CC BY
99
Математические проблемы надежности
УДК 629.7.015.4
А.В. Русаков, Ю.Л. Тарасов
РАСЧЁТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕТОДИКА ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЁЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С УЧЁТОМ УСЛОВИЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Представлена научнообоснованная инженерная методика обеспечения надёжности элементов конструкции космического летательного аппарата на этапе проектирования, учитывающая вероятность возникновения трещины и влияние различных конструктивных и эксплуатационных факторов на свойства конструкционных материалов. Применение методики основано на оценках надёжности принимаемых конструкторско-технологических решений по критериям вероятности безотказной работы и долговечности.
Из всех этапов создания космических летательных аппаратов (КЛА) наиболее важным является этап проектирования, так как здесь закладывается необходимый уровень надежности. На других этапах уровень надёжности реализуется и расходуется. В настоящей работе рассматривается методика обеспечения надежности КЛА на этапе проектирования. Разработанная методика позволяет учесть влияние конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов, носящих стохастический характер, на прочностные свойства элементов конструкции КЛА и оценить уровень их надёжности.
Как показывает практика, на современном уровне развития технологий при производстве элементов конструкций КЛА практически не удаётся избежать появления микроскопических дефектов (пор, включений, расслоений, скоплений дислокаций, непроваров), которые в процессе эксплуатации становятся причиной возникновения трещин. Трещины в сочетании с низкой вязкостью материала, а также с условиями эксплуатации, способствующими охрупчиванию материала, приводят к снижению прочности и надёжности конструкции. В этом случае надёжность определяется в основном трещиностойкостью материала, изменяющейся под действием условий эксплуатации.
Из всех этапов эксплуатации КЛА самым продолжительным является орбитальный полет. На этом этапе условия эксплуатации характеризуются такими факторами космического пространства, как невесомость, крайне низкое давление, экстремальные температуры, высокий уровень радиации, наличие метеорных частиц и т.д. Вследствие стохастического характера этих факторов характеристики прочности и трещиностойкости разрабатываемых элементов конструкций КЛА носят также случайный характер.
Представленная методика обеспечения надёжности КЛА на этапе проектирования основана на способах оценки надёжности различных агрегатов и узлов КЛА по критериям вероятности безотказной работы и долговечности при нехватке априорной информации о вероятностных характеристиках и законах распределения внешнего воздействия на КЛА.
Надёжность проектируемого изделия предлагается обеспечивать следующим образом: проводится оценка всех элементов конструкции проектируемого КЛА по критерию надёжности. Из них выбираются наименее надёжные и соответствующим образом изменяются их конструктивно-силовые схемы с целью повысить уровень их надёжности. Для этого, например, можно изменить режимы термообработки, подобрать оптимальным образом конструкционные материалы, предусмотреть различные силовые элементы - шпангоуты, стрингеры и т.д.
Разработанная методика позволяет выбрать из всего многообразия конструкторско-технологических схем такую, уровень надёжности которой соответствовал бы уровню, обусловленному тактико-техническим требованиям на проектируемое изделие.
Способы оценок надёжности по критериям вероятности безотказной работы и долговечности основаны на общей теории В.В. Болотина, согласно которой надёжность Н(т) трактуется как вероятность пребывания функции качества у(т) в заданной области 0.0 в течение требуемого времени т:
Н (т) = р[|/(т)еО 0;0 < т< г ]. (1)
Ограничимся в данной работе изучением элементов конструкций КЛА, допускающих повреждения в виде трещин, отказы которых наступают внезапно, под действием максимальных нагрузок, возникающих при неблагоприятных, но вполне реальных условиях и режимах работы. В этом случае за параметр качества системы V целесообразно принять критерий упругопластического разрушения - инвариантный 1-интеграл Райса-Черепанова. В общем случае его величина равна необратимой удельной работе деформаций в окрестности края трещины. Величина 1-интеграла постепенно изменяется в ходе эксплуатации. При достижении ею критического значения происходит неконтролируемый рост трещины и немедленное разрушение. Критические значения этой величины 1с образуют границу области допустимых состояний П0. В этом случае вероятность безотказной работы элемента конструкции оценивается выражением
Н(0 = р[?Т) < Jc; 0 < т < г]. (2)
Величина 1-интеграла зависит от вида нагружения, длины и формы трещин, свойств материала. Из-за роста трещины 1-интеграл является функцией времени, а в силу стохастического характера внутренних силовых факторов - случайной функцией. На рис. 1 представлена общая схема, содержащая весь комплекс необходимых мероприятий, необходимых для оценок надёжности элементов конструкции КЛА.
--------------------4*----------------------------
Нормирование срока эксплуатации и длин трещин
Р и с. 1. Схема оценки надежности элементов конструкций, допускающих повреждения
Окончательному вычислению функции надёжности (2) предшествуют 5 этапов: схематизация системы и внешнего воздействия, выбор пространства качества, определение стохастического поведения системы (решение задачи статистической динамики), определение функции надёжности Н(т) и нормирование сроков эксплуатации и допускаемых размеров повреждений. Остановимся подробнее на каждом из пунктов.
На первом этапе для проектируемого элемента конструкции выбирается расчётная схема, включающая в себя геометрию, граничные условия и материал. При этом моделируются все возможные условия эксплуатации и задаются их вероятностные характеристики. Законы распределения предлагается принимать нормальными. Применение нормального закона оправдано тем, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, при суммировании большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно стремится к нормальному.
Выбор пространства качества
На следующем этапе производится выбор критериев надёжности и определение пространства качества. Пространство качества будет одномерным Евклидовым, т.е. прямой 0<1<да, а область допустимых состояний 0.0 - отрезком этой прямой 0 - 1С.
Условия эксплуатации значительно изменяют прочностные свойства проектируемых элементов конструкций и в значительной степени определяют поведение параметра качества I и положения границы области допустимых состояний 1С. Для определения вероятностного закона Б(1) и Р(1С) необходимо иметь функциональную связь между функциями I и 1С и эксплуатационными параметрами в детерминированной постановке.
Оценка влияния конструктивных и эксплуатационных факторов на положение границ
области допустимых состояний
Для оценки характера изменения критического значения трещиностойкости 1С под действием различных конструкционно-технологических и эксплуатационных факторов предлагается использовать методы теории планирования многофакторных экспериментов. Применение этой методики позволяет получить нужную информацию с заданной точностью при минимальном количестве опытов и избежать проведения дорогостоящих натурных экспериментов.
Для реализации поставленной задачи возможно использование методов математического моделирования. В реальной ситуации на исследуемые свойства материалов действует множество переменных (факторов). В результате выявления существенных факторов и отбрасывания несущественных происходит моделирование реального явления. Выбранная модель должна быть адекватной и простой. Адекватность модели проверяется после реализации опытов. Модели рассматриваются в виде алгебраических полиномов:
^ = 3с = ъ + XЬ1х1 + X ъг]хгх] + Xъг]кхгх}хк + XЬг]ШХгХ]ХкХ1 +
г=1 ]>г>1 к>]>г >1 1>к>]>г>1
+ Ъ12345х 1 х 2 х з х 4 х 5, (3)
где Ъ0, Ъ, Ъ^, Ъ^1т - коэффициенты; Хг, х3 хг - факторы планирования.
В этой модели можно оценить влияние как каждого фактора по отдельности, так и их совместное воздействие. Если на объект воздействуют сразу множество факторов (совокупность), значит, они должны быть совместимы и независимы. Все их комбинации должны быть безопасно осуществимы.
Согласно теории планирования, в эксперименте по определенному плану изменяются сразу все независимые величины (факторы), определяющие условия эксперимента. В результате опытов фиксируются выходные величины, называемые откликами. В качестве факторов планирования можно взять такие факторы, как давление среды, температуру, толщину, ширину образца и относительную длину трещины. Под функцией отклика понимаются численные характеристики экспериментальных исследований - 1С.
Эксперименты проводились с помощью лабораторной установки АЛА-ТОО [5], позволяющей имитировать некоторые условия космического пространства: вакуум и температуру. Установка позволяет в течение длительных усталостных испытаний поддерживать постоянные параметры нагружения при трехточечном изгибе. Для определения значений 1С для каждого образца рекомендуется использовать методику, предложенную комиссией Е 24-01-09 американского общества инженеров-механиков с использованием формулы Т. Канадзава с соавторами [5]:
3 =
а (а 2 . .
В РкЧк IВ г ^ к
1 (4)
(В -1)
где рк цк - соответственно конечные нагрузка и перемещение; Ак - площадь под диаграммой разрушения; а - функция, зависящая от функции податливости У(Ь/Ж).
Условия эксперимента при этом представляются в виде таблицы - матрицы планирования. Каждая строка матрицы называется вектор-строкой, и значения X' в ней соответствуют величинам всех к-факторов при данном опыте; каждый столбец называется вектор-столбцом, а значения Х' в нём соответствуют величинам ' - фактора в каждом из N опытов. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями, при постановке опытов, запланированных матрицей, придерживаются случайной последовательности реализации опытов. Каждая горизонтальная строка матрицы - это условия опыта. Для оценки статистических параметров опыты необходимо производить 2 - 5 раз и далее определить среднее арифметическое результатов повторных опытов.
По результатам эксперимента определяется среднее значение и дисперсия как для параллельных опытов, так и для всей совокупности:
п
2 У,
У = (5)
п
где у - полученное значение 3С; п - число повторных опытов. Отклонение результатов опыта от среднего арифметического оценивается значениями дисперсии
Ё (У - У)
Б = -----— . (6)
п-1
Для простоты можно ограничиться одинаковым числом опытов для каждого из условий проведения опытов. Тогда однородность дисперсий всех опытов целесообразно проверять с помощью критерия Кохрена. Если полученное значение (7) не превышает соответствующего табличного, то дисперсии можно считать однородными:
т-\ тах
О = Б—, (7)
Ё
'=1
где N - число опытов в матрице планирования.
Если математическая модель эксперимента обеспечивает однородность дисперсий, то для обработки результатов эксперимента можно использовать методы регрессионного анализа. Для этого, используя метод наименьших квадратов, определяют коэффициенты уравнения (3):
1 N
ь=^ Ё ', ®
'=1
где I = 1, 2, ... к - номер фактора; ' - номер опыта; к - число факторов.
Коэффициенты при членах, оценивающих воздействие факторов, определяются суммированием произведения кодированных значений всех взаимодействующих факторов и отклика:
1 N
ь- = -Ц Ё Х<,Х.У,, (9)
3=1
где /, и = 1, 2,. .,к.
После вычисления коэффициентов проводится проверка адекватности принятой модели по критерию Фишера:
Г = , (10)
Б
Б{ у}
1 N 1 N
где Бад = — Ё (У' - ~)2; Б{у} = — Ё Бу' . Здесь / = ^(к+1) - число степеней свободы; к - чис-f '=1 N '=1
ло факторов модели. Если экспериментальные значения Г не превышают табличные, то модель считается адекватной. Далее, проверяется значимость коэффициентов уравнения (3), построением доверительного интервала с использованием г-критерия Стьюдента:
АЬ =^У}. (11)
VN
Коэффициент считается значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Незначимые коэффициенты приравниваются нулю. Оставшиеся значимыми коэффициенты показывают степень влияния отдельных факторов в области их изменения и их взаимодействия на функцию отклика. Значимые коэффициенты подставляются в уравнение (3).
Полученное уравнение называется уравнением регрессии и представляет собой искомую математическую модель влияния технологии изготовления элементов конструкции и условий их эксплуатации на трещиностойкость изучаемого материала.
Это уравнение представляет собой детерминированную зависимость величины 3С, принятой за параметр границы области допустимых состояний О0, от условий окружающей среды и конструкционно-технологических факторов.
Определение параметра качества системы и оценка напряженно - деформированного
состояния элементов конструкции КЛА с трещинами
Исследование изменения параметра качества системы 3-интеграла необходимо проводить на основе анализа напряжённо-деформированного состояния элемента конструкции в зоне у вершины трещины. Решение этой задачи, как показывает практика, осложняется нелинейностью процессов упругопластического деформирования материала в зоне у вершины трещины. В случаях, когда анализ напряжений и деформаций не может быть сделан в явном виде, необходимо прибегать к численным методам. Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет решать задачу о напряжённо-деформированном состоянии у вершины трещины при произвольных условиях нагружения и геометрии исследуемой конструкции, а также исследовать поля перемещений, деформаций и напряжений в процессе увеличения внешних нагрузок и распространения трещин.
В этом случае схема создания конечно-элементной модели следующая: исследуемый объект - идеализированная расчетная схема - система алгебраических уравнений - искомые деформации и напряжения - значения 1-интеграла, вычисленные по контурам интегрирования Г аусса.
Для реализации решения с помощью МКЭ использовался программный комплекс РАТЯАК+КА8ТКАК, позволявший рассчитывать значения 3-интеграла для различных конструктивно-силовых схем с учётом любых эксплуатационных факторов.
Представим общую схему оценки напряжённо-деформированного состояния элементов конструкций КЛА с помощью МКЭ.
Моделирование конструкции конечнъми элементами
В работе использовался высокоэффективный изопараметрический двадцатиузловой объёмный 8оШ-элемент “Неха-20”. Каждый узел имеет 6 степеней свободы (3 перемещения и 3 угла поворота относительно координатных осей). Применение пространственного элемента в программе “РАТКАК” оправдано его свойством рассчитывать 3-интеграл в районе трещины (проведённые расчёты доказали возможность использования пространственных элементов даже для оценки напряжённо-деформированного состояния оболочечных конструкций). В этом отношении пространственные элементы выгодно отличаются от оболочечных, способных также с большой точностью определять напряжения и деформации, возникающие в конструкции под действием прикладываемых сил.
В местах рядом с концентраторами напряжений, какими являются трещины и сечения конструкции с резким изменением её геометрии, производится сильное сгущение сетки конечных элементов. Препроцессор РАТЯАЫ позволяет моделировать трещины путём указания конкретных узлов соседних элементов, не связанных между собой.
Расчеты показали, что при размере элемента у вершины трещины А = 0,1Ьтрещ ошибка вычислений составляет 1 - 2%. Поля упругопластических напряжений и деформаций определяются на основе монотонного пошагового нагружения с использованием пластической матрицы. Для определения момента достижения в конечном элементе состояния пластического течения в качестве базовых точек используются точки интегрирования Г аусса. После этого моделируются необходимые граничные условия путём наложения ограничений на перемещения в глобальных координатных осях и прикладываются нагрузки. На узлы, принадлежащие берегам
трещины, не накладывается никаких ограничении, за исключением ограничении по условиям симметрии.
Для каждого материала задаются его физико-механические характеристики - модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, вид диаграммы деформирования и т.д. При этом к узлам конечных элементов прикладываются нагрузки. Это могут быть растягивающие усилия, изгибающие моменты, внутренние давления, поперечные усилия, температура и др.
Расчёт значений 3-интеграла
Для несимметричных двумерных трещин вектор потока энергии 3 = 3Х1 + 3^ показан на рис. 2 и имеет следующие компоненты:
У = | (Эп)
ди,
дх,
(12)
Здесь и 1 и 0^ компоненты перемещении и напряжении; п1 - компонента нормали к элементу контура dS; Э = | ст ^ - плотность энергии деформации.
В практических расчетах для определения критического состояния и начального угла распространения трещины обычно оперируют компонентами 3-интеграла 3Х, и 3У Эти компоненты можно определить непосредственным интегрированием выражения (12).
Р и с. 2. Система координат, связанная с трещиной
При положительном (против часовой стрелки) обходе контура компоненты вектора норману йх
ли к контуру равны пх =
йБ
и п
Г =-----. В явном виде компоненты потока энергии записыва-
йБ
ются в виде
У = Цэ
с
У =1
дыг
дх
йу +
ди.
Л
СТ у е у +СТ ху
- э
(
йх -
дх
дих
ду
+ СТ ху е х
йх,
(13)
+ СТ ху е ху
йу •
(14)
дих
ск дУ
Контур интегрирования выбирается проходящим через точки интегрирования в гауссовых квадратурах. Все напряжения, деформации и производные в (13) и (14) относятся к системе координат, связанной с трещиной. В неИ ось ОХ совпадает с касательной к линии трещины в ее вершине.
Поскольку напряжения вычисляются в точках Г аусса, то I удобнее всего определять по задаваемым вручную 4-5 контурам, проходящим через эти точки. Результатом работы программы являются картины полей напряжений и деформаций как во всём элементе конструкций, так и в раионе трещины. При этом для каждого из условии нагружения рассчитываются осреднённые по контурам значения интеграла Райса - Черепанова.
Рассчитывая значения I для различных расчётных случаев, можно установить детерминированную зависимость между “входными” параметрами нагружения, условиями эксплуатации и “выходными” значениями 1-интеграла, принятого за параметр качества V исследуемой системы. Как показали расчёты, для фиксированного момента времени такие зависимости представляются наилучшим образом полиномом второй степени относительно нагрузки:
3 = аР2 + ЬР + с, (15)
где а, Ь и с - коэффициенты уравнения, получаемые впоследствии методом наименьших квадратов или выбранных точек.
На этом этапе решается задача статистической динамики, заключающаяся в определении вероятностных характеристик внутренних силовых факторов элемента конструкции, допускающего повреждения в виде трещин, при случайном внешнем воздействии. В частном случае необходимо определить вероятностные законы распределения параметров качества I и границ области допустимых состояний 1с исследуемых систем по известным законам распределения и моментным характеристикам эксплуатационных факторов: нагрузки, температуры, давления, радиации и т.д.
Исследование стохастических систем обычно сильно затруднено отсутствием информации о том, как связаны реакции случайных функций с входными вероятностными характеристиками. Для решения поставленной задачи предлагается использовать метод интерполяционных полиномов (МИП) [7]. Он основан на представлении случайных функций в форме функций, содержащих случайные параметры. Достоинством метода является возможность изучать поведение нелинейных, изменяющихся во времени стохастических систем при случайном внешнем воздействии, что существенно отличает его от других методов. Это позволяет практически по любому закону распределения внешнего воздействия с большой точностью определять мо-ментные характеристики и закон распределения параметра качества системы I и параметра границ области допустимых состояний 1с.
Исходными данными для решения задач статистической динамики по МИП являются установленные выше детерминированные зависимости I и 1С от условий эксплуатации и их мо-ментные характеристики.
Для удобства использования МИП следующий алгоритм, приведенный ниже.
Алгоритм применения метода интерполяционных полиномов
Реакция конструкции на внешнее стохастическое воздействие представляет собой случайный процесс. Систему дифференциальных уравнений относительно выходных параметров нагружения г1 (г), 72 (г),... гп (г), можно представить в виде
йг-
— = /, (г, ^..^ 2п , — Пт ), (16)
йг
где /1 - некоторые линейные или нелинейные функции от указанных аргументов. VI, V2, vm -случайные величины, моделирующие входные факторы, такие как нагрузки, температура, давление окружающей среды и т.д.
В прямой задаче статистической динамики требуется по заданному уравнению (16), заданным вероятностным характеристикам случайных величин VI, v2, vm и случайных функций г;(г), г2(г), ... (г), определить математические ожидания, дисперсии, корреляционные
функции, интегральные законы распределения различных внутренних силовых факторов (например, интеграла Райса-Черепанова, принятого за параметр пространства качества исследуемых систем).
Представим далее три основных этапа решения задачи статистической динамики с помощью МИП.
Выборка и расчет узлов типа Чебышева и чисел Кристоффеля
Для случайных величин (это входные факторы, находящиеся в правых частях исходной системы дифференциальных уравнений (16)) при помощи таблиц узлов Чебышева и чисел Кри-стоффеля [7] для равномерного, нормального и экспоненциального законов распределения рассчитываются рабочие узлы («ш, «2к2, ■■■, «тт).
В случае если закон распределения входных параметров отличается от вышеуказанных, то применяется ^ - преобразование, описанное ниже.
Для каждого рабочего узла вычисляется соответствующее число Кристоффеля
т
Рк\,к2....М = Прк , где Рч берутся из таблиц [7].
]=1
Общее количество интегрирований системы равно числу выбранных узлов интерполяции N (в данном случае табличные значения узлов Чебышева подставляются в детерминированные
зависимости вида У = /(р, Т), найденные выше).
Расчет вероятностных характеристик выходных случайных функций
Расчет выполняется по формуле т(2) » X 2к1к2 ктрк1к2 кт , где суммирование выпол-
к1,к 2,...,кт
няется по всем индексам к1, к2, ,кт. Для нахождения моментных характеристик используются следующие выражения:
т(2г V» = X 2г (^, П1к1> П2к2>...> Пткт )рк1,к2,....,кт ; (17)
к1,к 2,..,кт
Я = [2 (0]» X (2г & П1к1,..,..П ткт ) - 2{ )2 Рк1> к2,....,кт . (18)
к1,к 2,...,кт
Для случая двух случайных величин
т[2г (*1)2у (?2)]» X 2г (^1> Цш> т 2к 2>...> ^ткт ) * 2г (t2, ^1к1 ...... ^ктк )Р к1> к2,^,кт . (19)
к1,к 2,..,кт
И, наконец, функция распределения определяется соотношением
F(/) = (I) < 2г ]» X 1
Рк1 ,к2 ,...,кт . (20)
2г (^, М-1к1 ,..., тткт ) 2г
|2г (t, тш,...., т ткт ) - 2г
Следовательно, суть интерполяционного метода сводится к тому, что выбираются специальные узлы интерполирования и числа Кристоффеля; осуществляется численное интегрирование заданной системы дифференциальных уравнений в выбранных узлах и в правые части этой системы вместо случайных величин подставляются соответствующие числа (узлы типа Чебышева).
Точность вычислений по формулам (17) - (20) достигается рациональным выбором узлов интерполирования.
Координаты узлов типа Чебышева и значения чисел Кристоффеля для случайных величин, распределенных по равномерному, нормальному и экспоненциальному законам, приведены в справочной литературе [7]. С их помощью можно находить значения соответствующих случайных параметров в узлах интерполирования.
Так, например, значение случайной величины т, распределенной по нормальному закону, в узле Чебышева с координатой хи определяется по формуле тк1 = т(т) + сттхк1, где т(т) и ат -математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение величины т.
Преобразование случайных величин, имеющих законы распределения, не связанные с классическими ортогональными многочленами
Допустим, что случайная величина X имеет некоторый закон распределения вероятностей с плотностью распределения р(Х), причем этот закон отличается от перечисленных выше. Если возникает необходимость использовать узлы Чебышева для такой случайной величины, то предлагается подвергнуть исходную величину X преобразованию:
Я = С(х), (21)
где С - некоторая нелинейная функция; х - случайная величина, имеющая плотность распределения р(х) с известными узлами типа Чебышева и числами Кристоффеля. Функцию С(х) следует определить таким образом, чтобы в результате преобразования случайной величины х при помощи этой функции получалась случайная величина Я с плотностью р(Я). При этом функция С(х) должна непрерывно и однозначно отображать все возможные значения случайной величины х е [а, Ь] на область значений случайной величины 1 е [с; d ] и должны быть выполнены граничные условия: с = £ (а); d=Z (Ь).
Преобразование С(х) можно построить, записав интегральные законы распределения случайных величин х и у: ^х(х) = ЕЯ(у) Если это уравнение удается однозначно разрешить относительно у и удовлетворить граничные условия, то ^-преобразование построено, т.е. у(х) =^(х) = 1. Применяя £ - преобразование, мы получаем возможность использовать извест-
ные узлы Чебышева и числа Кристоффеля для случайной величины Я с “нестандартной” плотностью вероятностей Р(Я).
Определение функции надёжности
Оценка надёжности проектируемого элемента конструкции КЛА по критерию вероятности безотказной работы
Очень часто на практике возникают ситуации, когда бывает необходимо определить уровень надёжности уже работающего изделия, в элементе конструкции которого было обнаружено повреждение в виде трещины. При этом, как правило, не удаётся установить закономерности изменения его трещиностойкости во времени. В таком случае, если известны размеры дефекта, свойства материалов, и условия эксплуатации, то можно определять уровень надежности повреждённого элемента конструкции КЛА по критерию вероятности безотказной работы. Условие безотказной работы имеет вид
Другими словами, надёжность оценивается вероятностью попадания случайной величины I в область допустимых состояний, описываемую критическими значениями интеграла Райса-Черепанова 1С. Имея значения моментных характеристик I и 1С и учитывая нормальный характер их распределения, надёжность элементов конструкций КЛА, допускающих повреждения, оценивается с помощью следующего соотношения:
Этот способ позволяет изучить влияние длин трещин и условий эксплуатации на надёжность системы. Расчёт рекомендуется делать в следующей последовательности.
1. По найденным вероятностным характеристикам: математическим ожиданиям т(У), т(УС) и дисперсиям Я(У), Я(УС) оценивается вероятность безотказной работы по формуле (23).
2. Строятся кривые изменения надежности в зависимости от длины трещин, температуры и других факторов, указанных в техническом задании.
3. Даются рекомендации по выбору допускаемых размеров дефектов и оптимальных для данного элемента конструкции условий эксплуатации.
Указанным способом рассчитывается надёжность по критерию вероятности безотказной работы в данный момент времени. С помощью этого способа можно нормировать размеры повреждения рассматриваемых элементов конструкции КЛА.
Оценка надёжности проектируемого элемента конструкции КЛА по критерию
долговечности
Трещины, возникающие в элементах конструкции КЛА на стадии эксплуатации, развиваются в течение периода времени, который определяет живучесть конструкции. Вследствие случайного характера нагружения имеется опасность внезапного отказа под действием максимального значения нагрузки. Оценить, однако, время, за которое дефект развивается в трещину конечной длины и определить соответственно момент достижения параметром трещиностойкости его критического значения невозможно без проведения эксперимента.
В ходе исследований свойств некоторых конструкционных материалов, используемых в авиастроении, были получены модели развития трещин [5]. Эти модели представляют собой выражения, связывающие скорости роста усталостных трещин и условия нагружения и эксплуатации:
Здесь - коэффициент Пуассона; Ктах - максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений в цикле; Е - модуль упругости; 30 - остаточная деформация после разрыва стандартного образца; В - коэффициент диффузии. В данном случае ё0 изменяется в зависимости от температуры. Коэффициент диффузии позволяет учитывать влияние вакуума на скорость роста трещины.
Н = р (У < Ус).
(22)
Н = Ф ,
[у/В (У ) + В (У С ) 0
(23)
^ = Г 2(1 + т)(1 - 2т) ^ ктах у
dN [ 42к 0 Е 68 6Вл
(24)
Закономерности роста длины трещины от числа циклов нагружения N при работе в вакууме и при нагреве определяются путём численного интегрирования (24) при задаваемых уровнях амплитуды нагрузки.
При этом ввиду сложной геометрии конструкции значения коэффициентов интенсивности напряжений Kmax необходимо вычислять с помощью метода конечных элементов. Для расчётов Kmax можно воспользоваться следующим выражением [4]:
2 K 2 //
j = K max J = max/ . (25)
E / E
Здесь используются значения J-интеграла, вычисленные для каждого расчётного случая по методике, изложенной на с. 70. Подставляя значения J в (25) и определяя соответствующие величины коэффициентов интенсивности напряжений для выражения (24), можно вычислить число циклов нагружения N в каждом из расчётных случаев. По найденным N и известным частотам колебаний вычисляется время наработки, необходимое для достижения параметром J каждого из своих расчётных значений. Такие зависимости в общем виде имеют вид
J(t) = a0 + a1t + a2t2 +.... + antn. (26)
Оценки коэффициентов полинома (26) определяют по результатам решения задач статистической динамики с использованием метода наименьших квадратов. Математическое ожидание и дисперсия оцениваются следующими полиномами:
m(J(t)) = m(a0) + m(a1)t + m(a2)t2 +.... + antn, (27)
DJ (t) = D(a0) + D(a1)t2 + D(a 2)t4 +... + D(an )t2 n. (28)
Здесь коэффициенты at - некоррелированные случайные величины, зависящие от напряжений текучести, геометрии конструкции и нагрузок, имеющие нормальный закон распределения с математическим ожиданием m(at) и дисперсией D(a).
Интеграл Райса-Черепанова из-за роста трещины является функцией времени, а в силу стохастического характера внутренних силовых факторов - случайной функцией. Значение J с течением времени приближается к критическому значению Jc, которое носит также случайный характер.
Поскольку для элемента конструкции КЛА с трещиной значения J-интеграла изменяются в течение периода эксплуатации, представим функцию J(t) как нестационарный случайный процесс с нормальным распределением и математическими ожиданием m(J(t)) и дисперсией D(J(t)). В таком случае надёжность элемента конструкции, допускающей повреждения, по критерию долговечности оценивается выражением
t
H(t) = 1 -Jv+ (0, t)dt, (29)
о
где v+(0,t) - среднее число выбросов случайного процесса за критический уровень JC. Для определения v+(0,t) введем новую функцию z(t)=J(t) - Jc. В данном случае функция J(t) определяется выражением (26). Следуя [6], определим среднее число положительных выбросов случайного стационарного процесса за нулевой уровень в единицу времени при помощи следующего выражения:
( ... 2 А
. (30)
v + (0, t) =-------------Т= exP
2пл1 DZ
Здесь все необходимые параметры оцениваются следующими выражениями:
2(0 = у (О - Ус ; т2 = т(У (0) - т(Ус); Вг = Ву (?) + Вл ;
2($) = У(0 ; т2 = т(У(?)); В^ = В& (?).
Используя результаты, представленной методики, можно провести расчёт надёжности каждого из элементов конструкции КЛА, допускающих повреждения в виде трещины, по критерию долговечности.
Расчёт рекомендуется делать в следующей последовательности.
1. Установить математические ожидания и дисперсии т(У), В(У), т(7с), В(Ус) для каждого из расчётных случаев на основании результатов решений задач статистической динамики, проведённых по рекомендациям, изложенным ранее.
2. Используя формулы (27) и (28) определить моментные характеристики времени 1 за которое значение У достигнет уровня, соответствующего данной длине трещины.
3. Используя выражение (30), рассчитать значения среднего числа выбросов случайного процесса за предельный стохастический уровень для каждого расчётного случая.
4. Используя выражение (29), провести расчёт надежности элементов конструкции с трещинами различной длины по критерию долговечности.
5. Построить графики изменения уровня надёжности от размера трещины, условий эксплуатации и времени наработки на отказ.
Нормирование сроков эксплуатации и допускаемых размеров повреждений
Для оценки допускаемых длин трещин и сроков безотказной работы элементов конструкций КЛА, допускающих повреждения, необходимо задаться нормативным уровнем надёжности Н0, определяемым тактико-техническими требованиями на проектируемое изделие. Допускаемые размеры трещин, время и условия эксплуатации, соответствующие заданным нормативным значениям Н0 , определяются с помощью получаемых графиков изменения надёжности в зависимости от длин трещин, условий эксплуатации и времени наработки на отказ (см. с. 77).
Разработанные расчётно-экспериментальные методы оценки надёжности могут быть использованы при оценке эффективности любых предлагаемых конструкторско-технологических решений по критериям вероятности безотказной работы и долговечности. Использование их на этапе проектирования позволяет выбрать такие конструктивно-силовые схемы, уровень надёжности которых соответствует уровню, обусловленному тактико-техническими требованиями.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В. Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. 279 с.
2. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. 351 с.
3. Планирование эксперимента при испытании элементов авиаконструкций: Учеб. пособ. / Б.А. Лавров, Куйбыш. авиац.. ин-т. Куйбышев, 1989. 72с.
4. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 254 с.
5. Тарасов Ю.Л., Миноранский Э.И., Дуплякин В.М. Надёжность элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1992. 223 с.
6. Элементы прочностной надёжности авиационных конструкций: Учебное пособ. / Ю.Л. Тарасов, Э.И. Миноранский, Куйбыш. авиац.. ин-т. Куйбышев, 1986. 100 с.
7. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. 248с.
