CC BY
28
УДК 625.731.8 - 027.45
МОИСЕЕНКО РОСТИСЛАВ ПАВЛОВИЧ, докт. техн. наук, доцент, [email protected]
ПУШКАРЁВА ГАЛИНА ВЕНИАМИНОВНА, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
АКИМОВ БОРИС ГРИГОРЬЕВИЧ, ст. преподаватель, [email protected]
СТЕШЕНКО АЛЕКСАНДР ОЛЕГОВИЧ, магистрант, steshenko789@gmail. com
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
РАСЧЁТ НАДЁЖНОСТИ
НЕЖЁСТКИХ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД МЕТОДОМ МОМЕНТОВ ПО КРИТЕРИЮ ДОПУСКАЕМОГО ПРОГИБА
Проанализировано современное состояние расчетов надежности нежёстких дорожных одежд. Отмечено, что в научной литературе и нормативных документах по расчёту автомобильных дорог используется «требуемый коэффициент надёжности». Но термин «надёжность» подразумевает расчёт по определённому алгоритму математической теории надёжности. Разработки теории надёжности пока не применяются в расчётах автомобильных дорог на должном уровне. В статье предложен метод моментов для расчёта надёжности запроектированных нежёстких дорожных одежд, а также расчёт нежёсткой дорожной одежды при заданной надёжности. Составлено уравнение заданной надёжности нежёсткой дорожной одежды. Результаты расчёта нежёсткой дорожной одежды при заданной высокой надёжности показали значительное увеличение толщины слоёв. Это увеличение может быть принято или отвергнуто на основе сравнения соответствующих стоимостей. Представленный алгоритм рекомендуется использовать вместо существующего нормативного алгоритма. Тема статьи и её результаты имеют научную и практическую актуальность.
Ключевые слова: надежность; нежёсткая дорожная одежда; метод моментов; модуль упругости; индекс надёжности.
ROSTISLAVP. MOISEENKO, DSc, A/Professor,
GALINA V. PUSHKARYOVA, PhD, A/Professor,
BORIS G. AKIMOV, Senior Lecturer, [email protected]
ALEKSANDR O. STESHENKO, Undergraduate Student, [email protected]
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
RELIABILITY ANALYSIS OF FLEXIBLE PAVEMENTS USING MOMENTS METHOD AND BENDING STRAIN CRITERION
The paper reviews the state-of-the-art reliability analysis of road pavements. It is noted that the literature and regulatory documents utilize the term reliability index. But reliability means
© Моисеенко Р.П., Пушкарёва Г.В., Акимов Б.Г., Стешенко А.О., 2017
calculations provided by a certain algorithm of the mathematical theory of reliability. Developments of the theory of reliability are not still used for the reliability analysis of automobile roads at an appropriate level. The paper proposes to use the moments method for the reliability analysis of flexible pavements and that ones with specified reliability. The equation for specified reliability is suggested for flexible pavement. Calculation results depict a considerable increase in the layer thickness. This increase can be accepted or denied depending on the costs comparison. It is expedient to use the proposed algorithm instead of the existing standard algorithm. The subject of the paper and obtained results are of direct scientific and practical relevance.
Keywords: reliability; flexible pavement; moments method; Young's modulus; reliability index.
Введение
Надёжность автомобильных дорог в нормативных документах и научных работах рассчитывается приблизительно, с искажённым смыслом понятий математической теории надёжности. Например, в расчёте нежёсткой дорожной одежды используется «требуемый коэффициент прочности дорожной одежды по критерию упругого прогиба, принимаемый в зависимости от требуемого уровня надёжности» (ОДН 218.046-01). Однако требуемый уровень надёжности осуществляется не с помощью одного коэффициента, а достигается по алгоритму, в котором исходным является уравнение заданной надёжности [2, 3, 5]. Из этого уравнения определяется требуемый параметр (например, модуль упругости Еобщ) и далее - геометрические характеристики дорожной одежды (например, толщина слоёв h).
Цель статьи - показать, что объединённый математический аппарат теории надёжности и теории прочности автомобильных дорог позволяет получить более совершенные проекты нежёстких дорожных одежд.
Постановка задачи
Рассматривается расчёт нежёсткой дорожной одежды по допускаемому упругому прогибу. Используется условие [3, 7, 9]
Е > Е KTp (1)
Еобщ > EminКпу . (1)
В качестве случайных величин принимаются модули упругости Е0бЩ, Ет1П . Плотность вероятности случайных величин распределяется по нормальному закону. Тогда анализ надёжности можно вести методом моментов [4, 9, 7]. Последовательность расчёта надёжности методом моментов состоит в следующем.
1. Определяется среднее значение резерва несущей способности:
S = Еобщ _ Ешт . (2)
2. Определяется дисперсия резерва несущей способности:
S2=SL+ SL. (3)
3. Определяется среднеквадратичное отклонение резерва несущей способности:
Sg =М. (4)
4. Определяется индекс надёжности:
P = g.
(5)
5. Определяется вероятность безотказной работы, т. е. показатель надёжности сооружения:
P(g > 0) = 0,5 + Ф(р) . (6)
Для определения средних значений модулей упругости используются коэффициенты вариации (СЕ < 0,2; СЕ < 0,2) [1, 5, 8]:
Еобщ
Е,
общ
, ; Етт
E„
(7)
(1 " ^ ) "" (1 + ^ )
Дисперсии модулей упругости также определяются с помощью коэффициентов вариации:
^ ^Еобщ)2; ^ =(Си^)2. (8)
Представленный алгоритм достаточно прост, но он не применяется в проектах автомобильных дорог, потому что расчёт надёжности подменяется использованием «коэффициента надёжности» К^ .
Пример 1. Схема нежёсткой дорожной одежды показана на рисунке.
7
(N
6 см
7 см
20 см
29 см
D = 39 см
И
Е = 3200 МПа
Е = 2000 МПа
Е = 800 МПа
Е = 180 МПа
Еобщ = 322 МПа
Еобщ = 249 МПа
Еобщ = 187 МПа
I
Еобщ = 81 МПа
Еобщ = 36 МПа
Е = 36 МПа
Рис. 1. Схема дорожной одежды
Расчётные значения модулей упругости: Emin = 276 МПа; Еобщ = 322 МПа при коэффициенте Кр =1,17 .
Пусть C£i = 0,2; С£ = 0,2 . Средние значения модулей упругости вычисляются по формулам (7):
— Е 322
Е =-= = 402,5 МПа;
общ (1 - С ) 1 - 0,2
V Еобщ ' '
Е = —Emn— = = 230 МПа.
min (1 + C^) 1 + 0,2
Дисперсии модулей упругости вычисляются по формулам (8): SL = (СЕ„бщЕобщ)2 = (0,2• 402,5)2 = 6480,25 (МПа)2;
SL = (C^Emin)2 = (0,2 • 230)2 = 2116 (МПа)2.
Дисперсия резерва несущей способности вычисляется по формуле (3) S2 = S2 + S2mta = 6480,25 + 2116 = 8596,25 (МПа)2.
Среднеквадратичное отклонение резерва несущей способности
Sg = 78596,25 = 92,716 МПа.
Среднее значение резерва несущей способности
g = Еобщ -Етт = 402,5-230 = 172,5 МПа.
Индекс надёжности
p=g=iZ25=1,86.
Sg 92,716
Вероятность безотказной работы:
P(g > 0) = 0,5 + Ф(р) = 0,5 + Ф(1,86) = 0,5 + 0,4686 = 0,9686.
Полученное значение вероятности мало отличается от заданной нормативной вероятности (Р = 0,95) (ОДН 218.046-01) для принятого в примере коэффициента Кр = 1,17 . Однако и расчётную, и нормативную вероятности
следует признать неудовлетворительными с инженерной точки зрения, т. е без учёта материальных затрат на строительство и эксплуатацию. С инженерной точки зрения приемлемый уровень надёжности составляет Р = 0,99 для капитальных дорог любой категории.
Расчёт нежёсткой дорожной одежды с заданной надёжностью
При заданной вероятности безотказной работы формулы метода моментов используются в такой последовательности:
Р(g > 0) = 0,5 + Ф(р) ^Ф(р) = Р-0,5 ^р;
2 (E - Е )2
V общ min '
S& ' Sg (СЕ0вщ Еобщ )2 + (СЕт„ Emm )2
р _ g у р2 _ g_ ^ ^2 _ V общ min
Полученное уравнение преобразуется к виду
(1 - р2СЕ )Ео2бщ - 2£„inЕобщ + (1 - PCmin En = 0 . (9)
Таким образом, уравнение заданной надёжности (9) имеет вид квадратного уравнения относительно среднего значения общего модуля упругости дорожной одежды. Из двух корней учитывается больший корень, при котором выполняется условие g > 0.
Для определения толщин слоёв дорожной одежды вычисляется расчётный общий модуль упругости. Из формулы (7) следует:
Еобщ
Е
общ
(1" С, )
^ Еобщ =(1 - С. )Е
общ
(10)
Расчётный общий модуль упругости распределяется между слоями, т. е. определяются Е^Щ . Далее определяются толщины слоёв по формуле Барбера [6, 8]:
А ^
' 2
( р(') ^ "^общ
7(г+1) общ
Е - Е
I общ
Е - Е
а)
общ
-1
2/3
Е (,+1)
V общ у
(11)
В формуле (11) нумерация слоёв i производится сверху вниз.
Пример 2. Определить толщины слоёв дорожной одежды, показанной на рисунке.
Пусть Р = 0,99. Тогда Ф(р) = Р - 0,5 = 0,99 - 0,5 = 0,49 ^р = 2,34. Данные из примера 1: Етт = 230 МПа; СЕ^ =0,2; С£ =0,2. Уравнение заданной надёжности (9) принимает вид
(1 - 2,342 • 0,22)Ё2бщ - 2 • 230Ёобщ + (1 - 2,342 • 0,22)2302 = 0 .
Больший корень этого уравнения - Еобщ = 478,42 МПа. Расчётное значение общего модуля упругости вычисляется по формуле (10):
Еобщ =(1 - С^ )Еобщ =(1 - 0,2)478,42 = 382,736 МПа.
Распределение модулей упругости между слоями в примере 2 принято пропорциональным распределению модулей упругости в примере 1. В этом случае можно сравнивать суммарную высоту дорожной одежды в примерах.
Результаты вычисления по пропорциям:
Еобщ = 382,736; = 296; Е™ = 222,3; Е^ = 96,3; = 36.
Модули упругости каждого слоя показаны на рисунке: Е = 3200; Е2 = 2000; Е3 = 800; Е4 =180 . Подготовленные модули упругости используются для вычислений по формуле (11). Получены следующие результаты: ^ = 8 см; й2 =9 см; \ = 25,3 см; й4 =51,2 см . Общая высота дорожной одежды - Н = \ + й2 + й3 + й4 =93,5 см. В примере 1 - Н = 62 см. Увеличение Н - на 50,8 %.
Выводы
1. Расчёт нежёстких дорожных одежд методом моментов при заданной надёжности является достаточно точным инженерным расчётом по определению геометрических характеристик дорожной одежды.
2. Чтобы оценить стоимость увеличения толщины дорожной одежды при высоком уровне заданной надёжности, надо рассчитать уменьшение затрат на ремонт. Это отдельный вопрос исследования.
3. Распределение общих модулей упругости между слоями дорожной одежды зависит от опыта использования экспериментальных данных. Возможна постановка задачи оптимизации с функцией цели Н = min, но в этом направлении нужны теоретические исследования.
4. Для определения толщины слоя вместо формулы Барбера может быть использована известная номограмма. Но для решения с помощью компьютера пригодна только формула Барбера. Особенно это важно для постановки и решения задачи оптимизации.
Библиографический список
1. Регулирование, синтез, оптимизация / Н.П. Абовский, Л.В. Енджиевский, В.И. Савчен-ков, А.П. Деруга [и др.]. - Красноярск : Изд-во Краснояр. ун-та, 1985. - 384 с.
2. Райзер, В.Д. Теория надёжности сооружений / В.Д. Райзер. - М. : Изд-во АСВ, 2010. -384 с.
3. Матуа, В.П. Совершенствование методов проектирования нежестких дорожных одежд / В.П. Матуа, Е.М. Баранова, Д.В. Чирва // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета : сб. науч. тр. 1. - Харьков : ХНАДУ, 2006. - С. 23-26.
4. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. - М. : Наука, 1965. - 511 с.
5. Мерзликин, А.Е. Моделирование упругого однородного и двухслойного полупространства применительно к задачам по расчету дорожных одежд методом конечных элементов / А.Е. Мерзликин, Н.В. Капустников // Дороги и мосты. - 2011. - № 1 (25). - С. 63-72.
6. Телтаев, Б.Б. Сравнение результатов расчета напряженно-деформированного состояния конструкции нежесткой дорожной одежды методами полуаналитическим и конечных элементов / Б.Б. Телтаев, А.Е. Мерзликин // Дороги и мосты. - 2006. - №. 1. - С. 59-66.
7. Al-Qadi, I.L. Full-depth pavement responses under various tire configurations: accelerated pavement testing and finite element modeling / I.L. Al-Qadi, H. Wang // Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists. - 2009. - V. 78. - Р. 721-760.
8. Takemi Inoue. Rational design method of hot mix asphalt based on calculated VMA / Takemi Inoue, Yasuo Gunji, Hirokazu Akagi // Eurasphalt & Eurobitume Congress. - Vienna, 2004.
9. Analysis of Shear Stress in Asphalt Pavements Under Actual Measured Tire-Pavement Contact Pressure / K. Su, L. Sun, Y. Hachiya, R. Maekawa // Proceedings of the 6th ICPT, Japan. -2008. - P. 11-18.
References
1. Abovskii N.P., Endzhievskii L.V., Savchenkov V.I., Deruga A.P., et al. Regulirovanie, sintez, optimizatsia [Regulation, synthesis, optimization]. Krasnoyarsk State University Publ., 1985. 384 p. (rus)
2. Raizer V.D. Teoriya nadezhnosti sooruzhenii [Theory of structural reliability]. Moscow: ASV Publ., 2010. 384 p. (rus)
3. Matua V.P., Baranova E.M., Chirva D.V. Sovershenstvovanie metodov proektirovanija ne-zhestkih dorozhnyh odezhd [Improvement of design methods of flexible pavement]. Vestnik
Khar'kovskogo natsional'nogo avtomobil'no-dorozhnogo universiteta. Kharkiv: HNADU Publ., 2006. Pp. 23-26. (rus)
4. Smirnov N.V., Dunin-Barkovskii I.V. Kurs teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistiki [Probability theory and mathematical statistics]. Moscow: Nauka Publ., 1965. 511 p. (rus)
5. Merzlikin A.E., Kapustnikov N.V. Modelirovanie uprugogo odnorodnogo i dvuhslojnogo po-luprostranstva primenitel'no k zadacham po raschetu dorozhnyh odezhd metodom konechnyh elementov [Modeling of elastic uniform and two-layer half-space in relation to calculating road pavements using finite element method]. Dorogi i mosty. 2011. No. 1. Pp. 63-72. (rus)
6. Teltaev B.B., Merzlikin A.E. Sravnenie rezul'tatov rascheta napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya konstruktsii nezhestkoi dorozhnoi odezhdy metodami poluanaliticheskim i konechnykh elementov [Comparison of calculation results for stress-strain state of flexible pavements]. Dorogi i mosty. 2006. No. 1. Pp. 59-66. (rus)
7. Al-Qadi I.L., Wang H. Full-depth pavement responses under various tire configurations: accelerated pavement testing and finite element modeling. Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists. 2009. No. 5. Pp. 721-760.
8. Takemi I., Yasuo., Hirokazu. Rational design method of hot mix asphalt based on calculated VMA. Eurasphalt & Eurobitume Congress. Vienna. 2004.
9. Su K., Sun L., Hachiya Y., Maekawa R. Analysis of shear stress in asphalt pavements under actual measured tire-pavement contact pressure. Proc. 6th ICPT, Japan. 2008. Pp. 11-18.
