CC BY
26
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4- С. 430-446.
УДК 517.547.2+517.95+517.983.23
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ОДНОЙ
ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ-ЛЁФФЛЕРА
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В ТЕОРИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
А. В. Карев", И. В. Тихонов6
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия "alexander.karev.30@gmail.com, 6ivtikh@mail.ru
Статья носит обзорный характер. Обсуждается вопрос о распределении нулей одной частной функции типа Миттаг-Лёффлера, возникшей в теории обратных задач для эволюционных дифференциальных уравнений. Аналитическими средствами получена точная информация о расположении нулей на комплексной плоскости. Указано явное представление нулей посредством специальной ^-функции Ламберта. Даны удобные приближённые формулы для вычисления нулей. Все результаты подтверждены численными расчётами. Продемонстрирована связь установленных соотношений с исследованием естественной обратной задачи для эволюционного уравнения в банаховом пространстве. Условия корректности задачи выражаются в терминах распределения нулей изученной целой функции. Как итог, для обратной задачи предложены удобные достаточные признаки существования и единственности решения, эффективно проверяемые на практике, и, кроме того, обоснован конструктивный алгоритм для поиска решения.
Ключевые слова: целая функция типа Миттаг-Лёффлера, 'распределение нулей, эволюционное уравнение, линейная обратная задача.
Введение
Настоящий обзор составлен по недавним исследованиям авторов, выполненным в связи с одной обратной задачей для абстрактного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Нам показалось полезным перед опубликованием полных доказательств дать отдельное концентрированное изложение, из которого будет хорошо видна суть дела. Установленные результаты докладывались на нескольких математических конференциях и научных семинарах. За основу текста взята предыдущая краткая заметка [1], существенно расширенная для данного издания. Интересная особенность нашего исследования состоит в сочетании теории обратных задач с «чистыми» вопросами классического анализа: для того чтобы сделать содержательное заключение об обратной задаче, нужна точная информация о расположении нулей её характеристической функции на комплексной плоскости. Возникающая функция естественна, элементарна, и её нули могут пригодиться в других ситуациях. Именно с темы нулей мы и начнём.
1. Функция Миттаг-Лёффлера и её нули
Некоторое время назад в теории неклассических задач для эволюционных уравнений возник интерес к специальным целым функциям типа Миттаг-Лёффлера
ЕР(г; 1т + ^ , г = х + гу е С, (1)
т=0 4
порядка р > 0 с параметром ^ е С (см. [2-5]). Здесь Г(^) = (и — 1)! есть обычная Г-функция Эйлера. Через г всюду обозначаем мнимую единицу.
Обсудим сейчас специальный частный случай функции (1), естественно возникающий при исследовании одной обратной задачи для эволюционного уравнения. Исходное выражение выглядит так:
1 г
Ь(г) = / Л/е-*-> . е С (2)
00
Возможны и другие представления:
ад = у е"т (1 — т) ¿т, (з)
0
— 1 —г 1 ОД =--г-, ¿(0) = - , (4)
1 . г2 ^ .т
т=0
ОД = Е1(г;3). (6)
Каждое из представлений (3)-(6) играет свою роль при исследовании функции (2). Формула (6) показывает, в частности, что (2) является целой функцией типа Миттаг-Лёффлера с параметрами р =1 и ^ = 3.
Учитывая интересы возможных приложений, требуется как можно точнее локализовать нули функции (2). Имеющиеся оценки (см. [5-7]) оказываются слишком общими и недостаточными для целей тонкого исследования. В то же время, пользуясь особой спецификой функции (2), можно установить следующий вполне законченный результат.
Теорема 1. Все нули функции Ь(г) из формулы (2) являются простыми и образуют бесконечный счётный набор вида
гк = Хк + гук, к е ^ \ {0}; г-к = , к е N.
Нули гк = хк + гук при к е N расположены в верхней полуплоскости; их вещественные и мнимые части строго возрастают к и при всех значениях к е N подчинены ограничениям
п п
Хк = Яе гк > 2, 3 + 2кп < ук = 1т гк < - + 2кп. (7)
Если обозначить
п
Ьк = - + 2кп, к е N (8)
1
то верно представление
Zk = ln bk + ibk + ak - i¡3k, k e N. (9)
Здесь ak > 0 и > 0 для любого k e N, причём ak ^ 0 и ^ 0 при k ^ то так, что ak = о(вк). Кроме того, верны оценки
1 (ln bk + 2 \2 ln bk ln bk + 2 , ,
0 «* < i(^) ■ ИТ <A < -fk+- , (10)
выполненные при всех k e N.
Доказательство теоремы 1 элементарно, но весьма технично. Оно основано на исследовании корней системы
cos y = e-x (1 + x), sin y = e-x y,
возникающей из представления (4). В рассуждениях используется ряд вспомогательных оценок для некоторых элементарных функций.
Теорема 1 утверждает, что нули функции L(z), попадающие в верхнюю полуплоскость, расположены там вблизи точек
Zo,k = ln bk + ibk, k e N, (11)
которые образуются при пересечении графика экспоненты y = ex с верхними границами полуполос (7). Нули находятся чуть правее и немного ниже точек (11), причём зазор между нулем Zk и соответствующей точкой z0,k быстро уменьшается с ростом k. Скорость «исчезания» зазора показывают оценки остатков (10). Более принципиальной из них является вторая оценка — для ^k. На возможность подобной оценки наше внимание обратил А. Ю. Попов, который сообщил, кроме того, что при k ^ 9 действует более точный результат:
ln bk ln bk + 1
—— < Pk < -7-.
bk bk
Компьютерная проверка подтвердила последнее соотношение с дополнительным уточнением, что оно верно также при всех k ^ 3, но при k =1 и k = 2 оказывается всё же несправедливым.
Любопытно, что нули целой функции (2) выражаются в явном виде через специальную W-функцию Ламберта. Последняя определяется тождеством
W(Z)eW(z) = Z, Z e C,
как функция, обратная к функции Z = wew (см. [8; 9]). W-функция Ламберта является многозначной со счётным множеством различных ветвей Wk (z), k e Z. Ветвь W0(z) считается основной, она определена на всей комплексной плоскости с разрезом (-то, — e-1) по действительной оси. Остальные ветви Wk (z), k e Z \ {0}, определены на комплексной плоскости с разрезом (—то, 0) по действительной оси.
Теорема 2. Нули функции L(z) из формулы (2), попадающие в верхнюю полуплоскость, представимы в виде
zk = —1 — W-k-i(—e-1), k e N, (12)
где Wj(Z) — j-я однозначная ветвь W-функции Ламберта. Представление (12) даёт нули в той же нумерации, что и формулы (7)-(10) в теореме 1.
В системе МАТЬАБ команда для вычисления нулей (12) выглядит так:
-1-1атЪегЬет((-1)*к-1,-ехр(-1)).
Характер поведения первых ста нулей гк при к = ±1, ... , ±50 ясен из рис. 1.
Рис. 1. Результат компьютерного расчёта первых ста нулей для функции (2). Видно, что все нули попадают в правую полуплоскость Ие г > 2, что полностью согласовано с теоретическим
результатом (7)
Поясним, как в нашем контексте возникает Ш-функция Ламберта. Согласно формуле (4) множество нулей функции (2) совпадает с множеством ненулевых комплексных корней трансцендентного уравнения
Близкое уравнение
1 + г.
+ а = 0
(13)
(14)
с неизвестной переменной е С и параметром а > 0 переходит в (13) при конкретном выборе а = е-1 с последующей подстановкой = —г — 1. Корни уравнения (14) выражаются в виде = Ш(—а) через Ш-функцию Ламберта. Таким образом, для множества корней уравнения (13) имеем формальную запись
— 1 — Ш (—1/е).
(15)
Обсудим теперь вопрос нумерации.
Будем исходить из стандартного описания ветвей Ш-функции Ламберта (см. [8, с. 341-347; 9, с. 10-25]), согласно которому
Шо(—1/е) = Ш-1(—1/е) = —1.
X
е
г
При такой подстановке в формулу (15) получим значение г = 0, которое, конечно, является корнем (кратности два) для уравнения (13), но не даёт нуля функции (2). Поэтому ветви ), ) не участвуют в записи нулей. Остальные ветви с от-
рицательными убывающими индексами дают последовательность
Ж_2(-1/б), Ж_а(-1/б), ... , Ж_га(-1/е), Ж_га_1(-1/б), ... , (16)
расположенную в нижней полуплоскости и монотонно удаляющуюся вниз от вещественной оси (см. рис. 1.7 в книге [9, с. 17]). При подстановке значений (16) в базовую формулу (15) получим последовательность комплексных чисел, расположенную в верхней полуплоскости и тоже монотонно (но уже вверх) удаляющуюся от вещественной оси. Все эти значения выражаются формулой (12) и формируют цепочку нулей, согласованную с теоремой 1. Других нулей в верхней полуплоскости нет, ибо все оставшиеся ветви — с положительными индексами — дают последовательность Wj (—1/е), ] Е N расположенную в верхней полуплоскости, и, следовательно, отвечающие им нули, вычисленные по правилу (15), неизбежно попадут в нижнюю полуплоскость.
Итак, все нули функции (2), расположенные в верхней полуплоскости и занумерованные в порядке удаления от вещественной оси, выражаются «явной» формулой (12).
Приведём таблицу первых десяти нулей в верхней полуплоскости, вычисленных в системе МАТЬАБ. Значения Хк, Ук даём с точностью до 10_6, округляя последнюю значимую цифру должным образом:
¿1 « 2.088843 + 7.461489г, гз « 3.674505 + 39.151074г,
¿2 « 2.664068 + 13.879056г, ¿7 ~ 3.822153 + 45.447385г,
г3 « 3.026297 + 20.223835г, г8 ~ 3.950805 + 51.740885г,
¿4 ~ 3.291678 + 26.543239г, ¿9 ~ 4.064796 + 58.032409г,
¿5 ~ 3.501269 + 32.850548г, гю ~ 4.167126 + 64.322490г.
Для приближённого вычисления последующих нулей удобны формулы
Хк « 1п Ьк + 2 (^ V, Ук « Ьк - ^, (17)
2 \ Ьк ) Ьк
со значением Ьк, заданным в (8). Формулы (17) существенно уточняют «нулевое» приближение (11). Наглядное представление о действующих соотношениях можно получить из рис. 2 на примере нуля ¿10.
Расчёты показывают, что первая из формул (17) будет справедливой с точностью 10_3, начиная с 12-го нуля функции с точностью 10_4, начиная с 41-го нуля; с точностью 10_5, начиная со 141-го нуля; и, наконец, с точностью 10_6, начиная с 478-го нуля. В свою очередь, вторая из формул (17) будет справедливой с точностью 10_4, начиная уже с 6-го нуля функции ¿(¿); с точностью 10_5, начиная с 21-го нуля; с точностью 10_6, начиная с 56-го нуля; и, наконец, с точностью 10_7, начиная со 145-го нуля.
Из сказанного ясно, что исследование нулей функции (2) можно считать в основном завершённым.
2. Обратная задача. Единственность решения
Полученные результаты находят применение в теории обратных задач, понимаемых в смысле [10; 11]. Непосредственно к функции (2) приводит изучение сле-
Рис. 2. Окрестность десятого нуля. Значение гю, найденное по формуле (12), отмечено точкой. Соответствующее нулевое приближение (11) указано звёздочкой, а приближённое значение, вычисленное по формулам (17), выделено кружочком
дующего важного примера из специального класса обратных задач, введённого в рассмотрение в [12; 13].
В комплексном банаховом пространстве Е на отрезке [0,Т] рассмотрим абстрактное дифференциальное уравнение
¿п(г) ¿г
Лп(г) + д,
0 ^ г ^ т,
(18)
с неизвестным элементом д е Е. Оператор Л — линейный, замкнутый в Е, с областью определения О(Л) С Е. Для одновременного нахождения функции п(г) и элемента д возьмём условия
т
п(0) = п0,
— I п(г) ¿г = п1.
(19)
Элементы п0,п1 е О(Л) считаем заданными. Решением задачи (18), (19) назовём пару (п(г),д), где
п: [0,Т] ^ Е, д е Е.
Всегда предполагаем, что п е С 1([0, Т]; Е), причём п(Ь) е О(Л) при любом г е [0, Т].
Поставленная задача (18), (19) относится к классу обратных задач и имеет понятный практический смысл. Её можно интерпретировать как задачу восстановления неизвестного элемента д е Е («плотность источников») в дифференциальном уравнении (18) при помощи двух дополнительных «измерений», выраженных
условиями (19). Также допустима трактовка в духе теории управления: требуется подобрать элемент д Е Е (некое стационарное «воздействие») так, чтобы решение дифференциального уравнения (18) с заданным начальным состоянием и0 обладало предписанным средним значением и1.
Согласно теории, развитой в работе [13], основные свойства обратной задачи (18), (19) должны выражаться в терминах её характеристической функции
т ь
1 Г Г рхт — 1 — ЛТ
Ьт(Л) = - у Л у е^-^ ¿8 = -—-, Л Е С, (20)
0 0
очевидно целой по переменной Л Е С. Заданное значение Т > 0 служит числовым параметром.
Функции (20) и (2) связаны простым соотношением
Ьт(Л) = Т • Ь(ЛТ), Л Е С.
Следовательно, нули Лк функции Ьт(Л) выражаются через нули гк функции Ь(г) по формуле
Лк = ^/Т, к Е Z \{0}. (21)
Значения (21) естественно считать характеристическими числами поставленной обратной задачи (18), (19). Недавно авторам удалось установить следующий критерий единственности решения, справедливый без каких-либо дополнительных предположений об операторе А, кроме его линейности и замкнутости.
Теорема 3. Пусть А — линейный замкнутый оператор в Е. Для того чтобы обратная задача (18), (19) при любом выборе элементов и0,и1 Е О(А) имела не более одного решения (и(Ь),д), необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль (21) характеристической функции Ьт(Л) из формулы (20) не являлся собственным значением оператора А.
Доказательство «необходимости» в теореме 3 получается легко. Действительно, пусть какой-нибудь нуль Лк характеристической функции (20) является собственным значением оператора А с собственным вектором ¡к Е О(А), /к = 0. Используя соотношение А/к = Лк/к, нетрудно проверить, что пара
ь
/еХкЬ — 1
еХк{1-з)!к ¿8 = ¡к, д = ¡к
0к
даёт нетривиальное решение однородной обратной задачи (18), (19) с условиями
и0 = 0, и1 = 0.
В той же задаче есть, конечно, и тривиальное решение и(Ь) = 0, д = 0, т.е. единственность решения заведомо нарушается.
Доказательство «достаточности» в теореме 3 значительно сложнее и требует специального привлечения теории целых функций в духе работы [14].
Принимая во внимание связь (21) и учитывая теорему 1 о распределении нулей функции Ь(г), получаем следующие удобные признаки единственности решения в обратной задаче (18), (19).
Теорема 4. Пусть выполнено любое из предположений: 1) оператор А вообще не имеет собственных значений; 2) все собственные значения оператора А вещественные; 3) все собственные значения оператора А расположены в полуплоскости Яе А ^ 2/Т; 4) все собственные значения оператора А расположены в полосе |1тА| ^ 7п/(3Т). Тогда обратная задача (18), (19) имеет не более одного решения («(*), д) при любом выборе элементов м0,м1 € ^(А).
Итак, вопрос единственности решения для обратной задачи (18), (19) в принципиальном плане закрыт. Обсудим теперь, что происходит с разрешимостью.
3. Обратная задача. Разрешимость
Достаточно полное исследование разрешимости обратной задачи (18), (19) удаётся провести при дополнительном предположении, что А есть производящий оператор некоторой полугруппы и(*) класса С0 (см. [15-17]). В таком случае из теории [13] можно извлечь следующий критерий корректности (см. [13, теорема 4]).
Теорема 5. Пусть оператор А порождает С0-полугруппу и(*), * ^ 0. Для того чтобы обратная задача (18), (19) при любом выборе элементов и0,и1 € Д(А) имела и притом единственное решение («(*), д), необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль (21) характеристической функции ЬТ(А) из формулы (20) не принадлежал спектру оператора А.
Сказанное означает, что если ни один нуль характеристической функции (20) не принадлежит спектру оператора А, то при любом выборе элементов м0,м1 Е ^(А) решение обратной задачи (18), (19) существует, единственно и удовлетворяет оценке устойчивости
||«(*)|| ^ С(II | «011 | + || | «111 | ), 1Ы1 ^ с(II | «011 | + II | «1|| | ) (22)
с некоторой константой С > 0, не зависящей от выбора и0, и1. Здесь Ц| • Ц| — норма графика, введённая на Д(А), т.е. |||ф||| = ||ф|| + ||Аф|| для любого ф Е ^(А). По поводу оценки (22) см. общую лемму 1 в работе [13]. Используя специфику обратной задачи (18), (19), оценку устойчивости можно уточнить, записав
К*)II ^ С(КИ + И!«!III), ||д|| ^ С(|К|| + Ш«!III), (23)
т.е. убрав норму графика с начального элемента «0. Значения константы устойчивости С > 0 в формулах (22) и (23) могут различаться. Оценка (23) автоматически выполнена в последующих теоремах 6-9, и мы её больше не упоминаем.
По аналогии с теоремой 4 получаем удобные достаточные признаки однозначной разрешимости обратной задачи (18), (19) как следствия общего критерия из теоремы 5 и базовой теоремы 1.
Теорема 6. Пусть оператор А порождает С0-полугруппу и(*), * ^ 0. Пусть выполнено любое из предположений: 1) производящий оператор А имеет пустой спектр; 2) производящий оператор А имеет вещественный спектр; 3) спектр оператора А расположен в полуплоскости Яе А ^ 2/Т; 4) спектр оператора А расположен в полосе |1т А| ^ 7п/(3Т). Тогда обратная задача (18), (19) при любом выборе элементов м0,м1 Е Д(А) имеет и притом единственное решение («(*), д).
Типичное предположение 3) из теоремы 6 удобно проверять в терминах экспоненциального роста полугруппы и (*). Пусть выполнена стандартная оценка
||и(*)|| ^ Мев4, * ^ 0, (24)
с некоторыми константами М ^ 1 и в ^ 0. Тогда в эквивалентной норме
\\/Не = 8ПР \\е-ви(Ь)/I, / е Е, (25)
Г^ 0
справедлива упрощённая оценка \\и(Ь)\\в ^ при Ь ^ 0 (см. [17, с. 376]). Так как спектр оператора А попадёт в полуплоскость И,е Л ^ в, то предположение 3) теоремы 6 будет заведомо выполнено при в ^ 2/Т. Это позволяет сформулировать следующий наглядный результат.
Теорема 7. Пусть оператор А порождает С0-полугруппу и(Ь), Ь ^ 0, причём справедлива оценка (24) с некоторыми константами М ^ 1 и в ^ 0. Предположим, что значение Т > 0 взято с условием
вТ ^ 2. (26)
Тогда задача (18), (19) с таким Т > 0 при любом выборе элементов и0,щ е О (А) имеет и притом единственное решение (и(Ь),д).
Теорема 7 даёт возможность при любом росте полугруппы и (Ь) подобрать значение Т > 0 так, чтобы обратная задача (18), (19) оказалась заведомо корректной. Но теорема 7 не предлагает явного способа для нахождения решения. Покажем, что при некотором усилении условия (26) удаётся обосновать конструктивный алгоритм для поиска решения обратной задачи (18), (19).
Рассуждая по схеме работы [13], сведём обратную задачу (18), (19) с полугруппой и(Ь), удовлетворяющей оценке (24), к эквивалентному операторному уравнению. Зафиксируем некоторое вещественное число ^ > в в качестве специального параметра. Так как спектр оператора А расположен в полуплоскости И,е Л ^ в, то число 7 принадлежит резольвентному множеству оператора А. Решение дифференциального уравнения (18) с начальным условием и(0) = и0 представимо в виде
и(Ь) = и(Ь)щ + у и(Ь - s)gds, 0 ^ Ь ^ Т. (27)
0
Подставим выражение (27) в нелокальное условие из (19) и применим к возникшему равенству обратимый оператор 71 — А. Выполнив элементарные преобразования, получим для неизвестного элемента д е Е эквивалентное операторное уравнение
д — Б1 д = /, (28)
где
т
Б1 = 1 /(1 — 1Т + 11) и(Ь) dt, (29)
0
т
/ = Ы — А)
Щ — 1 и(Ь)Щ dt
0
(30)
Согласно теории [13] операторное уравнение (28) играет центральную роль при изучении разрешимости поставленной обратной задачи. Интеграл в (29) взят в сильной операторной топологии. Линейный оператор Б1 ограничен на Е. Элемент / е Е
г
при фиксированном 7 однозначно определён заданными Мо,М1 € ^(А). Стандартная формула
т
А / и(¿)м0 ^ = и(Т)и0 — и0
даёт уточнение
/ = (7/ — АК — -
1
Т
т
7 J и(£)и0 — и(Т)и0 + и0 0
с помощью которого можно сделать переход от оценки устойчивости (22) к упрощённой оценке (23).
Элементарными оценками оператора (29) в эквивалентной норме (25) со специальным выбором параметров
в< Т = 7
можно показать, что ||Б7 ||в < 1, и установить следующий результат.
Теорема 8. Пусть оператор А порождает С0-полугруппу и(£), £ ^ 0, причём справедлива оценка (24) с некоторыми константами М ^ 1 и в ^ 0. Предположим, что значение Т > 0 взято с условием
вТ< 1. (31)
Тогда задача (18), (19) с таким Т > 0 при любом выборе элементов и0,и1 € Д(А) имеет и притом единственное решение (и(£),д), второй компонент которого представим сходящимся рядом Неймана
д = £ / (32)
к=0
с оператором Б7 из формулы (29) и элементом /7 из формулы (30), взятыми со значением 7 = 1/Т.
Более тонкими методами можно немного ослабить условие (31), оценив спектральный радиус оператора Б7. Учитывая представление (29), введём для Б7 его характеристическую функцию
т
,лт
Г(Л) = 1/(1 — 7Т + 7()еЛ' Л = (Л — Т><'-1) + ЛтТ , Л € С. (33)
0
Функция (33) связана с предыдущей функцией (20) следующим простым образом:
Г7 (Л) = 1 + (Л — 7)Ьт (Л). (34)
Для краткости не указываем на зависимость от параметра Т > 0 в обозначении функции Г7(Л), хотя на самом деле Г7(Л) = Гт,7 (Л).
Из теории [17, теорема 16.3.5] следует, что спектр оператора (29) связан со спектром оператора А по формуле
а(Б1) и {0} = (Л) : Л е а(А)} и {0}. (35)
Странная на первый взгляд запись (35) просто учитывает две ситуации: если А — ограниченный оператор в Е, то
а(Б1) = (Л) : Л е а(А)},
а если А — неограниченный оператор в Е, то
а(Б1) = (Л) : Л е а(А)} и {0}
с непременным добавлением точки «нуль».
Воспользуемся формулой (35). С учётом связи (34) и того, что число 7 > в не попадает в спектр оператора А, получаем, что 1 е а(Б7) тогда и только тогда, когда функция Ьт(Л) обращается в нуль хотя бы в одной точке из о(А). Соответственно, соотношение 1 е &(Б1) эквивалентно тому, что ни один нуль характеристической функции Ьт(Л) не принадлежит спектру оператора А. Это и даёт основной критерий из теоремы 5. Собственно примерно так, но в существенно более общем контексте, подобные результаты устанавливались в прежней работе [13].
Теперь в силу полной конкретности ситуации можно попытаться добиться вместо соотношения 1 е &(Б1) гораздо более сильного требования, а именно, того, чтобы спектр оператора Б1 из формулы (29) попадал строго внутрь единичного круга, или, другими словами, чтобы спектральный радиус оператора Б1 был строго меньше единицы.
Напомним, что при выполнении экспоненциальной оценки (24) спектр производящего оператора А расположен в полуплоскости И,е Л ^ в, возможно, заполняя даже всю полуплоскость. Принимая во внимание формулу (35), делаем такое заключение: спектральный радиус оператора Б1 будет заведомо строго меньше единицы, если образ полуплоскости И,е Л ^ в при отображении (Л) = Бт>1 (Л) из формулы (33) попадёт строго внутрь единичного круга.
Иначе говоря, надо найти такие соотношения между параметрами
Т, в, 1 (Т > 0, 0 < в < 7),
чтобы выполнялось соотношение
(Л)| < 1, УЛ : ИеЛ ^ в. (36)
Из определения (33) ясно, что величина (Л)| ограничена во всякой левой полуплоскости и стремится к нулю вдоль любой вертикальной прямой при движении точки Л на бесконечность. В частности, значение
вир ^^(в + «ек
обязательно достигается в некоторой точке прямой в + is, s е К. Но тогда по известному принципу Фрагмена — Линделёфа (см. [18, теорема 20, с. 68]) условие (36) эквивалентно тому, что
(Л)| < 1, УЛ : ИеЛ = в. (37)
Недавно В. Б. Шерстюков сообщил авторам прямое аналитическое доказательство того, что при выборе
Т = >• ? = 2 в = и( = Б
указанное условие (37) выполняется. Как следствие, получаем такой результат, уточняющий теорему 8.
Теорема 9. Пусть оператор А порождает С0-полугруппу и(Ь), Ь ^ 0, причём справедлива оценка (24) с некоторыми константами М ^ 1 и в ^ 0. Предположим, что значение Т > 0 взято с условием
вТ ^ 1.1. (38)
Тогда задача (18), (19) с таким Т > 0 при любом выборе элементов и0,и\ е О(А) имеет и притом единственное решение (и(Ь),д), второй компонент которого представим сходящимся рядом Неймана (32) с оператором Б7 из формулы (29) и элементом /1 из формулы (30), взятыми со значением 7 = 2/Т.
Более точный результат можно получить специальным численным подбором параметров 7 и в так, чтобы выполнялось условие (37). Коротко опишем схему исследования.
Рис. 3. Образ отрезка { А = в + {в, в е [—10,10] } при отображении (А) (сплошная линия) принадлежит единичному кругу (штриховая линия). Взяты параметры Т =1, 7 = 1.63, в = 1.4
Зафиксируем выбор Т = 1. Для равномерной сетки значений
7 е [1, 3], в е [1, 2], 7 > в, (39)
с шагом 0.001 была рассчитана функция
Д(7,в )= тах |Т7 (в + гв)|. (40)
«е[-10,10]
Условие (37) для пары (7,в) выполняется, если Я(7,в) < 1. Значения |в| > 10 в формуле (40) можно не учитывать, поскольку для таких в величина |Т7(в + ¿в)| на множестве пар (39) оказывается существенно меньше единицы.
1.5-1-1-1-1-1-
■] д_I_1_I_I_I_
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Во
Рис. 4. Образ отрезка { Л = в + ¡в, в е [-10,10] } при отображении (Л) (сплошная линия) выходит за единичный круг (штриховая линия). Взяты параметры Т = 1, 7 = 1.63, в = 1.5
Рис. 3 и 4 демонстрируют частные примеры выполнения и соответственно невыполнения условия (37). На рис. 5 приведена численно найденная граница, ниже которой расположена область параметров (7, в), обеспечивающих выполнение условия (37).
На основании проделанных вычислений приходим к выводу: требование (38) в теореме 9 можно, скорее всего, заменить условием
вТ ^ 1.45. (41)
При этом рекомендуется взять значение 7 = 1.655/Т. Дальнейшее ослабление (41) до вида вТ ^ 1.46 уже невозможно, ибо появятся примеры полугрупп, для которых ряд Неймана (32) будет расходиться на отдельных элементах /7 е Е при любом выборе 7 > в = 1.46/Т.
Рис. 5. Верхняя граница области параметров (39), для которых спектральный радиус оператора В7, взятого при Т = 1, оказывается меньше единицы. По оси абсцисс откладываются
значения 7, по оси ординат — значения в. Максимум на кривой имеет приближённое значение в ~ 1.455. Следовательно, при в ^ 1.46 нужных нам пар (7, в) просто не существует
Мы отмечаем вклад А. Ю. Попова и В. Б. Шерстюкова, при дружеской помощи которых удалось провести аналитические исследования по нашей тематике. Мы также признательны Ю. С. Эйдельману за интерес и обсуждения обратной задачи (18), (19). Отдельная благодарность — А. В. Подорога и Ву Нгуен Шон Тунгу за внимательную проверку рукописи и полезные замечания.
Список литературы
1. Карев, А. В. О распределении нулей одной целой функции типа Миттаг-Лёффлера, важной для теории обратных задач / А. В. Карев, И. В. Тихонов // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Гер-ценовские чтения — 2017 : материалы науч. конф., 10-14 апр. 2017 г. — СПб. : Рос. гос. пед. ун-т, 2017. — С. 122-128.
2. Попов, А. Ю. О спектральных значениях одной краевой задачи и нулях функций Миттаг-Лёффлера / А. Ю. Попов // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 5. — С. 611-621.
3. Тихонов, И. В. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Лёффлера / И. В. Тихонов, Ю. С. Эйдельман // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 5. — С. 637-644.
4. Тихонов, И. В. Обобщённая задача Уорда для абстрактных дифференциальных уравнений / И. В. Тихонов // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 3. — С. 325-336.
5. Попов, А. Ю. Распределение корней функций Миттаг-Лёффлера / А. Ю. Попов, А. М. Седлецкий // Соврем. математика. Фундамент. направления. — 2011. — T. 40. — C. 3-171.
6. Pölya, G. "Über die Nullstelen gewisser ganzer Funktionen / G. Polya // Mathematische Zeitschrift. — 1918. — Bd. 2, hefte 3/4. — S. 352-383.
7. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. — М. : Мир, 1967. — 427 с.
8. Corless, R. M. On the Lambert W function / R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, D. E. Knuth // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Vol. 5. — P. 329-360.
9. Дубинов, А. Е. W-функция Ламберта и её применение в математических задачах физики / А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С. К. Сайков. — Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2006. — 159 с.
10. Денисов, А. М. Введение в теорию обратных задач / А. М. Денисов. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1994. — 206 с.
11. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. — N. Y., Basel : Marcel Dekker, 2000. — 709 p.
12. Прилепко, А. И. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении / А. И. Прилепко, И. В. Тихонов // Изв. РАН. Сер. мат. — 1994. — T. 58, № 2. — C. 167-188.
13. Тихонов, И. В. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида / И. В. Тихонов, Ю. С. Эйдельман // Мат. заметки. — 1994. — T. 56, № 2. — C. 99-113.
14. Тихонов, И. В. Критерий единственности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с нестационарным неоднородным слагаемым / И. В. Тихонов, Ю. С. Эйдельман // Мат. заметки. — 2005. — T. 77, № 2. — C. 273-290.
15. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — М. : Наука, 1967. — 464 с.
16. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — N. Y. : Springer Verlag, 1983. — 279 p.
17. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. — М. : Иностр. лит., 1962. — 830 с.
18. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. — М. : ГИТТЛ, 1956. — 632 с.
Поступила в 'редакцию 31.10.2017 После переработки 07.11.2017
Сведения об авторах
Карев Александр Валерьевич, аспирант кафедры математической физики, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва; e-mail: alexander.karev.30@gmail.com. Тихонов Иван Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва; e-mail: ivtikh@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4. P. 430-446.
ZEROS DISTRIBUTION
OF A MITTAG-LEFFLER TYPE ENTIRE FUNCTION
WITH APPLICATIONS TO THE THEORY OF INVERSE PROBLEMS
A.V. Karev", I.V. Tikhonovb
Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia "alexander.karev.30@gmail.com, bivtikh@mail.ru
The work is a general survey. We discuss the problem of the zeros distribution for one particular function of the Mittag-Leffler type, which occurs in the theory of inverse problems for the evolution differential equations. Accurate data about the location of zeros in the complex plane is obtained by analytic tools. An explicit representation of zeros is specified with the use of the special Lambert W-function. We present the convenient approximate formulas for the zeros calculation. All results are confirmed by the numerical calculations. The relationship between the obtained relations and the investigation of the natural inverse problem for evolution equation in a Banach space is demonstrated. The conditions for the well-posedness of the problem are expressed in terms of zeros distribution of the studied entire function. As a result, for the inverse problem the convenient sufficient conditions for the existence and uniqueness of solution is proposed and, moreover, a constructive algorithm for the finding of a solution is justified.
Keywords: Mittag-Leffler type entire function, distribution of zeros, evolution equation, linear inverse problem.
References
1. Karev A.V., Tikhonov I.V. O raspredelenii nuley odnoy tseloy funktsii tipa Mittag-Lefflera, vazhnoy dlya teorii obratnykh zadach [On the distribution of zeros of Mittag-Leffler type entire function which is important for the inverse problems theory]. Nekotorye aktual'nye problemy sovremennoy matematiki i matematicheskogo obrazovaniya. Gertsenovskiye Chteniya — 2017 [Some actual problems of modern mathematics and mathematical education. Herzen readings - 2017]. Proceedings of the scientific conference, April 10-14, 2017. St.-Petersburg, 2017. Pp. 122-128. (In Russ.).
2. Popov A.Yu. The spectral values of a boundary value problem and the zeros of Mittag-Leffer functions. Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 5, pp. 642-653.
3. Tikhonov I.V., Eidelman Yu.S. An inverse problem for a differential equation in a Banach space and the distribution of zeros of an entire Mittag-Leffler function. Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 5, pp. 669-677.
4. Tikhonov I.V. A generalized Ward problem for abstract differential equations. Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 3, pp. 340-351.
5. Popov A.Yu., Sedletskii A.M. Distribution of roots of Mittag-Leffler functions. Journal of Mathematical Sciences, 2011, vol. 40, pp. 3-171.
6. Pölya G. Über die nullstelen gewisser ganzer funktionen. Mathematische Zeitschrift, 1918, bd. 2, befte. 3/4, s. 352-383. (In German).
7. Bellman R., Cooke K.L. Differential-Difference Equations. New York, London, Academic Press, 1963. XVI+462 p.
8. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.G., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. Advances in Computational Mathematics, 1996, vol. 5, pp. 329-360.
9. Dubinov A.E., Dubinova I.D., Saikov S.K. W-funktsiya Lamberta i yeyo primeneniye v matematicheskikh zadachakh fiziki [Lambert W function and its applications in mathematical problems of physics]. Sarov, Publishing House of RFNC-VNIIEF, 2006. 159 p. (In Russ.).
446
A. B. KapeB, H. B. THXOHOB
10. Denisov A.M. Vvedeniye v teoriyu obratnykh zadach [Introduction to the theory of inverse problems]. Moscow, Publishing House of Moscow University, 1994. 206 p. (In Russ.).
11. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Basel, Marcel Dekker, 2000. 709 p.
12. Prilepko A.I., Tikhonov I.V. Recovery of the nonhomogeneous term in an abstract evolution equation. Russian Academy of Sciences. Izvestiya: Mathematics, 1995, vol. 44, no. 2, pp. 373-394.
13. Tikhonov I.V., Eidelman Yu.S. Problems on correctness of ordinary and inverse problems for evolutionary equations of a special form. Mathematical Notes, 1994, vol. 56, no. 2, pp. 830-839.
14. Tikhonov I.V., Eidelman Yu.S. Uniqueness criterion in an inverse problem for an abstract differential equation with nonstationary inhomogeneous term. Mathematical Notes, 2005, vol. 77, no. 2, pp. 246-262.
15. Krein S.G. Linear Differential Equations in Banach Space. American Mathematical Society, 1972. 390 p.
16. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New York, Springer-Verlag, 1983. 279 p.
17. Hille E., Phillips R. Functional Analysis and Semi-groups. American Mathematical Society, 1957. 808 p.
18. Levin B.Ya. Raspredeleniye korney tselykh funktsiy [Distribution of entire functions zeros]. Moscow, GITTL Publ., 1956. 632 p. (In Russ.).
Accepted article received 31.10.2017 Corrections received 07.11.2017
