CC BY
0ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 537.622:537.326
Е. А. Жуков, В. И. Жукова
РАСЧЕТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАГНИТНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С УЧАСТИЕМ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТАХ ИТТРИЯ
Жуков Е. А. - д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Электротехника и электроника», e-mail: e_a_zhukov@mail.ru (ТОГУ); Жукова В. И. - канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры «Высшая математика», e-mail: v-i-zhukova@yandex.ru (ДВГУПС)
Рассмотрено взаимодействие доменных границ в ортоферрите иттрия одновременно с магнитными и продольными акустическими волнами. Доказано, что на скоростях, отличных от скоростей акустических и спиновых волн, это взаимодействие тормозит доменные границы. При этом не учитывается магнитостатическая энергия из-за ее ослабления на фоне обменного усиления магнитоупругой энергии. Установлено, что движение доменных границ на определенных скоростях может приводить к одновременной генерации магнитной и акустической волн, а также к их усилению.
Ключевые слова: доменные границы, магнитные и продольные акустические волны, медленно меняющиеся амплитуды, многоволновое взаимодействие.
Движение доменных границ (ДГ) в ортоферрите иттрия (YFeO3), как показано в работах [1-3], сопровождается их торможением и генерацией акустических волн. Если скорости отличаются от скоростей распространения акустических и спиновых волн, то торможение ДГ связывается с возбуждением поверхностных волн [3-8]. Этот эффект положен в основу возможности создания генератора гиперзвуковых поперечных акустических волн [9, 10]. Но наблюдаемые особенности, возникающие при движении ДГ в слабых ферромагнетиках, еще недостаточно изучены. Нет их полного и последовательного объяснения.
В данной работе рассмотрено взаимодействие ДГ в ортоферрите иттрия одновременно с магнитными и продольными акустическими волнами. Установлено, что на скоростях, отличных от скоростей акустических и спиновых волн, это взаимодействие может привести к торможению ДГ. Здесь не учитывалась магнитостатическая энергия из-за ее ослабления на фоне обменного усиления магнитоупругой связи [11].
© Жуков Е. А., Жукова В. И., 2021
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021 № 4 (63)
13Г
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
Постановка задачи
Рассмотрим векторы намагниченности т = (М1 + М2)/2М и антиферромагнетизма 1 = (М1 - М2)/2М, где Мь М2 - намагниченности подрешеток,
2 2 2
М! = М2 = М . В двухподрешеточном приближении они связаны соотношениями т1 = 0, т2 + 12 = 1 [1, 12]. Оси координат х, у, г выберем так, чтобы они совпадали с кристаллографическими осями а, Ь, с. Тогда векторы т и 1 в равновесном состоянии будут ориентированы вдоль г и х соответственно в полях, меньших полей опрокидывания , т2 << 12 « 1. Азимутальный и полярный углы 912, ф12 векторов намагниченности подрешеток М12 в сферической системе координат соответственно имеют вид: 91 = л/2 - и + в, 92 = л/2 + и +е, ф1 = ф + Р, ф2 = л + ф - р. При малом отклонении от рассматриваемой равновесной спиновой конфигурации ф, и <<1, и небольшом изломе подрешеток р, в << 1 параметры ф, и, р, в являются проекциями векторов 1, т: 1 = (1, ф, и); т = (0, р, -в). Запишем полные динамические уравнения для акустических % и и магнитной и переменных
" ^ —з 2 А
Г1 д 2 д 2 1
V с2 дл2 -- дх2,
тН . -зт и А А ди1 дх зш(2и)
- —Зт(2о) =
<-> Л V /
$ дщ \ оМ ди
■——- соз(2и)+--;
А дх х 7 gA дл
( 1 д2
V
22
дл2
(1 д2
V
дл2
дх2 дх2
41__
р^ ^ длдхг
3 \
4
д3
22 р^Л длдх
$ ди . / \
=—г^™(2и);
дх
$ ди / ч. =--2 &С08(2и) ;
Р^
(1)
где щ - компоненты вектора деформации вдоль оси х (продольная волна); А -
постоянная обменной энергии; Ь3 - константа анизотропии; р - плотность; 51 - магнитоакустические константы; sl - скорость объемных продольных звуковых волн.
Полагаем, что структура ДГ задана в виде и = и0 + и1 (и0 - магнитная переменная без учета магнитоакустического взаимодействия, и1 - поправка, вызванная этим взаимодействием). Как показано в работе [9], в нулевом приближении:
г± д! с2 дЛ2
д_
дх2
2 1
—
\ тН . >0 + —зт(2ио ) =-зт и +
оМ дио
2 А
gA дл
Тогда система взаимодействия ДГ с продольными акустическими и магнитными волнами (1) в квадратичном приближении выглядят следующим образом:
и
л
РАСЧЕТЫ ВЗАИМОДЕИСТВИЯ МАГНИТНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С УЧАСТИЕМ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТАХ ИТТРИЯ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
'1 а2
л
с 2 дt2
дх 2
¿ио) и
У
г± а! дt2
1 д д Ьз / Ч 8/ ди/ Г . / Ч / 41
--^+"7«42и0) и1 = —-[з1п(2ио)+и1008(2ио)];
д
А дх
2 А
дх'
и/ =
_ 8/ дио
[81п (2и0 )+2и1 соз(2ио )]
_ д^т
дх
2 - V----У--0/ ■ 9 _ [®1п(2и0)+ 2и1С°5(2ио)] . (2)
№ дх р4
Здесь из трех уравнений системы (1) рассматриваем только два уравнения (1 и 2), которые определяют взаимодействие ДГ с продольными звуковыми и магнитными волнами и пренебрегаем диссипацией (а = 0, ^ = 0) , полагая Н = 0.
Аналогично в работе [9] было получено решение системы двух уравнений 1 и 3 из системы (1) при взаимодействии с поперечными волнами.
Считаем, что [3^(2^)« 2иь соз^и)«1], (первые слагаемые разложения в степенной ряд.
В настоящей работе система (2) изучается в предположении малых возмущений и>1 << ио; и1 << 1, что соответствует небольшому магнитоупругому взаимодействию, соответствующему экспериментальным условиям. В этом случае правая часть второго уравнения системы (2) имеет вид:
&2
д
дх2
2
и/ =
А.
2 №
ди!
дх
1(2ио )
т.е. вклад в деформацию и/ ДГ отсутствует
Таким образом, решение поставленной задачи с учетом указанных предположений сводится к решению системы уравнений:
Г 1 д2
"Г ТУ _~У + "7С08(2ио )|и1 = _87 ^ з1п(2ио);
2
Ь
8 ди
22 с дt
дх2
А дх
дt2
,2 |
дх
щ =
(3)
По аналогии с работой [1] определим структуру ДГ уравнениями
1 дио _ 1
с03 ио = Л
( х _ уЛ
А
; БШ ио = -
сЬ
х _ vt
дх
А сЬ
х _ vt
зЬ
^х _ ^
соз(2ио) = 1 —
(
сЬ2
х _ У
А
■; зш(2ио) = 2-
з
(
сЬ2
х _ У.
А
(4)
2
2
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
А =
^ - 4 ^
V С У
Примем законы дисперсии для магнитных, акустических волн и спектральных компонент магнитоакустических напряжений ДГ в виде
I 2 2 2 2 Ь^С"
Ю = ^3 +С к, ; (аа = э/ка; ю = Ь> , ю3 = . (5)
При выполнении условий фазового синхронизма
ю=ю3 + юа + Аю ; к = кз + ка + Ак; (6)
выполняются соотношения
Ь=к | М; I Юз + Аю-(кз + Ак)У_ Юз +АЮ-(кз +Ак)з/ . 3 V- Э/ V- Э/ '
_ ю3 + Аю - (к3 + Ак)у
ка = ;
v - 3
ю „ + Аю - (к, + Ак)v ю „ + Аю - (к, + Ак в/ /пх
ю=ю3 + Аю + -^-'— = V—-—-— ; (7)
v - Э v - Э/
_ ю3 +Аю-(к3 +Ак )v
ю а = ^ .
v - Э
Метод медленно меняющихся амплитуд
При решении системы (3) методом медленно меняющихся амплитуд за основу берем методику работ [13] и [9].
По теории возмущений решение системы (3) ищем в виде суммы нулевого и первого приближений:
О =и|°) +0«; щ = и° + щ(1) (8)
Согласно этой методике, считаем, что с магнитными и акустическими волнами взаимодействует спектральная составляющая магнитоакустического
гю/-гкх т т
напряжения доменной границы, пропорциональная ~ е Нулевое
приближение в (8), которое является решением для левой части системы уравнений (3), имеет вид:
о(0) = 4
Ш!^ |- ю3в
,(0) = А3е1Юа*-гках , (9)
3
-гк3х .
е
где Е =
ю^ - к3с
2 2~ С - V
2
-, А1, А2 - константы.
Тогда, используя формулы (4) и (5), получим
с3 д/3
дх'
-+ — 008(30,
3 А
(3о° )
= о;
з/3 д/3
з2 А
дх
щ(0) = 0,
(10)
где
2
д
ь
РАСЧЕТЫ ВЗАИМОДЕИСТВИЯ МАГНИТНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С УЧАСТИЕМ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТАХ ИТТРИЯ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
дх
8 - ",(0) = А
дЧ(0) 2 г,
1 - = ~к1 А2еи
2
дх
2
2як
(х-у^ V О3 у
2,(0)
д2и
Ы 2
■ = -®аА2е
2 Л ¿Юа'~'ках ■
2 „1„3
(
О32ск
х -у*
Л
О3ск2
х -у*
4^3 у
^ к 2 *к
(
х -у*
л
V О3 у
+ О3к2 Е
д*
2
2 "1
д"-о(0) = А1
2у25к
(
х -у*
л
V О3 у
2гю2у
О32ск 3
х -у*
л
V О3 у
Оск2
х -у*
^ - ®2*к
V О3 у
V О3 у
2
+ /О3Ю2 Е
Нулевые приближения (9) совпадают с нормальными модами магнитной и акустической волн.
Подставим (8), (10) в систему уравнений (3) , получим систему уравнений для первого приближения в (8):
( 1 д2 д2 Ь3 / ч "2^2 + Т«*(2«0)
с2 д*2 дх2
(1)_ гга(ц(0)+ц(1))
дх
зт( 2У0);
2 |
_д_
5/2 д*2 дх2
,(1)_ _ А
и/ =
1дхх1 51П(2У0)
Решение системы (11) ищем в виде медленно меняющихся амплитуд:
и(1) = А1(х - у*-Ш*х + А*(х - У )е~1^+1к*х ;
и/(1) = а2( х - у?)е"
: + А*(х -у*)е
(11)
(12)
Здесь А1(х - у*), А2(х - у*) - неизвестные функции, а А* (х - у*), А^ (х - у*) - соответственно неизвестные комплексно-сопряженные функции.
Для нахождения неизвестных функций А1(х - у*), А2(х - у*) , А* (х - у*), А^ (х - у*) подставим (12) в (11), для этого определим
8 т (Шх - У)
д*
"1 =1 - у
д*
+ /ю,А1(х - у*) 1е'ш*' +
¿ю_ *-гк.х
^ дАГ (х - У*) - у—1--гюА (х - у*)
ы
А"(1) = [да1( х - У*) - кЛ(х - у*) И*'"^ + дх V дх
^дА*(х ~ У) + гкА (х - VI)+1к*х ■ дх
-гк х
е
тл-гк х
е
А
-гюЛ+гк х
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (бЗ)
St
з «/" =
3
з S Ai/x — vt) SAi 3..
v 3-^-- — 3iras и—1 — ra3A1/x — vt )
St3 St
ira,t—ik.x . e s s +
^ 3 S3A*/x — vt) „. SA* 3 .*. ^
v 3-^-- + 3iras u—L — ra3A1 /x — vt)
V St3 St
—ira t+ik.x
e 5 5 ;
.3
Sx
3 «/" =
( 3
S Al/x — vt) — 3k SAl/x — Vt) — k3A1/x — vt)
Sx
2
Sx
—iksx +
[s3A*/x — vt) + 3k SA*/x — Vt) — k3A* /x — vt)
A
Sx2
Sx
—ira. t+ik.x e s .
-u/0) = Al
Sx
D3ch 3
-fx — Vt^
— ik,,th
D
^x — Vt^ V D3 У
— D3ksE
V "3 y
SU0)
Sx
' = —ikaA3ei
I u/1) =[ — v SA|—^ + ira a A3/ x — vt) je^—ikax +
SA* / x — vt ) . .*. — v-^-- — i®aA* /x — vt )
St
Л
g—iraat+ikax ,
I Ui(1) = ^£^0 — ^3/ x — vt —ikax
+
+ ikaA** /x — vt) Sx
Л
iraat+ikax
3
St
3 ^ =
3 S3A^x — vt)
St
„ — 3irauSA- — ®3 A, / x — vt)
3 s St s 1
/'ra J—ik.x
+
+
^v2 S3A*/x vt) + 3ira USA* — ra3a;/x — vt)je+iksx V St3 s St s 1 J
-S3- u (l) =
St3 Ul =
( 1 \ 3 S3 A3 /x — vt) „ SA3 3 ^ J
v -^-- — 3iraau—3 — ra,,A3/x — vt)
St3 St
eiraat—ikax +
Л
[ 3 S3A*/x — vt) „ SA* 3 v -^-- + 3iraau^r — ®зA* /x — vt)
V St3 St y
e~iraat+ikax •
S
+
+
1
ira.t—ikx
e
3
S
v
+
РАСЧЕТЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАГНИТНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С УЧАСТИЕМ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТАХ ИТТРИЯ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
дх'
-и (1) = 2 и/ =
(-2
д А2( х - У*) - дА2(х-у?) - ка2А2(х - У*)
2
Г Я2
+
дх2
82а; (х - у*) | 8А;' (х - у*) , 2 ,, дх2 а дх
дх
е'юа1 -гках +
- к2; а; (х - уо
-/©а* +гках
(13)
Преобразование системы (11) после подстановки выражений (12) - (13) будем проводить с учетом законов дисперсии для магнитных и акустических волн и спектральных компонент магнитоакустических напряжений ДГ (5). Тогда система уравнений (11) примет вид:
_ 1 2гю2У 8А1(х - у*) , 8А[ (х - V*) 1 гш^-гк^х
I 2 я! * я 1
с 8* дх
_1_( 2/'юу 8АГ(х-у*)_»., дАГ(х-у*) л „-¿ш^+гк2х = I 2 ^ 2 2 Г Iх
8г
дх
Л
дА2(х - уЬ) дх
-1каА2(х-у1)-1каА2)е
28И
х - У* |
^т] -
2 ( х - У*
еИ2
О,
/ * \ дА2( х-у*) ,
2(_ ) + гкаА;( х -у*) дх
28И
х - У*
2 ( х - У*
еИ2
О
(14)
.А.
Р2/2
;/юау дА2(х -у?) , О;/; дА2(х -у*)
2/
дг
дх
е1шаг-1ках+
+
2гюаудА;(х 2Пс дА;(х -у*)
дг
дх
х е
- ( ша1+1ках=
дА (х -у*) ., . . . А,
—^-- - гкА (х - у*) +--А
дх
Б3ск
(х-уЛ V О3 у
- А^к/к
'х-уЛ V О3 у
(15)
/ю -/к^х
- А^О3к
у- к2с ¿©¿-гКх +
3 2 2 2 с -у
(дА1
(х-у£)
28Ь
дх
х - У*
+ ¿ксА
ЯА1
(х — у£)) I
- ( ¡ксХ
\
еИ2
^х - У^'
V О3 у
9
е
I шаг- 1ках
8
-ша*+1ках
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
Дальнейшие преобразования связаны с тем, чтобы привести систему (14), (15) к системе, методика решения которой известна и приводится в работе [13].
Будем рассматривать квазистационарное распределение магнитной и акустической волн относительно ДГ. Огибающие амплитуд будут зависеть только от одной координаты в системе движущейся ДГ, а фазовые скорости волн будут различны. Полагаем
4,2 (х, ?) = 4,2 (х - V*) = 4,2 (?), (16)
где ? - координата, перпендикулярная плоскости ДГ, в движущейся системе
координат
? = (х - V);
дА
1,2
дА
д*
■ = —V-
1,2
дА
дх
■ = —V-
1,2
д?
(17)
Учитывая (5)-(7), получим соотношения
+ Аю) — (кя + Ак)х = [ — — кя + — Ак |х —[ — + |? ;
I v v ] I v v )
, ю„ Аю ,, | юа — юаг + ках = | — к8 н---Ак Iх н—— ? .
V V ) V
(18)
Подставим (16)-(18) в уравнения (14) и (15) и после преобразований приравняем выражения при равных экспонентах. Тогда система уравнений (14), (15) примет вид:
2 1 у_— ?
{ - 2к) ^^ }х* v? =
д?
= _ 5.
А
д^2 (?)
д?
— укаА2 (?) — УкаА2
Л
а^ ( ?2
+ 2Ук—)
дАЩ д?
— а
Р^/
А-,,*
д?
(19)
. (20)
Учитывая в (19), (20) отсутствие волновой расстройки: <— = <— + юа, к = к8 + ка , — = к», получим систему уравнений
{ (
— 2^юsv чдА1(?)
- 2Ук, ) } =
" д? *
ю
с
)
5
V _
е
2
с
РАСЧЕТЫ ВЗАИМОДЕИСТВИЯ МАГНИТНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С УЧАСТИЕМ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТАХ ИТТРИЯ
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
A
5?
2/ЮдУ
2
■ + 2ika)
5A2(?) 5?
(21)
. (22)
С помощью преобразования Фурье система уравнений (21), (22) сводится к системе уравнений, аналогичной полученной в [9], где рассматривалось взаимодействие магнитных и поперечных акустических волн. В представленной работе эти выводы обобщены на взаимодействие с акустическими волнами любой поляризации.
Таким образом, движение ДГ на определенных скоростях, отличных от нормальных скоростей магнитных и акустических волн, может приводить как к их усилению, так и генерации. Измерение параметров магнитных волн оптическими методами можно использовать для косвенного измерения параметров гиперзвука с длиной волны до 10 нм.
Библиографические ссылки
1. Dynamics of topological magnetic solitons. Experiment and theory / V. G. Bar'yakhtar, M. V. Chetkin, B. A. Ivanov, S. N. Gadetskii // Springer Tracts in Modern Physics. Berlin, 1994. Vol. 129.
2. Звездин А. К., Мухин А. А. Магнитоупругие уединенные волны и сверхзвуковая динамика доменных границ // ЖЭТФ. 1992. Т. 102, вып. 2. С. 577-599.
3. Study of the structural and dimensional features of the magnetization reversal in transparent weak ferromagnets / Kuz'menko A.P., Zhukov E.A., Zhukova V.I., Li Tsz., Kaminskii A.V. // The Physics of Metals and Metallography. 2008. Т. 106, № 2. С. 164172.
4. Ким П. Д., Хван Д. Ч. Вынужденные колебания доменной стенки на высоких частотах // Физика твердого тела. 1982. Т. 24, вып. 8. С. 2300-2304.
5. Звездин А. К., Попков А. Ф. Распространение спиновых волн в движущейся доменной границе // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, вып. 8. С. 348-351.
6. Кузьменко А.П., Жуков Е.А., Ли Ц. Резонансное возбуждение магнитоупру-гих колебаний в ортоферритах одиночной доменной границей // Вестник ТОГУ. Хабаровск, 2005. № 1. С. 9-24.
7. Magneto-elastic resonant phenomena at the motion of the domain wall in weak ferromagnets / Kuz'menko A.P., Zhukov E.A., Dobromyslov M.B., Kaminsky A.V. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2007. Т. 310, № 2 suppl. part 2. С. 1610-1612.
8. Жуков Е.А., Кузьменко А.П., Щербаков Ю.И. Торможение движущейся доменной границы в слабых ферромагнетиках // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, вып. 6. С. 1033-1036.
ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 4 (63)
9. Метод генерации, усиления, и измерения параметров гиперзвуковых волн в магнитных кристаллах / Жуков Е. А., Жукова В. И., Каминский А. В., Корчевский В. В., Римлянд В. И. // Вестник ТОГУ. Хабаровск, 2012. № 3. С. 17-27.
10. Generation of nanometer wavelength acoustic waves / Komina O. Yu., Adamova M. E., Zhukov E. A., Kuz'menko A.P., Zhukova V. I. // Journal of Nano- and Electronic Physics. 2016. Vol. 8, № 4. P. 04020.
11. Туров Е. А., Шавров В. Г. Нарушенная симметрия и магнитоакустические эффекты в ферро- и антиферромагнетиках // УФН. 1983. Т. 140, вып. 3. С. 429-462.
12. Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков / Туров Е.А., Колчанов А.В., Меньшенин В.В., Мирсаев И.Ф., Николаев В.В. М.: Физматлит, 2001. 560 с.
13. Bloembergen N. Nonlinear Optics. New York. : Benjamin, 1965. 172 с.
14. Барьяхтар И. В., Иванов Б. А. Динамическое торможение доменной границы в слабом ферромагнетике. Киев : ИТФ АН УССР, 1983. 28 с. Препринт ИТФ-83-111Р.
Title: Calculations of the Interaction of Magnetic and Longitudinal Acoustic Waves with the Participation of a Domain Wall in Yttrium Orthoferrites
Authors' affiliation:
Zhukov E. A. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation; Zhukova V. I. - Far Eastern State Transport University, Khabarovsk, Russian Federation
Abstract: The interaction of domain walls in orthoferrite is considered yttrium simultaneously with magnetic and longitudinal acoustic waves. Proven that at speeds other than those acoustic and spin waves, this interaction slows down domain boundaries. In this case, the magnetostatic energy is not taken into account due to its weakening against the background of exchange amplification magnetoelastic energy. It was found that the motion of domain boundaries at certain speeds can lead to simultaneous generation of magnetic and acoustic waves, as well as their amplification
Keywords: domain walls, magnetic and longitudinal, acoustic waves, slowly varying amplitudes, multiwave interaction.
