Расчёт модуля упругости (Юнга) Земли Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

9. Смелое В. Б. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

10. Султангазин У. М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. - Алма-Ата: Наука, 1985. - 192 с.

11. Туганбаев М. М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца Больцмана. Бишкек: Илим, 2011. 122 с.

12. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 196 с.

13. Frosali van derMee, Paveri-Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., - 1989. - Vol. 30. No. 5, pp. 1177 - 1186.

14. Smith D. R., Palmer J. T. On the Behavior of the Solution of the Telegraphist's Equation for Large Absorption // Arch. Ration Mech. and Anal, 1970, 39, № 2, pp. 146 - 157.

Расчёт модуля упругости (Юнга) Земли Акопов В. В.

Акопов Вачакан Ваграмович /Akopov Vachakan Vagramovich — учитель физики, Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 6, село Полтавское, Курский район, Ставропольский край

Аннотация: численные значения модуля упругости Земли и её частей, полученные расчётным путём, можно использовать при теоретических геофизических исследованиях Земли. Ключевые слова: модуль упругости, Земля, масса, земельная кора, мантия, ядро.

Упругостью называются свойства тел восстанавливать свои размеры, форму и объём после прекращения действия внешних сил, вызывающих деформацию. Модуль упругости - это способность тела деформироваться при воздействии на него силы или же давления. Следует учитывать, что деформация в данном случае должна быть только упругой [1, с. 184].

В настоящее время модуль Юнга считается одним из основных фундаментальных понятий, которое применяется в инженерном деле.

Как известно, в Международной системе СИ:

[£] = Н = Па(паскаль).

м

По геофизическим данным Земля разделяется на три основные области: кору, оболочку и ядро. Под корой понимают верхний слой Земли, имеющий толщину до 33 км. Оболочка или, как часто говорят геологи, мантия Земли - на глубине от 33 км до 2900 км. Ядро представляет собой центральную часть Земли - на глубине от 2900 км до центра. Из всей массы Земли кора составляет менее 1 %, мантия -около 67 %, ядро - около 32 % [2, с. 8].

Известно, что Земля состоит из различных веществ. Модуль упругости всех веществ различен, и они обладают различными механическими свойствами.

Реально модуль упругости Земли и его частей неизвестен. Однако его сравнивают с модулем упругости стали - 210 ГПа. Попытаемся расчётным путём его вычислить.

Принимается, что химический состав Земли близок к среднему составу метеоритов. На основании космических и экспериментальных данных средний химический состав Земли и его частей, по данным различных авторов, представлен в таблице 1.

№ п/п Наименование химических элементов Модуль Юнга, Е, ГПа Химический состав (продукт от общей массы)

земной коры мантии ядра Земли

1. Железо 186 4,2 12 82 34,59

2. Никель 210 0,008 0,2 6,9 2,39

3. Кобальт 210 0,004 0,02 0,36 0,13

4. Кислород 70 49,13 41,27 4,1 29,25

5. Кремний 109 29 19,8 3,36 14,51

6. Магний 44 2,35 21,4 - 14,37

7. Кальций 2 3,6 2,2 - 1,49

8. Алюминий 68 8,8 2,2 - 1,52

9. Сера 8 - - 2,1 0,68

10. Натрий 5,3 2,64 0,62 0,45 0,57

11. Марганец 19,5 - - 0,38 0,12

12. Хром 300 - - 0,35 0,11

13. Титан 120 0,14 0,29 - 0,2

14. Водород 30 0,13 - - -

Итого: - 100 100 100 99,93

Для нахождения модуля упругости Земли и его частей составим уравнение: ЕМ. = Е1-ш1+ Е2-Ш2+... + Еп-шп,

Ех • тх + Е2 • т2 +... + Еп ■ тп

отсюда Е — , (1)

где Е - модуль упругости (Юнга) Земли и его частей, М - масса Земли и его частей, т - масса химического элемента. Учитывая, что

т — к • М, (2)

где к- доля от общей массы Земли и её частей. Используя выражения (1) и (2), будем иметь:

Е

Е • к • М + Е • К • М +... + Е • к • М

11 2 2 п п

М

Е. = ЕГк+ Е2-к3+... + Еп^кп, (3) Используя выражение (3) и численные значения физических величин из таблицы 1, рассчитаем модуль упругости (Юнга):

а) Земной коры:

Езк=18б^0,042+210^0,00008+210^0,00004+70^0,4913+109^0,29+44^0,0235+2^0,03б+68^0,088+ +5,3-0,0264+120-0,0014+30-0,0013=7,812+0,0168+0,0084+34,391+31,61+1,034+0,072+ +5,984+0,14+0,168+0,039^81,3 ГПа.

Таким образом, модуль Юнга земной коры составляет 81,3 ГПа.

б) Мантии Земли:

Ем=186-0,12+210-0,002+210-0,0002+70-0,4127+109-0,198+44-0,214+2-0,022+68-0,022+ +5,3-0,0062+120-0,0029=22,32+0,42+0,042+28,889+21,582+9,416 0,044+1,496+0,0329+ +0,348^84,6 ГПа.

Таким образом, модуль Юнга мантии Земли составляет 84,6 ГПа.

в) Ядра Земли:

По геофизическим данным, ядро Земли состоит из двух частей:

1) внутреннее ядро, которое находится в кристаллическом состоянии;

2) внешнее ядро, которое находится в жидком (расплавленном) состоянии.

Из всей массы Земли (5,98-1024кг) внутреннее (твёрдое) ядро составляет 17 % или 0,102-1024кг, а внешнее (жидкое) ядро составляет 30,64 % или 1,832- 1024кг, тогда масса ядра - 1,934- 1024кг. Полученные данные внесём в таблицу 2.

Таблица 2. Масса ядра Земли и его частей

Масса М, -1024 кг

ядро Земли внутреннее ядро внешнее ядро

1,934 0,102 1,832

Внутреннее ядро Земли по химическому составу отличается от внешнего ядра. Используя данные таблиц 1 и 2, рассчитаем химический состав внутреннего и внешнего ядра. Для этого составим пропорцию (для железа):

а) для внутреннего ядра:

, = 0102'82% = 4,32%; 1,934

б) для внешнего ядра:

у = 82 % - 4,32 % = 77,68 %.

Аналогично рассчитаем процентное содержание и для остальных химических элементов ядра и занесём в таблицу 3.

Таблица 3. Химический состав ядра Земли и его частей

Наименование химических элементов

Наименовани Единица измерения железо никель кобальт кислород кремний сера натрий марганец хром Всего

Ядро % 82 6,9 0,36 4,1 3,36 2,1 0,45 0,38 0,35 100

Земли

Внутреннее ядро % 4,32 0,36 0,02 0,2 0,18 0,11 0,02 0,02 0,02 5,25

Внешнее ядро % 77,68 6,54 0,34 3,9 3,18 1,99 0,43 0,36 0,33 94,75

По данным различных авторов, модуль Юнга в жидкости значительно уменьшается. Так, с повышением температуры плавления от нуля Кельвин до температуры плавления, значения модулей упругости металлов и сплавов снижаются в 2-2,5 раза. Для расчёта примем уменьшение усреднённым -2,25 раза и результаты занесём в таблицу 4.

Таблица 4. Усредненное значение модуля Юнга химических элементов ядра Земли и его частей

наименование модуль Юнга единица измерения железо никель кобальт кислород кремний сера натрий марганец хром

о

и

ЕЕ

= Е, 409 Па 186 210 210 70 109 8 5,3 19,5 300

е

5?

в

внешнее ядро Е, 409 Па 83 93 93 31 48 4 2,4 8,7 133

Рассчитаем модуль упругости (Юнга) ядра Земли, используя данные из таблиц 3 и 4: а) для внутреннего ядра:

Евнуг=186-0,0432+210-0,0036+210-0,0002+70-0,002+109-0,0018+0,0011-8+5,3-0,0002+ +19,5-0,0002+300-0,0002=8,0352+0,756+0,042+0,14+0,1962++0,0088+0,00106+0,0039+0,06««9,24 ГПа. а) для внешнего ядра:

+133-0,0033=64,4744+6,0822+0,3162+1,209+1,5264++0,0796+0,01032+0,03132+0,4389» «74,17 ГПа.

Для нахождения модуля упругости Земли и её ядра воспользуемся выражением (1), вычисленными значениями физических величин и таблицей 2:

81,3 • 0,028 + 84,6 • 4,013 + 70,7 • 1,934

Е

З

5,98

* 80 ГПа.

^ 9,24 • 0,102 + 74,17 • 1,882 „„ „

Ея =-« 72,7 ГПа.

я 1,934

Таким образом, модуль упругости (Юнга) Земли составляет 80 ГПа, а модуль упругости ядра Земли - 72,7 ГПа.

Вычисленные значения модулей упругости Земли и её частей занесём в таблицу 5:

Таблица 5. Модуль упругости (Юнга) Земли и его частей

Модуль упругости (Юнга) Е, ГПа

Земля земная кора мантия ядро

80 81,3 84,6 72,7

Литература

1. Яворский Б. М., Селезнёв Ю. А. «Справочное руководство по физике». Москва. 1995.

2. Темко С. В., Соловьёв Г. А., Милактьев В. П. Физика раскрывает тайны Земли. // Москва. 1976.

Евнеш=83-0,7768+93-0,0654+93-0,0034+310,039+48• 0,0318+4 • 0,0199+2,4 • 0,0043+0,0036• 8,7+