Расчёт допусков на реализацию программного управления в стационарных непрерывных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-501.12 Огородников Юрий Иннокентьевич,

к. т. н., доцент кафедры «Управление техническими системами» ИрГУПС тел.: 89834011463, e-mail: ogorodnikov_yi@irgups.ru

РАСЧЁТ ДОПУСКОВ НА РЕАЛИЗАЦИЮ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ

Yu. I. Ogorodnikov

COMPUTATION OF TOLERANCES FOR IMPLEMENTATION OF PROGRAM CONTROL IN THE TIME-INVARIANT CONTINUOUS SYSTEMS

Аннотация. В статье получены оценки допусков на реализацию программного управления в стационарных непрерывных системах и рассмотрены вычислительные аспекты получения этих оценок в линейных стационарных системах.

Ключевые слова: стационарные непрерывные системы, программное управление, переходная матрица системы, матричная экспонента.

Abstract. The paper deals with assessment of tolerances for implementation of program control in the time-invariant continuous systems and considers computational aspects of getting those estimates in the linear time-invariant systems.

Keywords: time-invariant continuous systems, program control, transition matrix of a system, matrix exponent.

Введение

В реальной системе автоматического управления управляющее устройство реализует расчётное программное управление с некоторой погрешностью. Инженеру необходимо оценить степень соответствия между математической моделью и реальной системой заранее, уже на стадии синтеза. В связи с этим возникает задача нахождения допусков на реализацию управления, при которых гарантируется отклонение возмущённой фазовой траектории от номинальной в заданных пределах.

Постановка задачи

Предположим, что поведение системы управления во времени определяется векторным дифференциальным уравнением

-(t) = f (x(t)> u(t)) > -(to ) = xo >

t e T = [io,tx]с R 1, (1)

где x(t) e R n - n-мерный вектор состояния системы;

u(t) e R m - m-мерный вектор управления; x(-) e D(T), D(T) - пространство абсолютно непрерывных на T функций;

u (•) e Lr (T), Lr (T) - пространство m-мерных векторных функций с нормой

<(•! r =

Л k (t 1 rdt

T j=l

r e

[1, œ];

(2)

f (x, u) - известная n-мерная вектор-функция; u(-), x(-) - символы функций, рассматриваемых как точки функциональных пространств.

Опыт решения содержательных задач оптимального управления показал, что их решения в подавляющем большинстве - сравнительно просто устроенные функции, имеющие разве лишь разрывы первого рода, а между точками разрывов - достаточно гладкие. Этим можно обосновать выбор в качестве основного функционального класса, из которого разрешается выбирать u (t), класса кусочно-непрерывных на T функций с нормой

Ш = max max\u. (t) . (3)

11 V/|Im i=1,2,...,m teT 1 ,v 71

Допустим, что вектор-функция fx, u) непрерывна по совокупности аргументов вместе с якобианами df/dx и df/du и все требования существования и единственности решения уравнения (1) при заданных начальных условиях выполнены [1].

Пусть номинальному управлению u0(-) соответствует некоторая «невозмущённая» траектория системы x0(-). Пусть управление u0(-) возмущено малой функцией 5u(-)eLr(T), следствием чего будет малое возмущение фазовой траектории: x0(-) ^ x0(-) + 5x(-).

Поставим задачу нахождения допусков на отклонение программного управления от номинального: найти у > 0, такое, что при заданном вещественном р >0 и выполнении условия на конечном интервале времени T = [t0, t1] обеспечивается неравенство

||5u(-)|г <у ( гe[l,«>]), (4)

IMI= гmaxl5x (tJ - ß •

(5)

Wlr

max

1=1,2,...*

m

iL

T j=1

Lgik (tl, t) (f (t )l

dt

1 q

В (7) gi,k (УьУ) - элементы матрицы Коши уравнения в вариациях (6);

/и (У) - якобиан для дифференциальной системы (1), связывающей вектор состояния х(У) размерности п и вектор управления и(У) размерности т; г и q - сопряженные показатели (вещественные положительные числа), связанные соотношением 1/г + l/q = 1.

Доказательство утверждения 1 основано на технике оценки нормы решения уравнений возмущённого движения с применением интегральных неравенств Гёльдера.

В практических приложениях наиболее часто употребляемыми являются нормы (2) для значений г = 1, 2 и да. Оценки (7) в этих случаях имеют вид

¥• 01Н-*--(8)

ш

М|2

ß

Использование уравнения в вариациях первого порядка

Связь между 5x(t) и bu(t) определяет известное уравнение в вариациях [2]. В теории первого порядка оно имеет вид Sx(t ) = fx (t )5x(t)+fu (t )ßu(t), 8x(t0) = 0, t e T = [t0,tl]. (6)

В (6) элементами на пересечении i-й строки и j-го столбца матриц fx(t) и fu(t) служат частные производные df/dxj и df/duj, соответственно, вычисленные в точке (u0,x0).

Уравнение (6) является точным для систем вида (1), линейных относительно x и u. В общем случае 5x(t) отличается от точной разности между возмущённой и невозмущённой траекториями на величину более высокого порядка малости, чем норма от 5u.

В рамках сделанных предположений сформулируем следующий результат.

Утверждение 1. Для того чтобы на интервале времени T = [t0, t1] для систем вида x(t) = f (x(t), u(t)), линейных относительно x(t) и u(t), выполнялось соотношение

||Sx(-)| = max maxi5x,(t)<ß,

11 11 i=1,2, ...,n teT 1 ' 1

где ß - произвольное вещественное положительное число, достаточно, чтобы выполнялось условие

_ß_. (7)

max

i=1,2,...,n

m

iL

t J=1

ML -

L g* (ti, t) (fu (t ))t

k=1

ß

dt

12

max

i=1,2,...,n

m

L i

j=1 T

n

L g* (tl, tJ (fu(t )J

(9)

(10)

dt

Оценки (7), точные для систем вида (1), линейных относительно x(t) и u(t), для нелинейных систем могут быть улучшены. Далее предлагается схема улучшения оценок, использующая технику оценивания, основанную на интегральных неравенствах Гёльдера, с учётом уравнения в вариациях в теории второго порядка.

Использование уравнения в вариациях второго порядка

Вышеизложенную постановку задачи переформулируем следующим образом.

Предположим, что u(-) е CR (T), CR (T) -пространство кусочно-непрерывных на T функций с нормой:

IM-JI = max max\и, (tJ. (11)

11 i=1,2,...,n teT 1 iV Л

Поставим задачу: найти у > 0, такое, что при заданном вещественном ß > 0 и выполнении условия на конечном интервале времени T = [t0, t1] обеспечивается неравенство

=- У, (12)

maxiSx,.(t)-ß , i e 1, nl. (13)

teT

Выпишем для (1) уравнение в вариациях второго порядка.

Разложим в ряд Тейлора нелинейные правые части системы (1) в окрестности невозмущённого движения, ограничивая ряд членами второго порядка включительно:

f, (*1, Х2,..., Xn , U1, и 2,..., Um ) = f (x 0, и 0) +

+L df.(x u o) (^ _ x o)+LL f(x 0, u 0) x

7=1 dxj 1=1 duJ

1 » » д2f(x0,и0) x (и. - и ) + —L L ———-—-5x 5x, +

V 1 1 2dx,.dx,„ 1 k

(14)

j

vk

j=1 k=1

+1L L fV^ и U +

1 k=1

ди ди

k

J

k

д2ft(x0,U0) + LL— ——^ x,.5u,, j =1 k=1

dxjдик

i = 1, 2,

, n.

Подставляя (1 4) в векторное выражение (1), расписанное поэлементно, имеем

2

k=1

q

k=1

иркутским государственный университет путей сообщения

5х, =Y -^-ö х. + У f и. +

1 У ак; j У ди} 1

1 n n д2 f

^УУ-— ÖXj ÖXk +

2 j=1 k=1 dXj дхк

^ m m д2 f

+ - У У-— öu, öuk +

2 j=- k=1 du j dUk n m д2 f

+ У У-— ÖX, öuk,

1 k=1 dxi duk

j=1 k

jk

■2-i

i=1 dXj

2

öx 2 = У ^xi + У ui +

2 У dXi 1 У duj 1

1 n n d2 f + -УУ-— ÖXj ÖXk +

2 j=1 k=1 dXj dXk

■y m m д2 f

+1У У—öuj öuk +

2 j=1 k=1 duj duk

n m d f

+УУ

1 k=1 dxj du

-öx, öu

j öuk,

j^k

öXn = У ^öx, + У +

n ^ dXj j У duj j

1 n n d2 f +1УУ^^öXj öXk +

2 j=1 k=1 dxj dxk m m d2 f

+1 öuj öuk +

2 j=1 k=1 duj dut

+ZZ

d l f.

-öXj öu

j öuk,

j=1 k=1 dXj dut

или в более компактной форме

öx = У ^f-öx. + У f и. + г У dXj j У duj j

1 n n d2 f. + ~УУ-— öXj öXk +

2 j=1 k=1 dXj dXk

^ m m d2 f

+1У У-— öu, öuk +

2 j=1 k=1 duj duk

n m 2

d2 f _

+ УУ-— öXj öuk, i = 1, n.

j=1 k=1 dXj duk

Вводя скалярное произведение векторов

n n n

(xуЬУx,y,; x)=SSajxixj

ix, y ) = У X,

i=1

и обозначая

i=1 j=1

f =

J X

df, df

f1 =

J XX

Vdx1 dX2 dXn У '

d 2fi d 2f d

dx 2 dx dx2 d^, dx 1n

d 21г d2fi

dx dx2 dX22 й^. dx 2n

d f d ^ ^ df

dx1dxn dX2dXn "' dx„2

где /** - симметричная матрица Гессе, (16)

мож-

но записать в виде

(15)

8*, = (/*, 8*)+(/', 8и)+1 / 8*, 8*)+

+ 1 (/,ии8и^ 8иМ-/!8* 8и)

8* (^ ) = 0, , = 17Й. (17)

Учитывая, что ёх и ёи являются малыми величинами, решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (17) можно осуществить методом итераций: сначала найти ) решением системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) вида (6), а затем это первое приближение подставить в квадратичные члены уравнения (17) и найти следующее приближение 8*() решением СЛДУ

8*, = /, 8*)+(/,, 8и)+1 / 8*, 8*)+

2

1 (/UuÖU, öu Ыс ö-X, öu )i

+

8* (^ ) = 0, , = 1, и. (18)

Дальнейших итераций можно не проводить, поскольку они дают поправки к 5х, имеющие формально третий порядок малости. Решение СЛДУ (18) имеет вид

(16)

t

öx, (t )=J

У У gi,

j=1 k=1

j/L

du,

J n n n d2 f ^

2 j=1 k=1 ^ 7=1 dxi dxj у Y m n m d2 f ^

öx, öxx ■

УУgik У

j=1 k=1

г! du, du,

v l=1 l j

öu l öu j

m n ( n d2 f ^

У У gk XdXdrPXi öu,

j=1 k=1 V l=1 dXlj У

, (19)

dx

где

n

+

u

+

+

+

+

+

ш

t

'o t

sx j (t ) = i

m n Pj-f

L Ig. ^ и

j=1 k=1

du; 1

mn

L Lgjk fs uj

j=1 k=1 ди j

dx ,

dx.

от номинального для возмущения фазовой траектории Sx(-) выполнялось соотношение \Sxi(t)\< ß, teT, ie[l, n], ß - положительная константа, достаточно, чтобы выполнялось условие

U0L <У, где У = -

Л + л/Л + 2aß

G

В (19) gk(t, т), k = 1, 2,..., n; i = 1, 2, ..., n -

g = рц2 + 2vn + ö,

, (28) (29)

элементы матрицы Коши уравнения в вариациях ц ц, р, v, ö определяются соответственно вы-

первого порядка (6).

Обозначив подынтегральное выражение,

ражениями (23)-(27).

Уточнение утверждения 1 на случай ли-

нения (19), через Г(т) и учитывая, что t t1 J|y (x)| dT = i\Y (x) dx =i|Y (x) dx, (20)

max

te[tot ]

стоящее в фигурных скобках в правой части урав- нейных стационарных систем

Линейными стационарными системами принято называть такие системы, поведение которых вполне удовлетворительно описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоян-имеем ными коэффициентами.

Пусть структура модели динамического объекта задана линейной стационарной системой

Применяя к левой части (21) технику оцени- (ЛСС)

max| Sx. (t )-i Y (x)dx <ß.

(21)

вания, основанную на интегральных неравенствах Гёльдера, приходим к следующему неравенству:

ц.и. +1 рц i ч i+1 ömi i+vmHi -ß ,(22)

где

m

л=iL

t j=1

L gk

k=1

dfk

ди.

dx,

ц = max ц,

i=1,2,...,n

n

p=iL

t j=1

L gik L

д f

k=1

V , =1 dxi dxJ j

dx,

х(г) = Ах (г) + Би (г), х(г0 ) = х0, г е [г0, гх ] е Я1 ,(3 0) где х(У)е Яп - п-мерный вектор состояния системы;

и(У)е Ят - т-мерный вектор управления; А - матрица системы размерности п х п; В - матрица входа размерности п х т;

Пусть номинальному управлению и0(-) соответствует некоторая «невозмущённая» траектория системы х0(). Пусть управление и0(-) возмущено малой функцией 5и(^)еЬГ(Т), следствием (24) чего будет малое возмущение фазовой траектории: х0(-) ^ х0(-) + &(■).

Связь между Зх{() и 5и(у) для исходной ЛСС имеет вид

8х(г ) = АЪх(г)+БЪи(г), 8х(го ) = 0, г еТ = [го, г ].

(23)

(25)

v =

m

m

T j=1

n n

L gik L

д 2f

k

k=1

V

1 dxl ди

dx,

(26)

m

HL

T j=1

n m j?

L gik L

j

\

k=1

V ди, ди} ;

dx.

Из (22) следует результат.

Утверждение 2. Для того чтобы на интервале времени Т = [У0, У1] для нелинейных систем вида х(г) = /(х(г), и(г)), где х(}) е Я п - п-мерный

вектор состояния системы, и(У) еЯ т - т-мерный вектор управления, / (х, и) - известная п-мерная вектор-функция, при возмущении управления 6и(■)

Утверждение 1 для систем вида (30) можно переформулировать следующим образом.

Утверждение 3. Для того чтобы на интервале времени T = [t0, tj] для систем вида

x(t )= Ax(t) + Bu(t) выполнялось соотношение (27) ||Sx(-|= max max|5x; (t)<ß, teT, ie[1, n], ß -

произвольная положительная константа, достаточно, чтобы выполнялось условие

ß

«l-Hr <■

max

i=1,2,...,n

m n / \

iL L (eA(t1 -t ])Л

T j=1 k=1

dt

1 q '

,=

q

иркутский государственный университет путей сообщения

Оценки (8)-(10) в данном случае будут

иметь вид

<-

тах тах тах

,=1,2,...,п ]=1,2,...т 1еТ

У И1])л

к=1

(31)

М-)|| 2 <-

тах

,=1,2,...,п

т п / ч

/Е У И"1 ])л

Т ] =1 к=1

ё1

12

(32)

К!

<-

Р

тах

г=1,2,...и

У /Е И " ^А

]=1 Т к=1

(33)

й1

Вычислительные аспекты получения оценок допусков на реализацию программного управления для линейных стационарных систем

Экспоненциал квадратной матрицы А определяется как ряд

еЛ = I + — Л2 + - Л3 +..., 2! 3!

который сходится для всех А.

Матрица G(l, 10 ) = ел(1 ~1(| ^ носит название переходной матрицы. Математики предпочитают пользоваться термином фундаментальная матрица Коши. Название «переходная матрица состояния» в определенном смысле указывает на характер ее применения. Этому названию обычно отдают предпочтение в инженерных кругах.

Переходная матрица состояния определяет движение конца вектора состояния в пространстве состояний из некоторого начального положения, таким образом определяя и изменение (переход) состояния системы. В связи с тем, что вектор х(0 описывает все функции времени х1(^), х2(0, ..., х„(0, он несёт в себе большую информацию. Следует отметить, что объём вычислений при определении переходной матрицы состояния обычно больше, чем при разрешении линейного дифференциального уравнения относительно зависимой переменной. Однако имеющаяся дополнительная информация позволяет проектировщику системы управления использовать более совершенные методы проектирования.

В общем случае вычисление переходной матрицы состояния может выполняться несколькими различными путями. Основные подходы базируются на теореме Сильвестра и методе Кэли -Гамильтона, методе разложения в бесконечный

ряд, методе частотной области и методе передаточной функции.

Наличие программы для вычисления матричного экспоненциала необходимо каждому исследователю, моделирующему линейные стационарные системы. Существуют и многочисленные работы по вычислению матричного экспоненциала и моделированию линейных систем, в частности можно рекомендовать работы [3-8].

В программной системе МЛТЬЛБ вычисление матричной экспоненты осуществляется с помощью функций ехрт, ехрт1, ехрт2 и ехртЗ.

Функция У = ехрт(А) является встроенной и использует разложение Паде матрицы А [9]. Функцию матричной экспоненты ехрт(А) не следует путать с функцией ехр(А), которая вычисляет экспоненту от каждого элемента массива А. Функция ехрт 1(А) является М-файлом, который полностью соответствует встроенной функции ехрт(А) и располагается в файле ехрт1.т. Функция У = ехрт2(А) для вычисления матричной экспоненты использует разложение Тейлора матрицы А [10] и находится в файле ехрт2.т. Метод Тейлора не рекомендуется применять как основной, так как он зачастую бывает относительно медленным и неточным. Этот метод имеет меньшую скорость сходимости по сравнению с разложением Паде. Функция У = ехрт3(А) для вычисления матричной экспоненты находится в файле ехртЗ.т и использует спектральное разложение матрицы А

У = Я * ^(ехр^авф))) / Я, которое, строго говоря, справедливо только для случая различных собственных значений. Этот метод неудачен, если входная матрица не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов.

Выводы

В предположении, что поведение системы управления во времени определяется системой нелинейных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, получены оценки на норму

Гёльдера с показателем Г е [1, да] вектора вариаций управления, при которых гарантируется отклонение возмущённой фазовой траектории от номинальной в заданных пределах. Сфера приложения полученных оценок не ограничивается з а-дачей нахождения допусков на реализацию программного управления. По мнению автора, эти оценки можно использовать в задачах назначения допусков на параметры динамических систем при синтезе робастных систем управления в случае, когда номинальное значение параметра можно считать неслучайным. На практике ему соответствует ситуация, когда технологический разброс па-

Р

Р

2

ш

раметров пренебрежимо мал (элементы высокого класса точности) или же начальное значение параметра устанавливается точно в процессе настройки (регулировки) или подбора элементов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. -430 с.

2. Справочник по теории автоматического управления. Под редакцией Красовского А.А. - М.: Наука, 1987.- 711 с.

3. Bickart T.A. Matrix exponential: Approximation by truncated power series // Proc. IEEE. - 1968. -V. 56. - № 5. - P. 872-873.

4. Everling W. On the evalution of eAt by power series // Proc. IEEE. - 1967. - V. 55. - № 3. - P. 413.

5. Fath F.F. Evalution of a matrix polynomial // IEEE Trans. Autom. Control. - 1968. - V. 13. - № 2. -P. 220-221.

6. Krouse C.L., Ward E.D. Improved linear system simulation by matrix exponentiation with generalized order hold // Preprints, 11th Joint Automatic Control Conference. - 1970. - P. 794-802.

7. Levis A.H. Some computational aspects of the matrix exponential // IEEE Trans. Autom. Control. -1969. -V. 14. - № 4. - P. 410-411.

8. Melsa J.L. Computer Programs for Computational Assistance in the Study of Linear Control Theory. - New York: Mc Graw-Hill. - 1970.

9. Golub G.H., Van Loan. Matrix Computation. -Oxford: John Hopkins University Press. - 1983.

10. Moler C.B., Van Loan. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix // SIAM Review. - 1979. - Vol. 20. - P. 801-836.

УДК 629.4.027 Матафонов Алексей Андреевич,

аспирант кафедры «Безопасность жизнедеятельности и экология» Иркутского государственного университета путей сообщения, тел.:63-83-52

ОПЫТНО-СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ СВАРОЧНЫХ ЭЛЕКТРОДОВ

A.A. Matafonov

EXPERIMENTAL-COMPARATIVE DATA OF SPOT WELDING ELECTRODES

Аннотация. Проведены опытно-сравнительные испытания сварочных электродов, покрытия которых получены на основе использования компонентов минерального сырья Восточной Сибири, с серийными электродами марки АНП-13. Показано, что механические характеристики и износ поверхностей корпусов букс, наплавленных электродами ВСЭ, соответствуют нормативно-технической документации по сварке и наплавке при ремонте грузовых вагонов, а также удовлетворяют требованиям, предъявляемым, к электродам АНП-13.

Ключевые слова: электроды, испытания, технологические характеристики, сварка.

Abstact. The experimental-comparative data of spot welding electrode ESE which obtained on Eastern Siberia mineral row material with standard electrode ANP-13 are presented. It is presented that mechanical characteristics and deterioration surface axis bearing built in up by spot welding electrodes ESE conform to specifications.

Keywords: spot welding electrodes, the experimental-comparative data, technological characteristics, welding.

Методы и способ получения наплавочных электродов для восстановления узлов и деталей железнодорожного транспорта на основе использования определенных компонентов из минерального сырья Восточной Сибири детально рассмотрены в работе [1].

В целях проверки сварочно-техноло-гических характеристик полученных электродов изготовлена серия опытных электродов ВСЭ со стержнями из проволоки марки Св-08А диаметром 4 мм.

В состав покрытия этих электродов входят: магнезит из Савинского месторождения, мрамор -карьера «Перевал» (г. Слюдянка), плавиковый шпат - Абагайтуйского месторождения, перикла-зовый концентрат - ОАО «Сибирские порошки» (пос. Михайловка), ферросилиций - ОАО «Братский завод ферросплавов» (г. Братск), ферромарганец - ООО «Химико-марганцевая компания» (г.