль-
типр°екта Тт1п = 15-3 .
Подкласс АН2
В этом подклассе ограничены ресурсы второго вида. Соответственно, продолжительности работ первого и третьего типа равны минимальным т,1 и т3 . Заметим, что продолжительности т1 определяют ранние моменты начала работ второго типа, которые равны р = т,-1 , а продолжительности т,3 при заданном Т определяют поздние сроки окончания работ второго типа, которые равны ^ = Т -т,-3 . Аналогично подклассу АН1 построим двудольную сеть, вершины первого слоя которой соответствуют проектам, а вершины второго слоя -интервалам времени, соответствующим моментам
Р п
и и , упорядоченным по возрастанию.
Подкласс АН3
В этом подклассе ограничены ресурсы третьего вида. Соответственно, продолжительности работ первого и второго типа равны т и т2 .
Обозначим =т1 + т2. Заметим, что ^ определяет ранние сроки начала работ третьего типа. Пусть работы упорядочены по возрастанию р1, то есть
Р1 < Р2 < ^ < Рп
По аналогии с предыдущими случаями строим двудольную сеть, вершины первого слоя, которой соответствуют проектам, а вершины второго слоя - интервалам длительности
Лэ = Рэ+1 - Рэ , 5 = 1, п - 1
Лп = Т - Рп
где Т - момент завершения мультипроекта. Соответственно, определяем пропускные способности дуг, как и в предыдущих случаях
С0[ = Ш,-3 , Сэг = N3 -Лэ
С(, а{3 Лэ
Минимальное Т при котором максимальный поток насыщает входные дуги, определяет оптимальное решение задачи. Доказательство аналогично Теореме 1. Получим оценку снизу для продолжительности мультипроекта, более точную, чем в предыдущих случаях. Для этого определяем минимальный номер г интервала, такой что
г
Ё а3 > N3 1
Определяем объем работ, выполненных за первые (г -1) интервалов. Этот объем равен
Л'
/ ч r-i
V 3 (r )=Е min
i=1
r-1
Wi3; a-3 Е As
i=s
Р-1 Р-1
= а13 Ё Лэ + а23 Ё Лэ +--+ аР-1,3 - Л р-1
1 2
Оценка снизу равна Т > Ё + Р1
1 N3
Теорема 2. Описанный алгоритм дает оптимальное решение задачи.
Доказательство. Докажем теорему по индукции. Теорема, очевидно, справедлива для п = 1,2 . Предположим, что она справедлива для
числа проектов п. Рассмотрим (п + 1) проект. Согласно предположению для п проектов, теорема справедлива. Заметим, что продолжительность мультипроекта минимальна, если 8(п) принимает минимальное значение. Докажем, что описанный алгоритм обеспечивает минимальную величину 8 (п). Это достаточно очевидно, поскольку к моменту Рп выполняется максимальная часть эквивалентного объема Ш э (п). Теорема доказана.
Пример 2. Пусть п = 4, а =1/2. Данные о
величине Р1 и Ш13 приведены в таблице 2. Пусть
N3 = 4.
Таблица 2
І і 2 3 4
W, 10 8 8 6
Pi 2 4 6 7
1 шаг. /1 = 2. Начата работа (1.3). К моменту р2 = 4 выполнено 2^N3 = 4 ед. объема. Осталось 5(1) = 10 - 4 = 6
2 шаг. /2 = 4 .
Жэ(2)=уІ 36 + 64 = 10.
К моменту р3 = 6 выполнено 2 N3 = 4
ед. эквивалентного объема. Осталось
5(2) = 10 - 4 = 6.
3 шаг. /3 = 6 .
Жэ (3) = д/36 + 64 =10
К моменту р4 выполнено ^N3 = 2 единицы эквивалентного объема. Осталось
5(3) = 10 - 2 = 8
4 шаг. /4 = 7
Ж э (4)=у164 + 36 = 10. Минимальная продолжительность мультипроекта
T = W(i) + 7 = 12
T min I-- ~
VN з
Подклассы АН4, АН5, АН6, АН7
Задачи этих подклассов не имеют эффективных точных методов решения и, как правило, для их решения применяются эвристические алгоритмы, алгоритмы локальной оптимизации или генетические алгоритмы. В эвристических алгоритмах распределение ресурсов производится на основе эвристических правил приоритета работ. В основном применяются три правила приоритета [3].
Правило 1. (по степени критичности работ). В первую очередь выполняются работы с максимальной степенью критичности (минимальным поздним сроком начала.)
Правило 2. В первую очередь выполняются работы минимальной продолжительности t .
Правило 3. В первую очередь выполняются работы с минимальным поздним сроком окончания.
Поздние сроки начала и окончания работ определяются при продолжительностях всех работ, равных минимальным Tij и продолжительности
проекта
Т = max + Tn + Ti2 + Ti3.
i
Поздний срок начала работы (i, j) равен
tij = T - E Tij,
k=j
а поздний срок ее окончания
t°j = T - E Tij.
k=j+i
Для работ первого типа
til T Til Ti2 Ti3 ,
t° = T - T■ - T■
11 i2 i3
Для работ второго типа
ti2 T Ti2 Ti3 ,
t° = T -T
12 i3
Для работ третьего типа
tl = T - Ti3,
t?3 = T .
Выбор правил определяется спецификой конкретной задачи.
Так если объем работ третьего типа V3 , превышает объемы работ V1 и V2 работ первого и второго типа, то важно как можно скорее начать выполнение работ третьего типа. В этом случае применяется модифицированное правило 2 (в первую очередь выполняются проекты с минимальной суммарной продолжительностью работ первого и второго типов).
Если наибольший объем V2 имеют работы второго типа, то применяется комбинированное правило. Сначала применяется правило 2, и когда работы второго типа уже выполняются, то применяется правило 3. Если наибольший объем V i имеют работы первого типа, то применяется модифицированное правило 3 (в первую очередь выпол-
няются работы первого типа с максимальной суммарной продолжительностью работ второго и третьего типов).
Наконец, если длина критического пути
Ткр = max (Ti1 + Ti2 + Ti3)
i
значительно превышает максимальную из трех величин
Ti=V+min T +Ti3)
N1 1
V 2
T2 = min t +— + mlnTi3,
i N 2 i
T3 = mln(T,1 +Ti2) + Vl ,
i N 3
то применяется правило 1.
В процессе выполнения мультипроекта ситуация меняется, что делает целесообразным смену
правил приоритета (динамическая система приоритетов).
Выводы
Рассмотрены классы задач распределения ресурсов в мультипроекте (в каждом классе выделены подклассы в зависимости от ограничений на ресурсы различных видов).
Литература
1. Ануфриев И. К., Бурков В. И., Вилкова И. П., Рапацкая С. Г. Модели и механизмы внутрифирменного управления: Препринт. М.: Ин-т проблем управления, 1994.
2. Бурков В. Н., Ириков В. А. Модели и методы управления организационными системами. М.: Нау-
ка, 1995.
3.Бурков В. Н., Багатурова О. С., Иванова С. И. И др. Оптимизация обменных производственных отношений в условиях нестабильной экономики: Препринт. М.: Ин-т проблем управления, 1996.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (г. Москва)
DISTRIBUTION OF RESOURCES ON SET OF INDEPENDENT PROJECTS
V.N. Burkov, S.A. Barkalov, I.F. Nabiullin, A.M. Hanov
In present clause problems of distribution of resources are considered at realization of multiprojects depending on speed of realization of works and quantity of resources
Key words: the project, speed, realization, resources
