CC BY
15УДК 519.62
РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ БАЛОК, ПОДАТЛИВЫХ ПРИ ТРАНСВЕРСАЛЬНОМ СДВИГЕ,
МЕТОДОМ РИТЦА
В. А. Нестеров
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected]
Рассматривается задача об устойчивости при осевом сжатии защемленной с обоих концов балки, податливой при трансверсальном сдвиге. Решение выполняется с помощью метода Ритца. Прогиб аппроксимируется одной балочной функцией. Полученные критические нагрузки сравниваются с результатами оригинального конечно-элементного расчета, в котором угол сдвига учитывается в качестве независимого узлового параметра. Показана допустимость решения задачи об устойчивости методом Ритца для сплошных композитных балок и трехслойных балок с относительно высокой жесткостью материала заполнителя.
Ключевые слова: балка, устойчивость, трансверсальный сдвиг, метод Ритца, метод конечных элементов.
BUCKLING ANALYSIS OF SHEAR FLEXIBLE BEAM WITH BOTH CLAMPED
ENDS BY RITZ METHOD
V. A. Nesterov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: [email protected]
Buckling of shear flexible clamped beam is considered. Analysis is fulfilled by Ritz method. The bending deflection of a beam is approximated by the first beam function. The results of calculation are compared to the original finite element solution in which transverse shear strain is appointed as the basic cinematic variable. The admissibility of approximate solution by the Ritz method for buckling analysis of composite beams and sandwich beams with rather high stiffness of score is shown.
Keywords: buckling, beam, finite element method, Ritz method, transverse shear strains.
Математические модели элементов авиационных и ракетно-космических конструкций весьма сложны и, как правило, допускают решения, базирующиеся на численных методах расчета, таких, например, как метод конечных элементов.
Композиционные материалы к тому же обладают рядом особенностей, которые еще более усложняют постановку задач расчета и их решение. Однако в ряде случаев оказывается возможным добиться приемлемой точности решения при использовании приближенных методов расчета, которые за счет более простого алгоритма реализации дают преимущество перед численными методами.
Кроме того, даже в тех ситуациях, когда точные расчетные параметры можно получить только на основе численного подхода, целесообразно (а иногда и необходимо) иметь предварительные результаты, полученные с помощью более простых приближенных методов.
Рассматривается расчетная модель слоистой балки, учитывающая трансверсальный сдвиг. Расчет на устойчивость при осевом сжатии выполним методом Ритца, который, как известно, имеет вариационную постановку. Получен функционал устойчивости для сдвиговой модели балки:
-=11Í"• (d I+"
(а Л
d у d w
K dx dx2
2
+ Kу2 ^ dx,
где N0 - усилие осевого сжатия; D - изгибная жесткость балки; К - жесткость балки при трансверсальном сдвиге; у - угол сдвига или осредненная по высоте сечения деформация трансверсального сдвига.
Рассмотрим задачу об устойчивости балки, имеющей на концах граничные условия, соответствующие защемлению, и нагруженной в осевом направлении сжимающей силой. Для данных граничных условий примем следующие распределения для прогиба и угла трансверсального сдвига:
w = W {(sinh(kl) - sin(kl)) (cosh(kx) - cos(kx)) -
- (cosh(kl) - cos(kl ))(sinh(kx) - sin(kx))},
. Í2nxN y = F sin I
I
Применяя метод Ритца, получим обобщенную задачу на собственные значения, решение которой позволяет определить критическое значение усилия сжатия. Форма потери устойчивости задается балочной функцией, фигурирующей в представлении прогиба.
Прикладная математика и механика
Таблица 3
Значения критических усилий для трехслойной балки с различной жесткостью заполнителя
Таблица 1
Значения критических усилий для сплошной композитной балки
И, мм МКЭ, Н Метод Ритца, Н Относительная разница, % Аналитическое решение, Н
5 811,43 835,73 2,99 813,43
10 6444,44 6623,83 2,78 6507,43
15 21489,96 22015,56 2,45 21962,58
20 50100,62 51099,08 1,99 52059,45
25 95824,59 97207,16 1,44 101678,62
30 161479,00 162811,12 0,82 175700,65
35 249170,80 249501,56 0,13 279006,12
40 360150,83 358043,35 0,59 416475,61
45 495009,89 488484,18 1,32 592989,69
50 653690,92 640293,63 2,05 813428,93
60 1,040•Ю6 1,004-106 3,46 1,406• 106
70 1,509-106 1,438-106 4,71 2,599• 106
80 2,050-106 1,932-106 5,76 3,332• 106
90 2,648-10" 2,475-106 6,53 4,744• 106
Таблица 2
Значения критических усилий для трехслойной балки с различной толщиной слоя заполнителя
Из, мм Метод Ритца, Н МКЭ, Н Относительная разница, %
10 4803,09 4677,02 2,70
20 17147,78 16762,82 2,30
30 36667,77 35986,80 1,89
40 62974,52 62035,97 1,51
50 95708,23 94620,84 1,15
60 134535,24 133474,27 0,79
70 179145,68 178321,76 0,46
80 229251,44 228910,52 0,15
90 284584,22 285045,82 0,16
100 344893,93 346478,19 0,46
Ез, ГПа Метод Ритца, Н МКЭ, Н Относительная разница, %
5 26035,86 25504,87 2,08
1 22223,03 22439,30 0,96
0,5 18830,16 19508,33 3,48
0,1 8833,13 9540,25 7,41
0,05 5613,39 5822,22 3,59
0,04 4829,16 4872,84 0,90
0,03 3985,85 3831,66 4,02
0,02 3076,50 2684,66 14,60
0,01 2093,06 1414,85 47,94
Полученные с помощью приближенного метода Ритца критические величины будем сравнивать с результатами численных расчетов, выполняемых методом конечных элементов. Основными узловыми неизвестными являются: прогиб изгибной угол наклона сечения и угол трансверсального сдвига [1].
С помощью оригинальных авторских программ [2] двумя методами (Ритца и КЭ) выполнены решения задач об устойчивости при осевом сжатии сплошной композитной и трехслойной балок.
Результаты расчетов, представленные в табл. 1-3, свидетельствуют о том, что приближенное решение методом Ритца с использованием в качестве базисной только одной балочной функции дает достаточно точные результаты по критическому усилию для сплошных композитных балок и для трехслойных балок с
относительно жестким слоем заполнителя. При расчете трехслойных балок с весьма податливым заполнителем метод Ритца дает неверные результаты из-за неточности представления прогиба одной балочной функцией (см. табл. 3).
Библиографические ссылки
1. Нестеров В. А. Конечно-элементный анализ устойчивости балок, податливых при трансверсальном сдвиге // Вестник СибГАУ. 2012. № 3 (43). С. 56-62.
2. Нестеров В. А. Исследование НДС, устойчивости и собственных колебаний трехслойной балки с податливым заполнителем с помощью МКЭ при учете трансверсального сдвига в качестве узлового неизвестного. Свидетельство о государственной регистра-
ции программ для ЭВМ № 2010611781 ; 09.03.2010. 18.01.2010. 8 с.
References
1. Nesterov V. A. Vestnik SibGAU. 2012. no 3 (43), pp. 56-62.
2. Nesterov V. A. Issledovanie NDS, ustoychivosti i sobstvennykh kolebaniy trekhsloynoy balki s podatlivym zapolnitelem s pomoshch'yu MKE pri uchete transversal'nogo sdviga v kachestve uzlovogo neizvestnogo: svidetel'stvo o gosudarstvennoy registratsii programm dlya EVM № 2010611781. 09.03.2010.- 8 p.
© Нестеров В. А., 2013
УДК 539.374
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ДИАМЕТРА
С. И. Сенашов1, О. В. Гомонова2
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева
Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected], [email protected]
В задаче упругопластического кручения стержня переменного диаметра главной проблемой является определение неизвестной границы между упругой и пластической областями. В работе впервые построена бесконечная серия законов сохранения, которые позволяют свести задачу об упругопластическом кручении стержня к квадратурам.
Ключевые слова: упругая область, пластическая область, закон сохранения, стержень, неизвестная граница.
ЕLASTO-PLASTIC TORSION OF A ROD OF VARIABLE DIAMETER
S. I. Senashov1, O. V. Gomonova2
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia Е-mail: [email protected], [email protected]
The main difficulty arising during the resolving of a problem of elasto-plastic torsion of a rod of variable diameter is the finding of a boundary separating elastic and plastic domains. For the first time an infinite conservation laws series which allows reduce to quadratures the problem is constructed in this work.
Keywords: elastic domain, plastic domain, conservation law, rod, unknown boundary.
Рассмотрим стержень, имеющий форму тела вра- Тогда уравнение (2) удовлетворяется тождествен-щения, скручивающийся парами сил, приложенными но, а (1) дает уравнение, которое представляет собой на концах. Для таких стержней все уравнения теории условие совместности: упругости удовлетворяются при предположении, что д (1 дф^ д ( 1 дф^) круговые поперечные сечения остаются при кручении I г)~dz 1 ~дг \ _ 0 плоскими; радиусы поперечных сечений искривляются [1]. 2 2
Выражения для двух компонент тензора деформа- д ф 3 дф + д ф _ 0 (4)
ции в упругой области имеют вид: дr2 r дr дг2
_ дv v _ дv Для пластической области уравнение равновесия
Yre _ дг r' ^вг _ дг также имеет вид (2). Условие пластичности записыва-
или
Уравнение равновесия в этой области
ется так:
STre , дтег , 2Tre
x2e+x2z _ k2. (5)
+ + —= 0. (2)
После введения функции напряжения по формуле (3) уравнение (2) удовлетворяется тождественно, а (5)
дr дг r
Введем функцию напряжения по следующим фор- принимает вид
мулам:
r Tez _ ~ > га -
дг дг
дф | ,[дф| _ ,2 4
2 / _ \2
* r2,„ = -дф. (3) If Hi|= k2r4. (6)
