Расчет усталостной повреждаемости при циклическом и случайном нагружении с ненулевым средним значением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

19 89 № 3

УДК 629.735.33.015.4 : 539.43

РАСЧЕТ УСТАЛОСТНОЙ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ И СЛУЧАЙНОМ НАГРУЖЕНИИ С НЕНУЛЕВЫМ СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЕМ

О. А. Бессолова, В. Л. Райхер, А. С. Устинов

Проведен сравнительный анализ используемых на практике методов учета влияния средних значений цикла нагружения. Рассмотрены возможные способы и особенности учета среднего уровня нагрузки при детерминированном и гауссовом случайном нагружении.

1. Учет влияния среднего значения цикла нагружения при циклическом нагружении. Достаточно распространенным в общем машиностроении является способ учета среднего значения цикла нагружения, предложенный в [1], заключающийся во введении так называемого коэффициента чувствительности г|з к изменению среднего значения. При таком подходе амплитуда Хэ^с симметричного цикла, эквивалентного в смысле сопротивления усталости циклу с амплитудой Ха и средним значением Хт, определится как

или в виде

Величина коэффициента чувствительности ■ф зависит от типа конструкционного материала и в работе [1] для легированных сталей ее рекомендуется принимать равной г|з~0,25; для алюминиевых сплавов обычно 1|5~0,5.

В авиастроении традиционно используется другой способ учета влияния среднего значения цикла, базирующийся на энергетических соображениях, впервые сформулированный в известной работе И. А. Одинга [2] и обобщенный впоследствии в ряде исследований, в частности, в [3]. В соответствии с этим подходом апмлитуда эквивалентного симметричного цикла при Хт>0 определяется по соотношению

где параметр х также зависит от типа конструкционного материала и принимает значения в диапазоне 0<х<1. Анализ имеющихся экспе-

Х^ = Ха + ^Хт (Хт>0)

(1)

(3)

риментальных данных показал [4, 5], что соотношение (3) с удовлетворительной точностью отражает фактическое влияние среднего значения цикла при его положительной величине.

После преобразования формулы (3) к виду

хт - (*«) (1 + хат) - (£“) (! + Ха1Хт) (4)

можно заметить, что при оо соотношение (4) запишется как

^ т

хэ'с х

-г- = ¥ + *• (5)

лт л/п

Из сравнения (5) и (2) следует, что при амплитуде цикла, существенно превышающей его среднее значение, оба подхода идентичны, причем параметр х оказывается совпадающим с коэффициентом чувствительности г]). Сопоставление подходов (1) и (3) проиллюстрировано на рис. 1, из которого видно, что соотношение (1) описывает асимптоту для кривой, определяемой соотношением (3) при оо; наиболь-

X

шее расхождение существует в другом крайнем случае -гА -»0, т. е.

Лт

при амплитудах, существенно меньших среднего значения. Нельзя не обратить внимание на то, что в этом диапазоне параметров цикла соотношение (3) представляется значительно более физичным, так как оно сглаживает ничем не оправдываемый резкий рост (и даже скачок) величины Хэа с при малых значениях Ха.

2. Суммирование усталостной повреждаемости с использованием степенных и приближенно степенных кривых сопротивления усталости. Использование традиционно применяемой в практических расчетах линейной гипотезы суммирования усталостной повреждаемости ока-

зывается особенно удобным, если кривая выносливости относительно амплитуды симметричного цикла X для силового фактора, определяющего накопление усталости, имеет степенный вид

Л^т = С, (6)

где N — число циклов до разрушения, т й С — параметры. В этом случае усталостную повреждаемость £, накопленную совокупностью значений Хг различной величины, можно записать как

(7)

/ I

где п(Хг) —число значений одинаковой величины Х{, — число цик-

лов, соответствующих Хг [см. соотношение (6)]. Для реального нагружения, характеризующегося совокупностью циклов с различным сочетанием амплитуд Хаь и средних значений Хт., соотношение (7) с учетом (3) запишется в более сложном «нестепенном» виде

6 - 2 Х™ т (Ха1 + Хт)'я ■ (8)

I

Кривую выносливости (6), справедливую для симметричных циклов нагружения, с учетом (3) можно обобщить, записав аналитическое выражение

ЫХ£-')’п{Ха + ХтГ» = С, (9)

для так называемого полного графика выносливости, характеризующего зависимость числа циклов N до достижения предельного состояния от двух факторов цикла нагружения: Ха и Хт. Очевидно, что параметры т и С сохраняют при этом свой исходный смысл как харак-

теристики кривой выносливости при нагружении симметричными циклами. Полезно отметить, что в некоторых частных случаях соотношение (9) может сохранить степенной вид относительно некоторой характеристики нагружения. Например, при неизменной асимметрии нагружения, т. е. при постоянстве в каждом цикле отношения = а*, со-отношение (9) запишется как

КХ’=С(^т=С,

т. е. в аналогичном (6) степенном виде относительно амплитуды нагружения с сохранением показателя т, но с параметром С' вместо параметра С.

Для нагружения, характеризующегося постоянством среднего значения Хт для всех циклов нагрузки**, как следует из (8) и (9), степенной вид кривой выносливости относительно амплитуды нагружения не имеет места. Однако с целью сохранения преемственности метода расчета, а также учитывая особенности расчета усталостной повреждаемости применительно к случайному нагружению, целесообразно построить приближенный аналог «степенного расчета» и в этом случае. Этот

* Для отнулевых циклов а=1.

** Этот случай приближенно реализуется, например, при нагружении крыла самолета при полете в атмосферной турбулентности.

подход может быть реализован путем замены фактической нестепенной зависимости (9) степенной зависимостью от Ха в некотором диапазоне амплитуд, характеризующем рассматриваемое нагружение.

Формально такое приближение можно, например, получить в виде прямой линии в координатах касательной к описываемой

соотношением (9) в этих же координатах кривой в некоторой характерной точке Х*а в диапазоне возможных амплитуд нагружения (см. рис. 2). В качестве амплитуды характерного нагружения X* естест-

Рис. 2

венно принять амплитуду Хяа 3 локально-эквивалентного циклического нагружения [6] как наименее подверженного влиянию угла наклона искомой прямой. В соответствии с [6] величина X"-9 определится как

2пг *Гф

(10)

где т.ф — некоторый фиктивный, пока неизвестный показатель искомой степенной зависимости. С другой стороны, после логарифмирования и введения переменных = 1п N и 1 = \пХа соотношение (9) запишется в виде

г=1пС-

из которого, учитывая что

т (1 —y.)t — хт 1п (Хт + е‘),

тф — -

йг 1

м\ха=хлаэ’

можно получить выражение для тф в виде

Хт

т.

Ф'

т 1

хт + х»а\

(И)

Численное значение Шф определяется как решение системы уравнений (10) И (11) с двумя неизвестными Шф и Ха3' Решение может быть получено быстро сходящимся итерационным методом.

Из условия равенства в точке Ха = Х* э долговечностей, определяемых по (9) и по приближенной степенной зависимости

мху = Сф,

получим соответствующее значение параметра Сф в удобном для расчетов виде Сф = Сц, где

[* =

Иф\ХЯІ

тГ~ )

(К Г

(12)

По аналогии с (7) приближенное значение усталостной повреждаемости X определится по известным апмлитудам Ха'.

(13)

Пример расчета. Пусть нагружение характеризуется несимметричными циклами со следующими параметрами: Хт=10; спектр амплитуд состоит из двух степеней Ха1=8, л4 = 5 и Ха2 = 4, /*2 = 20. Конструкционный материал характеризуется величиной х=0,5 и т=4. Последовательные итерации для Шф и Х*-э приведены в табл. 1.

Таблица 1

№ итерации 0 1 2 з 4

ГПф 4 2,82 2,77 2,76 2,76

у"Л. Э. ла 6,96 6,23 6,19 6,18 6,18

Значение /Пф оказывается равным 2,76, а величина усталостной повреждаемости по (13) С|= 1,64-105.-

Точное значение усталостной повреждаемости С| в соответствии с (8) равно 1,66 -103. Погрешность приближенного расчета составляет ~ 1 %'•

3. Определение усталостной повреждаемости при гауссовом случайном нагружении с использованием степенной формы гипотезы спектрального суммирования. Как известно {7], расчетные формулы гипотезы спектрального суммирования (ГСС) получают весьма простой вид, если нагружение, представляющее собой стационарный гауссов процесс с нулевым математическим ожиданием, осуществляется на конструктивном элементе (образце), кривая выносливости которого для симметричных циклов имеет вид (6). В этом случае средняя долговечность, использованная в единицу времени, или, что то же самое, усталостная повреждаемость за единицу времени определяется как

' і (т)

1т/2

| Ф ((!)) О)2/™ С?0) I

(14)

где Ф (ш) = — приведенная спектральная плотность процесса

нагружения, а — среднее квадратическое отклонение, характеризующее интенсивность нагружения, а 1 (т) — (|/'2)т г (^- + 11 —

функция от показателя степени кривой выносливости, Г —гамма-функция.

Если процесс нагружения Х(^) имеет ненулевое математическое ожидание Хт, для определения усталостной повреждаемости можно воспользоваться приемом, рассмотренным в предыдущем разделе, с тем лишь отличием, что величина амплитуды Х^э соответствующего локально-эквивалентного циклического нагружения должна быть получена из более общего по сравнению с (10) выражения (см. [6])

d In /(/Лф>

Хлэ = е dm<i>

а

в котором роль Д/Пф) играет в данном случае выражение /(тф) = атФ Ь (отф) [ | Ф Н«

ш

Подстановкой (16) в (15) получим соотношение

,а,2"ПФ^ш]'ПФ/2.

\ГЯ. !

Л а

VI

Ф (а>) о2/ ф

Ф (а>)о>

21тл

In

f - 2/md>

(15)

(16)

(17)

где (х)—логарифмическая производная гамма—функции Г(х-{-1). Определение значений тф и А'"-9 проводится, как и ранее, путем

решения системы уравнений (11) и (17) итерационным методом, а усталостная повреждаемость вычисляется по (14) с заменой параметров С на Сф = (J.C см. (12) и т на тф.

Пример расчета. Рассмотрим стационарный узкополосный гауссов процесс нагружения на средней частоте со0 с интенсивностью (средним квадратическим отклонением) о, наложенный на математическое ожидание Хт = аа. Без большой погрешности в этом случае приведенную спектральную плотность процесса Ф(со) можно считать 6-функцией, т. е. Ф(со) =б(со—соо), в связи с чем соотношение (17) примет вид

ХЛаЭ =оУ2еПтФ12)-

(18)

Пусть процесс нагружения действует на конструктивный элемент (образец), кривая выносливости которого имеет параметры т,=4 и к = 0,5 (величина параметра С в данном примере безразлична). Решая для каждого значения а систему уравнений (11) и (18) итерационным методом*, получим величины Шф и ХаЭ (в Долях а), приведенные в табл. 2.

Таблица 2

а 0 1 3 5 7

/Яф 4 3,36 2,79 2,55 2,42

К* 2,24 2,10 1.96 1,90 1,86

? 1 2,11 5,90 И ,6 19,4

* Для определения значений функции можно воспользоваться справоч-

ником [8].

Относительная усталостная повреждаемость в зависимости от а определится с использованием (14) и с учетом того, что Ф (ш) = 5 (се — ю0), в виде

6 __^а>о ___^ (тф)

“= - ------- ...

£а=о Ь (т)

т

(19)

_ Дискретные значения £ приведены в табл. 2, а зависимость | = =|£(а) проиллюстрирована на рис. 3.

Обращает на себя внимание существенное влияние величины математического ожидания процесса нагружения на усталостную повреждаемость; например, при среднем значении, в 7 раз превышающем стандартное отклонение процесса нагружения, усталостная повреждаемость увеличивается почти в 20 раз.

Для гауссова процесса нагружения с ненулевым математическим ожиданием приближенная степенная форма использования ГСС может быть получена на основе несколько другого, более формализованного подхода, приводящего к достаточно простым конечным формулам для /Пф и |л в важных частных случаях, например, при т=4 и х = 0,5. Действительно, в основе ГСС лежит возможность замены случайного гармонического нагружения на какой-либо частоте он аналогичным нагружением на любой другой частоте *о2 с сохранением средней использованной долговечности (усталостной повреждаемости), которая определяется для гауссова процесса в виде

где Ф — «величина» спектральной плотности Ф(*о) =Ф-6(со—ни), характеризующая интенсивность рассматриваемого процесса нагружения. Если М(Ха) имеет степенной вид (6), то /'’(Ф) также записывается в виде степенной функции

о

ч

X

а

позволяющей определять «величину» Ф' спектральной плотности Ф'(ш)=Ф'6(со—юг) на другой частоте ш2=|М1. Если же N{Ха) (при ненулевом математическом ожидании) имеет более сложный вид (9), соответствующая функция /‘‘(Ф) записывается в виде интеграла

4

р (ф)=тъ I (1-х>+1 {Х“ + Хт)т% 6 2Ф аХ° ’ (21)

о

простое аналитическое выражение в конечном виде для изменения величины Ф на Ф' при переходе на частоту «>2=#=(01 при этом не получается, Заменим функцию ^(Ф) ее степенной аппроксимацией вида (20), а именно:

!(»;] ^

р* (ф) = V У1. . ф 2

v ; СII*

с параметрами Шф и М-*> определяемыми из условия равенства в точке Ф=£) (£>— дисперсия процесса нагружения) как самих величин Р и Т7* (т. е. усталостной повреждаемости), так и их первых производных. Совместное удовлетворение условиям

Р* (Р) = Р (Б) ,

АР* (Р) йР (Р)

ЙФ ~' ЙФ

дает следующее выражение для гщ :

т'*=Тщ'!Т1- (22)

По известносму /Иф поправочный коэффициент ц* определяется как

4 + 2

(2Р) 2 Г 1 ¥ —

Г* =--------. (23)

СР(Р) 4 '

Очевидно, что параметры /Пф и |л* полностью соответствуют аналогичным параметрам Шф и [а, полученным ранее.

Рассмотрим случай т=4, х = 0,5. При этих значениях параметров (21) интегрируется в квадратурах

Р (ф) = ± {2X1 + 3 Хт + 8Ф) . (24)

Подстановка (24) в (22) и (23) определяет искомые параметры с помощью конечных формул

Усталостная повреждаемость, как и ранее, вычисляется по (14) с заменой параметров т на /Яф и С на Сф = ц*С. Относительная усталостная повреждаемость, как и (19), запишется в конечном виде

1*='1 + 4 ^ + Т- • (25)

Сравнение значений Отф и £* (см. табл. 3) с соответствующими значениями т,ф и £ из табл. 2 показывает близость обоих подходов к построению степенной формы ГСС при ненулевом математическом ожидании процесса случайного нагружения.

Таблица 3

а 0 1 3 5 7

ч 4 3,34 2,79 2,56 1,43

1 2,19 6,07 12,0 19,8

Малость различия (порядка 2—3%) иллюстрируется на рис. 3.

В связи со сказанным возможно применение обоих подходов, причем второй будет более предпочтительным в случаях, когда интегрирование (21) может быть проведено в квадратурах и поэтому возможно получение конечной формулы ДЛЯ Щф . Первый способ, несмотря на необходимость использования в нем итерационной процедуры, тем не менее является более общим и применим при произвольных значениях т их.

ЛИТЕРАТУРА

1. Серен сен С. В., Ко г а ев В. И., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и расчеты деталей машины на прочность'. Справочное пособие. — М.: Машиностроение, 1975.

2. О д и н г И. А. Допускаемые напряжения в машиностроении и циклическая прочность металлов.—М.: Машгиз, 1947.

3. Shira-tory Eiryo, Obataya Joichi. Effect of meau stress on the low-cyck fatique strength. Stress amplitude — meau stress relation for a given life. — Bull ISME, 12, N 54, 1969.

4. Райхер В. Л., Богданов Б. Ф., Ушаков И. Е. Методики построения диаграмм выносливости. — Заводская лаборатория, 1978, № 4.

5. Ушаков И. Е. Некоторые обобщения диаграмм выносливости. —

Труды ЦАГИ, 1980, № 2033.

6. Райхер В. Л. О некоторых обобщениях понятия эквивалентности режимов нагружения в проблеме усталостной долговечности. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 6.

7. Райхер В. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайных нагрузок. — Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1134.

8. Я н к е Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми, перевод с немецкого языка. — М.: Л.: ГИТТЛ, 1949.

Рукопись поступила 5/1 1988 г.