CC BY
136
УДК 624.014.2
М. В. ГОГОЛЬ, М. Р. Б1ЛЬСЬКИЙ (НУ «Льв1вська полтгехтка»)
РОЗРАХУНКОВИЙ МЕТОД РЕГУЛЮВАННЯ ЗУСИЛЬ У СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНИХ СИСТЕМАХ СТАЛЕВИХ КОНСТРУКЦ1Й
У цш статп приведет результати дослвдження нового методу регулювання напружено-деформованого стану статично невизначених систем. Доведено, що найбшьш ефективним е таке регулювання в процес проектування комбшованих сталевих конструкцш та реконструкцп каркаав буд1вель i споруд.
Ключовi слова: комбшоваш системи, регулювання зусиль, шдсилення, напружено-деформований стан
В этой статье приведены результаты исследования нового метода регулирования напряженно-деформированного состояния статически неопределенных систем. Доказано, что наиболее эффективным является регулирование в процессе проектирования комбинированных стальных конструкций и реконструкция каркасов зданий и сооружений.
Ключевые слова: комбинированные системы, регулирование усилий, усиление, напряженно-деформированное состояние
In the article the results of investigation are presented for new method of stress-deformation state regulation concerning statically indefinite systems. It is proved that the most effective regulation is during design of steel combine structures and carcass reconstruction for buildings and structures.
Keywords: combined systems, regulation of efforts, strengthening, stress-deformation state
Актуальшсть проблеми
Проектування нових конкурентно спромож-них сталевих конструкцш типу комбшованих систем та виршень актуальних питань шдсилення каркашв юнуючих будiвель i споруд на сучасному рiвнi вимагае скорочення витрат пращ та матерiалiв. Цього можна досягнути за рахунок удосконалення методiв регулювання напружено-деформованого стану комбшованих металевих конструкцiй та шдсилення сталевих каркашв, що експлуатуються з урахуванням регулювання в них зусиль.
Аналiз останшх дослiджень публiкацiй
Вплив змши жорсткостi елементiв статично невизначено1 стрижнево1 системи на перероз-подш зусиль у статично невизначенiй œ^^i досить детально був дослiджений А. В. Перельмутером [1]. Показано, що змша жорсткост якого завгодно стрижня веде до змiни зусиль в шх елементах системи. Це дае можливють шляхом пiдбору вiдповiдних сшв-вiдношень моментiв iнерцiï поперечних перер> зiв елементiв системи, що працюють на згин i стиск, регулювання ïx напружено-деформованого стану. Подальший розвиток методiв вивчення перерозподiлу зусиль у результат змiни жорсткосп елементiв комбшо-ваних металевих конструкцш висв^лений у роботi [2], де описаний запропонований розро-блений автором новий метод регулювання на-
пружено деформованого стану (НДС) комбшованих систем, який у подальшому названий ро-зрахунковим. Перевага останнього над регулю-ванням НДС за допомогою попереднього напруження [3], яке дае зменшення маси мате-рiалу не завжди оправдане додатковими витра-тами пращ а в окремих випадках i енергетич-них ресурсiв полягае у наступному. Вказаних недолiкiв можна уникнути у разi використання у процес розрахунку i проектування комбшо-ваних металевих конструкцiй методу розрахун-кового регулювання зусиль [2]. Новi ефективш комбiнованi металевi конструкцii удосконале-но! технологii з розрахунковим регулюванням НДС запатентовав i впровадженi у практику будiвництва [4-7, 9-18].
Мета i задачi дослiджень
Метою дано! роботи е науково-практичний аналiз впровадження у будiвництво та реконст-рукцiю промислових та цивiльних об'ектiв основ теори розрахункового регулювання НДС комбшованих металевих конструкцш. Задачi дослiджень полягають у кiлькiсному аналiзi ефективностi розрахункового регулювання зусиль в металевих конструкщях при !х проекту-ванш та впровадженнi у виробництво. Крiм цього, при пiдсиленнi iснуючих сталевих конструкцш необхщно також проводити аналiз ефе-ктивностi регулювання зусиль рiзними методами.
© Гоголь М. В., Бшьський М. Р., 2011
37
Методика дослщжень мютить в собi вибiр шляхiв досягнення мети та виршення постав-лених у роботi задач. Для цього використову-ються варiацiйнi методи дослiдження роботи i розрахунку нерозрiзних балок на пружних опорах, яю моделюють комбiнованi системи з роз-рахунковим регулюванням зусиль.
Виклад основного матерiалу
Досягнення мети, визначений у данш роботi досягасться вирiшенням поставлених задач.
Суть розрахунку [2] комбшованих систем полягае у наступному. На основi методу декомпозици системи, роздiляемо систему на двi пiдсистеми - головну i допомiжну. Далi, використавши принцип синтезу системи, розраховуемо И напружено-деформований стан. На рис. 1 представлена схема математично! моделi iтерацiйного процесу проектування рацiональних комбiнованих металевих конструкцiй.
.........
ДекомпозицЫ комбЫованоТ-конструкци
Рис. 1. Схема математично! модел1 ггерацшного процесу проектування рацюнальних комбшованих
металевих конструкцш
В якостi критерда рацiональностi виступае енергетичний критерiй рацюнального проектування [7], а також вимоги до напружено-деформованого стану:
рiвнонапруженiсть, рiвномоментнiсть,
максимальна жорсткiсть, або мiнiмальна маса конструкци [2].
Таким чином запропоновано едину розрахункову модель комбiнованих систем (на основi методу декомпозици системи) у вигщщ балки на пружних опорах [2], в якш балка моделюе балку жорсткостi, а пружш опори -систему пiдкрiплення.
Отже, суть розрахункового регулювання напружено-деформованого стану системи полягае у такому пiдборi геометричних
параметрiв i жорсткiсних характеристик елементiв системи, рацюнальному виборi топологи конструкцiй, характеру закршлень на опорах, яка дозволить у И деформованому сташ отримати бажаний розподш зусиль.
В процесi збшьшення зовнiшнього навантаження в нiй вщбуваеться попередньо розрахований рацiональний перерозподiл внутршшх зусиль мiж елементами з одержанням напружено-деформованого стану аналопчного, як вiд ди попереднього напруження. Розкриття потенцiалу
регулювання, що криеться в таких комбiнованих системах шляхом рацюнального формування напружено-деформованого стану в перетинах конструкци вже на стади
проектування, створюе рацiональнi пiдстави регулювання НДС розрахунковим методом
для розробки наукових основ одержання полягае у наступному.
конструкцш ново! генераци. Проблема Зобразимо, як подано на рис. 2, поставивши
розрахунку бущвельних конструкцiй, в тому посередиш нерозрiзноl балки жорсткост на
числi комбiнованих, насамперед ставиться як пружних опорах кожного прогону I г (I = Щ),
проблема !х рацiонального проектування.
Узагальнений алгоритм рiшення зaдачi
д
лшшний зв'язок по напрямку осi 2 .
. д ^
К4
Кп-6 Оп-б
" ^«М Г Кп-2"
т-1
я
а
I ,
Рис. 2. Ф1зична модель балки на пружних опорах з лшшними зв'язками по оа Ъ
На вс одержaнi таким чином опори балки накладемо зв'язки вiд повороту балки стосовно ос У . Тодi узагальнено обмеження прогинiв балки у вщповщних точках можемо записати так:
ЯА + Яа = 0,(2)
<[/] (I = 2,4,6,..., п )
(1)
Для розрахунюв на ЕОМ рiвняння (1) зручшше подати у мaтричнiй формi. Тодi воно запишеться так:
де: Я - кодiaгонaльнa матриця жорсткостi системи; А - вектор перемiщень точок системи «I » (I = 1, п); - вектор реaкцiй у штучних
опорах вiд зовнiшнього навантаження.
Код1агональна матриця Я жорсткост системи мае такий вигляд:
Я =
Гц Г12 Г13 Г14
Г21 Г22 Г23 Г24
Г31 Г32 Г33 Г34 Г35 Г36
Г41 Г42 Г43 Г44 Г45 Г46
Г53 Г54 Г55 Г56 Г57 Г58
Г63 Г64 Г65 Г66 Г67 Г68
'85
п-3,п-5
' п-3,п-4
'90
'810
Гп-3,п-3 Гп-3,п-2 Гп-3,п-1 Гп-3 п
Гп-2,п-3 Гп-2,п-2 Гп-2, п-1 Гп-2 п
Гп-1, п-3 Гп-1, п-2 Гп-1, п-1 Гп-1 п
Г п,п-3 Г п,п-2 Г п,п-1 Г пп
(3)
Вщповщно вектори матричного рiвняння (3) записуються так:
А = [а2 а3...ап ]Т ЯЧ = [Я1ЧЯ2ЧЯ3Ч ..Ящ ]
(4)
де знаком «Т » позначено, що над матрицями потрiбно виконати транспонування.
Для визначення елементiв матриц та векторiв рiвняння (2) скористаемося функцiями фг- (/ = 1,п), що поданi у рiвняннi (3), для схеми на рис. 2. При цьому приймемо невiдомi параметри ai (/ = 1, п) цих функцш рiвними одиницi. Функци фi (i = 1, п) е кусково-
лшшними. За принципом суперпозици вони мають границi лише у межах мiж зв'язками, якi не перемiщуються, тобто зв'язки, яю на даному етат не перемiщуються, е !х границями. Природнi крайнi зв'язки е краевими умовами балки. Отже, функщя фу1 при а = 1 мае вигляд, як подано на рис. 3.
Рис. 3. Епюра функци ф1
Видiливши на рис. 2 за методом шчень вузли 1 та 2 на основi принципу рiвноваги одержимо
Е М1 = 0 ^ гп =
4 Е1 3Е1 14пЕ1
I,
I
I
Е 2 = о
^ г21 =
3Е1 6Е1 12п Е1
21 I2 I2
П '2
12
Е М2 = 0
^ Г31 = -
2 Е1 4 Е1
А
I
Е 22 =0
^ г, = -
6Е1 24п Е1
12
' о
12
нормальнi i поперечнi сили) у потрiбних перерiзах Sг, (i = 1, т)
5 = ^д +Е 8Иа1
У =1
^ = 1, т)
Аналогiчно визначаються i iншi елементи матриць матричного рiвняння (3). Пiдставивши заповненi матрищ у рiвняння (3), знайдемо компоненти невщомого вектора А за вщомими правилами розв'язування матричних рiвнянь, а саме
ЯЛ + Яд = 0 ЯЛ = -Жд Я1ЯЛ = -Я- Жд
л=-Я - я~д
Знайшовши iз залежностi (4) компоненти вектора А (перемщення точок балки) перев> ряемо за формулою (1) достатшсть жорсткостi системи. Якщо виявиться, що вона недостатня, збшьшуемо значення Е1 балки чи К пружних опор, чи те i iнше одночасно, i розрахунок по-вторюемо, аж поки нерiвнiсть (1) не буде ви-триманою.
Пюля того знаходимо зусилля 5" (моменти,
де - зусилля 5 у перерiзi «i» вiд
зовнiшнього навантаження; - зусилля у перерiзi «i» вiд одиночного значення параметру а у функци фу, (у = 1, п).
Маючи зусилля у вшх елементах системи, перевiряемо !х мiцнiсть - в залежносп вiд елемента системи, який розглядаемо. Якщо мщшсть в якомусь елеменн не витримана, збiльшуемо його перерiз. Якщо при цьому збiльшення I перевершить 5 % вщ попередньо заданого, виконуемо заново розрахунок балки на пружних опорах i все повторюемо.
Таким чином нами розроблена узагальнена математична модель розрахунку ушх можливих типiв балкових конструкцш, яка може бути застосована i для розрахунку стиснених стержнiв.
Подамо характеристику ще! моделi у порiвняннi з вiдомими моделями, якi зараз застосовують для розрахунку рiзних тишв балок. Наша модель може бути застосована для будь-якого типу балок - як звичайних, так i з саморегульованим напружено-деформованим станом. У залежносп вiд типу балково! конструкци у розробленiй математичнiй моделi
змшюються лише параметри «п» та «К». Покажемо, як це вщбуваеться.
а) п = 1. Тодi одержуемо звичайну однопрогшну балку на твердих опорах. Методика розрахунку таких балок загальновщома. Затруднення викликае iнодi хiба що визначення прогину балки. Розроблена нами математична модель тако! балки принципово вiдрiзняеться вiд юнуючо! методики: у нас саме прогин балки визначаеться на початку розрахунку, а вже по^м - зусилля. За обсягом обчислень обидвi методики приблизно однаковь
б) (1 <п <<х>) V (К <<х>). Тдо одержимо балку на пружних опорах, подану на рис. 1. На И прикладi якраз i розроблена подана математична модель.
в) (1 <п <<х>) V (К ^<х>). Тодi одержимо багатопрогiнну балку на твердих опорах. Теорiя розрахунку таких балок розроблена грунтовно. Вона базуеться на розв'язуванш системи неоднорiдних рiвнянь, коефщенти i вiльнi члени яких знаходити не дуже складно. Але визначення прогишв таких балок залишаеться проблематичним. У нашiй моделi потрiбно лише у прольотах балки поставити штучш лiнiйнi та кутовi зв'язки, а також на твердих опорах кутовi зв'язки - i задача готова до розв'язування. Вiд попередньо! буде вiдрiзнятися лише тим, що твердi опори не матимуть лiнiйних перемщень (прогинiв балки на цих опорах) i у розрахунках не фшуруватиме
коефiцiент « К » жорсткосп опор.
г) (п ^<х>) V (К < <х>). Тодi одержимо балку на пружнш основi Вiнклера при крайнiх твердих опорах. Теорiя розрахунку таких балок також розроблена грунтовно. Вона ще складшша вiд попереднiх. Базуеться на розв'язуванш диференцшного рiвняння четвертого порядку для прогишв та згинальних момента, що дозволяе знаходити т i т величини. Цiею теорiею користуеться дуже вузьке коло iнженерiв, яке спецiалiзуеться по нiй. У нас для розрахунку тако! балки потрiбно по И довжинi через 1 м поставити на балку лшшш i кутовi зв'язки i в цих точках зосередити пружнють основи. Тодi балка стане, як подана на рис. 1, тшьки вщдаль мiж опорами буде задана - вона дорiвнюватиме 1 м, а значення К залишиться яким було - змшиться лише його розмiрнiсть - вона стане кН/м.
д) (п ^-<х>) V (К ^-<х>). Тодi одержимо стержень на твердш основi, який здатний випучуватися у площиш основи пiд дiею нормальних сил N тобто такий стержень розраховуеться на стшюсть при стисканш.
Впровадження у практику будiвництва за-пропонованих комбiнованих систем дало оч> кувальнi результати. Так економiя матерiалу досягала 27 % при значному скороченш праце-мiсткостi (рис. 4-9).
Рис. 4. Монтаж малоелементно! шпренгельно! ферми прольотом Ь=12 м. Санаторш «Женева», м. Трускавець, 2004 р.
Рис. 6. Малоелементн комбшоваш ферми перекрить з регулюванням зусиль Ь=12 м. Бiзнес-центр «Шдзамче», м. Львiв, 2007 р.
Рис. 7. Шдкрокв'яна балко-ферма Ь=12 м. Завод експериментальних механiчних випробувань,
м. Львiв, 2004 р.
Рис. 8. Балко-ферма перекриття
Рис. 9. Балко-ферми перекриття в складi монолитного залiзобетонного перекриття
Рис. 10. Посилення колон цеху Калушського ВО «Нафтобурмашремонт» регулюючими елементами iз труб (м. Калуш)
Рис. 11. Посилення сильно деформованих колон естакади Рiвненьського ВО «Азот» (а, б, в - фрагмента)
Рис. 12. Посилення стиснутих розкоав ферм покриття прольотом 36 м котельнi Бурштиньсько! ТЕС
Регулювання НДС сталевих конструкцш, яю знаходяться в умовах експлуатаци доцшьно виконувати в процес !х посилення шд експлуа-тацшним навантаженням [8]. Величина регу-люючого (розвантажуючого) зусилля може ви-значатися з умов, як р1внонапруженосп на контакт! основного \ посилюючого перер1з1в, так \ додаткового зменшення деформацш (прогишв)
посилених конструкцш. Остання умова врахо-вувалась при посиленш поздовжньо стиснутих конструкцш (стшок, колон, великопрогшних ферм покриття) промислових буд1вель: Калуш-ського шдприемства «Нафтобурмашремонт», Р1вненського ВО «Азот» , Бурштинсько! ТЕС та ш.
Для проектування рацюнального посилення рам каркаав будiвель i споруд необхiдно вра-ховувати, жорсткостi яко!-небудь дiльницi, або окремого елемента рамно! системи приведе до перерозподшу в нiй зусиль загалом. При цьому може виникнути питання, якi елементи треба посилити, щоб добитися максимального шд-вищення стiйкостi рами загалом. Посилення само! стшки дае значно бiльший ефект, шж посилення контура або закладення вузла [8]. Не-обхщно також встановити, якi з стшок рами пiдлягають посиленню насамперед. Для збере-ження симетрii посиленню шдлягають, двi крайнi або двi середш стiйки. Для встановлен-ня, яку пара стшок потрiбно посилити, систему доводять до критичного стану. При цьому роз-глядають два випадки. У першому приклада-ють фштивну силу до двох крайнiх стшок. У другому - до двох середшх стшок. Посилювати треба насамперед т стшки, яю витримують найменшу критичну силу. 1з збiльшенням жор-сткостi крайнiх стiйок запас стшкосп рами зрiс на 4 % аналопчне збiльшення жорсткостi середшх стiйок запас стiйкостi рами був шдвище-ний на 10,5 %. Таким чином, посилення середшх стшок виявилося бшьш ефективним. Разом з тим посилення середшх стшок iз збшьшенням !х жорсткостi на 50 % шдвищуе коефiцiент запасу майже на 40 %. На стшюсть рамних систем, як вщомо, впливае жорстюсть ригелiв. У деяких випадках, збiльшуючи жорстюсть риге-лiв, можна уникнути посилення колон. Однак часто збшьшення жорсткосп всього ригеля важко здiйсненне або пов'язане з неефективним використанням металу. У цих випадках жорст-юсть ригеля можна збшьшувати тiльки бiля опор (у вузлах). Як же впливае змшна жорст-кiсть ригелiв на значення критично! сили в рамах? При розрахунках рам iз збшьшеною жорс-ткiстю ригелiв бшя опор (рам з вутами) жорст-кiсть таких ригелiв приймалась у рядi випадкiв по найменшому !! значенню. Було показано [8], як збшьшуеться критичне навантаження в рамах, якщо врахувати змiну жорсткосп ригелiв по !х довжинi.
Висновки
1. В результат можливостi регулювання НДС розрахунковим методом розроблено комбшоваш конструкцii ново! генерацii.
2. Удосконалено на основi енерговарiацiйного принципу (принципу Лагранжа) узагальнений метод розрахунку комбшованих металевих конструкцiй з врахуванням деформованого стану балки
жорсткосп.
3. Знайдено едину розрахункову модель комбiнованих систем - шпренгельних i вантових у виглядi балки на пружних опорах, в якш балка моделюе балку жорсткосп, а пружнi опори - систему шдкршлення.
4. Такий метод дае можливють встановити деформований стан балки жорсткост^ який враховуеться при визначенш зусиль в елементах комбшовано! системи, що забезпечуе рiвномiцнiсть вшх елементiв з максимальною економiею сталь
5. На базi удосконаленого методу розрахунку комбшованих металевих конструкцш з врахуванням деформованого стану балки жорсткосп розроблено метод регулювання НДС комбшованих конструкцш шляхом визначення рацюнально! топологи та жорстюсних характеристик поперечних перерiзiв елеменпв. Це забезпечуе можливiсть регулювання НДС в балщ жорсткостi по !! довжинi для отримання рiвних напружень в розрахункових опорних i пролiтних перерiзах.
6. Отримано ршення обернено! задачi -рацiонального проектування, яка дозволяе одночасно розв'язувати пряму задачу розрахунку (НДС) конструкци.
7. Оцшено ефектившсть регулювання НДС комбшованих конструкцш, за рахунок якого досягаеться економiя матерiалу порiвняно з вщомими конструкцiями до 27 % iз значним спрощенням технологii виготовлення.
8. На основi аналiзу результатiв виконаних дослiджень i вивчення впливу деформованого стану балки жорсткосп на комбшоваш металевi конструкци розроблеш пропозицii по удосконаленню !х конструктивних рiшень i запропонованi новi конструктивнi форми комбшованих систем меншою масою до 20 %, яю захищенi патентами Укра!ни на винаходи (Патенти Укра!ни: № 50014, № 46383, № 48841).
9. Змша жорсткосп дшянок або окремих елеменпв статично невизначених рамних систем суттево впливае на !х тримюсть у цшому, що необхiдно враховувати при шдсиленш каркасiв будiвель i споруд.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Перельмутер, А. В. О влиянии изменения жест-костей на перераспределение усилий в статиче-скинеопределимой системе [Текст] / А. В. Перельмутер // Строительная механика и расчет сооружений. - 1974. - № 5. - С. 64-67.
2. Гоголь, М. В. Узагальнений метод розрахунку металевих конструкцш з регулюванням зусиль
[Текст] / М. В. Гоголь - (Теорiя i практика будь вництва) // Вюник НУ «Львiвська полггехшка» -2002. - № 462. - С. 25-34.
3. Металлические конструкции [Текст] / Е. И. Бе-леня и др. - М.: Стройиздат, 1991. - 687 с.
4. Пат. 50014 А Украша, МКИ 7 Е04С3/10 В66С17/00. Балкова конструкцiя [Текст] / Гоголь М. В., Гайда О. М. - № 99127148; заявл. 28.12.99; опубл. 15.10.02. - 2 с.
5. Пат. 46983 А Украна, МКИ 7 Е04С3/10. Про-пнна конструкщя [Текст] / Гоголь М. В., Гайда
0. М., Чайка Б. С. - № 2001031714; заявл. 14.03.01; опубл. 17.06.02. - 2 с.
6. Пат. 48841 А Украша, МКИ 7 Е04С3/08. Шпренгельна балка [Текст] / Гоголь М. В., Чайка Б. С., Гайда О. М., Надала I. В. - № 2001128874; заявл. 21.12.01; опубл. 15.08. 02. -2 с.
7. Пермяков, В. О. Проблема напружено -деформованого стану плоских стержневих ме-талевих конструкцш [Текст] / В. О. Пермяков, М. В. Гоголь - Теорiя i практика будiвництва // Вюник НУ «Львiвська полггехшка». - 2004. -4 с.
8. Бельский, М. Р. Усиление сжатых стержней стальных конструкций под эксплуатационной нагрузкой [Текст]. / М. Р. Бельский. - М.: Стройиздат, - 1984. - 153 с.
9. Гоголь, М. В. Проектування i розрахунок рацю-нальних комбшованих металевих конструкцш [Текст] / М. В. Гоголь // Металевi конструкций -2008. - Том 14. - № 4.
10. Пермяков, В. А. Комбинированные металлические конструкции с регулированием и их оптимизация [Текст] / В. А. Пермяков, М. В. Гоголь, И. Д. Пелешко // Наука и инновации в современном строительстве. Междунар. научн.-практ. конф. Сакт-Петербурский государственный ар-хитектурно-стоительный университет. Санкт-Петербург, 17-19 окт. 2007 - Санкт-Петербург. -2007.
11. Гоголь, М. В. Регулювання зусиль у стержневих металевих конструкциях [Текст] / М. В. Гоголь,
1. Д. Пелешко, М. Р. Б^ський // Будiвельнi ме-
талевi конструкций сьогодення та перспективи розвитку. V Мiжнар.наук-техн.конф. УкрНД1п-роектстальконструкщя. К., 19-22 верес. 2006 р. -К., В-во «Сталь». - 2006.
12. Гоголь, М. В., Проектування i розрахунок комбшованих металевих конструкцш з регулюван-ням зусиль [Текст] / М. В. Гоголь, М. Р. Бшьсь-кий, I. Д. Пелешко // Современные строительные конструкции из металла и древесины: сб. науч.тр. / Одес. гос. акад. стр-ва и арх-ры. Ч. 1. -ОДЕСА, 2006.
13. Gogol, M. New constructive forms and their reliability [Текст] / M. Gogol, I. Peleshko, M. Bilskyj, O. Gajda // Quality and Reliability in Bulding industry. IV International Scientific Conference. 17-19 Oct.. 2006. - Levoca, Slovakia. Technical University of Kosice, 2006.
14. Гоголь, М. В. Особливосп розрахунку будiве-льних конструкцш iз регулюванням зусиль [Текст] / М. В. Гоголь // Будiвельнi конструкций - К.: НД1БК. - 2003. - Вип. 59. - Кн. 1.
15. Пермяков, В. О. Проблема регулювання напру-жено-деформованого стану плоских стержневих металевих конструкцш[Текст] / В. О. Пермяков, М. В. Гоголь - Теорiя i практика будiвництва // Вкник НУ «Львiвська полггехшка». - 2004.
16. Пермяков, В. А. Совершенствование стальных стержневых конструкций на основе решения обобщенной задачи оптимального проектирования [Текст]: дис... докт. техн. наук: 05.23.01. -К., 1993.
17. Проектування рацюнальних комбшованих металевих конструкцш [Текст] / за ред. проф. В. О. Пермякова. - Львiв: Вид-во НУ «Львiвська полггехшка», 2005.
18. Рекомендацп з проектування рацюнальних металевих несучих конструкцш перекрить та по-крить / Укл.: В. О. Пермяков, М. В. Гоголь. -Львiв: Вид-во НУ «Львiвська полггехшка», 2006.
Надшшла до редколегп 12.06.2011.
Прийнята до друку 23.06.2011.
