CC BY
29
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070 УДК 519.6
Л.Е. Шувалова
старший преподаватель НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, РФ
РАСЧЕТЫ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Аннотация
Рассматривается вычислительная схема решения уравнения, описывающего процессы в электрических цепях с применением математического пакета Mathcad..
Ключевые слова
Уравнение силы тока и напряжения, разностный метод, математический пакет.
Электромагнитные процессы в электрических линиях, как известно [1], описываются системой телеграфных уравнений относительно U (x, t) напряжения и i( x, t) тока. Теория этих уравнений в настоящее время хорошо разработана. Телеграфные уравнения - это дифференциальные уравнения с частными производными, описывающие при определённых упрощающих предположениях процесс распространения тока и напряжения по проводу. Разработано много методов и подходов к решению таких электротехнических задач, но большинство способов связаны с огромным количеством вычислений, что требовало больших затрат времени.
В настоящее время интенсивно применяют прикладные математические пакеты, позволяющие быстро и эффективно проводить инженерные расчеты. Одним из таких пакетов является Mathcad [2]. Он прост в обращении, позволяет иллюстрировать многие математические задачи. Переменные и параметры можно изменять и при этом наблюдать мгновенный перерасчет результата.
Данная работа посвящена разностному методу решения телеграфного уравнения с численной реализацией .
Пусть линия длиной I = 700 км c сопротивлением R = 35 и утечкой G = 5 X 10-8 ^ за единицу длины свободна от искажений (т.е. — = — , где L = 8,8 X 10-3 — - самоиндукция и С = 5 X 10-9 — - емкость
1С км км
на единицу длины) и заряжена до потенциала U0 = 10 кВ. Конец линии (х = I) изолирован. В момент времени (t = 0) начало линии (х = 0) заземляется. Найти закон изменения потенциала в любой точке линии в зависимости от времени t. Прохождение электрического тока по проводу с равномерно распределенными на единицу длины сопротивлением R, самоиндукцией L, емкостью С и утечкой G характеризуется силой тока i (х, t) и напряжением U (х, t), которые являются функциями положения точки х и времени t.
Величины U (x, t) и i( x, t) связаны следующей системой уравнений:
^ + С ^ + GU = 0,
dx dt (1)
dU di ,
--h L--h Ri = 0.
dx dt
d 2i d 2i di
Из системы (1) легко получается уравнение силы тока —- = CL —- + (CR + GL)--ь GRi
dx dt dt
д2и д 2и ди
и уравнение напряжения -— = CL —— + (CR + GL)--Ъ GRU
дх д1 д1
Если можно пренебречь потерями через изоляцию и сопротивление очень мало, т.е. С « 0, К « 0, то при соответствующих заменах приходим к уравнению:
d2U d 2U R G dU RG
—r = —^ + (— + —)-+-
dx2 dt2 L С dt LC
a2—r = + (~T + + Т7ГU , (2)
2_ 1 TJ( г,л_тт dU(x,0) __G
где a = ,при начальных условиях U (x,0) = Uo, = U o, (0 < x < l).
CL dt С
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070
При решении задачи (2) применим разностный метод. Он основан на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия заменяются разностными отношениями. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решаем методом прогонки. Ниже приводится программа, реализующая рассматриваемый метод:
Результаты вычисления представлены ниже. Значительный интерес представляет также визуализация решения в расчётной области.
Данный вид визуализации может осуществляться в отображение трёхмерного поверхностного графика, одной координатной осью которого является время.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №11-2/2016 ISSN 2410-6070 Список использованной литературы:
1. Пономарев К. К. Составление дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. под ред. Ю. С. Богданова.: Издательство «Высшая Школа», Минск, 1973.
2. Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO - М.: СК Пресс, 1998. 352 с., ил.
© Шувалова Л.Е., 2016
