Распознавание рекуррентных последовательностей, порождаемых консервативными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.172, 510.52

РАСПОЗНАВАНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПОРОЖДАЕМЫХ КОНСЕРВАТИВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

О. Е. Сергеева

Пусть K — класс функций вида f : Rn ^ R, где n = 1, 2, 3,..., и S (K, N) — множество начальных отрезков длины N рекуррентных последовательностей, построенных при помощи функций из K. Рассматривается задача распознавания свойства «х £ S (K, N)» для произвольной последовательности x £ RN. В случае, когда K — класс консервативных функций над кольцом R = Zpn, предлагается алгоритм решения этой задачи, битовая сложность которого O (N log2 N).

Ключевые слова: схема, функциональные элементы, рекуррентные последовательности, консервативные функции.

Задача распознавания последовательностей состоит в том, чтобы по заданной последовательности сказать, возможно ли её построить рекуррентно при помощи функции из определённого класса. Так, для распознавания свойства линейности над полем используется алгоритм Берлекэмпа — Месси [1, 2], обобщённый в работах В. Л. Куракина [3] для колец и модулей.

В работах В. С. Анашина [4] предложено для построения рекуррентных последовательностей использовать полиномиальные, дифференцируемые и консервативные функции над кольцом. Такие функции имеют эффективную программную и аппаратную реализацию. В связи с этим в работе рассматриваются функции, сохраняющие систему эквивалентностей, частным случаем которых являются консервативные.

Пусть П — конечное множество булевых функций, которое назовём базисом. Схема из функциональных элементов [5] — это ориентированный граф без циклов, где каждый вход помечен некоторой переменной, остальные вершины помечены базисными функциями. Если вершина помечена функцией от n аргументов, то её полустепень захода равна n. Сложностью схемы назовем число вершин в ней.

Пусть R — конечное k-элементное множество; R* — множество всех бесконечных последовательностей с элементами из R; Pr — класс всех функций вида f : Rn ^ R при n = 1, 2, 3,...

Определение 1. Последовательность х\х2х3... £ R* называется рекуррентной над классом K С Pr, если для некоторого n существует функция f от n аргументов в классе K, такая, что f (xj,... , xn+i_i) = xn+i при всех i = 1, 2, 3,...

Для любого целого положительного N обозначим через S (K, N) множество начальных отрезков длины N рекуррентных последовательностей над классом функций K. Далее рассматривается задача распознавания свойства «х £ S (K, N)» для х £ RN. Нас интересует сложность алгоритма, решающего данную задачу, как функция растущего N. Назовём S (K, N)-схемой схему из функциональных элементов, которая распознает названное выше свойство. При этом предполагается, что буквы алфавита R кодируются двоичными наборами фиксированной длины с и последовательности подаются на вход схемы в закодированном виде — наборами длины Nc.

Перейдём к описанию класса K.

Определение 2. Пусть е С R1 —отношение на множестве R, A С Rn. Частичная функция f : A ^ R сохраняет отношение е, если для любых наборов (х11,... ,х11), ... , (хп1, ... ,хП1 ), удовлетворяющих отношению е и таких, что функция f определена

на наборах (жи,... ,xni), ..., (xi,... ,ж„г), набор (/ (жп,... ,xni), ..., / (xi,... ,ж„г)) также удовлетворяет є.

Пусть є = {є1,...,єт} — система эквивалентностей на множестве R, такая, что є1 ^ є2 ^ ... ^ єт, и РдП) (є) — класс функций от n аргументов, сохраняющих все эквивалентности из є. Если R = Z pm и є система сравнимостей по модулям p, p2, ... , pm-1, то (є) —это класс консервативных функций. Будем решать поставленную

задачу для класса K = Рдга)(є). Важной является следующая

Лемма 1. Путь A С Rn. Частичная функция / : A ^ R, сохраняющая все эквивалентности из є, может быть продолжена до полностью определенной функции в классе Pj^ (є).

Лемма 1 позволяет построить последовательность S (K, N)-схем сложности O(N2).

Теорема 1. Для любого n существует последовательность S (K, N)-схем сложности O (N log2 N).

ЛИТЕРАТУРА

1. Berlekamp E. R. Algebraic Coding Theory. New York: Mc Craw-Hill, 1968. (Пер.: Берле-кэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971.)

2. Massey J. L. Shift-register synthesis and BCH decoding // IEEE Trans. Inform. Theory. 1969. V. 15. No 1. Part 1. P. 122-127.

3. Куракин В. Л. Алгоритм Берлекэмпа — Мэсси над конечными коммутативными кольцами // Проблемы передачи информ. 1999. №35. C. 38-50.

4. Анашин В. С. Равномерно распределенные последовательности целых p-адических чисел // Математические заметки. 1994. Т. 55. №2. C.3-46.

5. Wegener I. The Complexity of Boolean Functions. John Wiley & Sons Ltd, 1987.