Распределение напряжений под полубесконечной жесткой накладкой на берегу межфазной трещины в случае действия сосредоточенной силы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375 ББК 22.251

Ю.О. ВАСИЛЬЕВА, Е.В. МОЧАЛОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПОД ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОЙ НАКЛАДКОЙ НА БЕРЕГУ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ В СЛУЧАЕ ДЕЙСТВИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ*

Ключевые слова: трещина, жесткая накладка, сосредоточенная сила, гипергео-метрическая функция, коэффициенты интенсивности напряжений.

Изучено плоское напряженное состояние кусочно-однородного упругого тела, ослабленного полубесконечной трещиной на линии раздела сред, в случае действия сосредоточенной силы. Верхний берег трещины частично подкреплен полубесконечной жесткой накладкой. Найдены комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины и на конце накладки. Приведены их графики.

Yu.O. VASILYEVA, E.V. MOCHALOV THE STRESS DISTRIBUTION UNDER A SEMI-INFINITE RIGID PATCH PLATE ON AN EDGE OF AN INTERFACE CRACK IN THE CASE

OF A CONCENTRATED FORCE ACTING Key words: crack, rigid patch plate, concentrated force, hypergeometric function, stress intensity factors.

Plane stress state of a piecewise-homogeneous elastic body weakened by a semi-infinite interface crack, in the case of a concentrated force acting, is investigated. The upper edge of the crack is partially reinforced by a semi-infinite rigid patch plate. The complex potentials, the stress intensity factors at the crack tip and the end of the patch plate are found. Corresponding plots are presented.

Рассмотрим кусочно-однородное упругое изотропное тело, составленное из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей. На линии раздела сред вдоль луча [0, +да) расположена полубесконечная открытая трещина, верхний берег которой на участке [l, +да) подкреплен абсолютно жесткой прямолинейной накладкой бесконечной длины, присоединенной к телу без натяга. Остальная часть верхнего берега и весь нижний берег трещины свободны от напряжений. Считаем, что накладка принудительно удерживается в горизонтальном положении и не поворачивается. Тогда краевые условия задачи имеют вид:

u + (x) + io+ (x) = 0, x е (l, + да),

t++y(x) + ia+ (x) = 0, x е (0, l), (1)

v(x) + ia~y(x) = 0, x е (0,+да), где u + io - вектор смещений; xxy + iay - вектор напряжений, верхними индексами плюс и минус помечены значения функций на верхнем и нижнем берегах трещины. Вдоль луча (-да, 0] полуплоскости жестко соединены друг с другом, и к точке x = x0 (x0 < 0) приложена сосредоточенная сила X + iY. На накладку никакие внешние силы не действуют. На бесконечности напряжения исчезают, причем так, что

а уit ~ K*ylK^ ^ yz

y xy z *yi5' z *2 ^

* Исследование выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-31387, 13-01-00003). '

£& 8/ = ЦК!, , =,,2,

2л ' 2л

л, = —I -а+ а---------I, л = —I -а- а -

1 2 [ V к, J 2 2 [ V к,

(к, + к 2) - 2и,к, 1 + ц*к, и 2

а=—1-------------------------------2-Ч т =-1~, и* = —

к,(ц, + к 2) и* + к 2 и1

(0 < а^л1 <л, л< argл2 < 2л, 1тл1 ^ 0, 1тл2 < 0), где К”, КЦ, КЩ, К“у - заданные действительные постоянные, к1, и1 и к2, и2 - упругие параметры верхней и нижней полуплоскостей, соответственно.

Требуется найти комплексные потенциалы, описывающие плоское напряженное состояние тела, и исследовать поведение напряжений вблизи вершины трещины и на конце накладки.

С помощью формул Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости [3] задача (1) сводится к однородной матричной краевой задаче Римана для двух кусочно-голоморфных функций (комплексных потенциалов) Ф^), Ф(2) с линией разрыва [0, +о):

Ф+(Х) 1 = 1 0 -1 ТФ- *I, * е (0,1),

Ф+ (*)) |-т 1 - тЛф (*)) (2)

+ (*)Л ( 0 к-1^ .~--^ ^

Ф+ (х)1 = Г 0 К-1|1ф-* е (I, + о),

Ф+ (*)) ^-т -а)^Ф (*))

ЧФ+ (*)) ^-т -аДФ (*))

Комплексные потенциалы Ф^), Ф^) в точке 2 = *0 имеют простые полюсы с вычета-

X + 'г п к2 (X + и)

ми Р1 =------------и Р2 =—-----------------------— соответственно [1], а в точках 2 = 0 и

2л(1 + ц»к1) 2л(и* +к2)

2 = / + /0 могут иметь особенности интегрируемого порядка. На бесконечности функции Ф(г), Ф2 исчезают.

Решение задачи (2) находится явно с помощью гипергеометрической функции Гаусса [2] и имеет вид

Ф( 2) = и + с2(С- /„)-1 )х„(С)+(а2 + ад - г0)-1 )Х12(0 (3)

Ф(2) = (а1 + с2(С-г0у1 )х21(0+(а2 + оде-г0)-1 )х22(0 ( )

с= £, 10 = *0, о, = (-1) ;Р^Ьр2^1, , = 1,2,

/ / 1 / ае х + (/0)

А = Кри - 1КУ - Ъ(Ъ +1 - с)л А = ко - /ко

1 т . . -/5. 1 5 2

л/2л (т +Л])сб/12 * 2 Ъ +1 - а -У2Л(т +^2)сб(^ - Ъ)/11 - 1

= с/лаГ(с)Г(Ъ - а) + с2егл(а+1-с)Г(2 - с)Г(Ъ - а)

Сс —-----------------------------------------------------! ,

5 л 2Г(с - а)Г(Ъ) л 2Г(1 - а)Г(Ъ +1 - с)

с1е/лЪГ(с)Г(а - Ъ) + с2егл(Ъ+1-с)Г(2 - с)Г(а - Ъ) сб — I

Л ]Г(а)Г(с - Ъ) Л]Г(а +1 - с)Г (1 - Ъ)

= (л1к1 - т)в~/лс Г(2 - с) = а + лл)Г(с)

с = -

-----------------------5 <"? _ --------------

Г(1 - а)Г(1 + Ъ - с) 2 Г(Ъ)Г(с - а)

, 1п л. , 1п л2 3 1п т

а = 1 +---^, Ъ =-------—, с = — +-----,

2л/ 2л/ 2 2л/

где Г(^) - гамма-функция Эйлера; %»(С) - элементы канонической матрицы X(Q задачи (2):

х(0 =

С1

- С1

С2

тс2

Е(а,Ь;с; С)

С1-сЕ(а - с +1, Ь - с +1;2 - с; С)

Ь(1 -С)Е (а,Ь +1; с;С)

(Ь - с + 1)С1-с (1 - С)Е(а - с +1, Ь - с + 2;2 - с;С)

!С!< 1, С г [0,1]

Е (а,Ь; а + Ь +1 - с;1 - С) (С-1)с-а-ЬЕ(с- а,с -Ь;с +1 - а -Ь;1 -С) Ь(Ь +1 - с)

а + Ь +1 - с

(1 - С)Е(а,Ь +1;а + Ь + 2 - с;1 - С)

(4)

(а + Ь - с)(С - 1)с а Е (с - а, с - Ь -1; с - а - Ь;1 -С),

! С-1|< 1, 1т(+С) > 0

Х(С) — Г^2с5 Л1сбаЕ(а,а +1 -с;а +1 -Ь;С ^) Г тс$ тс6 Ас-ЬЕ (Ь,Ь +1 - с;Ь +1 - а;С-1)

(Ь - а)С а (1 - С)Е(а,а +1-с;а - Ь;С ')

Ь(Ь +1 - с) С-Ь-1 (1 - С)Е (Ь +1, Ь + 2 - с;Ь + 2 - а;С-1) а -1 - Ь

! С !> 1,1т(+С) > 0

Г 0 с4 ^ F -—Г- тЛз т-1(г -1)с4 ^

Гсз (т - г)с4 / ^ 0 - с4 J

1 + к

2 с1Г(с)Г(с - а - Ь) тс2Г(2 - с)Г(с - а - Ь)

Г — ц. + к2 , сз — Г(с - а)Г(с - Ь) Г(1 - а)Г(1 - Ь) ’

— с1егп(а+Ь-с)Г(с)Г(а + Ь - с) + с2егл(а+Ь-с)Г(2 - с)Г(а + Ь - с)

сд —----------------------------------------------------------I-.

Г(а)Г(Ь) Г(а +1- с)Г(Ь +1- с)

Здесь Е(а; Ь; с; С) - гипергеометрическая функция Гаусса, а у многозначных функций СР и (С - 1)^ берутся ветви, однозначные в плоскости с разрезами [0, +ю) и [1, +ю), соответственно, определяемые условиями 0 < а^С < 2л и 0 < а^(С - 1) < 2л.

На основании полученных формул (3), (4) и известных формул Колосова-Мус-хелишвили для кусочно-однородной плоскости вблизи точки г = 0 на действительной отрицательной полуоси получим следующую асимптотику для напряжений

0 - 0

К, - !К„

Мх) - <',.<х) — +°®, -

К, - 1Кц — -V2л (л/т") (1 + т)с2 [^4х - + (Ь - с + 1)(Д> - )]/12 гр, р —

1п т

2л

Таким образом, напряжения имеют степенно-осциллирующую особенность порядка -12 + гР в вершине трещины, и их интенсивность характеризуется двумя действительными коэффициентами К,, К,,. На рис. 1 изображены графики зависимости коэффициентов К,, К,, от расстояния ё между вершиной трещины г = 0 и точкой приложения сосредоточенной силы г = х0 и от направления ф силы. В первом случае сила X + И = -Р (Р > 0) постоянна и направлена вдоль действительной отрицательной полуоси, во втором случае сила X + 11 = Р(соБф + шпф) составляет угол ф с осью х, х0 —-0,2. В обоих случаях принято к1 = 1,8, к2 = 2,2, ц* = 2, / = 1,

ъ^ю т^ю л

К1 — К11 — КШ — К1У — °.

-0,05

-0,40

A Ki / P

4 I^Kii / P

0,3

2 d

-0,4

\/KI / P Kii / P\^^ / /

^ / /

0,5 1,5 ф/п

Рис. 1. Графики зависимости коэффициентов интенсивности напряжений вблизи вершины трещины от расстояния между вершиной трещины и точкой приложения сосредоточенной силы, а также от ее направления

Поведение напряжений вблизи точки г = І + І0 полностью определяется поведением функции Ф(г), которая вблизи этой точки имеет вид

ф(г) = ^ ~ Ы/.р + 0(1), г ^ І + І0, л/п (г ~ І )>2+ІРі ’

N1 ~ІМП = ТПс4А + С2 (1 ~*0)~1 + Ж + іРі))л2 + Сі(1 ~/о)~1)]/>2+іРі, Рі = ^.

2п

Коэффициенты N Ып назовем коэффициентами интенсивности напряжений вблизи точки г = І + і0. Графики их зависимости от расстояния ё и от направления ф силы представлены на рис. 2 в условиях рис. 1.

2 а

Рис. 2. Графики зависимости коэффициентов интенсивности напряжений вблизи конца накладки от расстояния между вершиной трещины и точкой приложения сосредоточенной силы, а также от ее направления

Вблизи точки г = I - ДО на нижнем берегу трещины комплексные потенциалы, а значит, и напряжения ограничены.

Литература

1. Сильвестров В.В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Известия вузов. Математика. 2004. № 7. С. 78-91.

2. Хвощинская Л.А. К проблеме Римана в случае произвольного числа особых точек // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: труды Междунар. конф. Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1996. С. 377-382.

3. ЧерепановГ.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.

ВАСИЛЬЕВА ЮЛИЯ ОЛЕГОВНА - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (vasilyeva.yu@gmail.com).

VASILYEVA YULIYA OLEGOVNA - candidate of physical and mathematical sciences, senior lecturer of Actuarial and Financial Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

МОЧАЛОВ ЕВГЕНИИ ВЛАДИМИРОВИЧ - младший научный сотрудник, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.

MOCHALOV EVGENIY VLADIMIROVICH - junior researcher, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.