CC BY
11377.218 1499.100 2730.773
68.015 0.000 2531.244
-1839.19 -3997.18 -1527.11
2847.398 643.299 3154.568
£=0.201, £=0.580, £,=0.236, £=1.275.
Наиболее чувствителен к выбросам параметр а3, наименее - параметры а0 и а2 .При этом тот факт, что £>1, указывает на несовпадение знаков оценок а{,/=МНМ, МНК, МАО.
Заключение
В работе предложен способ выявления реакции на выбросы в данных оценок параметров линейной регрессионной модели, рассчитанных с помощью методов наименьших квадратов, модулей и антиробастного оценивания. Этот способ основан на использовании максимальных частных приростов соответствующих оценок. Выявлена реакция на выбросы регрессионной модели цен на жилье в Российской Федерации.
Их анализ указывает на соблюдение свойств МНМ и МАО [15] - для первого из них число нулевых ошибок аппроксимации равно четырем (поскольку ш=4), а для второго число максимальных по модулю ошибок аппроксимации (|£fc|=3154.568) равно пяти (поскольку т + 1=5). При этом, в соответствии с обоими методами, явным выбросом является наблюдение № 9.
Рассчитаем для данной выборки значение индекса параметрической стабильности S: ~=0.183.
Оно указывает на относительно высокую параметрическую стабильность выборки по отношению к Lv-оценкам.
Теперь проанализируем, как на выбросы реагируют оценки параметров а[, i = 0,т,/=МНМ, МНК, МАО, рассчитав их максимальные частные приросты £:
Список литературы
1. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. - М.: -Финансы и статистика. -1981. - 302 с.
2. Баенхаева А.В., Базилевский М.П., Носков С.И. Моделирование валового регионального продукта Иркутской области на основе применения методики множественного оценивания регрессионных параметров // Фундаментальные исследования.
- 2016.- № 10-1. - С. 9- 14.
3. Носков С.И., Удилов В.П. Управление системой обеспечения пожарной безопасности на региональном уровне. -Иркутск: ВСИ МВД России. - 2003. -151 с.
4. Tolvi J. Genetic algorithms for outlier detection and variable selection in linear regression models // Soft Computing. - 2004. -V. 8. - Р.527-533.
5. Yingli Pan, Zhan Liu, Guangyu Song. Outlier detection under a covariate-adjusted exponential regression model with censored data // Computational Statistics. - 2021. - V. 36. - Р. 961-976.
6. Hekimoglu S., Erdogan В., Erenoglu R. C. A new outlier detection method considering outliers as model errors // Experimental Techniques. - 2015. - V. 39. - P. 57-68.
7. Hodge V., Austin J. A Survey of Outlier Detection Methodologies / / Artificial Intelligence Review, - 2004. - V. 22. - P. 85-126.
8. Bagdonavicius V., Petkevicius L. A new multiple outliers identification method in linear regression // Metrika. - 2020. - V. 83. -P. 275-296.
9. Paulheim H., Meusel R. A decomposition of the outlier detection problem into a set of supervised learning problems // Machine Learning. - 2015. - V. 100. - P. 509-531.
10. Zioutas G., Avramidis A. Deleting Outliers in Robust Regression with Mixed Integer Programming // Acta Mathematicae Appli-catae Sinica. - 2005. - V. 2. - P. 323-334.
11. Носков С.И. Индекс параметрической стабильности регрессионной модели // Вестник транспорта Поволжья. - 2021. -№ 2 (86). - С. 74-77.
12. Носков С.И., Глухов Н.И., Кириллова Т.К., Попов Е.С. Математическая модель динамики дорожного строительства в Российской Федерации / / Инженерно-строительный вестник Прикаспия. - 2022. - № 4 (42). - С. 95-99.
13. Носков С. И. Компромиссные паретовские оценки параметров линейной регрессии // Математическое моделирование.
- 2020. - Т. 32. - № 11. - С. 70-78.
14. Носков С. И. , Хоняков А. А. Применение функции риска для модельного описания ожидаемых цен на рынке недвижимости // Инженерно-строительный вестник Прикаспия . - 2021. - № 3 (37). - С. 77-82.
15. Носков С.И. Метод антиробастного оценивания параметров линейной регрессии: число максимальных по модулю ошибок аппроксимации // Южно-Сибирский научный вестник. - 2020. - № 1. - С. 51-54.
© С. И. Носков
Ссылка для цитирования:
Носков С. И. Анализ реакции оценок параметров линейной регрессии на выбросы в данных (на примере модели цен на жилье) // Инженерно-строительный вестник Прикаспия : научно-технический журнал / Астраханский государственный архитектурно-строительный университет. Астрахань : ГАОУ АО ВО «АГАСУ», 2023. № 4 (46). С. 128-131.
УДК 004.94
DOI 10.52684/2312-3702-2023-46-4-131-136
РАСЧЕТНО- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МАЛЫХ ВЫБОРОК
Р. З. Хайруллин
Хайруллин Рустам Зиннатуллович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Главного метрологического центра Минобороны России; профессор кафедры фундаментального образования, Московский государственный строительный университет; тел. +7 (926) 405-22-17; e-mail: [email protected]
Представлен расчетно-экспериментальный метод построения статистических оценок погрешности цифровых измерений, проводимых на сложных технических объектах с метрологическим обеспечением. Описан алгоритм построения оценки функции плотности распределения случайной погрешности измерений на основе комплексного применения методов теории характеристических функций, теории операторных рядов Ли и методов статистического моделирования при обработке ограниченного объема статистической информации в условиях малых выборок. Дано решение практической задачи о построении оценки плотности распределения погрешности измерений и задачи об уходе нулевой отметки средства измерений в вероятностной постановке. Представленный расчетно - экспериментальный метод может быть использован для построения статистических оценок для плотности распределения вероятности общего вида, в том числе, заданного с помощью неявных функций, характеристических функций и операторных рядов.
Ключевые слова: малая выборка, оценивание, погрешность измерения, равномерное распределение.
COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL METHOD FOR STATISTICAL PROCESSING OF SMALL SAMPLES
R. Z. Khayrullin
Khayrullin Rustam Zinnatullovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leader Scientific Worker, Head Scientific Metrological Centre; professor of Fundamental Education Department, Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, Russian Federation, phone: + 7 (926) 405-22-17; e-mail: [email protected]
A computational and experimental method for constructing statistical estimates of the error of digital measurements carried out on complex technical objects with metrological support is presented. An algorithm is described for constructing an estimate of the density function of the distribution of random measurement error based on the complex application of methods of the theory of characteristic functions, the theory of Lie operator series and statistical modeling methods for processing a limited amount of statistical information. The solution of the practical problem of constructing an estimate of the density of the distribution of the measurement error and the problem of leaving the zero mark of the measuring instrument in a probabilistic formulation is given. The presented method can be used to construct statistical estimates for the density of the probability distribution of a general form, including those specified using implicit functions, characteristic functions and operator series.
Keywords: small sample, estimation, measurement error, building stock.
На современном этапе реализации Стратегии развития строительной отрасли и жилищно-коммунального хозяйства Российской Федерации на период до 2030 года возникает необходимость управления проектами по созданию высокотехнологичных строительных объектов, строительных материалов и продукции [1-11], в том числе по созданию автоматизированных производств, оснащенных современными высокоточными цифровыми средствами измерений и контрольно - измерительными приборами. Эксплуатация объектов жилищного и строительного фонда, оснащенных интеллектуальными системами автоматизации, приводит к необходимости проведения измерений, контроля и верификации параметров их функционирования. При этом доля цифровых и интеллектуальных измерений неуклонно растет. Поэтому разработка методов обработки и интерпретации результатов цифровых измерений на основе статистической обработки выборочных данных, в том числе в условиях малых выборок, представляется актуальной задачей.
В современной метрологической практике [1216] для описания случайных погрешностей измерений используют различные законы распределения, в том числе, и равномерное распределение. Равномерное распределение имеют: погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы; погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры; погрешности регулировки в допустимых пределах; люфтовые погрешности; вариации показаний измерительных приборов.
В настоящее время существует потребность разработки специфических методов и соответствующего аналитического аппарата, основной целью которых должно быть обеспечение наиболее эффек-
тивной переработки и интерпретации ограниченного объема статистической информации [17-23], в том числе в условиях малых выборок [19-23].
Объектом исследования являются сложные технические системы с метрологическим обеспечением. Предметом исследования являются методы статистической обработки измерительной информации. Целью исследования является разработка расчетно-экспериментального метода построения статистических оценок погрешности цифровых измерений в условиях малых выборок. Для достижения цели исследования используются методы теории характеристических функций, рядов Ли (разновидности операторных рядов) и статистического моделирования. Новизна представленных в статье результатов состоит в комплексном применении указанных методов для задач метрологического обеспечения сложных технических систем. Практическая и теоретическая значимость состоит в решении задачи об уходе нулевой отметки средства измерений (о сползании/отсутствии сползания центра группирования) в вероятностной постановке.
Опишем основные положения метода характеристических функций (ОПМХФ), основные положения метода операторных рядов (ОПМОР) и основные положения метода статистического моделирования (ОПМСМ), положенные в основу при разработке предлагаемого в статье расчетно-экспе-риментального метода статистической обработки малых выборок.
ОПМФХ. Рассмотрим сначала наиболее часто используемую статистику - выборочное среднее X . Пусть числа Х1,Х2Хп образуют выборку из равномерного распределения с плотностью:
Г (X) = Ьг 0
х - а < г
х - а > г
(1)
где а и г - постоянные величины. Требуется определить характеристическую функцию и закон распределения выборочного среднего X .
Характеристическая функцию равномерного распределения (1) и распределения выборочного среднего имеют вид [19]:
О, (V) = +е
™-х^Х = е<™ ^V• г)
2г
Ох (V) =
п
8Ц1( — • г)
П V
—г п
—г
этп (V •-).
_п
(2)
Используя (2) и формулу обращения для преобразования Фурье [19], плотность распределения выборочного среднего представим в виде:
/ (х) = е~
V— . "а--п • ^
п
п
(3)
Хп
не равную
В1х
имеет в нулю производную
( да
р'(Х0 ) ^ 0 , может быть представлена операторным рядом Ли:
:=1
(.У - У,У
-Вкх
В = -
1
й ГЛЛ
• —. (4)
к=0 к! |Х=Х0 р(Х) йх
В общем виде метод инверсии функции распределения на основе формулы (4) может быть сформулирован следующим образом.
Пусть функция распределения е(х) отображает значения случайной величины Х(х,Х2,...,Хи) с вероятность Р и принимает
значения р = Е (Хг) . Упорядочим значения Х1 по возрастанию Х ):
0 = Е(Х(1)) <... < Е(Х(0) <... < Е(Х(п)) = 1 , где функция плотности распределения /(х) = Е'(х) в точке Х = Х0 не равна нулю. Тогда, основываясь на (4), можно показать, что функция
(Р - р ( Х0))'
к=0
Отметим, что при объеме выборки п ^ да статистика Х асимптотически нормальна. При малом п представить (3) в виде аналитической зависимости
функцию /(Х ) не представляется возможным.
Следует заметить, что характеристические функции дают простой и мощный метод нахождения функций предельных распределений средних значений и выборочных сумы, однако в реальных случаях малых выборок, за исключением некоторых специальных, вычисление интеграла типа (3) затруднительно.
ОПМОР. Функция, обратная однозначной аналитической функции У = р(Х) , в окрестности
точки у0 = р(Х0 ) , где функция Р( х)
Т\к+1
В х = ■
1
к! й
-В х
тлк
В Х'
В0 х = х
(5)
/ ( х) йх
является обратной для функции распределения Е (Х) (функцией квантилей).
Условием существования выражения (5) является аналитичность функции Е (Х) и наличие не равной нулю ее производной Е'(х0) ^ 0. Необходимым условием правомерности использования обращения (5) является сходимость ряда. Сходимость доказывается с использованием признака Даламбера.
Вернемся к задаче нахождения распределения выборочного среднего (3). При Х0 = а, запишем первые три коэффициента для членов ряда (5):
В х =
1хп=а
= 2ж/
эт
, vг 5
vг
384 575 '
В2 х
= 0 ,
+3-
5 Л
г (192 41115 ,
Определение последующих членов не вызывает принципиальных трудностей, так как сводится при
выбранном значении опорного значения Х0 = а к
вычислению табличных интегралов вида [24]:
В итоге квантиль распределения выборочного среднего из равномерной совокупности представим в виде:
В3 х
да • п
г эт ах
х
йх, т < п.
- I О 1 1384
х = а + | Р — I-г +
2 1575
Р -
3!
1921 г 115 ] 4 +...
а-г
= е
г
х=х.
/
х0 = а
5
=а
4
2
vг
vг
vг
vг
5
5
4
5
5
5
5
2
/
/
V
V
V
5
5
5
vг
vг
vг
vг
5
5
5
5
V
3
1
2
хЛ =а
да
Используя последнее соотношение, можно определить доверительную область для оценки параметра а :
_ п ,384 (1 — а)
х — (1 — а)-г — --т1
575 3!-23
192
115 I 4
г .384 (1 — а) --... <а <х + (1 — а)-г + Л--
'^192 V г
Дифференцирование (6) по X дает:
dX
л , йР „Г 1 V, йР , 1 = к— + 3| Р — - I к3— +..., к1 =
К =
йх
\ 4
1821 г
384 575
-г,
115 I 4
(7)
575
3!-23
115 I 4
+....
Отметим, что при другом объеме выборки, отличном от рассмотренного в примере, числовые
значения коэффициентов кх,к2,... будут немного другими.
Из (6) и (7) может быть найдена оценка плотно-
йР
сти равномерного распределения у (х) =-:
йх
/ (х) = -
к + 3к3 <! 3
2к,
'(х — а) (х — а)2 к3 (х — а) (х — а)2 к{
4к
27 к,3
+ 3
2к
4к2
27 к3
(8)
Напомним, что построение оценки плотности распределения выборочного среднего с помощью характеристических функций (3) оказалось невозможным.
Исследуем теперь задачу построения оценки центра группирования случайной величины (задачу об уходе нулевой отметки средства измерения). Пусть из равномерной генеральной совокупности извлекается выборка объема П :
х, х'...' х '...х и упорядочивается по возрастанию
величины хк : х(1) < х(2) < ... < х(к) < ... < х(п). Требуется найти квантильную функцию для центра группирования и при уровне значимости а сделать вывод о "сползании" или "отсутствии сползания" центра группирования.
Распределения крайних членов вариационного
ряда
х;
(1)
х,
( П)
Р—1 2
к!
Бк2
(10)
где
012
4г2
П2 г Г1 1 +А1 Л
г{ 2 2г I { 2 2г 2г
2г
п2б2(п' п) (11)
Заметим, что в данном случае бета-функция в(п' п) (11) может быть определена с помощью соотношений:
Б(П, П) = 21—
В "2' п
В|1' П1 = В П'1) = г <2к±Ш ._!_.
1 2 I { 2| 2кк! п + к
Аналогично
Б 2
2г (п — 1)в(п' п — 1)
найдем: и т. д. Отсюда крити-
1г»=0 п4 В3(П' П) ческая область [16,20] для статистики 2 при
вид: уровне значимости а определяется как:
Р{С(1) < х}= 1 — [1 — Р(х)\ , Р{х(П) < х}= РП(х), где
1 х — а
Р(х) = —I--- распределение равномерно
2 2г
распределенной случайной величины X . Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем можно координату центра группирования принять равной нулю а = 0 . Тогда статистика
2 = х(1) + х(П) , характеризующая центр группирования, имеет плотность распределения:
,, п2 Г1 х г1 Г1 х 8 у' ,„,
Квантиль распределения статистики 2 с помощью операторных рядов представим следующим образом:
. (1 — а)2г (1 — а)3 2г(п — 1)Б(п,п — 1)
"" + ' пАВ\п,п) +..
(12)
2п1б(п, п) 23 п4в3(п' п) 1 1
Вывод о сползании (отсутствии сползания) центра группирования делается на основе применения стандартной теории статистических гипотез [16,20].
ОПМСМ. Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными х,х'...'хп обычно осуществляется с помощью статистических критериев и
2
статистик X - Пирсона или критерия Колмогорова [17, 22]. Очевидно, что в условиях малых выборок использовать предельные распределения этих статистик не представляется возможным. С другой стороны, по малым выборкам зачастую можно сформировать такую статистику, которая будет зависеть только от стандартных случайных величин, и не будет зависеть от параметров распределения генеральной совокупности. Функцию распределе-
1
2о =0
и
к
2„ = 0
к=0
ния такой статистики представляется целесообразным определить либо в результате статистического моделирования, либо построить аналитически с помощью характеристических функций, если в конкретной задаче такое возможно.
Пусть в результате испытаний получены три
числа Х1, Х2, Х3 . Требуется при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что измеряемые величины распределены равномерно.
Независимые равномерно распределенные случайные величины Х^, Х^, Х^ с общей плотностью распределения (1) можно представить в виде:
Х = а + г(а - 0,5) , х2 = а + г(а2 - 0,5) , х3 = а + г(а -0,5), где ах,а2,а3 - случайные величины, равномерно распределенные в интервале (0,1).
Введем в рассмотрение статистику
( = (х(2) - Х(1) МХ(3) - Х(1) ) , где Х№ Х(2), Х(3) - упорядоченная по величине последовательность измеренных величин (вариационный ряд): Х^ < Хф < х^ . Статистика ( , не зависит от параметров распределения генеральной совокупности, а определяется конкретной выборкой.
Аналитическое определение функции распределения этой статистики в силу взаимной зависимости числителя и знаменателя затруднительно. Поэтому применим теорию статистического моделирования. Методом Монте-Карло при объеме выборки N = 10000 были рассчитаны значения вероятности Р^К <(} = Е(() , которые представлены в таблице.
Таблица
Значения функции F Сç) для равномерного распределения
Ç F Ç) Ç F Ç) Ç F Ç) Ç F Ç) Ç F Cç) Ç F Cç) Ç F Cç)
G G,GGGG G,15 G,1GGG G,3G G,1981 G,45 G,2988 G,6G G,3986 G,75 G,5GG6 G,9G G,6GG5
G,G5 G,G343 G,2G G,1327 G,35 G,2286 G,5G G,3327 G,65 G,4346 G,8G G,5374 G,95 G,6311
G,1G G,G664 G,25 G,1643 G,4G G,2653 G,55 G,364G G,7G G,467G G,85 G,5713 1,GG 1,GGGG
Для оценки статистической устойчивости моделировалось 12 повторений (выборок) по 10000 реализаций. На рис. 1 приведены результаты вы-
числения расхождений
D =
FO) — F СО)
между
осредненной функцией распределения Е(£) и функцией распределения Е, которые позволяют сделать вывод о хорошей статистической устойчивости процедуры построения функции распределения методом Монте-Карло.
На основе критерия согласия - Пирсона был сделан вывод о непротиворечивости гипотезы о равенстве функций распределения: F Ç) = FÇ). Заключение
Разработан расчетно-экспериментальный метод оценивания параметров сложных технических систем с метрологическим обеспечением и представлены результаты моделирования для практической задачи построения оценки функции плотности распределения погрешности цифровых измерений в случае равномерного распределения. Дано решение задачи об уходе нулевой отметки средства измерений (о сползании/отсутствии сползания центра группирования) в вероятностной постановке.
Представленный расчетно-эксперименталь-ный метод может быть применен для построения статистических оценок для других видов плотности распределения (нормального, экспоненциального), а также распределений общего вида, в том числе, заданных с помощью неявных функций, характеристических функций и операторных рядов. При этом необходимо, чтобы объем выборки был хотя бы на единицу больше числа параметров исследуемой функции распределения.
Список литературы
1. Глазкова В.В. Теоретические аспекты инновационного развития единых теплоснабжающих организаций в условиях перехода на новый энергетический уклад / Глазкова В.В. // Вестник MГСУ.-2022.-Т. 17.- Вып. 8.-C1073-1G84.
2. Король Е.А. Использование инновационных технологий устройства стеновых покрытий с модульными системами озеленения / Король Е.А., Шушунова Н.С. // Вестник МГСУ. 2021.-Т. 16.- Вып. 7. - С.912-925.
3. Rishi Kumara. Live Life Cycle Assessment Implementation using Cyber Physical Production System Framework for 3D Printed Products / Rishi Kumara, P. G. Padma Vilochania, S. Kahnthinishaa, Omkar Patila, Felipe Cerdas, Kuldip Singh Sangwana, Christoph Herrmannb // Procedia CIRP.-Life Cycle Engineering Conference. -1G5 (2G22)-P.284-289.
4. Vallero D.A. Sustainable Design: The Science of Sustainability and Green Engineering / Vallero D.A., Brasier C. // John Wiley&Sons Inc. - 2GG8. -333 p.
5. Гладких В.А. Стойкость сероасфальтобетонов к образованию колеи / Гладких В.А., Королев Е.В., Хусид Д.Л. // Вестник МГСУ.^т -Вып. 12. -C7G-78.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 1. Оценка статистической устойчивости метода статистического моделирования
6. Andrea Mio. Multiscale modelling techniques in Life Cycle Assessment: application to product design / Andrea Mio, Maurizio Fer-meglia // Procedia CIRP-Life Cycle Engineering Conference (105)- 2022. -P.688-693.
7. Бакрунов Ю.О. Внедрение инновационных технологий в управление строительной и специальной техникой / Бакрунов Ю.О., Васильева Е.Ю. // Вестник МГСУ. -2022. -Т. 17. -Вып. 6. -С.813-822.
8. Исанова А. В. Анализ использования современной теплоизоляции на основе аэрогеля при проектировании энергоэффективных зданий / Исанова А. В., Кретова Е. Д., Драпалюк Д. А., Драпалюк Н. А. // Инженерно-строительный вестник Прика-спия.-2022.-№4 (42) -С.15-22.
9. Коровкин М. О. Влияние минеральных добавок на эффективность суперпластификаторов в самоуплотняющихся мелкозернистых бетонных смесях / Коровкин М. О., Ерошкина Н. А., Короткова А. А. // Инженерно-строительный вестник Прика-спия.-2022.-№3 (41) -С.56-61.
10. Семенова Э. Е. Использование тепловых насосов для повышения энергоэффективности гражданских зданий / Семенова Э. Е., Богатова Т. В., Исанова А. В., Рубцова М. В. // Инженерно-строительный вестник Прикаспия. -2022.-№1 (39)-С.29-32.
11. Зайнутдинова Л.Х. Повышение энергоэффективности эксплуатируемых административно-торговых зданий путем использования сетевых солнечных электростанций / Зайнутдинова Л.Х., Зайнутдинов Р.А., Лиманский С.А., Полонский Д.Г. // Инженерно-строительный вестник Прикаспия. - 2023. -№ 2. - C.11-18.
12. Хайруллин Р.З. К оптимальному управлению показателями эффективности парка измерительной техники / Хайруллин Р.З. // Вестник МГСУ.-2017.-№ 5.-С.564-571.
13. Хайруллин Р.З. Оптимизация процессов эксплуатации и обновления парка измерительной техники / Хайруллин Р.З. // Измерительная техника.-2022.-№8.-С.28-34.
14. Хайруллин Р.З. Диффузионная модель дрейфа метрологических характеристик измерительной техники /Хайруллин Р.З.// Научно- технический вестник Поволжья.-2022.-№12. -С.79-82.
15. Азарсков В.Н. Надежность систем управления и автоматики / Азарсков В.Н., Стрельников В.П.- Киев.-НАУ.-2004.- 64 с.
16. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые задачи радиотехники / Казаков В.А.-Москва.-Со-ветское радио.-1973.-232 с.
17. Колмогоров А.Н. Аналитические методы теории вероятностей / Колмогоров А.Н. // Успехи математических наук. -1938.-Вып. V. -С.5-41.
18. Мухамеджанова О.Г. Статистический анализ при проведении межлабораторных сличительных испытаний / Муха-меджанова О.Г., Сатлыкова Л.Р. / / Инженерно-строительный вестник Прикаспия. - 2022. -№ 2. - C.94-98.
19. Мартыщенко Л.А. Математические задачи теории малых выборок и их приложении к испытаниям сложных технических систем / Мартыщенко Л.А. - Министерство обороны СССР. - 1985. - 75 с.
20. Гаскаров Д.В. Малая выборка / Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. - Москва.-Статистика. -1978. - 248 с.
21. Ташаев А.С. Верификация результатов испытаний сложных технических систем / Ташаев А.С. // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного университета. - 2013. - №2(171). - С.203-210.
22. Орлов А.И. Метод проверки гипотез по совокупности малых выборок и его применение в теории статистического контроля / Орлов А.И. // Научный журнал КубГАУ. - №104(10). - 2014. - С.1-15.
23. Хайруллин Р.З. К построению функции плотности распределения вероятности безотказной работы контрольно измерительной техники / Хайруллин Р.З. / / Инженерно-строительный вестник Прикаспия. - 2023. -№ 2. - C.128-132.
24. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумы, рядов и произведений / Градштейн И. С., Рыжик И. М.-Москва. - Физматгиз. - 1963. -1100 с.
© Р. З. Хайруллин
Ссылка для цитирования:
Хайруллин Р. З. Расчетно-экспериментальный метод статистической обработки малых выборок / / Инженерно-строительный вестник Прикаспия : научно-технический журнал / Астраханский государственный архитектурно-строительный университет. Астрахань : ГАОУ АО ВО «АГАСУ», 2023. № 4 (46). С. 131-136.
