CC BY
27
УДК 662.64
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ В ВЕРТИКАЛЬНОМ ВИХРЕВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
Г.Ф. Кузнецов
Работа посвящена исследованию распределения твердых частиц, движущихся в закрученном газовом потоке.
Для оценки распределения частиц в закрученном потоке цилиндрической вертикальной камеры воспользуемся уравнением Больцмана [1-3]
N(r, v, t) = N0 (v) - r(v) ^j-vVT+—t(v)e Щ- +—r (v)[v x tf ]Щ-, at m ov me ov
(1)
в котором для нашей задачи второе и третье слагаемые правой части можно считать равными нулю, поскольку задача рассматривается в изотермических условиях без учета электрических сил. Тогда уравнение (1) можно записать следующим образом
N(r,v,t) = N0+TO) г-----------------2-;
dv-
(2)
где Щ - стационарная концентрация, обусловленная постоянным потоком частиц со скоростью уг, - локальная концентрация, угловая скорость, г - время релаксации, т.е. время ус-
После разделения переменных и подстановки выражения для dvf = —-(R-2r)dr [4], полу-
тановления стационарного потока после прекращения внешнего возмущения.
Л Ъг\
чим
-=&-(Д/г-2)»= тг-,'у”)-
Ътсо Т]
N(r,t,v.)-N0
(3)
и после интегрирования запишем распределение концентрации частиц
N(r,t,v9)-N0
Nn
= е
-M(-Rbj+2r)
itaP’tj
(4)
где в качестве произвольной постоянной была выбрана величина Ini?. Более удобно полученный результат можно записать в виде
N(r>t,v9)-N0
Nn
= ехр
M(~R\nj + 2r) Зто)2т}
(5)
Анализ полученного выражения показывает, что при ц Ф 0 А^(г,/,ур) > ЛГ0. Это означает, что
в периферийной области концентрация частиц всегда выше, чем в приосевой, что совпадает с результатами реальных исследований. При условии, что т] = 0,(о = 0,г = 0, либо равна нулю одна из этих величин, второе слагаемое выражения (5) обращается в нуль. Физически понятно, что при нулевой вязкости частицы не изменяют своего первоначального распределения. Если скорость вращения отсутствует (ю = 0), осевая скорость распределена вдоль радиуса равномерно и, следовательно, также первоначальное распределение в этом случае измениться не может. Очевидно, что на оси (г = 0) содержание частиц не может быть большим первоначального.
При увеличении г величина концентрации увеличивается, достигая максимальной вблизи г = Я/2, там, где наибольшее значение тангенциальной скорости. Отметим, что полученное распределение скоростей и концентраций частиц быстрее реализуется для мелких фракций, так как
Физика
для более крупных фракций требуется более продолжительное время для приобретения скорости потока газа и частиц.
Оценка характерного времени снижения до нуля тангенциальной скорости - времени релаксации - дает следующий результат. После прекращения действия давления, на поток действуют только силы, связанные с вязкостью (силы тяжести не учитываются)
Л ,
т— = ~6ХТ}Щ,
где г0 - радиус частицы.
После разделения переменных и интегрирования находим
1пу = уеехр(-г/г),
т
(6)
(7)
где г = -
бжщ
■ время релаксации.
Для частиц размером ~3 мм это время составляет 1-3 секунды, что является достаточно близким к реальным условиям. Время контакта частиц, очевидно, будет такого же порядка.
Проделанный анализ неплохо объясняет сущность процессов при относительно небольших тангенциальных скоростях (диаметр камеры ~1,5 м, скорость ~30 м/с), так как в соотношении (2) принято, что со » const. Как известно, при больших скоростях центральные и периферийные слои вращаются по различным законам [4]. Для того, чтобы учесть эту особенность, воспользуемся уравнением Больцмана в следующем виде:
„2
N = N0-t
v; dN г dv„
(8)
Из предыдущих выкладок следует, что
v,=f(^-r2);
Ъг)
dvcp =^-(R-2r)dr; Зт)
АР
2жК
2
2 М
v:„ =
9т}‘
-{R2r2 -2Кгъ + И).
Подставляя (9) в (8), получим
dN
3rjr(R - 2r)dr
N-N0 rju(R2r2 - 2Rr3 +r4) Введем безразмерную координату £ = r/R
dN 3tj
N-N0 тцЯ Правую часть запишем в виде двух слагаемых
<М _ Зт] N-Nl ~
Тогда после интегрирования получим
Зц
о
tfiR
In———и In
1-і
tjuR |_#(l-<?) (l-<f)2J
= ln^o
Nn
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Потенцируя, имеем
1-і
_1_\
1-f
ZfjR
N-N,
0
Nn
(14)
Анализ последнего выражения позволяет сделать некоторые выводы. Концентрация частиц не отличается от начальной в центре камеры на максимальном радиусе, что соответствует известным представлениям закономерностей вихревых течений. Максимальное значение концентраций находится на расстояниях от оси, больших половины радиуса. В рассмотренной модели
110
Вестник ЮУрГУ, № 7, 2006
Кузнецов Г.Ф.
Распределение частиц в вертикальном вихревом потоке газа
не учитывалась сила трения со стороны стенки, действующая на частицы. Любое торможение частиц на стенке камеры приводит к снижению их скорости и, следовательно, повышенной вероятности шлакования.
Распределение частиц по размерам и, следовательно, массам также влияет на их концентрацию в камере. Анализ уравнения (8) показывает - времени пребывания наиболее крупных частиц в модельной камере достаточно, чтобы произошло выравнивание скоростей всех частиц. Это будет означать, что на стенке камеры окажутся, в первую очередь, крупные частицы, что и наблюдается в реальности.
Для дальнейшего анализа запишем уравнение (14) в виде
у 1 \“
N-N,
о._
Nn
где а = -
tjuR
(15)
Правая часть уравнения обращается в нуль при £ = 0 и # = 1, поэтому между этими точками должен существовать хотя бы один экстремум.
Найдем точку экстремума, приравнивая нулю производную правой части
11
а
1
(1-4У
-1
1-1
1-1(1 ЧУ
= 0,
или
1
1-f
1-2£
= 0.
(16)
(17)
(14? { 1-4
Откуда видно, что экстремум будет иметь место в точке £ = 1/2. Для определения будет ли в этой точке максимум или минимум, определим знак второй производной в этой точке. Обозначим выражение перед последней скобкой.
1
а—(18)
(I-#)2
так это фиксированное число, не влияющее на знак второй производной, которая
^-р-о-эд
0-й2
и, следовательно, при # = 1/2 существует максимум распределения частиц. Этот результат соответствует анализу, проделанному при допущении со = const, свидетельство того, что для данного анализа такое допущение действительно можно принять.
Полученные результаты можно использовать для проектирования различных тепломассообменных аппаратов, использующих вихревые потоки.
Литература
1. Ферцигер Дж., Комер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.: Мир, 1976. - 554 с.
2. Прохоров А.М. Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1983.-928 с.
3. Пайерлс Р.Е. Квантовая теория твердых тел. - М.: Мир, 1956. - 340 с.
4. Кузнецов Г.Ф. Физико-химические процессы и технология газификации при сжигании твердых топлив. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. - 174 с.
Поступила в редакцию 24 октября 2006 г.
