CC BY
16
Богомолов А.Н., Абрамов Г.А., Богомолова О.А., Пристансков А.А. Распределение напряжений в однородном изотропном откосе, ослабленном горизонтальной круглой выработкой, расположенной на уровне его подошвы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Строительство и архитектура. - 2017. -Т. 8, № 2. - С. 15-26. DOI: 10.15593/2224-9826/2017.2.02
Bogomolov A.N., Abramov G.A., Bogomolova O.A., Pristanskov A.A. Distribution of stresses in a homogeneous isotropic slope weakened by a horizontal round working at a level of its base. Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. Construction and Architecture. 2017. Vol. 8, no. 2. Pp. 15-26. DOI: 10.15593/2224-9826/2017.2.02
ВЕСТНИК ПНИПУ. СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА Т. 8, № 2, 2017 PNRPU BULLETIN. CONSTRUCTION AND ARCHITECTURE http://vestnik.pstu.ru/arhit/about/inf/
СТРОИТЕЛЬСТВО
DOI: 10.15593/2224-9826/2017.2.02 УДК 624.131
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ОДНОРОДНОМ ИЗОТРОПНОМ ОТКОСЕ, ОСЛАБЛЕННОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ КРУГЛОЙ ВЫРАБОТКОЙ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА УРОВНЕ ЕГО ПОДОШВЫ
А.Н. Богомолов, Г.А. Абрамов, О.А. Богомолова, А.А. Пристансков
Волгоградский государственный технический университет, Волгоград, Россия
АННОТАЦИЯ
Приведены результаты численного исследования методом конечных элементов распределения напряжений в окрестностях выработки круглого поперечного сечения, ослабляющей однородный откос на уровне его подошвы. Все вычисления выполнены при помощи компьютерной программы FEA, имеющей государственную регистрацию. Приведены изолинии компонентов напряжения, возникающих во вмещающем массиве в окрестностях выработки, и эпюры нормального тангенциального напряжения, построенные по ее контуру. Предложено использовать в качестве критерия длительной устойчивости тот, качественным признаком которого является отсутствие на контуре выработки областей нарушенной сплошности, а количественным показателем - величину напряжения ав в каждой точке контура выработки. Если величина этого напряжения не превосходит значений пределов прочности вмещающего скального грунта при растяжении и сжатии, то считается, что длительная устойчивость выработки обеспечена. При этом сжимающее и растягивающее напряжения считаются соответственно положительным и отрицательным. Если эти условия не выполняются, то запускается механизм перераспределения напряжений в окрестностях выработки, зоны разрушения будут увеличиваться, ее длительная устойчивость не будет обеспечена. Для использования данного критерия на контуре выработки строится эпюра нормального тангенциального напряжения, действующего в каждой его точке. Затем на контуре стоится эпюра расчетного сопротивления грунта при растяжении и сжатии. Если на каких-либо участках контура ординаты этих эпюр окажутся меньше ординат эпюры нормального тангенциального напряжения ав, то на этих участках контура произойдет разрыхление или дробление грунта, т.е. его разрушение.
©ПНИПУ
О СТАТЬЕ
Получена: 10 ноября 2016 Принята: 15 декабря 2016 Опубликована: 30 июня 2017
Ключевые слова:
однородный и изотропный откос, метод конечных элементов, напряженное состояние, горизонтальная выработка, устойчивость, области неупругих деформаций, критерий устойчивости (прочности), пределы прочности скального грунта при растяжении и сжатии
Богомолов Александр Николаевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: [email protected]. Богомолова Оксана Александровна - кандидат технических наук, доцент, профессор, e-mail: [email protected]. Абрамов Генрих Артурович - аспирант, e-mail: [email protected]. Пристансков Андрей Александрович - аспирант, e-mail: [email protected].
Aleksandr N. Bogomolov - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected]. Oksana A. Bogomolova - Ph.D. in Technical Sciences, Associate Professor, e-mail: [email protected]. Genrikh A. Abramov - Postgraduate Student, e-mail: [email protected]. Andrei A. Pristanskov - Postgraduate Student, e-mail: [email protected].
DISTRIBUTION OF STRESSES IN A HOMOGENEOUS ISOTROPIC SLOPE WEAKENED BY A HORIZONTAL ROUND WORKING AT A LEVEL OF ITS BASE
A.N. Bogomolov, G.A. Abramov, O.A. Bogomolova, A.A. Pristanskov
Volgograd State Technical University, Volgograd, Russian Federation
ARTICLE INFO
Received: 10 November 2016 Accepted: 15 December 2016 Published: 30 June 2017
Keywords:
homogenous and isotropic slope, FEM, stress state, horizontal working, sustainability, regions of inelastic deformation, the criterion of stability (strength), the strength limits of the rock under tensile and compression
ABSTRACT
The paper presents the results of numerical studies gained by the finite element method with regard to stress distribution around a round working which weakens the homogeneous slope at the level of its base. All the calculations have been performed using the FEA computer programs which have the state license. The isolines of stress components appearing in the enclosing massif in the contour of the working and the diagrams of the normal tangential stresses which are plotted along its contour. It is proposed to use a criterion of the long-term stability, the qualitative feature of which is the absence of the disturbed regions on the contour of the working, and the quantitative feature is the stress value a0 at each contour point. If the stress value does not exceed the strength limits of the enclosing rock under tension and compression, it is considered that the long-term sustainability of the working is ensured. While the compressive and tensile stress is considered to be a positive and negative one respectively. If these conditions are not met, then occurs the redistribution of stresses around the working, the fracture zones will increase and the long-term stability of the working will not be provided. To use this criterion, at the entry contour we built a diagram of the normal tangential stress acting at each of its points. Then on the contour we built the diagram of the calculated resistance of the soil under tension and compression. If in any parts of the contour, the ordinate of these diagrams will be less than the ordinates of the normal tangential stress a0, then in these parts of the contour there will occur the loosening or crushing of the soil, i.e. its destruction.
©PNRPU
Целью данной работы является изучение закономерностей распределения напряжений в однородном откосе, ослабленном выработкой круглого поперечного сечения, и ее контуре. Решив задачу о распределении напряжений, можно перейти к оценке устойчивости выработки.
Для оценки устойчивости выработки предлагается использовать критерий [1], качественным признаком которого является отсутствие на контуре выработки областей нарушенной сплошности - зон дробления и разрыхления. Количественным показателем служит величина напряжения ое в каждой точке контура. Если величина этого напряжения не превосходит значений пределов прочности вмещающего скального грунта при растяжении йрас и сжатии йсж, т.е. для каждой точки контура выполняется неравенство
Rpac < < Ясж>
(1)
то такие зоны отсутствуют (растягивающие напряжения, как и йрас, принимаются со знаком «минус»). Если неравенство (1) не выполняется, то возникают зоны разрушения грунта на контуре выработки, запустится механизм перераспределения напряжений в ее окрестностях, и зоны разрушения будут постепенно увеличиваться. Таким образом, длительная устойчивость выработки не будет обеспечена.
Для исследования влияния местоположения выработки в приоткосной области на распределение напряжений во вмещающем массиве грунта и контуре выработки используем
компьютерные программы1, в которых формализован метод конечных элементов. Их особенностью является возможность импортировать в среду расчетную схему, построенную в оболочке AutoCAD, а затем проводить вычисления.
На рис. 1 приведены геометрические размеры механико-математической модели подработанного откоса с углом заложения в = 45о (см. рис. 1, а), фрагмент расчетной схемы, на котором показаны приемы дискретизации расчетной области на конечные элементы (см. рис. 1, б) и аппроксимации круглой выработки правильным многоугольником (см. рис. 1, в), а также области пластических деформаций, определенные из тривиального условия пластичности, возникающие на контуре выработки (см. рис. 1, г).
б
Рис. 1. Геометрические размеры механико-математической модели (а); фрагмент расчетной схемы МКЭ (б); аппроксимация круглой выработки правильным многоугольником (в); области неупругих деформаций на контуре выработки (г) Fig. 1. The geometrical dimensions of the mechanical-mathematical model (a); a fragment of FEM meshes (b) the approximation of the round working using the equilateral polygon (c); the regions of inelastic deformations at the contour of the working (d)
1 FEA: св-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2015617889 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. от 23 июля 2015 г.; Устойчивость (напряженно-деформированное состояние): св-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2009613499 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. от 30 июня 2009 г.
На первом этапе работы была установлена степень влияния количества сторон правильного многоугольника на распределение напряжений на поверхности выработки, которым заменяется круглый контур.
Из графиков, приведенных на рис. 2, следует, что при увеличении количества сторон аппроксимирующего многоугольника свыше 16, величины напряжений 7Т, возникающих в точках контура, изменяются не более чем на 5 %. Учитывая это, при дальнейших вычислениях в качестве аппроксимирующего контура будем использовать правильный ше-стнадцатиугольник.
Рис. 2. Развернутая эпюра напряжения a q, действующего в точках контура подземной выработки круглого поперечного сечения при его аппроксимации правильными многоугольниками Fig. 2. Detailed stress diagram of aq acting at the points of the contour of the underground working of a round cross-section when it is approximated using equilateral polygons
На втором этапе было установлено расстояние от подошвы откоса до центра выработки, при дальнейшем увеличении которого влияние откоса на распределение напряжений на контуре выработки и во вмещающем грунте, расположенном в ее окрестностях, исчезает.
На рис. 3 приведена часть картин изолиний напряжений ох, оу и тху в окрестностях выработки при условии, что выработка расположена на расстояниях Ь = 0,5Н и Ь = 5Н от подошвы откоса, а диаметр выработки составляет ё = 0,025Н. На этом рисунке видно, что при Ь = 5Н изолинии всех компонентов напряжения практически симметричны относительно вертикальной оси выработки, в то время как при Ь = 0,5Н наблюдается их существенная асимметрия.
На рис. 4 приведены кривые, построенные для тех же условий, характеризующие зависимость максимальной величины напряжения , возникающего в точках контура выработки, от расстояния последней до подошвы откоса.
Результаты анализа обоих рисунков говорят о том, что начиная со значения Ь = (4^5)Н влияние откоса на напряженное состояние вмещающего грунта в окрестностях выработки и на ее контуре практически исчезает.
На следующем этапе работы необходимо было выяснить, как величина коэффициента бокового давления вмещающего грунта влияет на распределение напряжений на контуре выработки.
Рис. 3. Изолинии напряжений в приоткосной зоне при условии, что величина коэффициента бокового давления £ = 0,07, d = 0,025H, а выработка расположена на расстоянии L = 0,5H (а-в) и L = 5H (г-е) от подошвы откоса ax (а, г), ay (б, д), тху (в, е) соответственно Fig. 3. Isolines of stresses in the near-slope area provided that the value of the coefficient of the lateral pressure £ = 0.07, and d = 0.025H, and the working is located at a distance of L = 0.5H (a-c) and L = 5H (d-f) from the base of the slope ox (a, d), ay (b, e), Txy (c, f) respectively
Рис. 4. Кривые зависимости максимальных значений напряжения a q от расстояния между выработкой и подошвой откоса при различных значениях коэффициента бокового давления вмещающего грунта Fig. 4. Curves of relations between the maximum values of stress a q and the distance between the working and the foot of the slope at various values of the coefficient of lateral pressure of the containing soil
в
е
Известно [2-4], что величина коэффициента Пуассона для скальных грунтов изменяется в пределах 0,07 < ц < 0,4, который, в свою очередь, связан с коэффициентом бокового давления (распора) соотношением
=
1
(2)
Для того чтобы определить, каким образом зависит максимальная величина напряжения Од, возникающего на контуре выработки, от удаленности последней от подошвы откоса и построить соответствующие кривые, были выбраны еще два промежуточных значения ц = 0,18 и ц = 0,29. Таким образом, вычисление напряжений выполнено для четырех значений коэффициента бокового давления (распора) для вмещающих скальных грунтов: ^ = 0,07; = 0,22; ^ = 0,41; = 0,67.
На рис. 5-7 в качестве примера изображены эпюры напряжений ад, построенные на контуре круглой выработки, расположенной на различных расстояниях от подошвы откоса.
2,83
1,02
1,42
0,52
Рис. 5. Эпюры напряжений ое при d = 0,025H при расстоянии от центра выработки до точки AL = 0,2H (а-г), L = 0,5H (д-з) при ^ = 0,07 (а, д); ^ = 0,22 (б, е); ^ = 0,41 (в, ж); ^ = 0,67 (г, з) Fig. 5. Diagrams of stresses distribution ае when d = 0,025H at the distance from the working centre to the point AL = 0,2H (a-d); L = 0,5H (e-i) while & = 0,07 (a, e); £2 = 0,22 (b, f); = 0,41 (c, g); ^ = 0,67 (d, i)
СНиП 33-01-2003. Гидротехнические сооружения. Основные положения. М., 2004; СП 58.13330.2012. Гидротехнические сооружения. Основные положения. Акт. ред. СНиП 33-01-2003. М., 2012.
д
г
е
з
ж з
Рис. 6. Эпюры напряжений ое при d = 0,1H при расстоянии от центра выработки до точки AL = 0,2H (а-г), L = 0,5H (д-з) при £ = 0,07 (а, д); £2 = 0,22 (б, е); £3 = 0,41 (в, ж); £4 = 0,67 (г, з) Fig. 6. Diagrams of stresses distribution ое when d = 0,1H at a distance from the centre of the working to the point AL = 0,2H (a-d); L = 0,5H (e-i) while £ = 0,07 (a, e); £2 = 0,22 (b, f); £3 = 0,41 (c, g); £4 = 0,67 (d, i)
Результаты анализа этих эпюр говорят о том, что величина коэффициента бокового давления вмещающего скального грунта существенным образом влияет на величину этого напряжения. Кроме того, отчетливо видно: чем ближе выработка расположена к подошве откоса, тем больше его влияние на характер распределения напряжения ад, о чем свидетельствует асимметрия эпюр напряжений. Напряжения ад, возникающие в точках контура выработки, могут быть как растягивающими, так и сжимающими, поэтому применение критерия (1) для оценки длительной устойчивости выработки является уместным.
Для более наглядной иллюстрации зависимости численного значения напряжения ад от величины коэффициента бокового давления вмещающего скального грунта на рис. 8 приведена развертка эпюры этого напряжения по контуры выработки, построенная для одного из вариантов при наименьшем и наибольшем из рассмотренных значений £0.
Oi/i
ж
Рис. 7. Эпюры напряжений ое при d = 0,15H при расстоянии от центра выработки до точки AL = 0,2H (а-г); L = 0,5H (д-з) при = 0,07 (а, д); ^ = 0,22 (б, е); = 0,41 (в, ж); ^ = 0,67 (г, з) Fig. 7. Diagrams of stresses distribution ае when d = 0,15H when the distance from the center of the working to point is A-L = 0,2H (a-d); L = 0,5H (e-i) while ^ = 0,07 (a, e); = 0,22 (b,f); = 0,41 (c, g); ^ = 0,67 (d, i)
Рис. 8. Развертка эпюры напряжений Gq по контуру выработки (а); схема развертки (обход по часовой стрелке) (б) Fig. 8. Scan of gq stresses on the contour of the working (a); the scheme of the scan (the bypass clockwise) (b)
з
б
а
Анализ кривых, приведенных на рис. 8, показывает, что для рассмотренного примера максимальные значения напряжения ад в соответствующих точках контура выработки отличаются не более чем на 5 %, а минимальные - почти в два раза. Этот результат говорит о том, что при расчете напряженного состояния массивов, ослабленных выработками, следует учитывать величину коэффициента бокового давления грунта .
Ниже, на рис. 9, приведены кривые, устанавливающие для условий наших численных исследований зависимость между величиной максимального напряжения ад, возникающего в какой-либо точке контура, и относительным диаметром выработки при различных значениях величины .
О 0,05 0,1
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5
а
0,15
0,2 0,25 0,3 2d!H
4 = 0,07 -4 = 0,22 — 4-0,41 -4 = 0,67
2,5
1,5
0,5
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5
4 = 0,07 0,22 0,41 0,67 -
-4 =
-4 =
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 2d!H
0 0,05 0,1
б
0,15
0,2 0,25 0,3 2d!H
4 = 0,07
— 4 = 0,22 - —4 = 0,41 — 4 = 0,67
Рис. 9. Графики зависимости сжимающих (а, б) и растягивающих (в, г) напряжений от диаметра выработки при расстоянии от центра выработки до точки AL = 0,2H (а, в), L = 0,5H (д, г) Fig. 9. Graphs of the relations between compressive (a, b), tensile (c, d) stresses and the diameter of the working when the distance from the working centre to the point is AL = 0,2H (a, c), L = 0,5H (e, d)
Анализ кривых показывает, что при увеличении относительного диаметра выработки величина максимального сжимающего (положительного) напряжения снижается, а величина растягивающего, напротив, возрастает по абсолютному значению. Существует такой диаметр выработки, для которого максимальное численное значение напряжения од на контуре выработки не зависит от величины (см. ординаты точек пересечения кривых и их продолжений).
Зная напряжения ад в каждой точке контура подземной выработки, можно оценить ее длительную устойчивость. Для этого сначала на контуре выработки строится эпюра нормального тангенциального напряжения, действующего в каждой его точке. Затем в том же масштабе на контуре стоится эпюра расчетного сопротивления Ярас и Ясж. Поскольку эти
в
г
величины одинаковы во всех точках грунтового массива, в том числе и в точках, расположенных на контуре выработки, то построенные эпюры будут представлять собой замкнутые кривые, по форме подобные контуру выработки.
Рис. 10. Эпюры напряжения ое в точках на контуре выработки квадратного сечения при b = 4 м, Нз = 60 м (а) и 8 м, 120 м (б), развитие зоны разрыхления АВ в потолочине подземной выработки (в) квадратного сечения Fig. 10. Diagrams of ое stress at points on the contour of the working with a square section when b = 4 m, Нз = 60 m and 8 m, 120 m (b), the development of the loosening zone АВ in the ceilings of the underground working (c) with a square section
При построении эпюр, как уже отмечалось выше, считаем сжимающие напряжения положительными, а растягивающие - отрицательными. Проводим наложение контуров. Если на каких-либо участках контура ординаты эпюр ^рас и Rсж окажутся меньше ординат эпюры нормального тангенциального напряжения од, то на этих участках контура произойдет разрыхление или дробление грунта, т.е. его разрушение. Эта процедура подробно описана в работах [5-10], а на рис. 10 приведена соответствующая иллюстрация.
В заключение отметим, что предложенный подход к оценке длительной устойчивости подземной выработки может быть использован и для выработок, имеющих другую
б
а
в
форму поперечного сечения. Если выработка расположена достаточно близко к подошве откоса, то необходимо проводить анализ ее влияния на устойчивость самого грунтового массива (откоса), так как подработка существенным образом трансформирует поле напряжений в приоткосной области, которое в значительной степени определяет степень устойчивости самого откоса.
Библиографический список
1. Новый критерий оценки длительной устойчивости однородных откосов на основе анализа напряженно-деформированного состояния / А.Н. Богомолов [и др.] // Вестник Волгогр. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2009. - Вып. 14 (33). - С. 5-12.
2. Грунтоведение / В.Т. Трофимов, В.А. Королев, Е.А. Вознесенский, Г.А. Голодковская, Ю.К. Васильчук, Р.С. Зиангиров; под ред. В.Т. Трофимова - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГУ, 2005. - 1024 с.
3. Зурабов Г.Г., Бугаева О.Е. Гидротехнические тоннели гидроэлектрических станции. -М.: Госэнергоиздат, 1962. - 352 с.
4. Цветков В.К. Определение форм сечения горных выработок с заданными напряжениями на их контурах // ФТПРПИ. - 1986. - № 2. - С. 24-29.
5. Задача об отыскании рациональной формы свода горизонтальной подземной выработки / А.Н. Богомолов [и др.] // Инженерные подходы к решению геотехнических задач: сб. науч. тр., посвящ. 80-летию К.Ш. Шадунца. - Краснодар, 2013. - С. 9-21.
6. Определение рациональных форм сечений неподкрепленных выработок при строительстве тоннелей / А.Н. Богомолов [и др.] // Развитие дорожно-транспортного и строительного комплексов и освоение стратегически важных территорий Сибири и Арктики: вклад науки: материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Омск: Изд-во Сибир. автомоб.-дорож. ин-та, 2014. - С. 131-138.
7. Пример определения безопасной глубины заложения горизонтальной выработки сложного сечения / А.Н. Богомолов [и др.] // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2013. - Вып. 33 (52). - С. 6-15.
8. Анализ напряженного состояния грунтового массива, вмещающего подземные пространства различной конфигурации [Электронный ресурс] / А.Н. Богомолов, С.В. Кузнецова, В.Н. Синяков, М.А. Шубин, В.П. Дыба, Г.М. Скибин, Ю.И. Олянский, О.А. Богомолова, А.Н. Ушаков // Интернет-вестник Волгогр. гос. арх.-строит. ун-та. Строительная информатика. - 2012. - Вып. 8 (24). - URL: http://vestnik.vgasu.ru/attachments/2_Bogomolov-2012_8(24).pdf (дата обращения: 10.10.2016).
9. Определение предельной глубины заложения горизонтальных выработок различного поперечного сечения [Электронный ресурс] / А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, М.А. Шубин, Д.В. Павлов, М.В. Подлинев, А.В. Соловьев // Интернет-вестник Волгогр. гос. арх.-строит. ун-та. Сер.: Политематическая. - 2013. - Вып. 2 (27). - URL: http://vestnik.vgasu.ru/ attachments/BogomolovBogomolova ShubinPavlovPodlinevSolovev-2013_2(27).pdf (дата обращения: 10.10.2016).
10. Подлинев М.О. Критериальная оценка устойчивости незакрепленных подземных сооружений при различной их форме поперечного сечения: дис. ... канд. техн. наук. - Волгоград, 2016. - 197 с.
References
1. Bogomolov A.N. et al. Novyi kriterii otsenki dlitel'noi ustoichivosti odnorodnykh otkosov na osnove analiza napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia [A new criterion of long-term stability of homogeneous slopes based on the analysis of the stress-strain state]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'stvo i arkhitektura, 2009, iss. 14 (33), pp. 5-12.
2. Trofimov V.T., Korolev V.A., Voznesenskii E.A., Golodkovskaia G.A., Vasil'chuk Iu.K., Ziangirov R.S. Gruntovedenie [Soil science]. 6th ed. Ed. V.T. Trofimov. Moscow, Moskovskii gosudarstvennyi universitet, 2005, 1024 p.
3. Zurabov G.G., Bugaeva O.E. Gidrotekhnicheskie tonneli gidroelektricheskikh stantsii [Hydraulic tunnels of hydroelectric power stations]. Moscow, Gosenergoizdat, 1962, 352 p.
4. Tsvetkov V.K. Opredelenie form secheniia gornykh vyrabotok s zadannymi napriazheniiami na ikh konturakh [Determining the forms section of the mine workings with the specified voltages in their circuits]. Fiziko-tekhnicheskie problemy razrabotki poleznykh iskopaemykh, 1986, no. 2, pp. 24-29.
5. Bogomolov A.N. et al. Zadacha ob otyskanii ratsional'noi formy svoda gorizontal'noi podzemnoi vyrabotki [Problem of finding the rational form of a set of horizontal underground workings]. Inzhenernye podkhody k resheniiu geotekhnicheskikh zadach: Sbornik nauchnykh trudov, posviashchennykh 80-letiiu K.Sh. Shaduntsa, Krasnodar, Kubanskii gosudarstvennyi agrarnyi universitet, 2013, pp. 9 - 21.
6. Bogomolov A.N. et al. Opredelenie ratsional'nykh form sechenii nepodkreplennykh vyrabotok pri stroitel'stve tonnelei [Definition of rational forms of sections unsupported excavations during the construction of tunnels]. Materialy mezhdunarod. nauchno-praktich. konferentsii «Razvitie dorozhno-transportnogo i stroitel'nogo kompleksov i osvoenie strategicheski vazhnykh territorii Sibiri i Arktiki: vklad nauki», Omsk, Sibirskii gosudarstvennyi avtomobil'no-dorozhnyi universitet, 2014, pp. 131 - 138.
7. Bogomolov A.N. et al. Primer opredeleniia bezopasnoi glubiny zalozheniia gorizontal'noi vyrabotki slozhnogo secheniia [The example of determination of safe laying depth of lateral composite section opening]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitelnogo universiteta. Stroitelstvo i arkhitektura, 2013, iss. 33 (52), pp. 6-15.
8. Bogomolov A.N., Kuznetsova S.V., Siniakov V.N., Shubin M.A., Dyba V.P., Skibin G.M., Olianskii Iu.I., Bogomolova O.A., Ushakov A.N. Analiz napriazhennogo sostoianiia gruntovogo massiva, vmeshchaiushchego podzemnye prostranstva razlichnoi konfiguratsii [Analysis of the stress state of the soil massif, enclosing the underground space of various configurations]. Internet-vestnik VolgGASU. Stroitelnaia informatika, 2012, iss. 8 (24), available at: http://vestnik.vgasu.ru/attach-ments/2_Bogomolov-2012_8(24).pdf (accessed 10 October 2016).
9. Bogomolov A.N., Bogomolova O.A., Shubin M.A., Pavlov D.V., Podlinev M.V., Solov'ev A.V. Opredelenie predel'noi glubiny zalozheniia gorizontal'nykh vyrabotok razlichnogo poperechnogo secheniia [Determining the limit depth of horizontal workings with different cross-sections]. Internet-vestnik VolgGASU. Politematicheskaia, 2013, iss. 2(27), available at: http://vestnik.vgasu.ru/attachments/BogomolovBogomolova ShubinPavlovPodlinevSolovev-2013_2(27).pdf (accessed 10 October 2016).
10. Podlinev M.O. Kriterial'naia otsenka ustoichivosti nezakreplennykh podzemnykh sooruzhenii pri razlichnoi ikh forme poperechnogo secheniia [Criterial evaluation of the stability of floating of underground structures with different shape cross-section]. Ph. D. thesis. Volgograd, 2016, 197 p.
