Распределение фазы Рытова-Владимирского в интерферометре Линника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.512 + 535.854

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗЫ РЫТОВА-ВЛАДИМИРСКОГО В ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ЛИННИКА

В. А. Андреев, К. В. Индукаев1

Для интерферометра Линника с фокусирующей линзой построено распределение фазы Рытова-Владимирского. Эта фаза возникает из-за того, что наличие фокусирующей линзы на входе в интерферометр и плоских зеркал внутри него приводит к тому, что траектории большинства лучей внутри интерферометра становятся неплоскими. Вычисления проводятся в рамках геометрической оптики. Показано, что добавление дополнительных фокусирующих линз, расположенных перед опорным и объектным зеркалами, не приводит к изменению фазы Рытова-Владимирского.

В настоящее время в физике получили большое распространение так называемые топологические или геометрические фазы, называемые также фазами Берри [1 - 7]. В большинстве работ, посвященных этим фазам, рассматриваются квантовые эффекты, однако существуют и их классические аналоги, также вызывающие большой интерес. В первую очередь, здесь следует назвать фазы Рытова-Владимирского (РВ) [8, 9] и Панчарантнама ц>р [10], возникающие в поляризационной оптике. Фаза Панчарантна-ма <£>р возникает в том случае, когда поляризация луча, двигающегося по оптической системе, меняется циклическим образом, так что соответствующая ей точка на сфере Пуанкаре описывает замкнутый контур. В этом случае начальное и конечное состояния света будут отличаться на фазу фр, величина которой определяется значением телесного угла, опирающегося на контур, который описала точка на сфере Пуанкаре.

^АО "Проимпэкс КомТех".

Фаза РВ имеет чисто геометрическую природу.

Для ее описания, аналогично сфере Пуанкаре, вводят сферу направлений и откладывают на ней траекторию луча, проходящего через оптическую систему [11]. В случае, когда направления входящего и выходящего лучей совпадают, эта траектория имеет вид замкнутого контура. Изменение поляризации луча определяется как величиной те лесного угла, опирающегося на такой контур, так и его исходной поляризацией.

Отметим принципиальную разницу между фазами Панчарантнама и РВ. Фаза Пан-чарантнама не меняет тип поляризации и не зависит от этого типа. Фаза РВ может изменить тип поляризации и ее величина зависит от исходного типа поляризации. А именно, если исходный луч света был левоциркулярно поляризованным, то после прохождения оптической системы он остается левоциркулярно поляризованным, но его фаза меняется на величину

где О - телесный угол, который опирается на контур на сфере направлений.

Если же луч является правоциркулярно поляризованным, то его поляризация также не меняется, но фаза меняется на величину

Изменение поляризации произвольного луча можно найти, раскладывал его по лево-и правоциркулярно поляризованным лучам и используя формулы (1), (2).

Таким образом, фаза РВ возникает из-за того, что луч в оптической системе двп жется по неплоской траектории. Имеется ряд работ, в которых проводился расчет этой фазы для плоских пучков [12 - 15]. В работе [16] рассматривались расходящиеся пучки света, но такой характер их движения возникал за счет геометрии изучаемого объекта, а не из-за наличия в оптической системе специальных элементов. Но такие элементы, а именно, линзы и неплоские зеркала, входят в состав многих оптических приборов. Тем не менее, нам не известны работы, в которых учитывалась бы фаза РВ, вносимая подобными элементами. Однако их учет может оказаться необходимым в тех случаях, когда полезная информация содержится именно в фазе луча, прошедшего через оптическую систему. Величина фазы может определяться различными причинами и необходимо иметь возможность разделять вклады, обусловленные ими.

Данная работа посвящена расчету фазы РВ, имеющейся в интерферометре Линни ка. Этот прибор часто используется в качестве профилометра [17], поэтому необходимо

Уяк =

(1)

Л

4>иу —

(2)

уметь отделять вклад в фазу объектного луча, возникающий за счет длины пути, пройденного этим лучом, от вклада, связанного с неплоскостностью его траектории, т.е. от фазы РВ.

Принципиальная схема интерферометра изображена на рис. 1.

Она включает в себя линзу Ьо, полупрозрачное зеркало ВБ, два зеркала М\ и Мг, а также две линзы Ьх и расположенные перед зеркалами М\ и М2- Эти линзы часто называются микрообъективами. Если бы линзы Ь\ и Ь2 отсутствовали, то это был бы обычный интерферометр Майкельсона. Именно для такого интерферометра мы и проведем первоначальный расчет распределения фазы РВ, а затем покажем, что добавление в схему микрообъективов ничего не меняет.

Прибор содержит также источник излучения I и детектор Б, на котором происходит смешивание пучков света из разных каналов.

Вектор п, задающий направление луча света, мы будем описывать с помощью сферической системы координат, т.е. с помощью углов в, кр. Угол 0 отсчитывается от положительного направления оси а угол есть угол между проекцией вектора п на плоскость ХУ и положительным направлением оси X в направлении против часовой стрелки.

Ось Z направлена вдоль оптической оси линзы Ь0 слева направо, ось X перпендикулярна плоскости зеркала и направлена вверх, а ось У лежит в плоскости зеркала М2 и выходит из плоскости рис. 1.

На линзу Ь0 от источника I поступает пучок света, все лучи которого параллельны оси Z. Линза Ьо преобразует параллельный пучок в сходящийся и направляет его на полупрозрачное зеркало ВБ. На этом зеркале исходный пучок делится пополам, одна его половина проходит через полупрозрачное зеркало ВБ, а вторая отражается от него. Далее первый из образовавшихся пучков падает на зеркало М\, отражается от него, возвращается к полупрозрачному зеркалу ВБ и, отразившись от него, попадает на детектор Б. Второй пучок попадает на зеркало Мг, отражается от него, проходит через полупрозрачное зеркало ВБ и также попадает на детектор Б, где смешивается с первым пучком.

Оптические элементы интерферометра установлены таким образом, что лучи первого и второго пучков, попадающие в одну и ту же точку плоскости детектора £), имеют одинаковое направление. При этом не имеет значения, расположены фокусы линзы Ьо перед зеркалами М^Мг или же за ними, важно только, чтобы они оба были по одну сторону этих зеркал.

Опишем теперь движение пучков света в интерферометре на языке векторов их направлений.

1. Первый пучок света соответствует опорным лучам. Вектора его направлений образуют следующую последовательность:

(0,0,1)( —» (sin в sin tp, sin в cos tp, cos (3)

(— cos в, sin в cos tp, sin0 siny?)^1 —> (cos в, siné? COS sin в sinvp)fs.

Здесь нижний индекс указывает на номер канала, а верхний показывает, после прохождения какого из оптических элементов сформировался пучок с таким вектором напра вления.

2. Вектора направлений второго пучка, соответствующие объектным лучам, образуют последовательность

(0,0,1)2 —► (sin в sin tp, sin в cos tp, cos 0)2° —» (4)

(sin0 sin y?, sin0 eos tp, — eos 0)f5 —> (eos 9, sin0 eos tp, sin в sin tpy^2 •

Отложим вектора (3) и (4) на сфере направлений и соединим соседние точки в этих последовательностях дугами больших кругов. Возникающая при этом фигура изображена на рис. 2. Она соответствует случаю, когда луч света после прохождения линзы L0 характеризуется вектором, имеющим положительные проекции на оси ОХ и OY. Для других лучей эти проекции их векторов могут иметь и другие знаки; отметим также, что проекции всех векторов направлений лучей, прошедших линзу Lo, положительны. Опишем теперь все точки на рис. 2. Точка / с координатами

(0,0,1) (5)

соответствует лучу, подошедшему слева к линзе L0 и движущемуся вдоль оси OZ. Прой дя линзу Lo, луч преломляется, вектор его направления приобретает координаты

(sin0 sin у, sin# cos tp, cos в) (6)

и изображается на сфере направлений точкой А. Точки I и А соединяются дугой большого круга. Далее луч А попадает на полупрозрачное зеркало BS, где делится на два луча: опорный и объектный. Опорный луч проходит через зеркало BS, не меняя своего направления, падает на зеркало М\, отражается от него и приобретает направление

Рис. 2. Вид траекторий лучей на сфере направлений.

(— cos в, sin0 cosy?, sin0 sinip). (7)

Этому направлению на сфере направлений отвечает точка D. Легко видеть, что лучи (5), (6), (7) лежат в одной плоскости, поэтому и отвечающие им точки /, А, D лежат на одной дуге большого круга. Отразившись от зеркала Mi, луч D движется к полупрозрачному зеркалу BS, отражается от него, приобретает направление С

(cos 9, sin в cos v?, sin в sin ip). (8)

Мы видим, что траектории опорного луча на сфере направлений соответствует ломаная IADC, образованная двумя отрезками дуг большого круга - ID и DC.

Опишем теперь траекторию объектного луча. Этот луч возникает из той половины исходного луча, которая не проходит через полупрозрачное зеркало BS, а отражается от него. После такого отражения объектный луч начинает двигаться в направлении

(sin в sin (р, sin# cosip, — cos в), (9)

которому на сфере направлений отвечает точка В. Затем объектный луч падает на зеркало Мг, отражается от него и движется в направлении

(cosf, sin0 cosy?, sin# sinip). (10)

Этому направлению соответствует точка С; таким образом, на сфере направлений конец траектории объектного луча совпадает с концом траектории опорного луча.

Дуга AD пересекается с дугой ВС в точке F. Траектории объектного и опорного лучей образуют на сфере направлений фигуру, состоящую из двух треугольников ABF и FCD. Чтобы определить фазу РВ, надо вычислить площадь этих треугольников. Результат вычисления представлен на рис. 3.

Ф

Н

Рис. 3. Поверхность фазы Рытова-Владимирского. а) части поверхности располо-

женные в первом и третьем квадрантах плоскости ХУ, Ь) части поверхности Б^, расположенные во втором и четвертом квадрантах плоскости ХУ.

Распределение фазы РВ для циркулярно поляризованной волны образует поверхность 3НУ над плоскостью ХУ. На этой плоскости введем декартову систему координат с осями X, У. Каждая точка этой поверхности с координатами (я, у) соответствует лучу, который пересекает линзу Ьо в точке с теми же самыми координатами. После того, как луч света пересечет плоскость линзы в точке (х,у), направление его движения будет задаваться вектором (6). При этом угол в определяется только расстоянием р = у/х2 + у2 точки (х, ¿) от начала координат, а угол <р совпадает с соответствующие углом ф этой точки в полярной системе координат. По этой причине, для того, чтобы описать структуру фазовой поверхности, введем на плоскости ХУ полярную систем} координат (/>, У>). Угол ф будем отсчитывать от положительного направления оси X к

отрицательному направлению оси У, т.е. по часовой стрелке. Масштаб на осях X, У выберем таким, чтобы радиус р на фазовой поверхности рис. 3 менялся от 0 до 1. Это соответствует изменению угла в от 0 до 7г/4, т.е. значению р = 1 соответствует угол 0 = 7г/4. Угол ф меняется от 0 до 2ж.

Поверхность обладает свойством симметрии

8*у(ф + ж) = 8ну(ф). (11)

По этой причине мы можем ограничиться описанием поверхности БКУ только в пределах

О < /> < 1, 0<ф<ж. (12)

Приведем значение фазы (рлу на оси ОХ

(рру — 2ж при 0 < р < 1, ф = Уяу = 0 при 0 < р < 1, ф =

Теперь приведем значение фазы <ряу на окружности р = г.

При г = 1 значение фазы линейно возрастает от значения ^>ду(1,7г) = 2ж, при этом <¿>#^(1,7Г/2) = ж.

<рцу{1,ф) = 20.

Если же г = а < 1, то значение фазы монотонно возрастает от значения

уду(1,0) = 0 до значения у?яу(1,7г) = 2п, но в точке (а,ж/2) меняется скачком. Таким образом, на оси ОУ фаза срру испытывает разрыв, величина которого равна 2т в точке (0,0) и убывает до нуля в точке (1,7г/2).

На рис. За изображена часть поверхности 5ЯУ, соответствующая значениям 0 < ф < 7г/2; мы обозначаем ее как 5Г- На рис. ЗЬ изображена часть поверхности соот-

ветствующая значениям 7г/2 < ф < к; мы обозначаем ее как У этих двух частей

поверхности 3НУ общими являются отрезок 0(5 и точка Р. Границе 0Р поверхности на рис. ЗЬ соответствует линия 0Р на рис. За, симметричная линии С^Р по отношению

к плоскости Ф = 7г.

Значения фазы РВ для углов ф > ж можно найти с помощью соотношения (11). Мы получим, что на оси ОХ фаза (ряу также испытывает разрыв, величина которого равна —2ж, если двигаться вокруг точки 0 в плоскости ХУ по часовой стрелке. Значениям

(13)

ж.

значения <^ду(1,0) = 0 до

7Г < ф < Зг/2 соответствует поверхность S¿v, совпадающая с а значениям Зтг/2 < 2ф < 2ж соответствует поверхность , совпадающая с .

Таким образом, при 0 < р < 1 данная поверхность имеет вид четырехзаходового винта. Его шаг близок (чуть меньше) к 87т, когда р близко к нулю, и монотонно уменьшается, стремясь к 47Г, с ростом р. В тот момент, когда параметр р достигает значения /о = 1, четырехзаходовый винт превращается в двухзаходовый с шагом 47г.

Такой вид имеет поверхность фазы РВ для интерферометра Линника.

До сих пор при вычислении фазы РВ мы не учитывали линзы L\ и Li, находящиеся перед зеркалами Mi и Mi, т.е., фактически, мы рассматривали обычный интерферометр Майкельсона. Посмотрим теперь, к чему может привести учет этих линз.

В случае опорного пучка луч света, пройдя через полупрозрачное зеркало BS, попадает на линзу L\ и преломляется ею. До попадания на линзу L\ луч света характеризовался вектором (6), в результате преломления угол 0 у вектора направления меняется: О —¥ 0', а угол ip не меняется. Поэтому после преломления вектор (6) преобразуется следующим образом

(sin0 sin Су5>, sin в cos tp, cos0) —► (sin#' sin<¿>, sin в' cos ip, cos в'). (14)

После отражения от зеркала М\ луч света (14) приобретает направление

(— cos в', sin 0' cos <р, sin в' sin (р), (15)

а после прохождения линзы L\ в обратном направлении описывается вектором (7). Лег ко видеть, что точки А и D, соответствующие направлениям (6) и (7), и точки Р и Q, соответствующие направлениям (14) и (15), лежат на одной дуге большого круга. Поэтому площадь фигуры на сфере направлений, соответствующей траекториям опорного и объектного лучей в интерферометре, не меняется при добавлении в оптическую схему микрообъективов L\,L2. В силу этого не меняется и величина отвечающей ей фазы РВ.

Из данного рассуждения следует, что если имеется два последовательных направления светового луча nj и п2, образующих плоскость /V12, то любое дополнительное изменение направления луча в промежутке между ni и не приводит к изменению фазы РВ, если направления этих изменений лежат в плоскости N\i.

Обсудим теперь вопрос о том, как следует учитывать полученные выше результат при проведении профилактических измерений.

Пусть по какой-либо причине объектный луч, проходя по оптической системе, наби рает по отношению к опорному лучу еще некоторую дополнительную фазу 8, которая

не зависит от поляризации луча. Это может быть вызвано, например, разницей длин оптических путей, которые проходят опорный и объектный лучи. Мы будем называть ее динамической фазой.

Рассмотрим по отдельности левоциркулярно поляризованную, правоциркулярно поляризованную и линейно поляризованную волны.

1. Вектор Джонса левоциркулярно поляризованной волны имеет вид

После прохождения всего оптического пути разница фаз между опорным и объектным лучами есть 8 + Г2, т.е. является суммой динамической фазы и фазы РВ. На детектор приходит волна, образованная суперпозицией опорной и объектной волн

Квадрат амплитуды такой волны имеет вид

+ = + (18)

2. Для правоциркулярно поляризованной волны вектор Джонса имеет вид

= (19)

Теперь после прохождения оптического пути разница фаз между опорным и объектным лучами принимает вид 6 — П, т.е. является разностью динамической фазы и фазы РВ. На детектор приходит волна, образованная суперпозицией опорной и объектной волн

+ = (20)

2у/2 \Д-*у

. —г.

Теперь квадрат амплитуды падающей волны имеет вид

1^Ат + ^ят|2 = ^(1 + со8(^-П)). (21)

3. Рассмотрим теперь линейно поляризованную волну. Ее вектор Джонса может быть представлен в виде суммы лево- и правоциркулярно поляризованных волн

= (Т) = + Еят) = и ())+, ( 1 VV (22)

" ' ™' 2

,—г;

На детектор приходит волна

EU + El„ = I ((3 + (Д.) + Qe«-> + (^)е—)) (23)

Квадрат ее амплитуды равен

\ЕХш + E2ln\2 = 1(1 -f cos ¿cos ft). (24)

Пусть мы используем интерферометр в качестве профилометра [17] и определяем положение точки исследуемой поверхности по максимальной интенсивности сигнала, модулируя значение динамической фазы 8. Тогда из формул (18), (21) и (24) следует, что в случае правоциркулярно поляризованной волны построенный образ точки поверхности смещается относительно ее действительного положения на величину, пропорциональную фазе РВ ii. В случае левоциркулярно поляризованной волны образ точки поверхности смещается на то же самое расстояние, но в другую сторону. Если же волна является линейно поляризованной, то образ точки поверхности не смещается относительно своего истинного положения.

Существование данного эффекта было экспериментально продемонстрировало в работе [16] при измерении формы поверхности шариков латекса с помощью профилометра, использующего свет различной поляризации. Его наличие приводит к тому, что при работе с поляризованным светом при интерпретации сдвигов фаз между лучами, про шедшими различные пути в оптической системе следует, наряду с другими эффектами, учитывать и фазу РВ. При этом наличие информации о структуре данной фазы, связан ной только с самой оптической системой, т.е. о фазовой поверхности рис. 3, позволяет отделить вклады в нее от прибора и от изучаемого объекта. Фактически, такая фазовая поверхность является характеристикой каждого конкретного оптического прибора и должна входить в его паспортные данные. Знать форму этой поверхности полезно, на пример, еще и потому, что в этом случае можно выбрать для работы наиболее гладкие участки на ней.

Поскольку фаза РВ зависит от поляризации луча, а динамическая фаза и фаза Пан-чарантнама от поляризации не зависит, то, проводя серию измерений со светом различной поляризации, их можно отделить друг от друга. На этом принципе основан прибор [18 - 20], совмещающий в себе свойства профилометра и эллипсометра.

Авторы благодарны "AMPHORA LLC" за поддержку данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] В е г г у М. V. А. Ргос. Roy. Soc., А, 392, 45 (1984).

[2] Simon В. Phys. Rev. Lett., 51, 2167 (1983).

[3] В e г г у М. V. A. Phys. Today, 12, 34 (1990).

[4] А н д р е е в В. А., К л и м о в А. В., Л е р н е р П. Б. Письма в ЖЭТФ, 50, 63 (1989).

[5] A n d г е е v V. A., Klimov А. В., and Lerner Р. В. Europhys. Lett., 12, 101 (1990).

[6] В и н и ц к и й С. И., Д е р б о в В. Л., Д у б о в и к В. М. и др. УФН, 160, 1 (1990).

[7] К л ы ш к о Д. Н. УФН, 163, 189 (1993).

[8] Р ы т о в С. М. ДАН СССР, 28, 263 (1938).

[9] Владимирский В. В. ДАН СССР, 31, 222 (1941).

10] Pancharatnam S. Ргос. Ind. Acad. Sci. Ser. A, 44, 247 (1956).

11] J i а о H., W i 1 k i n s о n S. R., С h i a o, R., and N a t h e 1 H. Phys. Rev. A, 39, 3479 (1989).

12] В e г g a m i n А., С a v a g n e г о G., and M a n a G. J. Mod. Optics, 39, 2053 (1992).

13] H а г i h а г a n P., L а г k i n K. J., and R о у M. J. Mod. Optics, 41, 663 (1994).

14] T a v г о v A. V., Kawabata Т., Miyamoto У., T a k e d a M., and A n d r e e v V. A. J. Opt. Soc. Am. A, 16, 919 (1999).

15] T a v г о v A. V., Kawabata Т., Miyamoto У., T a k e d a M., and A n d r e e v V. A. J. Opt. Soc. Am. A, 17, 117 (2000).

16] Андреев В. А, Тавров А.В., Ублинский Д. В., и др. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 5 - 6, 44 (1996).

17] Коломийцов Ю. В. Интерферометры, Л., Машиностроение, 1976.

18] Т а в р о в А. В., Андреев В. А., Ублинский Д. В. Оптическая техника, N 3(7), 15 (1995).

19] Т a v г о v A., Andreev V., Ublinsky D., Orlov D., and К о g a n K. Ргос. SPIE, 2778, 1072 (1996).

20] А н д p e e в В. А., И н д у к а е в К. В., Т а в р о в А. А. и др. Патент РФ N 2029976 кл. G02B 21/00 (1995).

Поступила в редакцию 16 февраля 2000 г.