Расчёт параметров дискретного заполнителя в виде усеченной пирамиды Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.011.1

О.М. Устарханов, Х.М.Муселемов, З.К.Акаева

РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ В ВИДЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ.

Работа посвящена теоретическим исследованиям приведенных характеристик дискретного заполнителя в виде усеченной пирамиды для трехслойных конструкций.

Данные теоретических исследований позволяет определить несущую способность цилиндрических оболочек изготовленных из трехслойных конструкций с дискретным заполнителем в виде усеченной пирамиды, что представляет интерес для инженерно-технических работников и проектировщиков.

Ключевые слова: дискретный заполнитель, усеченная пирамида, трехслойный, оболочка.

В настоящее время широкое распространение в различных отраслях техники получили трёхслойные конструкции с дискретными заполнителями различного типа, обладающие малым весом, высокой удельной жесткостью и прочностью, однотипностью. В данной статье рассчитывается дискретный заполнитель разработанный авторами. Заполнитель образован четырёхгранными усеченными пирамидами с прямоугольными основаниями. Трёхслойная конструкция с таким заполнителем может быть использована при проектировании цилиндрических сводов (рис.1) в качестве основного несущего элемента.

Рис. 1. Трехслойная цилиндрическая оболочка. а) - с нормальным заполнителем, б) - с усиленным заполнителем.,

Элементы трёхслойной конструкции, в том числе и заполнитель, могут быть изготовлены из одного материала, однако для большой оптимальности работы конструкции в целом материал слоев может отличаться от материала заполнителя. Кроме того для изготовления трёхслойной конструкций можно использовать и композиционные материалы.

Для расчета и полного использования положительных качеств предложенного дискретного заполнителя необходимо определить его приведенные характеристики (модуль упругости и сдвига, прочность на сжатие и сдвиг) как элемента трехслойной конструкции (ТК). Выделим из заполнителя элементарную ячейку, образованную усеченной пирамидой (рис.2), такой заполнитель в дальнейшем назовем нормальным.

Кроме нормального нами рассматривается и усиленный заполнитель. Усиленный заполнитель отличается от нормального наличием дополнительного ребра проходящего по дуге цилиндрической оболочки и делящего элементарную ячейку пополам (рис.3),

Механические характеристики нормального заполнителя.

Рис. 2. Элементарная ячейка заполнителя

Основные характеристики ячейки: верхнее основание - аха; нижнее основание - ахё; высота - с, две грани - ВСБА и НКДЕ с толщиной 1т; две грани - КВАН и СДЕБ с толщиной 21т, угол наклона ребра у нижнего основания

Г с 1

а = ач^оу- I

а - ё

в =

где 2

Поскольку объём материала в заполнителе меньше объёма ячейки, введён коэффициент заполнения ячейки

П = —

га

где: ^ - объём материала элементарной ячейки;

^об - объём элементарной ячейки. К = 2с1т (а + ё) + 2 • г • 1п (а - 81т \ с • а(а + ё)

К =

4 • гп [с(а + а) + г (а - 81т )]

Уоб а • с(а + ё)

Здесь Ш- толщина материала, из которого изготовлен заполнитель;

г = + с - длина грани. Приведенный модуль заполнителя при сдвиге в плоскости ХО2 и УО2 имеет вид: _4 • [с(а + а) + г (а - ^ )]

Сой 3 = &хаг3 = п3См3 а • с (а + ё) • См3

где: Ом3 - модуль сдвига материала из которого изготовлен заполнитель Приведенный модуль упругости заполнителя при сжатии равен: 4 • [с(а + ё) + г (а - 81т )]

Е?3 = Ем3 ' п3 = Ем3 а • с(а + ё)

где Ем3- модуль упругости материала.

Приведенная объёмная плотность заполнителя

„ ^ (5а - 8^п + ё) 4 • гп [с(а + а) + г(а - ^ )]

Р з з ъ Р^ъ ( А »

а(а + ё) 13 а • с(а + ё)

где: Р 3 - плотность материала заполнителя

Для определения пределов прочности при сжатии и сдвиге была использована методика[1] применяемая для других типов заполнителя.

Разрушения заполнителя, как правило, происходит в следствии местной потери устойчивости тонкостенных элементов ячейки. Наиболее слабым элементом ячейки при сжатии в направлении ъ является стенки ВСБА и КДЕН (рис1.).

Если соединения основания ячейки с несущими слоями качественное, то критическое напряжения стенки как прямоугольной пластинки с защемленными кромками равен

ж2 Е ( К

<Г,„ = П,

кр

\2 .

V г

1 12(1 - V2)

где п1-зависит от соотношении сторон пластинки, способов опирания и определяется по графику приведенного в [1,2] используя рисЗ.а. Тогда условный предел прочности при сжатии

П2 Е (I ^2 ж2 Е (t

< = п3 • < = —-¡VI _ | • П • П •81па = п3

12(1 - V2 )V г) 1 3 3 12(1 -V2)

4 • tп [с(а + ё) + г (а - 81т)] я2е

V г

П • вта =

а • с (а

(а + ё) 12(1 -у2)

п I • п • в1па

ч г )

Для определения предела прочности при сдвиге в плоскости ХО2 используем значение критического напряжения при сдвиге прямоугольной пластинки ВСБА или КДЕН

2 , (а - ёУ Л = а•, с +| -|

У V 2 )

с площадью « 4 у

б)

Рис. 3. Зависимость П1 от отношения размеров стенок сот и характера опирания стенок: а) - при сжатии в плоскости стенок, б) - при сдвиге в плоскости стенок.

Условный предел прочности при сдвиге в плоскости ХО2 равен:

ж^ Е • ¿2 ж • ¿2 • Б 2 Г а - й*

Тхо2 = п2 • П--9-Г= П\Пз -9-Г Г = 1 С +1 -

3 2 3 \2(\-V2)• г2 1 5 \2(\-у2)т2 ; где \1 I 2 , где п2 - определим по графику приведенного на рис. 3.б.

При нагружении в плоскости УО2 следует проверить местную прочность при сдвиге трапециевидного элемента ВКНА или СДЕБ.

Предел прочности при сдвиге трапециевидного элемента определим из местной

а + ё

и а = —,

П = с ")

прочности прямоугольного элемента со сторонами 1 и 2 площадь которого

равна площади элемента ВКНА.

Тогда условный предел прочности при сдвиге в плоскости УОЪ из условия местной прочности элемента ВКНА или СДЕБ равен:

п-A-(2t)3 ж- Á •(:2t )2

г= n • n--^—--т = П • n ■■

12(1 -v¿) • 2t • c2 1 f 12 • (1 -v2) • c2 Механические характеристики усиленного заполнителя.

Рис. 4. Ячейка усиленного заполнителя

В отличие от нормального заполнителя в усиленном заполнителе имеется

дополнительная стенка Л' М' О' З' котором делит ячейку пополам, кроме того она

увеличивает общую толщину стенок С' Д' Е' Б' и В' К' Н' А'. Если толщина дополнительной

стенки равна толщине отдельных стенок ячейки , то в этом случае общая толщина стенок С'

В' А' Б' и Д' К' Н' Е' равен 1т, общая толщина стенок С' Д' Е' Б' и В' К' Н' А' равна 31т.

Все остальные параметры усиленной ячейки соответствует нормальной, коэффициент

заполнения усиленной ячейки равен: 1

' V,

n3 =-Г

V.,

га

где: - объём материала ячейки; i

V;a - объём ячейки.

= (а + d) • c • 2 • 3t + (а + d) • c • t + a • r • t • 2 = \(a + d)c • 3t + 0.5(a + d)• c • t 1 + 2 • a • r • t =

^^ m mLV / m \ / m J m

= (a + d )• c • tm [3 + 0.5]+2ar • tm = 3.5 • c • tm (a + d)+2ar • tm = 2 • tm [c(a + d)4,75 + ат ] ' = с • а(а + d)

ia 2

_ 2• tm[c(a + d)• 1,75 + ar] 4• tm[l.75• c(a + d) + ar]

3 a • c(a + d) a • c(a + d)

Приведенный модуль усиленного заполнителя при сдвиге в плоскости ХОZ и YOZ равен:

, , _ 4 • 1т [1,75с(а + ё) + аг]

г

аоъъ - пз а • с(а + ё)

Приведенный модуль упругости усиленного заполнителя при сжатии равен:

4 • 1т [1,75с(а + ё) + аг ]

f f

E = E, • n = E,

a • cla

(a + d)

Приведенная объемная плотность усиленного заполнителя 4 • tm [1,75с(а + d) + аг ]

f f

Р -Ргъ • п -Рч а• с(а + ё)

Наиболее слабым элементом усиленной ячейки при сжатии в направлении Z является трапециевидная стенка Л' М' О' З' (рис.4).

При качественном соединении оснований ячейки с несущими слоями трехслойной конструкции критическое напряжение стенки с защемленными кромками равен:

' ' П-Е (112

ст» -п ЩП-Е5)Iс]

Условный предел прочности при сжатии равен:

, , , 4 • tm [1,75с(а + ё) + аг ] ж2 Е ( {

- п -О -

2Ъ 3 кр

О = пз О = a • с(а + d) 12(l - v2) l с J П

где n - определяется по графику приведенного на рис.3.

Условный предел прочности в плоскости XOZ определим для прямоугольной пластинки В' С' Б' А' или К' Д' Е' Н'

ж-Е tm3 . ' 4• tm[l,75c(a + d) + аг] ж-Е• tm2

= n • n--^---^— sin a = n^ —^—-^-- •-^^ • sin a

a • c(a

'x°z3 2 3 12(1 -v2) r2 • tm 2 a• c(a + d) 12(1 -v2)r2

где п - определим по графику приведенного на рис.З.б.

Условный предел прочности для усиленного заполнителя на сдвиг в плоскости УОZ для элементов С' Д' Е' Б' и В' К' Н' А' определим аналогично как для нормального заполнителя:

г '-п ' ' *•Е •ФтУ - п ' 4-01,75с(а + ё) + аг] ж^ Е (з^)2 уогз 2 3 12(1 ^2)^т-с2 2 а^ с(а + ё) ' 12.(1 -v2)• с2

Для элемента Л' М' О' З' условный предел прочности на сдвиг определим из тех же условий что и для элементов С' Д' Е' Б' и В' К' Н' А' но приняв толщину элементов равной ^ .

, , , 4 • гп [1,75^ + d) + аг] ж• Е С = - П2 • П3 • с(а + ё) 12 • (1 -V2) 2

, , [1,75с(а + ё) + аг] = п2 • п3 • а• с(а + ё) 12• (1 -V2)• с2

Библиографический список:

1. Лизин В.Т., Пяткин А.А., Проектирование тонкостенных конструкций. М.; Машиностроение , 1976, 408с.

2. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении . Л.; Судостроение , 1972, 334с.

O.M. Ustarkhanov, Kh. M. Muselemov, Z.K. Akaeva

Calculation of paramétrés of discrete aggregate in the form of truncated pyramid

This work is devoted to the theoretical researches of given characteristics of discrete aggregate in the form of truncated pyramid for three-layer constructions. Data of theoretical re searches allow to determine the bearing power of cylindrical shells made of three-layer constructions with discrete aggregate in the form of truncated pyramid, which is of interest for technical workers and designers. Keywords: discrete aggregate, truncated pyramid, three-layer, shell.

Устарханов Осман Магомедович (1954г.) Заведующий кафедрой ПГС Дагестанского государственного технического университета. Доктор технических наук профессор (2001г.) Окончил Дагестанский государственный технический университет (1980г.) Область научных интересов: Трехслойные конструкции Автор более 80 научных работ.

Муселемов Хайрулла Магомедмурадович (1985г.) Ассистент кафедры ПГС Дагестанского

государственного технического университета. Окончил Дагестанский государственный

технический университет (2007г.)

Область научных интересов: Трехслойные конструкции

Автор около 5 научных работ.

Акаева Заира Калимуллаевна (1985г.) Аспирант кафедры ПГС Дагестанского государственного технического университета. Окончила Дагестанский государственный технический университет (2007г.)

Область научных интересов: Трехслойные конструкции