Распределение бюджетных средств города как задача многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЮДЖЕТНЫХ СРЕДСТВ ГОРОДА КАК ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Ю. В. ФЕДОРОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономики и логистики на транспорте E-mail: dgock@mail.ru Самарский государственныйуниверситет путей сообщения

Рассмотрена одна из значимых задач городской финансовой логистики. Распределение средств городского бюджета предложено осуществлять через решение многокритериальной задачи оптимизации. Приведено и обосновано несколько схем такого распределения. Областью применения может быть как муниципальное, так и государственноеуправление, банковский сектор, а также корпоративное управление.

Ключевые слова: финансовая логистика, бюджет, многокритериальная задача, оптимизация, модель утилитаризма.

Оценка эффективности работы муниципалитетов во многом зависит оттого, как распределяются финансовые ресурсы. Поэтому даже в благополучной Западной Европе принципы экономической и финансово-налоговой политики по отношению к муниципальному образованию предусматривают выработку новых процедур распределения расходов. Муниципальные образования должны иметь право не только на обладание достаточными финансовыми средствами, корректировку потоков ресурсов от различных источников финансирования, но и на использование новых, научно обоснованных, прозрачных процедур распределения расходов.

Предлагается один из возможных вариантов такой процедуры, реализуемой в рамках задачи многокритериальной оптимизации.

Теория векторной оптимизации предполагает решение многокритериальных задач путем их перевода в соответствующие однокритериальные с применением одного из способов [2, 3]: • один критерий становится главным (и по нему ищется максимум или минимум), а остальные — ограничениями оптимизационной задачи;

• используется свертка критериев, аддитивная

или мультипликативная.

Аддитивные модели основываются на предположении о том, что качество исследуемой системы (экономической, управленческой или какой-либо иной), т. е. ее эффективность определяется суммой эффектов от ее свойств. Другие формы сверток, основанные, например на принципе мультипликативности эффектов, используются значительно реже аддитивных, прежде всего, из-за сложностей в обосновании целесообразности описания качества системы в виде среднегеометрического от эффектов ее свойств.

Задача оптимального распределения финансовых ресурсов города [6, 8] предполагает оптимизацию расходов бюджета, как минимум, по 13—16 направлениям. При этом возможности бюджета ограничены, выделить всем по максимуму не удается и поэтому актуальна постановка задачи, в соответствии с которой одним секторам должно быть направлено максимальное количество средств, а другим — минимальное. Такая концепция соответствует модели утилитаризма [4], отражающей вложение средств в быстро развиваемые учреждения (виды работ, районы, объекты) с целью получения максимального эффекта от затраченных финансовых средств с тем, чтобы в дальнейшем (в последующие годы) больше внимания в структуре расходов уделить оставшимся направлениям. С математической точки зрения это означает, что в постановке многокритериальной задачи оптимизации наряду с требованиями максимизации средств, направляемых на нужды одних получателей (департаментов), появляются критерии, минимизирующие финансовые ресурсы других:

58

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жг0-ръ%ъ.'н'р?4?:ж'иъ4

наити

maxxj maxx.

тахх8 minx.

minx minx

10

Ii

(1)

maxx

12

max x.

при

X. = 1

X . <x <x , /=1, п.

i mm i (max' '

maxx

max x.

(2)

при

X = 1

X . <x <x

imm i 11

i=\,n.

Тогда переходят к постановке, в которой искомыми являются те же переменные х1,х2,... хп, но обеспечивающие максимум некой синтезирующей функции (как правило, это обычное взвешенное среднее арифметическое):

наити при

max (к, х + к-х,+...+ к х )

у 1 1 2 2 п п'

-X = 1

(3)

X . <х <х , /=1, п.

г mm 1 г max' '

Здесь кр 0 < к. <1, Е к. = 1, г = 1, п — коэффициенты важности (весовые коэффициенты).

Если же просчитывается ситуация острого дефицита бюджетных средств с наихудшим развитием событий (пессимистический вариант), то решение, соответствующее минимумам финансовых ресурсов на нужды каждого департамента

Особенностью данной постановки является то, что здесь п однородных критериев, в математических записях которых присутствуют лишь искомые переменные (в относительных единицах измерения); x.mjn и ximaY, i = 1, n — это минимально допустимые ассигнования (на заработную плату, оплату электроэнергии и других жизненно важных расходных статей) и максимально допустимые потребности исследуемых направлений расходования средств соответственно. Численный расчет xi min' xi max для кажДого департамента, комитета, управления должен базироваться на использовании нормативов расходования средств и учете специфики этих учреждений. В качестве ограничений использована сумма хр i = 1, n, равная единице, — собственно бюджет, и диапазоны возможных изменений управляемых переменных.

При этом в литературе обычно приводится одна и та же аддитивная схема свертки критериев, независимо от того, нужно найти их максимумы или минимумы, или и то, и другое — постановка типа (1). Эта схема может быть использована и в задаче распределения для случая, когда требуется найти максимумы средств (оптимистический вариант распределения финансовых ресурсов города), направляемых на нужды департаментов, в рамках бюджетных ограничений: найти max х

наити

при

min х minx

min х

(4)

■х. = 1

X . < X < X , / =1, п

i mm i i max' '

будем искать, решая задачу:

найти max (—кх хх — к2х2—... — кпхг)

при х1 + х2 -

■X = 1

(5)

Никогда ранее, знакомясь с работами, так или иначе связанными со свертками критериев, не приходилось сталкиваться с введением в их математические записи отрицательных составляющих. Что касается среднеарифметической (линейной) формы свертки критериев, то в ее пользу есть ряд убедительных доводов:

1) аналитическая и вычислительная простота;

2) такую функцию можно интерпретировать как линейное приближение к «истинной» функциональной зависимости Q (к, х) синтезирующей (интегральной) функции от вектора отдельных показателей х = (xv х2,..., хп) и вектора весовых коэффициентов к = к2,..., кв);

3) линейная свертка универсальна в том смысле, что процедура поиска max (min) Q (к, х), использующая произвольную свертку, может быть реализована посредством подбора переменных и весовых коэффициентов для соответствующей линейной интегральной функции [11];

4) существует лемма [1], утверждающая, что для задач линейного программирования, каковыми и являются задачи (3), (5), любое эффективное, находящееся на множестве Парето решение может быть представлено в виде суммы произведений весов, умноженных на частные критерии.

Вся эта аргументация и позволяет остановиться в дальнейшем на средневзвешенном арифметическом виде интегральной функции.

Самой интересной и с математической точки зрения, и с точки зрения практической востребованности в нынешней экономической жизни муниципалитетов является постановка (1). Как и при переходе от (4) к (5), воспользуемся известным в теории линейного программирования приемом, в соответствии с которым, если требуется найти минимум функции, то он может быть найден как максимум той же функции, но взятой с противоположным знаком. Тогда соответствующая многокритериальной (1) однокритериальная задача оптимизации приобретает вид:

^ЙЭ-Х . /С^

наити

при

■х =1

(6)

X . <х<х , / =1, п.

г тт г г тах'

Схема формирования целевых функций задач (3), (5), (6), таким образом, одна и та же: сначала в многокритериальных задачах добиваемся единообразия — все критерии приводим к максимуму, а затем осуществляем переход к однокритериальной задаче с целевой функцией, состоящей из суммы целевых функций преобразованной многокритериальной задачи с учетом коэффициентов важности.

В пользу правомочности такого варианта свертки п критериев можно привести ряд аргументов.

Во-первых, сравнение результатов решения задач (3), (6), (5) показывает последовательное уменьшение

Системный анализ

Функционально-стоимостной анализ

Метод анализа иерархий

Рис. 1. Этапы формализации задачи оптимального распределения ресурсов

значений соответствующих целевых функций, что легко укладывается в логику здравого смысла.

Во-вторых, применение способа решения многокритериальной задачи (1) и решения ее как одно-критериальной задачи в виде (6) позволяет говорить о близости результатов. Любой исследователь, имеющий опытрешения оптимизационных (многокритериальных) задач разными методами, подтвердит, что теоретически результаты должны совпадать, но практически это происходит крайне редко [2]. Поэтому то, что получено в итоге этого исследования, можно с полным основанием зачислить в разряд позитивных доводов относительно правомочности рассматриваемой схемы свертки критериев.

В-третьих, с точки зрения экономического содержания схема формирования целевой функции однокритериальной задачи оптимизации может быть использована для оценки как качества жизни (при распределении средств городского бюджета по секторам или департаментам [6,8]), так и степени эффективности управления (при распределении финансовых ресурсов по функциям департаментов [7,10]). В интерпретацию значений интегрального показателя качества жизни как оценки степени эффективности управления городом (департаментов, комитетов, административных служб) легко укладывается факт появления отрицательных составляющих, которые уменьшают величину соответствующего показателя эффективности. Трудно рассчитывать на повышение степени эффективности управления, если финансовые средства выделяются на минимальном уровне.

Скорее наоборот, уровень эффективности управления понизится, что и объясняет появление в математической записи соответствующего показателя отрицательной составляющей.

Еще один важный момент касается определения численных значений коэффициентов важности кр I = 1, п (вектора приоритетов направлений расходования средств). В решении этого вопроса следует исходить из того, что повышение качества жизни — главная цель городских властей; ей же должно подчиняться и распределение финансовых ресурсов (бюджета). На рис. 1 представлена схема приведения многокритериальной задачи

Предлагаемая схема свертки критериев

60

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жгвРЪЯЪ'НР^'Х'ШЪ'^

распределения ресурсов (1) к однокрите-риальной (6) [9], где указана, в том числе, и последовательность шагов по оценке коэффициентов важности.

Применяемый способ формирования целевой функции однокритериальной задачи оптимизации таков, что вектор приоритетов направлений расходования средств, компоненты которого служат в качестве коэффициентов при искомых переменных, рассчитывается на основе применения качественных факторов, оказывающих существенное влияние на качество жизни.

Такой расчет можно сделать, используя метод анализа иерархий [5], который позволил с позиции системного анализа, детализируя проблему повышения качестважизни через призму городского бюджета (рис. 2), получить искомые оценки к = (к1; к2,..., кп) и математическую запись интегрального показателя качестважизни (целевой функции).

Нижний (третий) уровень на рис. 2 представлен департаментами, комитетами, управлениями и другими учреждениями, через которые идет финансирование работ и услуг, выполнение которых позволит говорить о реализации целей второго уровня иерархии. Для их компактного размещения на рис. 2 введены условные обозначения (см. таблицу).

Структурные подразделения мэрии

Рис. 2. Иерархическая схема повышения качества жизни населения города

Оценку компонент вектора приоритетов направлений расходования средств к = (kv к2,..., к20) можно получить, используя программное обеспечение, разработанное фирмой Expert Choice. Оно имеет дружеский пользовательский интерфейс и не требует много времени для освоения [5].

Первый из указанных вариантов оценки кр i = 1, 20 [6] позволяет записать окончательный вид задачи (6):

0,1357х1 + 0,0709х2 + 0,0246х3 + +0,0246х4 + 0,021Ц + 0,0374х6 + + 0,0853х7 + 0,1004Х8 - 0,1823х9 -

Подразделение Условное обозначение

ГУВД А

Государственная противопожарная служба

Управление по гражданской обороне

Отдел ГИБДД ГУВД

Инспекция МНС В

Управление городской статистики С

Управление внешнеэкономических и меж- D

дународных связей

Комитет по экологии N

Департамент энергетики, ЖКХ и связи Г

Департамент образования F

Транспортное управление G

Департамент по строительству, архитектуре, Н

землепользованию

Департамент здравоохранения I

Департамент культуры J

Комитет по физической культуре и спорту

Департамент по управлению муниципаль- К

ным имуществом

Финансовое управление

Центр по начислению и выплате пенсий и Г

пособий

Комитет по вопросам семьи, материнства и м

детства

Управление социальной поддержки

наити max

- 0,123Ц0 - 0,0724хц + 0,0335х,2 0,0396х,3 + 0,0233х,4 + 0,077х,5 + + 0,0018Х[6 + 0,0055Х[7 + 0,0066х,8 + + 0,0031х,„ + 0,0009х7(1

+ +

при

V1

2

4

,= 1

7

+ + ...+ X2g

0,1221 <x1 < 0,1628; 0,073 <х2< 0,0851; 0,0221 <х3< 0,0295; 0,0221 <х4< 0,0295; 0,0190 <х5< 0,0253; 0,0337 <х6< 0,0449; 0,0768 <х7< 0,1024;0,0904<х8< 0,1205; 16^И<х9 <0,2188;

0,1108 <х10< 0,1477; 0,0652 <хп < < 0,0869; 0,0302 < х12 < 0,0402;

(7)

0,0354 <х13< 0,0475;

0,0210 <х14<

0,0280; 0,0069 < х15 < 0,0092; 0,0016 <

х16< 0,0022; 0,0050 <х17< 0,0066;

17 -

0,0059 < х18 < 0,0079; 0,0028 < х19 < <0,0037;0,0008<х20< 0,0011.

Оптимистический и пессимистический варианты распределения средств, с постановками (2) — (3) и (4) — (5) соответственно, приводить не имеет смысла, поскольку от (7) они отличаются лишь знаками при переменных в целевой функции: в оптимистическом варианте — это знаки «плюс», а

в пессимистическом — все знаки «минус». Эти отличия нашли отражение в значении интегрального показателя качества жизни (целевой функции) при решении задач на ПК: наибольшее значение 0,1063 соответствует заявке на максимальные ресурсы, затем следует решение задачи (7), равное 0,0052, и — 0,0949 (пессимистический вариант). Такие результаты хорошо согласуются с представлением о том, что чем больше выделяемых ресурсов, тем выше уровень качества жизни (позиция здравого смысла в аргументации правомочности введения предлагаемой схемы свертки критериев).

Наконец, последний довод в пользу рассматриваемой схемы свертки — это близость решения многокритериальной задачи (1), как задачи одно-критериальной оптимизации в виде (7), к решению этой же задачи, но иным методом, отличным от предлагаемого. Для этого в качестве альтернативного варианта можно рассмотреть традиционный, в силу своей известности, подход, согласно которому один показатель (направление расходования средств) считается наиболее важным и ищется его максимальное значение, а остальные показатели переводятся в разряд ограничений.

Список литературы

Если в качестве такого направления расходования средств принять жилищно-коммунальное хозяйство, решить задачу максимизации этих расходов при ограничениях на другие, а затем проанализировать полученные результаты, записать соответствующую задачу в постановке (1) и решить эквивалентную ей однокритериальную в виде (6), то получим практически ту же самую численную совокупность компонент вектора х=(хх,х2,...,х2{) [9].

Такой исход сравнения результатов оптимизации подтверждает правомочность решения многокритериальной задачи типа (1) или (2), или

(4) как однокритериальной в виде (6) или (3), или

(5) соответственно.

Область приложения предлагаемого способа оптимального распределения ресурсов весьма широка. Это и муниципальные учреждения, и банковские структуры, и все компании, независимо от их форм собственности и уровня капитализации. Его применение позволяет руководителям этих предприятий сравнивать фактические затраты с научно обоснованными, выявлять имеющиеся резервы и намечать пути их дальнейшего использования.

1. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

2. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000.

3. Машунин Ю. К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. М.: Логос, 2001.

4. Пиндайк Р., РубенфельдД. Микроэкономика / пер. с англ. М.: Дело, 1992.

5. Саати ^.Принятие решений. Метод анализа иерархий / пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993.

6. Федоров Ю.В. Математическая модель управления социально-экономическим развитием города // Информационныетехнологии, 2004, № 2.

7. Федоров Ю.В. Многокритериальная задача использования ресурсов в условиях неопределенности // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, 2004. №11.

8. Федоров Ю. В. Оценка параметров расходной части бюджета как задача многокритериальной оптимизации // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, 2003. № 10.

9. Федоров Ю. В. Принятие решений в управлении социально-экономическим развитием города. М.: ЛКИ, 2007.

10. Федоров Ю.В. Решение многокритериальной задачи оптимизации в нечеткой постановке // Информационныетехнологии, 2005. № 7.

11. Хованов Н.В. Универсальность линейной свертки отдельных показателей // Методология и практика оценки качества продукции. Вып. 3. Л.: ЛГУ, 1990.

62

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: жг0РЪЯ-Ъ.'НР?4?:Ж'иЪ4