CC BY
72
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 1
УДК 511.42 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-5-14
Распределение нулей невырожденных функций на коротких отрезках
Берник Василий Иванович — доктор физико-математических наук наук, профессор, старший научный сотрудник. Беларусь, г. Минск, Институт математики НАН Беларуси. e-mail: bernik.vasili@mail.ru
Бударина Наталия Викторовна — доктор физ.-мат. наук, профессор. Республика Ирландия, Дублин-роуд, Map шее Аппер, Технологический институт. e-mail: Natalia.Budarina@maths.nuim.ie
Луневич Артём Вадимович — кандидат физико-математических наук наук, младший научный сотрудник. Беларусь, г. Минск, Институт математики НАН Беларуси. e-mail: lunevichav@gmail.com
О'Доннел Хью — доктор физико-математических наук, профессор, Республика Ирландия, г. Дублин, Технологический институт. e-mail: hugh.odonnelWdit.ie
Аннотация
В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие функции принимают малые значения. Пусть fi (х), ..., fn (х) функции определенные на интервале 1,п +1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде (в смысле меры Лебега) па I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (х) = anfn (х) + ... + ai (х) + ао, a,j G Z, 1 < j < п является обобщением многих задач о распределении нулей полиномов и имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений. Интересным оказался тот факт, что в распределении корней функции F (х) и распределении пулей полиномов есть много общего. Например, количество пулей функции F (х) на фиксированном отрезке не превышает п, как и у полиномов — количество нулей не превышает степень полинома.
Были доказаны три теоремы: об оценке количества нулей сверху, об оценке количества нулей снизу, а также вспомогательная метрическая теорема, которая необходима для получения оценок снизу. При получении нижних оценок был использован метод существенных и несущественных областей, которые ввел В. Г. Спринджук.
Пусть Q > 1 достаточно больше целое число, а интервал / имеет длину Q 1, 0 < -j < 1. Были получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (х) на интервале /, при | aj |< Q, 0 < -j < 1, а также была указана зависимость этого количества от интервала I. При 7 = 0 аналогичные результаты имеются у А. С. Пяртли, В. Г. Спринджука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, П. В. Будариной.
Ключевые слова: невырожденные функции, нули невырожденных функций.
Библиография: 22 названия.
Для цитирования:
В. И. Берник, Н. В. Бударина, А. В. Луневич, X. О'Доннелл. Распределение нулей невырожденных функций на коротких отрезках // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 1, с. 5-14.
6
B. H. BepHHK, H. B. Byn,apiiHa, A. B. jlyneBiiH, X. 0',HoHHejiJi
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 1
UDC 511.42 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-5-14
Distribution of zeros of nondegenerate functions on short cuttings
Bernik Vasili Ivanovich — Ph.D, professor, senior researcher, Belarus, Minsk, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Belarus. e-mail: bernik.vasili@mail.ru
Budarina Natalia Viktorovna — Ph.D, professor, Republic of Ireland, Dublin Road, Dundalk. e-mail: Natalia.Budarina@maths.nuim.ie
Lunevich Artyom Vadimovich — PhD, junior researcher, Belarus, Minsk, Institute of Mathem-tics of National Academy of Sciences of Belarus. e-mail: lunevichav@gmMil.com,
O'Donnell Hugh — Ph.D, professor, Republic of Ireland, Dublin, D2, Dublin Institute of Technology
e-mail: hugh.odonnell@dit.ie
Abstract
In this paper, we obtain estimates from above and from below the number of zeros of functions of a special kind, as well as an estimate of the measure of the set of points in which such functions take small values. Let fi (x), ..., fn (x) function defined on an interval I, n +1 times diflterentiable and Wronskian of derivatives almost everywhere (in the sense of Lebesgue measure) on I different from 0. Such functions are called nondegenerate. The problem of distributing zeros of F (x) = anfn (x) + ... + aifi (x) + a0, a,j g Z, 1 < j < n is a generalization of many problems about the distribution of zeros of polynomials is important in the metric theory of Diophantine approximations. An interesting fact is that there is a lot in common in the distribution of roots of the function F (x) and the distribution of zeros of polynomials. For example, the number of zeros of F (x) on a fixed interval does not exceed n, as well as for polynomials — the number of zeros does not exceed the polynomial degree.
Three theorems were proved: on the evaluation of the number of zeros from above, on the evaluation of the number of zeros from below, as well as an auxiliary metric theorem, which is necessary to obtain estimates from below. While obtaining lower bounds method was used for major and minor fields, who introduced V. G. Sprindzuk.
Let Q > 1 be a sufficiently large integer, and the interval I has the length Q-7, 0 < j < 1. Produced estimates on the top and bottom for the number of zeros of the function F (x) on the interval J, with | aj | < Q, 0 < j < 1, and also indicate the dependence of this quantity from the interval J. When 7 = 0 similar results are available from A. S. Pyartli, V. G. Sprindzhuk, V. I. Bernik, V. V. Beresnevich, N. V. Budarina.
Keywords: nondegenerate functionsons, zeros of nondegenerate functionsons.
Bibliography: 22 titles.
For citation:
V. I. Bernik, N. V. Budarina, A. V. Lunevich, H. O'Donnell, 2018, "Distribution of zeros of nondegenerate functions on short cuttings Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 5-14.
1. Введение
К задаче о количестве и распределении действительных нулей многочленов
Р = (х) = апхп + ап-1 + ... + а1х + а0
как в математическом анализе, теории чисел и теории вероятностей в последние годы приковано большое внимание [1, 2, 3, 18, 19, 20, 21, 22].
Основой результатов статей [4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] является метрическая теорема о свойствах множеств разрешимости неравенств вида |Рга (ж)| < Я-™, и> > 0 и распределений действительных корней Рп(х) при достаточно большом ф и многочленах Рп (х) степени deg Р = п и высоты Н = Н (Р) = тах |aj1 < Я.
0<3<п
В данной работе мы обобщаем эти результаты на класс функций
Я {Q, D = {Fn (х) : н (Fn) < Q] , 1г = max \fz (х)\, I = max [1г]
x£l 0<i<n
(1)
где
Fn (x) = апfn (x) + ... + aifi (x) + a0, функции fi (x), f2 (x), ..., fn (x) — n + 1-раз непрерывно-дифференцируемы и вронскиан их
производных
W (х) =
fi (X) ... f'n (X)
Я (X) ... % (х)
f? (х) ... fn (х)
отличен от нуля для всех всех х (в смысле меры Лебега) на интервале I. Такие функции fl (х), ..., (х) будем называть невырожденными на I.
2. Основной текст статьи
Теорема 1. На, любом интервале 1,^,1 = Я-1, 0 < 7 < 1 количество нулей функций Рп (х) Е Т1 (Я, ^ не превосходит с1п12п+3<^п+1 ц,Р
Теорема 2. Существует с2 > 0 что на любом интервале 1,^,1 = Я-1, 0 < 7 < не менее с2Оа+1 Ц.1 количество нулей функций Р2 (х) Е Т1 (Я, /).
Теорема 3. Обозначим через М2 (I, О) множество х Е I, для которых система неравенств
(| р2 (X)) | <Я-2, (х)\<6оЯ
имеет решение хотя бы для одной функции Р2 Е Т2 (О). Тогда при достаточно малом 50 справедливо неравенство
Ц.М2 (I, Я) < 1 »1. (2)
Покажем как из теоремы 3 следует теорема 2. Введем множество В1 = 1\М2 (I, Я). Из (2) следует, что
3
Ц.В1 > 4ц.1. (3)
Пусть х Е В1. С помощью принципа ящиков Дирихле нетрудно доказать, что существует функция Р2 Е Т2 (Я) такая, что
|*2 (х) <с3Я-2. (4)
Так как х € В\, то наряду с (4) верно неравенство
| (ж) |> №. (5)
Неравенство (5) определяет интервал Т\ с центром в точке Х\ меры
№ = 2сз ¿о"1^3. (6)
Возьмем точку Ж2 € В2 С /\Мг (I, О) \Т1 и аналогичным образом найдем другую функцию € Т2 (Я), У которой действительный корень а2 удовлетворяет неравенству
|Ж2 - < 3.
Такую процедуру можно продолжать и строить £ нулей функции € Т2 (Я) до тех пор, пока
* * * Л"3 < 4/ * *
|Ж2 - а2| <С523£"1д-3р1.
выполняется неравенство í ■ 2с5$° 1Я 3 < 4откуда следует, что количество нулей не менее
Прежде, чем приступить к доказательству теорем приведем несколько лемм о невырожденных функциях. Всюду в дальнейшем
тах | /' (х) | < с6 (7)
х£(а, Ь)
Лемма 1. Пусть а0, ..., аNо1, 01, ..., Рп € Ми{+ж} таковы, что а0 > 0, аи > Рк > 0, к = 1, ..., N — 1 и 0 < Р < ж. Пуст ь f : (а, Ь) ^ М сст ь Ы-раз непрерывно дифференцируемая функция, такая, что М 1 /) (х)1 > ¡Зп. Тогда множество В2 тех х € (а, Ъ),
х£(а, Ь)
удовлетворяющих системе неравенств
j \f (х) < ас| \
I ßk < | f(к) | < ак (к = 1, ..., N - 1) ) .
ßk < | f(к) | < ак (к = 1, ..., N - 1) является объединением, не более (N + 1) /2 интервалов длины, не более
min 31"к+1 (ак/ßl)l/l~k.
0<k<l<N
Лемма 1 следует из лемм 5 и 6 в [2].
Лемма 2 (6). Существует постоянная До = До (с-в, М) такая, что для любого интервала К длиной не более Д0 для любой функции Fn (х) € Fi (Q, f) , Н (F) ^ Q,
inf min
xEl1<j<n
F (i)
» Q.
Лемма 3 (6). При условии х € (а, Ъ) мера множества решений системы неравенств
|^п (ж)| <5,^' (х) 1<К,Н (Р) < Я (8)
не превосходит с7 (бКЯп~1) («+1)(2«-1),
При п = 2 показатель степени в (8) равен 1/9.
Доказательство теоремы 1. Разложим функции Ру (х) на интервале I в ряд Тейлора в нуле ац фун кции Ру (ж), лежащем в Р
F) (х) = Fj (aij) + Fj (aij) (x — ац) + 2Щ (О (х — ац)2 , £ е (х, ац).
Так как F (aij) = 0, \х — aij\ < ц.1 = Q-1,
| &) | < mmQ, | Fj (ац) (х — ац) | < nlQi-,
то при достаточно большом Q имеем для всех х е I оценку
\Fj (х)\ < 2nlQ1-1. (9)
Введем вектор b = (ап, ..., а\), состоящий из коэффициентов функции Fj (х) и множество функций Fj (х) с одним и тем же вектором b обозначим Я (5). При достаточно большом Q верно неравенство
#Я (5) = (2Q + 1)п < 2n+iQn.
Занумеруем функции Fj (х) , j = 0,1,..., 2csnl2ri+iQn+i, нули которых лежат на интервале I. образуем новые функции
R3 (х) = Fj (х) — Fo (х) = dl
которые являются различными целыми числами и
max\di\ > 2nkQ1-1
вопреки (9). Полученное противоречие доказывает теорему 1.
Доказательство теоремы 3 поделим на три этапа в зависимости от величин модуля производной \F2 (х) \ на интерв але /.Обозначим ч ерез С (I, Q) множест во х е I, для которого выполняется неравенство
\F2 (х)\ <Q-2, | F' (х) l<c9Q, а через Ci (I, Q) множество х е I, для которого выполняется система неравенств
\F2 (х)\ <Q-2,Q5 <| F' (х)|< 5oQ, (10)
Предложение 1. Справедливо неравенство
дCi (I, Q) < 2-4^1. (11)
Доказательство. Будем считать, что система неравенств (10) рассматривается на интервале монотонности функции F2 (х). Тогда множество х е I, для которых верна система неравенств (10) содержится в интервале, который можно записать в виде
a (F):= {х е I : \х — ац (F)\ < cwQ-2 | F' (pi) | }). (12)
Наряду с интервалами a (F) рассмотрим интервал
ai (F):= {х е I : \х — ац (F)\ < сп |F' (Pi) | }). (13)
Из (12) и (13) следует неравенство
^а (F) <cnc-oiQ-2vai (F) . (14)
Зафиксируем вектор b = (ai, 0,2), координаты которого являются коэффициентами F2 (х). Интервалы ai (F), имеющие один и тот же вектор 5 объединим в один класс Я2 (b). Покажем,
что при подходящем выборе С1О интервалы 01 и 01 (Р22) не пересекаются. Предположим противное:
81 = (Л №) П ^ (^2) =
и Хо € «ь Разложим функцию Р, (х) , ] = 1, 2 на интервалах 01 и 01 (^2) в РЯД Тейлора и оценим значения (жо)|. Имеем
Ы| < № («1)| + | («1) (х — «1) + ^ а,) (х — т)2 | , Су € (жо, «1) . Нетрудно видеть, что
(хо) < 2С10
и
К (хо) = й € Ъ, й = 0, ( ,
^ Ы| = |*2 (хо) — (жо)| < 4сю. 1 }
Неравенство (15) при сю = 1 противоречиво. Из того, что интервалы /л (Р) не пересекаются следует, что
^ (Р) < ц,Р (16)
^ ет (ь)
Воспользуемся неравенством (16). тогда из (14) и (16) следует
^ ^ (Р) < 4с1о15о^1 < 2"4ц,1, ь ^ет(ь)
поскольку из неравенства (ж)| < 5оЯ следует, что ^принимает не б олее значений.
Предложение 2. Обозначим через С (I, Я) множество х € I для которых система неравенств
^2 (ж)| 2,1 < | ^' (х) | < а8 имеет хотя бы одно решение в функциях Р2 (х) € С (I, Я). Тогда,
^С2 (I, Я) < 2"4Ц,Р
Доказательство. Введем при фиксированном Ь = 0,2 класс функций с одним и тем же Ь, который обозначим Т (Ь). Определим интервалы
^2 ^ € I : ^ — «1| (Р) <С12Я~^ (£1) | -1} (17)
из определения а (Р) и 02 (Р) следует
/ла (Р) <с"1^<Г2 (Р). (18)
Интервал 02 (Р1) будем называть существенным, если не существует интервала
(У2 №) , ^2 €Т (Ь) ,
такого что
^2 №) sup О2 (^2) > 0.5^2 №) . (19)
Если же такой интервал найдется, т. е. при некотором Р2 (х) € Т (Ь) выполняется неравенство
№а2 (^1) sup О2 (^2) > 0.5^.(72 (^1) ,
то интервал 02 (F\) будем называть несущественным.
В случае существенных интервалов воспользуемся (18). Тогда из ^ (F) < 2ц,1 и (18)
Fer
получим
^ ^ 1А.а (F) < С\зц,1. (20)
ь f er(b)
В случае несущественных интервалов разложим функции F2 (х) и F.2 (х) на интервале (г2 (F) в ряд Тейлора и оценим их модули сверху пользуясь (6). Получим систему неравенств
laix + bl < cuQ-1, lail < 2Q8,
откуда
о. bl
X +--
a\
< cuQ-la-1. (21)
Неравенство (21) выполняется для интервала с центром в точке — ^ длиной 2с1^-1а-1. Просуммируем эту величину по Ь^ количество которых не превосходит а затем по
а1, ^^ < 2Q8. Получим оценку cl5Q5-1ц,1, которая вместе с (20) завершает доказательство предложения 2.
Предложение 3. Обозначим через В3 множество решений системы неравенств
^2} (х) + а,1Х + ao| <С1вЯ-2, \0,2}' (х) \ < сы. (22)
Тогда
Ц.В3 < 2-4ц,1.
Для доказательства предложения 3 применим к системе неравенств (10), (20) лемму 3 при 6 = Q-3, С16 = К. Получим
»В3 < 2-4Я9
что меньше 2 при 0 < ^ < 9 и достаточно большом Q. Из предложений 1—3 следует теорема 3.
3. Заключение
В дальнейших работах авторы предполагают привести применения результатов статьи в метрической теории диофантовых приближений и при получении оценок сверху для размерности Хаусдорфа резонансных множеств.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ибрагимов, И. А., Маслова, И. Б. О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним // Теория вероятн. и ее примен., 1971 vol. 16, Р. 595-503
2. Запорожец, Д. Н. Ибрагимов, И. А. О площади случайной поверхности. Вероятность и статистика // Зап. научн. сем. ПОМП, 2010, vol. 384, Р. 154-1750.
3. Берник, В. И., Гётце, Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах // Изв. РАН. Сер. матем., 2015, vol. 79, no.l, P. 21-42.
4. Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith, 1999, Vol. 90, no. 8, P. 97-112.
5. Beresnevich, V., Bernik V. On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith // Acta Arith, 1996, vol. 75, P. 219-233.
6. Beresnevich, V. A. Grasher type theorem for convergence on maifolds // Acta Matth. Hung, 2002, vol. 91(1 2). P. 99-130.
7. Baker, R. Metric diophantine approximation on manifolds //J. Lond. Math. Soc., 1976, vol. 14, P. 43-48.
8. Berink, V. On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials // Acta. Arith., 1989, vol. 53, no. 1, P. 17-28.
9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 Khinchine-tvpe theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions // Jntern. Math. Res., vol. 9, P. 453-486.
10. Berink, V., Götze, F. Distribution of real algebraic numbers of arbitarv degree in short intervals // Jzv. Math. RAN., 2015, vol. 79, no. 1, P. 18-39.
11. Berink, V., Gusakova, A., Götze F. On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow Journal of Combinations and Number Theory, 2016, vol. 6, iss. 2-3, P. 56-101.
12. Kleinbok, D., Margulis, G. Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. of Math., 1998, vol. 148 no. 2, P. 339-360
13. Mahker K. Über das Mass der Menge aller S-Zhlen // Math. Ann.,1932, vol. 106, P. 131-139.
14. Pyartlv, A. Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space // Funk. Analis and its application, 1969, vol. 3, no. 4, P. 303-306
15. Shmidt, W. Metrische Satze über simultane Approximationen abhangiger Grossen // Monatsh. Math.,1964, vol. 68, P. 145-166
16. Sprindzuk, V. Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations // Uspekhi mat. Baur.,1980, vol. 35, no. 4, P. 3-68.
17. Sprindzuk, V. Mahler problem in metric theory numbers, Eng. trans. // Amer. Math. Soc. Providence, 1969.
18. Götze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. Distribution of complex algebraic numbers // Proc. Amer. Math. Soc., 2017, vol. 145, no. 1, (), 61-71.
19. Bernik A., Götzeb F., Kukso О. Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials // Чебышевский сб., 2007m vol. 8, no. 2, P 140-147
20. Bernik A., Götzeb F., Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves // Записки IIOMII. 2016, P. 14-47
21. Beresnevich V., Bernik V., Götze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Adv. Math., 2016, vol. 298, P. 393-412."
22. Koleda, D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2017, vol. 29, P. 179-200.
REFERENCES
1. Ibragimov, I. A., Maslova, N. B., 1971 "On the Expected Number of Real Zeros of Random Polynomials. II. Coefficients With Non-Zero Means Theory Probab. Appl, vol. 16, pp. 486-493
2. Zaporozhets, D. N. Ibragimov, I. A.2010 "On random surface area" Journal of Mathematical Sciences, vol. 176, pp. 190-202.
3. BepHHK, B. 14., Te^e, <3>. 2015 "Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals" Izvestiya: Mathematics, vol. 79, no.l, P. 21-42.
4. Beresnevich, V. 1999, "On approximation of real numbers by real algebraic numbers", Acta Arith Vol. 90, no. 8, pp. 97-112.
5. Beresnevich, V., Bernik V. 1996 "On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith" Acta Arith, vol. 75, pp. 219-233.
6. Beresnevich, V. A. 2002 "Grasher type theorem for convergence on maifolds", Acta Matth. Hung, vol. 91(1 2). pp. 99-130.
7. Baker, R. 1976 "Metric diophantine approximation on manifolds" J. Lond. Math. Soc., vol. 14, pp. 43-48.
8. Berink, V. 1989 "On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials", Acta. Arith., vol. 53, no. 1, pp. 17-28.
9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 "Khinchine-tvpe theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions", Jntern. Math. Res., vol. 9, pp. 453-486.
10. Berink, V., Götze, F. 2015 "Distribution of real algebraic numbers of arbitarv degree in short intervals", Jzv. Math. RAN., vol. 79, no. 1, pp. 18-39.
11. Berink, V., Gusakova, A., Götze F. 2016 "On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves", Moscow Journal of Combinations and Number Theory, vol. 6, iss. 2-3, pp. 56-101.
12. Kleinbok, D., Margulis, G. 1998 "Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds", Ann. of Math., vol. 148 no. 2, pp. 339-360
13. Mahker K. 1932 "Über das Mass der Menge aller S-Zhlen", Math. Ann., vol. 106, pp. 131-139.
14. Pyartlv, A. 1969 "Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space", Funk. Analis and its application, vol. 3, no. 4, pp. 303-306
15. Shmidt, W. 1964 "Metrische Satze über simultane Approximationen abhangiger Grossen", Monatsh. Math., vol. 68, pp. 145-166
16. Sprindzuk, V. 1980 "Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations", Uspekhi mat. Baur. vol. 35, no. 4, pp. 3-68.
17. Sprindzuk, V. 1969 "Mahler problem in metric theory numbers", Eng. trans. Am,er. Math. Soc. Providence
18. Götze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. 2017 "Distribution of complex algebraic numbers", Proc. Am,er. Math. Soc., vol. 145, no. 1, (), 61-71.
19. Bernik A., Götzeb F., Kukso O. 2007 "Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials", Chebyshevskii Sbornik, vol. 8, no. 2, pp 140-147
20. Bernik A., Götzeb F., 2016 "Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves", Zapiski POMI, pp. 14-47
21. Beresnevich V., Bernik V., Götze F. 2016 "Integral polynomials with small discriminants and resultants", Adv. Math., vol. 298, pp. 393-412.
22. Koleda, D. V. 2017 "On the density function of the distribution of real algebraic numbers" Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, vol. 29, pp. 179-200.
