CC BY
49Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3
УДК 519.63
РАСЧЕТ УСЛОВИЙ СОВМЕСТНОЙ ПРОКЛАДКИ ТРУБОПРОВОДОВ НАДЗЕМНЫМ СПОСОБОМ
В. В. Григорьев, П. Е. Захаров, А. С. Кондаков, И. Г. Ларионова
Аннотация. Многолетний опыт эксплуатации водопроводных систем в условиях вечной мерзлоты показывает, что наиболее рациональным способом является надземная совместная прокладка трубопроводов различного назначения. В регионах Крайнего Севера с низкими зимними и высокими летними температурами, а также с перепадами температур ночного и дневного времени естественна задача изучения условий совместной прокладки труб холодного и горячего водоснабжения с трубами теплоснабжения в одном пучке. Проблема состоит в том, что вода в трубе холодного водоснабжения может замерзнуть в ночное время суток и тем самым разрушить трубу: вода в ней находится под давлением и движется только при ее использовании. Рассматривается численное решение методом конечных элементов двумерной температурной задачи для определения оптимального межтрубного расстояния при совместной прокладке труб холодного водоснабжения, теплоснабжения и горячего водоснабжения, обеспечивающего допустимую температуру воды в трубе холодного водоснабжения. В конечном итоге были выявлены оптимальные межтрубные расстояния для двух разных схем прокладки труб, чтобы холодная вода в зимнее время не замерзала и летом не перегревалась.
Б01 10.25587/8УРи.2018.3.10891 Ключевые слова: полипропиленовые трубы, температура, теплоизоляция, математическое моделирование, пучок труб, межтрубный просвет.
1. Введение
Многолетний опыт эксплуатации водопроводных систем в условиях вечной мерзлоты показывает, что наиболее рациональным способом является надземная совместная прокладка трубопроводов различного назначения. Надземная прокладка полностью исключает тепловое воздействие водопроводных труб на вечномерзлые грунты, позволяет наблюдать за состоянием трубопровода, упрощает и ускоряет ремонтные и аварийные работы, отпадает необходимость в дорогостоящих земляных работах и специальной защите от коррозии [1,2].
В регионах Крайнего Севера с низкими зимними и высокими летними температурами, а также с перепадами температур ночного и дневного времени ставится задача установления условий совместной прокладки в одном пучке труб холодного и горячего водоснабжения с трубами теплоснабжения. Проблема состоит в том, что вода в трубе холодного водоснабжения может замерзнуть в
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 17-01—00732).
© 2017 Григорьев В. В., Захаров П. Е., Кондаков А. С., Ларионова И. Г.
ночное время суток и тем самым разрушить трубу, она движется только тогда когда ею пользуются. Также в летнее время холодная вода в неподвижном состоянии может перегреться из-за воздействия труб горячего водоснабжения. Таким образом, стоит задача определения оптимального межтрубного просвета, обеспечивающего гарантированную защиту от замерзания и чрезмерного перегрева воды в трубе холодного водоснабжения.
Рассматриваются две разные схемы совместной прокладки труб холодного водоснабжения (ХВС) с трубами теплоснабжения (ТС) и горячего водоснабжения (ГВС) для определения межтрубного просвета, обеспечивающего в трубопроводе холодного водоснабжения температуру воды в допустимом интервале. На основе математического моделирования теплового процесса в совместно проложенных в одном теплоизолированном пучке труб ХВС, ТС и ГВС рассчитаны величины межтрубных просветов, не допускающие чрезмерного охлаждения и нагрева воды в трубе ХВС. В качестве теплоизоляционного материала выбран материал марки «Базалит-75».
2. Математическая модель
Рассматриваются две схемы (рис. 1, 2), в которых в одном теплоизолированном пучке четыре трубопровода: труба обратная ТС, труба ХВС, подающая и обратная трубы ГВС. Геометрия сечения трассы будет выглядеть иначе, чем на расчетной схеме, так как рыхлый теплоизоляционный материал не будет лежать ровным слоем на трубах, она будет защемлена под трубами, а над трубами будет зависать в межтрубных впадинах. Мы рассматриваем геометрически идеализированные схемы для упрощенного описания границ раздела областей (теплоизоляционный материал, воздух во внутренних полостях между трубами и воздух окружающей среды), которые имеют различные теплофизические характеристики.
Расчетная область состоит из пяти подобластей: ^ — теплоизоляция, 02 — металл, О3 — полипропилен, О4 — холодная вода, О5 — воздух, и четырех границ: 1\ — граница окружающей среды, Г2 — внутренняя граница трубы ТС, Г3 — внутренняя граница трубы подачи ГВС, Г4 — внутренняя граница обратного ГВС.
Тепловой процесс в пучке труб описывается двумерным нестационарным уравнением теплопроводности в декартовых координатах:
р(х)с(х)^--V ■ (к(х)ЧТ) = 0, хеп, (1)
где р — плотность, с — удельная теплоемкость, к — коэффициент теплопроводности [3,4]. Уравнение (1) дополняется начальным условием
Т(х, 0) = Т0 и граничными условиями первого рода
т(х,г) = тг, х е г, I = 1,2, з, 4,
Рис. 1. Схема №1: обратная труба ТС, труба ХВС, подающая труба ГВС, обратная труба ГВС
Рис. 2. Схема №2: труба ХВС, обратная труба ТС, подающая труба ГВС, обратная труба ГВС
которые описывают контакт с воздухом и фиксированные температуры труб ТС и ГВС.
3. Аппроксимация
Для приближенного решения нестационарной задачи теплопроводности введем равномерную сетку по времени с шагом т:
ит = {Г = пт, п = 0,1,..., N. тN = Т} (2)
и обозначим уп = у (£п). Будем рассматривать следующую неявную схему по времени:
ТП+1 _ Тп
р(х)с{х)--V • (к(х)ЧТп+1) = 0.
(3)
Для аппроксимации по пространству воспользуемся методом конечных элементов [5, 6]. Определим пространства пробных и тестовых функций:
V = {Т £ Н1 (П): Т(ж,£)= Т, х € Г;, i = 1, 2, 3, 4},
Рис. 3. Расчетное поле температур на схеме №1 в начальный (сверху) и конечный (снизу) моменты времени. Контуром показано, где в области установилось 0о С
-64.0 -29.2 5,5 40.25 75.0
Рис. 4. Расчетное поле температур на схеме № 2 в начальный (сверху) и конечный (снизу) моменты времени. Контуром показано, где в области установилось 0о С
V = {v е н1(ii): v = 0, x е Ti и г2 и г3 и г4}.
Вариационная формулировка поставленной задачи:
T n+1_тп
р(х)с(х)-vdx+ / k(x)VTn+1Vvdx = 0. (4)
Дискретная вариационная задача формулируется следующим образом: найти Тп+1 € V, при любом V € V удовлетворяющее уравнению
/Т n+1 Г Г т n
р(х)с(х)-vd,x+ / k(x)VTn+1Vv d,x = / р(х)с(х)—v
nun
Таким образом, исходная задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений a(Tn+1,v) = L(v), где
/Т n+1 [■
р(х)с(х)-vdx+ / k(x)VTn+1Vvdx,
nn
/Т п
р(х)с(х)—V dx.
п
Для каждой подобласти используются коэффициенты теплопроводности и коэффициенты удельной теплоемкости в зависимости от материала.
4. Численное исследование
Геометрия и триангуляция проводились в программе СМ8И [7]. Шаг по пространству для всех вычислительных сеток был равным 0.002. Шаг по времени для всех вычислений был равен 1 минуте. В качестве начальных условий для нестационарной задачи были приняты результаты работы стационарной задачи, где из расчетной области исключается внутренность трубы ХВС и применяется граничное условие первого рода с соответствующей температурой холодной воды. Численное решение задачи было реализовано с помощью библиотеки ЕЕшС8 [6]. На рис. 3, 4 показаны расчетные поля температур в начальный и конечный моменты времени теста на зимний период.
В табл. 1 приведены размеры труб и вид материалов, из которых они изготовлены, в табл. 2 приведены теплофизические параметры материалов, в табл. 3 указаны температуры сред, которые будут использоваться в качестве значений для граничных условий. Толщина теплоизоляции равна 80 мм.
Таблица 1. Параметры труб
Труба Материал Внешний радиус (мм) Внутренний радиус (мм)
№ 1 Металл 79,5 73,5
№2 РРЯЭ, РШО 55,0 45,0
№ 3 РРЯЭ, РШО 55,0 36,6
№ 4 РРЯЭ, РШО 31,5 21,0
Таблица 2. Теплофизические параметры
Материал к (Вт/(м-К)) рс (Дж/(кг-К))
Металл 60,00 3617000
РРЯС 0,1500 1737000
Теплоизоляция 0,064 108000
Воздух 0,0244 1300
Холодная вода 0,5625 4200000
Таблица 3. Температуры сред
Температура зима (°С) осень, весна (°С) лето (°С)
Окружающего воздуха -64,4 -15,0 20,0
В трубе обратки ТС 70,0 45,0 20,0
В трубе ХВС 5,0 10,0 20,0
В трубе подачи ГВС 75,0 75,0 75,0
В трубе обратки ГВС 55,0 55,0 55,0
Были проведены вычислительные эксперименты с варьированием расстояний между трубами № 1 и № 2 (<<12) и трубами № 2 и № 3 (<2з) в пределах от 0 до 70 мм. Продолжительность расчетного времени, в течение которого холодная вода неподвижна, 6 часов. При этом прослеживалось изменение по времени осредненной температуры холодной воды в трубе № 2 после останова ее подвижности. Влияние трубы обратного ГВС было совсем незначительное (0,1°С), поэтому им можно пренебречь и будем считать, что расстояние между трубами № 3 и № 4 (<<34) равно 0 мм.
На графиках легенды означают расстояния между трубами (<12 х <2з х <34). Как видно из рис. 4, варианты 70 х 70 х 0 и 50 х 50 х 0 не прошли тест на суровую зиму. Так как эта задача показывает идеальный вариант и модель лишь близка к реальности, с точки зрения аварийной безопасности они оба отпадают. По рис. 5 можно видеть, что все варианты проходят тест. Вода нагревается, но не выходит за пределы комфортной температуры. Судя по рис. 6, можно видеть, что при 0 х 0 х 0, 10 х 0 х 0 и 30 х 0 х 0 вода слишком сильно перегревается, что с точки зрения комфортности плохо. Таким образом, анализируя все графики, можно прийти к выводу, что для расчетной схемы 1 трубы надо укладывать с просветом от 10 до 40 миллиметров.
-2 -1-1-1-1-1-1-1-
О 50 100 150 200 250 300 350 400
Time, min
Рис. 5. Изменение средней температуры холодной воды в зимний период расчетной схемы № 1
Рис. 6. Изменение средней температуры холодной воды в осенне-весенний период расчетной схемы № 1
Рассмотрим тепловой расчет совместной укладки трубы ХВС с трубами ТС и ГВС по схеме № 2, приведенной на рис. 2, на которой поменялись местами трубы № 1 и № 2. Порядок расположения труб в этой схеме слева направо следующее: 1 — труба ХВС; 2 — труба обратная ТС; 3 — труба подачи ГВС;
Рис. 7. Изменение средней температуры холодной воды в летний период расчетной схемы № 1
Winter
б -1-1-1-1-
-5 -1-1-1-1-1-1-1-
О 50 100 150 200 250 300 350 400
Time4 min
Рис. 8; Изменение средней температуры холодной воды в зимний период расчетной схемы № 2
4 — труба обратного ГВС. Расчеты проводились с варьированием расстояния между трубами ХВС и обратного ТС в пределах от 0 до 50 мм. Температурные данные взяты из табл. 3. Так как влияние просветов d2з и dз4 ничтожно мало (0,20С), было принято решение взять их равными 5 мм.
11.6 11.4 11.2 11
о, 108
Ь 10.6 Е
Н 10.4 10.2 10 9,8
50 100 150 200 250 300 350 400
Time, min
Рис. 9. Изменение средней температуры холодной воды в осенне-весенний период расчетной схемы № 2
По рис. 8 можно сказать что тест прошли только варианты 0 х 5 х 5 и 5 х 5 х 5. Из рис. 9 ясно, что температура воды не выходит за пределы нормы. Тесты на летние температуры проводить не будем, так как труба ТС служит «барьером» между трубами ХВС и ГВС, тем самым температура воды совсем не меняется. Таким образом, подводим итог, что по расчетной схеме 2 надо укладывать трубы ХВС и ТС с просветом от 0 до 5 миллиметров.
5. Заключение
По разработанной вычислительной программе можно произвести расчетные работы по определению предельных величин просвета между трубами ХВС и ТС для любых типоразмеров полипропиленовых труб РРИ.С, применяемых для нужд холодного и горячего водоснабжения в наружных распределительных сетях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лютов А. В. Строительство и эксплуатация водоводов надземной и канальной прокладки на Севере //Л.: Стройиздат, 1976.
2. Терехов Л. Д., Акимов О. В., Акимова Ю. М. Водоснабжение и водоотведение в северных климатических условиях // Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2008.
3. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М: Науч. мир, 2003.
4. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: ЛИБРОКОМ, 2009.
5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
6. Logg A., Mardal K. A., Wells G. (ed.). Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. New York: Springer Sci. & Business Media, 2012.
9.6 L 0
7. Geuzaine C., Remacle J. F. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and post-processing facilities // Intern. J. Numer. Methods in Engineering. 2009. V. 79. N 11. P. 1309-1331.
Статья поступила 12 августа 2017 г.
Григорьев Василий Васильевич, Захаров Петр Егорович Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 42, Якутск 677891 cLalighieri@rambler.ru, zapetch@gmail.com
Кондаков Алексей Семенович Институт проблем нефти и газа СО РАН, ул. Автодорожная 20, Якутск 677000 kondak_aleksey@mail .ru Ларионова Ирина Германовна
Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского 48, Якутск 677891 lig_iii@mail.ru
Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3
UDC 519.63
CALCULATION OF CONDITIONS FOR JOINT
LAYING OF OVERGROUND PIPELINES
V. V. Grigoriev, P. E. Zakharov, A. S. Kondakov, and I. G. Larionova
Abstract: Long-term experience in the operation of water supply systems in permafrost conditions shows that the most rational method is the above-ground joint laying of pipelines for various purposes. In the Far North regions, with low winter and high summer temperatures and great difference between day and night temperatures, it is a problem to establish conditions for the joint laying of cold and hot water pipes with heat supply pipes in one bundle. The problem is that because in the cold water pipe the water is under pressure and moves only when it is used, so it can freeze at night and thus destroy the pipe. A numerical solution of the two-dimensional temperature problem by the finite element method is considered to determine the optimum intertube distance for the joint laying of cold water supply pipes, heat supply and hot water supply ensuring the permissible water temperature in the cold water supply pipe. In conclusion, optimal intertube distances are obtained for two different schemes of laying pipes so that cold water did not freeze in winter and did not overheat in summer.
DOI 10.25587/SVFU.2018.3.10891
Keywords: polypropylene tubes, temperature insulation, mathematical modeling, tube bundle, intertubular clearance.
REFERENCES
1. Lyutov A. V., Construction and Operation of Above-Ground and Channel Laying Water Pipelines in the North [in Russian], Stroyizdat, Leningrad (1976).
2. Terekhov L. D., Akimov O. V., and Akimova Yu. M., Water Supply and Water Disposal in Northern Climatic Conditions [in Russian], Izdat. Dal'nevost. Univ., Khabarovsk (2008).
3. Samarskii A. A. and Gulin A. V., Numerical Methods. Textbook [in Russian], Nauka, Moscow (1989).
4. Samarskij A. A. and Vabishhevich P. N., Vychislitel'naia Teploperedacha [in Russian], Editorial URSS, Moscow (2003).
5. Segerlind L. J., Applied Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, New York; London; Sydney; Toronto (1979).
6. Logg A., Mardal K. A., and Wells G. (eds.), Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method: The FEniCS Book, 84, Springer (2012).
7. Geuzaine C. and Remacle J. F., "Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-
© 2017 V. V. Grigoriev, P. E. Zakharov, A. S. Kondakov, and I. G. Larionova
and post-processing facilities," Int. J. Numer. Methods Eng., 79, No. 11, 1309-1331 (2009).
Submitted August 12, 2017
Vasiliy V. Grigoriev and Petr E. Zakharov M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia d_alighieri@rambler.ru, zapetch'Sgmail .com
Alexey S. Kondakov
Institute of Oil and Gas Problems of the SB RAS, 20 Avtodorozhnaya Street, Yakutsk 677000, Russia kondak_aleksey@mail .ru Irina G. Larionova
M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia lig-iiiSmail.ru
