CC BY
106
УДК 621.396.96
РАСЧЕТНО-ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНУЮ ЦЕПЬ
С.Н. Панычев, М.Ф. Пашук, В.М. Питолин, Н.А. Самоцвет, А.Е. Ломовских
Приводятся результаты обоснования расчетно-инструментального метода анализа прохождения случайного процесса через нелинейную цепь на основе процедур измерения плотностей распределения вероятностей мгновенных значений амплитуд случайных процессов и амплитудной характеристики нелинейной цепи с последующим определением закона изменения амплитуд процесса на выходе нелинейной цепи. Описаны процедуры количественного анализа случайных процессов в безынерционных нелинейных электрических цепях и приводятся результаты соответствующего моделирования
Ключевые слова: случайный процесс, нелинейная фильтрация, плотность распределения вероятностей, мгновенные значения, сигналы
Анализ прохождения случайного процесса через нелинейную безынерционную цепь или звено предполагает определение характеристик случайного процесса на выходе цепи при известных характеристиках цепи и случайного процесса на ее входе. Наиболее полной характеристикой случайного процесса является плотность распределения вероятностей (ПРВ), описывающая случайный процесс в различные моменты времени. В рамках данной статьи в дальнейшем будем рассматривать ПРВ мгновенных значений амплитуд сигнала или помехи на входе и выходе цепи с нелинейными электрическими свойствами или нелинейного радиотехнического звена.
В качестве основной характеристики нелинейной цепи (нелинейного звена) примем переходную амплитудную характеристику, то есть (в общем случае нелинейную) зависимость амплитуды сигнала на выходе цепи от амплитуды входного воздействия.
В теоретическом аспекте поставленная задача нахождения ПРВ случайного процесса на выходе нелинейной цепи является чрезвычайно сложной и до настоящего времени в полном объеме не решенной. Точный численный анализ ПРВ случайного процесса на выходе нелинейной цепи сопряжен со значительными вычислительными трудностями, далеко не всегда преодолимыми на практике. По указанной причине при рассмотрении нелинейных преобразований ограничиваются менее полными характеристиками случайного процесса, в первую очередь, корреляционной функцией или спектром.
В монографии [1] приводятся довольно сложные в практической реализации аналитические методы определения спектра и корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной безынерционной цепи, которые проиллюстрированы примерами расчета указанных характеристик случайного процесса применительно к гауссовым сигналам. Однако зачастую во многих радиотехнических прикладных задачах случайные процессы на входе устройств с нелинейными электрическими свойствами описываются законами распределения, отличающимися от гауссовых, поэтому задача определения ПРВ процесса на выходе нелинейной цепи при произвольном входном воздействии остается актуальной и в полной мере не проработанной.
В связи с отмеченными обстоятельствами целью данной статьи является обоснование практически реализуемого расчетно-эксперимен-тального метода оценки ПРВ случайного процесса на выходе безынерционной нелинейной цепи при известных входных воздействиях и амплитудной характеристике цепи.
В основу метода положено новое утверждение авторов статьи: ПРВ мгновенных амплитуд случайного процесса на выходе нелинейной цепи может быть получено путем перемножения ПРВ мгновенных амплитуд входного случайного процесса на функцию, описывающую передаточную амплитудную характеристику нелинейной цепи:
Рш(А) = Рт(А)*Кп (АаиГ,Ат)' (1)
Панычев Сергей Николаевич - ВИ ФСИН, д-р техн. наук, доцент, тел. 8-915-583-90-02
Пашук Михаил Федорович - ОАО «НТЦ РЭБ», первый заместитель генерального директора, тел. 8-915-583-9002
Питолин Владимир Михайлович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-473-223-80-19.
Самоцвет Николай Андреевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8-951-871-87-04
Ломовских Александр Егорович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», канд. техн. наук, начальник лаборатории, тел. 8920-46-77-984
где К ( а а ) - нелинейная передаточная Кп(Аоиг, Ап)
амплитудная характеристика цепи;
р (А) р ¿(А)- ПРВ мгновенных амплитуд
случайного процесса на входе и выходе нелинейной цепи, соответственно.
Типовые амплитудные характеристики нелинейных электрических цепей описаны аналитическими функциями во многих источниках и в учебных пособиях и в частности, в [1,2].
Доказательство постулата (1) может быть основано на аналогии сущности предлагаемого подхода к оценке ПРВ на выходе нелинейной цепи с сущностью графоаналитического метода анализа усилительных электрических цепей, описанного также во многих источниках, например, в [3]. Графоаналитическим методом определяют реакцию нелинейной цепи на входное воздействие во временной области. Недостатком графоаналитического метода является невысокая точность получаемых с его помощью результатов. Проиллюстрируем существо предлагаемого метода (1) с помощью рис. 1. Если на вход нелинейной цепи с амплитудной характеристикой к (А А ) вида поступает слу-вир т'
чайный процесс с ПРВ, описываемой и графически отображаемой функцией вида Р (А) , то на выходе нелинейной цепи методом проекций можно получить случайный процесс в виде ПРВ р (А).
Рнл
ГГЛ
• ] Цда Ми
Рис. 1. Графическая интерпретация метода
Аналитический метод определения реакции на выходе нелинейной цепи
Для практической реализации расчетного метода (1) оценки ПРВ мгновенных амплитуд случайного процесса на выходе нелинейной цепи необходимо:
а) выбрать аналитическую модель для описания ПРВ мгновенных значений амплитуд случайного процесса на входе нелинейной цепи р (А),
адекватную реальному процессу;
б) аналитически описать или с требуемой точностью аппроксимировать передаточную амплитудную функцию к (А А ), характеризующую
и^ вир И
нелинейные электрические свойства цепи;
в) перемножить функции р а и
ми( )
К (А А ), и получить окончательный результат и^ вир И
также в виде функции р (А).
Широкий класс одномодальных ПРВ случайных процессов с различными значениями момент-ных характеристик может быть описан аналитически с помощью гамма-распределения, распределения Накагами, распределения Стьюдента и других
стандартизованных аналитических моделей законов распределений [1].
Аналитические модели для описания типовых амплитудных характеристик нелинейных звеньев цепи также широко известны и широко употребляются в теории нелинейных электрических цепей. Их можно найти и в упомянутом справочном издании [1]. В том случае, если ни одно из известных аналитических соотношений не позволяет адекватно описать амплитудную характеристику реального нелинейного элемента, тогда целесообразно применять любой из известных методов численной аппроксимации вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных элементов: от простейшей кусочно-линейной аппроксимации до точной аппроксимации с помощью степенных полиномов высокого порядка [4]. Задача аппроксимации заключается в получении математической модели нелинейной амплитудной характеристики цепи, максимально приближенной к характеристике реальной цепи. В целом ряде практических приложений применение численной аппроксимации является предпочтительным по причине более высокой достоверности аппроксимиОрованных кривых. В этом случае оказывается возможным подбор такой аппроксимирующей функции, которая с помощью специально подобранных числовых коэффициентов с требуемой точностью воспроизводит амплитудную характеристику нелинейного звена, снятую экспериментально.
Анализ существующих математических моделей для описания характеристик нелинейных элементов показывает, что в настоящее время наиболее широкое распространение получили следующие виды аппроксимации амплитудных характеристик: полиномиальная аппроксимация и аппроксимация с помощью некоторых трансцендентных функций (экспоненциальных, показательных и других). Эти виды аппроксимации в практической реализации при построении математических моделей нелинейных трактов радиоаппаратуры сопряжены со значительными вычислительными трудностями в ситуациях, требующих высокой точности аппроксимации кривых амплитудных (вольт-амперных) характеристик нелинейных усилительных элементов. Кроме того, амплитудную характеристику цепи желательно аппроксимировать одной неразрывной функцией с небольшим количеством подбираемых коэффициентов. Достаточно простой метод аппроксимации нелинейных передаточных характеристик, удовлетворяющий указанным требованиям, предложен в работе [7]. В этом методе предлагается использовать степенную функцию вида
1+к (и И I (и) = £ 0 :
(2)
где е _ А/
° Аи
крутизна вольт-амперной харак-
теристики нелинейного элемента;
к и п - переменные коэффициенты аппроксимации, определяющие форму кривой аппроксимирующей функции;
и - изменяющийся параметр (входное напряжение);
и0 - напряжение смещения, поданное на нелинейный элемент.
Приведенная модель (2) отличается от существующих способов аппроксимации нелинейных амплитудных характеристик тем, что не требует разбиения нелинейной характеристики элемента на участки, и форма аппроксимирующей кривой просто определяется двумя числовыми коэффициентами кип. Модель (2) характеризуется не только простотой, но и высокой точностью аппроксимации вольт-амперных характеристик полевых и биполярных транзисторов.
Для нелинейной цепи, содержащей N параллельно соединенных нелинейных элементов, амплитудная проходная характеристика определяется с помощью выражения
_1_
(3)
N 1+к (и -и
/у(и) = 2 5 Л >
7=1
где /у (и) - общий ток в неразветвленном
участке параллельной нелинейной цепи;
N - количество ветвей цепи с нелинейными элементами;
к и п - переменные числовые коэффициенты, определяющие вид аппроксимирующей функции 1-го нелинейного элемента;
и01 - напряжение смещения 1-го нелинейного элемента.
Соотношение (3) получено с учетом того, что при параллельном соединении нелинейных элементов
/у (и) = 2 (и),
У 7=1 1 (по известному свойству параллельного соединения элементов цепи).
Для случая последовательного соединения N нелинейных элементов с учетом свойства последовательной цепи
(4)
иу (/) = 2 и7 (/)
7=1
(5)
проходная амплитудная характеристика может быть рассчитана с помощью выражения
V) и+2 (¡¡ЩП?-1)
У 7=^1 к7 , (6)
где иу (/) - суперпозиция напряжений на участке нелинейной цепи.
Основные погрешности определения реакции нелинейной цепи на входной случайный процесс (определяемой в соответствии с предложенными аналитическими и численными подходами) обусловлены погрешностями аппроксимации как входных случайных процессов известными статистическими моделями, так и погрешностями аппроксимации проходных амплитудных характеристик нелинейных цепей. В ряде случаев результи-
рующая погрешность аппроксимации указанных характеристик может быть большой, что составляет основной недостаток аналитических методов расчета реакции нелинейной цепи на входное случайное воздействие. Это недостаток может быть компенсирован путем разумного комплексирования аналитических и инструментальных методов определения законов распределения случайных процессов.
Инструментальный метод определения реакции на выходе цепи
Теория и техника измерения ПРВ мгновенных значений амплитуд случайных процессов применительно к исследованиям прохождения сигналов и помех через линейные и нелинейные цепи в настоящее время разработана достаточно полно. Применяемая на практике технология измерения законов распределения амплитуд сигналов и помех в концентрированной форме изложена в описании на патент [8]. Современные цифровые средства измерений обеспечивают высокую точность измерения ПРВ. В аналоговом виде измерение ПРВ мгновенных значений амплитуд случайных процессов реализуется с гарантированной точностью помощью серийно выпускаемых и метрологически аттестованных приборов серии Х1 (измерителей статистических характеристик сигналов).
По сравнению с измерениями статистических характеристик случайных процессов измерения амплитудной характеристики нелинейной цепи характеризуются простотой методики измерений и доступностью стандартизованного измерительного оборудования. В состав измерительной установки для определения амплитудной характеристики входят генератор сигналов и измеритель амплитуд (вольтметр или измерительный приемник). Методика измерений амплитудной характеристики частотно-избирательной нелинейной цепи основана на измерениях нормированной передаточной характеристики цепи по напряжению при фиксированной частотной настройке измерительного приемника. Измерения амплитудной характеристики цепи также выполняются с гарантированной точностью, определяемой инструментальными погрешностями измерительных приборов.
С учетом указанных достоинств и недостатков расчетных и экспериментальных методов анализа прохождения случайного процесса через нелинейную цепь, можно сформулировать вывод о том, что в зависимости от целей и задач практического применения анализа целесообразно сочетать элементы как расчетного, так и инструментального методов для достижения поставленной цели. Так, например, если руководствоваться максимизацией критерия эффективность-стоимость при организации исследований реакции цепи на случайные воздействия, то оптимальный вариант технологической карты исследований включает следующие операции:
1. измерение амплитудной характеристики цепи по стандартизованной методике;
2. аппроксимация амплитудной характеристики зависимостью вида (2) - (4);
3. аналитическое описание входного воздействия стандартизованной моделью случайного процесса;
4. перемножение функций, полученных на этапах 2 и 3.
В данном смешанном варианте расчетно-экспериментального метода анализа прохождения случайного процесса через нелинейную цепь отсутствует необходимость измерения ПРВ с помощью дорогостоящих измерительных приборов (векторных анализаторов цепей и анализаторов спектра, причем со специализированным программным обеспечением).
В качестве иллюстративного примера приведем результат цифрового моделирования прохождения случайных процессов с различными законами распределения через нелинейные цепи с изменяющимися амплитудными характеристиками. С помощью разработанных учеными Кравцовым Е.В. и Самоцветом Н.А. цифровых моделей [7, 9, 10] аппроксимируются амплитудные характеристики нелинейных цепей, и выполняется перемножение функций, описывающих случайные процессы и передаточные характеристики. При этом амплитудные проходные характеристики нелинейных элементов аппроксимируются на основе модели (3). На рис. 2 приведен фрагментарный результат моделирования нелинейных трактов приемника: усилителя СВЧ, смесителя и приемного тракта в целом.
/л*ог__
Лр14£ЬЦЧ£|И тракт (
смеситель
/
! усилитель
/ / Г
и --'
О 100 200 300 *00 500 600 700 800 900
Ш
Рис. 2. Амплитудные проходные характеристики приемного тракта
На приведенном рисунке верхняя кривая соответствует результирующей амплитудной характеристике участка приемного тракта, включающего входной усилитель СВЧ и смеситель. Результаты моделирования амплитудных характеристик с помощью цифровой модели с высокой степенью точности совпадают с измеренными амплитудными характеристиками усилителей. Полученные результаты принадлежат Кравцову Е. В.
В компьютерной модели Самоцвета Н. А. на основании соотношения (1) определяется реакция
нелинейного тракта на входное воздействие в виде функции, описывающей случайный процесс с заданным законом распределения мгновенных амплитуд. На рис. 3 приведены графики входного случайного процесса на входе нелинейной цепи в виде ПРВ амплитуд с нормальным и логарифмически-нормальными законами распределения. Параметры законов распределений в модели изменяемые, что позволяет моделировать и исследовать широкий спектр случайных процессов.
Рис. 3. Плотности вероятностей распределения мгновенных значений амплитуд сигнала и помехи на входе нелинейной цепи
На рис. 4-7 приведены результаты моделирования прохождения сигналов с нормальной и логарифмически-нормальной плотностями распределения вероятностей через усилитель СВЧ с амплитудной характеристикой, приведенной на рис. 3.
Рис. 4. ВАХ нелинейного элемента, нормальное распределение входного сигнала
0 0 0 1 0 2 0 3 04 0 5
Рис. 5. Форма кривой ПРВ на выходе усилителя при нормальном распределении сигнала на входе
Рис. 6. ВАХ нелинейного элемента, логнормальное распределение сигнала на входе
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Рис. 7. Форма кривой ПРВ на выходе усилителя при лог-
нормальном распределении сигнала на входе
Анализ данных рис. 4-7 показывает, что в результате нелинейного преобразования входного сигнала в усилителе форма кривой ПРВ на выходе усилителя СВЧ отличается от соответствующей формы кривой ПРВ случайного процесса на входе усилителя, при этом отличие обусловлено видом кривой вольт-амперной характеристики нелинейного звена.
Таким образом, полученные результаты подтверждают возможность количественного анализа прохождения случайных процессов с любыми законами распределения через нелинейную цепь на основе новой модели (1) как расчетным, так и рас-четно-инструментальным методами. Отличительной особенностью методов на основе соотношения (1) является простота технологических расчетных и инструментальных операций для получения закона распределения случайного процесса на выходе цепи с нелинейными электрическими свойствами с требуемой достоверностью.
Литература
1. Денисенко А.Н. Сигналы. Теоретическая радиотехника. Справочное пособие. - М.: Горячая линия -Телеком, 2005. - 704 С.
2. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. - М.: Сов. радио, 1965. - 308 С.
3. Андреев В.С. Теория нелинейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1982. - 296 С.
4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988. - 398 С.
5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. - М.: Мир, 1980. - 408 с.
6. Вернигоров Н.С. Процесс нелинейного преобразования и рассеяния электромагнитного поля электрически нелинейными объектами. / Радиотехника и электроника. Т. 42, 1997, № 10, с. 1181 - 1185.
7. Кравцов Е.В., Панычев С.Н. Математические модели для аппроксимации проходных характеристик нелинейных антенн. / Антенны. - 2007, № 4, с. 20 - 22.
8. Патент РФ № 2350023. Способ оценки качества маскирующего акустического (вибро-акустического) шума. Авторы Тупота В.И. и др. Опубл. БИ 20.03.2009 г.
9. Самоцвет, Н. А. Анализ методов формирования сигналов и помех с заданными законами распределения параметров [Текст] / Н. А. Самоцвет, А. В. Волков, В. М. Питолин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9. - №5-1. - С. 3436.
10. Кравцов Е.В. Автоматизация проектирования современных систем, помехоустойчивых к воздействию мощных СВЧ импульсов. Монография. - Воронеж: ВА-ИУ, 2011. - 114 С.
Воронежский институт Федеральной службы исполнения наказаний ОАО «НТЦ РЭБ» (г. Воронеж)
Воронежский государственный технический университет
Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» (г. Воронеж)
SETTLEMENT AND TOOL ANALYSING METHOD OF CASUAL PROCESS PASSING
THROUGH THE NONLINEAR CHAIN
S.N. Panychev, M.F. Pashuk, V.M. Pitolin, N.A. Samotsvet, A.E. Lomovskih
Results of justification of a settlement and tool method of the analysis of passing of casual process through a nonlinear chain on the basis of procedures of measurement of density of distribution of probabilities of instant values of amplitudes of casual processes and the amplitude characteristic of a nonlinear chain with the subsequent definition of the law of change of amplitudes of process at the exit of a nonlinear chain are given. Procedures of the quantitative analysis of casual processes in inertia less nonlinear electric chains are described and results of the corresponding modeling are given
Key words: casual process, nonlinear filtration, density of distribution of probabilities, instant values, signals
