Расчет уработок нитей парашютных тканей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНОЛОГИИ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ ТЕКСТИЛЬНОЙ И ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

УДК 677.024; 677.074

О. А. Каракова, С. Д. Николаев

РАСЧЕТ УРАБОТОК НИТЕЙ ПАРАШЮТНЫХ ТКАНЕЙ

Ключевые слова: парашютная ткань, уработка, основа, уток, аппроксимация, нити.

В статье приводится методика расчета уработок основы и утка в ткани. Предложены методы расчета уработки нитей, основанные на интерполяции кривой формы нити с помощью кривой второго порядка (параболы), кубического сплайна. Достоинством использования сплайнов является лучшее приближение формы кривой, что обеспечивает более высокую точность.

Keywords: parachute fabric, robotka, Foundation, ducks, approximation, sutures.

In the article the technique of calculation urabotat warp and weft in the fabric. The methods for calculating orebody threads based on interpolation of the shape of the thread using the curve of the second order (PM Reboly), cubic spline. The advantage of using splines is the best approximation of the curve shape, which provides a higher precision.

Уработка нитей основы и утка является важным параметром, характеризующим структуру ткани. Величина уработки основных и уточных нитей существенным образом влияет на строение ткани, ее свойства. От величины уработки зависит расход сырья и такой важный параметр ткани, как ее поверхностная плотность. Поэтому точность определения этой величины имеет большое значение, что обуславливает интерес исследователей к определению рационального способа расчета уработки.

Вопросам, связанным с определением уработок нитей в ткани посящены многочисленные работы [1-10].

При формировании ткани нити основы и утка взаимодействуют друг с другом, результатом чего является их взаимный изгиб, что приводит к разнице между длиной ткани и длиной заработанной в нее нити. Уработка основных и уточных нитей обычно определяется как разность между длиной распрямленной нити, вынутой из ткани и длиной ткани при расчете на определенную единицу длины, выраженную в процентах:

а=[^ц)^]100% где а - величина уработки, выраженная в %, L -длина нити в ткани; Ll - длина ткани.

Наиболее распространенными являются методы, базирующиеся на геометрическом строении ткани.

Известные методы расчета уработки тканей преимущественно основаны на теории Пирса, согласно которой параметры строения и свойства тканей рассматриваются как функции углов наклона прямолинейных отрезков нитей основы (или утка) к оси абсцисс. При этом, естественно, принимается, что линейные плотности, вид пряжи основы и утка ткани не изменяются.

Такой метод расчета основан на том, что длина нитей основы или утка складывается в пределах раппорта из трех частей: прямолинейного отрезка и двух криволинейных участков, которые аппроксимируются либо дугой окружности, либо другой кривой второго порядка, например, эллипса [11, 12]. Таким образом, имеет место кусочная аппроксима-

ция формы кривой, которую принимает нить основы и утка в ткани вследствие переплетения. Недостаток такого подхода состоит в том, что указанные методы расчета, основанные на теории Пирса, не позволяют получить общее выражение для определения фактической длины нити основы (или утка). Более того, при аппроксимации криволинейных участков, отличных от окружности, длина нити на этих участках может быть определена только численным интегрированием, не говоря уже о том, что форма таких участков обладает определенным произволом. Например, в случае кривой в виде эллипса, надо задать параметры этой кривой - величины полуосей, эксцентриситет. Поэтому для инженерных расчетов желательно использовать такую кривую, которая отвечает следующим условиям: наилучшим образом аппроксимирует форму нити; позволяет получить достаточно простые выражения для определения фактической дины нити основы (утка).

На наш взгляд для обоснования формы полуволны нити в пределах раппорта могут предлагаться разные виды кривых, например, кривая, называемая цепной линией

у = Ь + а еИкх, (1)

где а, Ь и к - параметры этой кривой.

Это связано с тем, что форма огибающей нити определяется воздействием на эту нить некоторого силового поля со стороны поперечных нитей. Для нитей основы это поле создается нитями утка, а для нитей утка - нитями основы. При использовании такой аппроксимации длина I полуволны нити на участке АС (рис. 1) может быть найдена через определенный интеграл

В I ( V В I 2 2 2

I = } -у 1 + 1 ;у' (х) I dx = .1 \ 1 + к а sh кх dx (2)

А А

К сожалению, во-первых, интеграл (2) может быть вычислен в элементарных функциях только в частном случае, когда а = к = 1. Во-вторых, в виду симметрии кривой АС и четности функции (1) трех точек для определения параметров кривой (1), одно-

значно определяющих положение нити, недостаточно. Поэтому аппроксимация полуволны нити цепной линии также оказывается неприемлемой для решения нашей задачи. Однако обратим внимание на то, что функция сЬг является четной и представляется в виде ряда по степеням переменной г следующим образом

2 4 2k

z z x¡ z

ch z = 1 + — + — + ... = Z -

2! 4! k=0 (2k)!

(3)

Из (3) следует, что при <1 основной вклад в

значение функции дают первые два слагаемых. Так

точное значение сЫ = 1.543____, а значение этой

функции, вычисленное по двум слагаемым формулы (3) дает сЫ = 1.5, то есть погрешность вычисления

по формуле (3) для значения аргумента = 1 не

превышает 3%. Отсюда следует, что для аппроксимации формы полуволны нити в пределах раппорта ткани может быть выбран полином второго порядка

y = ax + bx + c.

(4)

Для расчета уработки и определения длины нитей основы (или утка) в пределах раппорта выберем оси координат как показано на рис. 1. Длина нити в пределах раппорта из двух кривых АС и СБ, каждая из которых аппроксимируется уравнением параболы (3). Найдем параметры а, Ь, с для участка кривой АС из следующих уравнений в системе координат хОу (рис.1).

У

d

9

ч1 / ^ Л

/

\ ÜJ

,1 № (<1

X

Рис. 1 - Геометрическая модель строения ткани полотняного переплетения

I2 I >■ (-I /2) = а — - Ь — + с, 4 2 У(0) = с,

12 I >■ (I /2) = а— + Ь — + с, 42

при условиях: у(-1/2)=у(1/2)=к/2, ^О^к-Бф, откуда сразу находим с = h-Dcp, где h - высота волны, определяемая фазой строения ткани. Решая систему

уравении с учетом наиденного параметра с

2

l l h

a— - b— = D -—,

cp '

4 2 2

l2 l h a— + b— = D - —

cp

4 2 2

получаем значения параметров

4Dcp - 2h _

l2

b = 0.

(5)

Таким образом, уравнение для аппроксимации кривой при переплетении нитей основы и утка имеет вид

4D - 2h 2 cP 2 y = ax + c =-;-x + h - D

2

l

cp

(6)

Важно отметить, что при использовании параболы для аппроксимации формы нити аппроксимирующая кривая непрерывна в узловых точках вместе со своеИ производной. Действительно, рассмотрим точку С, в которой сшиваются две параболы - ABC и CDE. Парабола ABC задается уравнением (6), и значение производной этого участка кривой в узловой точке С имеет вид

y' = 2 ax =

4D - 2h ср

l

(7)

Найдем параметры параболы СБЕ для участка кривой СБ из следующих условий: у(1/2)=у(31/2)=к/2, у(1) = Бф. Получим следующую систему уравнений относительно параметров параболы

12 I к а — + Ь — + с = —,

4 2 2

2

а1 + Ы + с = d

ср '

,2

9l 3l h

a-+ b — + c = —.

4 2 2

Из решения последней системы найдем

4D - 2h

b

8D - 4h

c = 2h - 3D

ср

I I

Легко видеть, что производная на данном участке кривой в точке С

l

У

V 2 У

l

= 2ax + b = a— + b = 2

4D - 2h

ср

l

полностью совпадает с выражением (7). Но заметим, что вторые производные в узловых точках имеют разрыв. Таким образом, аппроксимация формы кривой параболой не обеспечивает непрерывность выпуклости в узловых точках.

Найдем длину участка кривой АС

a =

a =

ЬАВС = . д/1 + (у(х)) 0х>

-//2

или учитывая симметрию кривой относительно оси ординат

LABC = 2 + (У'(х))2 о

0х, (8)

Подставляя значение производной (7) в (8), получим //2

'Г 2 2

Авс = 2 0 + 4а х ¡0х.

(9)

ЬАВС =

1 +

^40 - 2кЛ

-1п

40 - 2к

40 - 2к

V

1 +

2

/ 40 - 2к ^ _

/

. (12)

У

Тогда для вычисления фактической длины нитей Ьоф основы и Ьуф утка в рапорте ткани соответственно получаем следующие выражения

Для дальнейших расчетов удобно перейти к безразмерной переменной и=2ах. Тогда 0и = 2а0х, и интеграл (9) примет вид

1 а/

и г

N1

2

1

"АВС = — . ^ + и 0и = — I а 0 а

Вычислим интеграл

а1

0 а

1 (I (а1) - I(0)).

/Л

I = IV1 + и 0и

(10)

Положим

Л

2 2 + и = / - и. Тогда г - 2/и = 1,

/2 -1

2/

Находим

0и = ■

/2 + 1

/2 +1

2

/ - и = ■

2/ 2/ Подставляя (10) в (11), получаем

,2

(11)

I = 1

/ 2 +1

1

Г

4/

0г =—| 3 4

Л

21 г +—+— /3 V г У

/2 1 0г = — + — 1п / 8 2

22 1 (г -1)(/ +1) 1 || — =-+ — 1п /

2

2

2

8/ 8/ .Возвращаясь к исходной переменной и, получим

1 2 1 I = — и V1 + и + — 1п 22 Таким образом,

Г

2

и + V1 + и V У

"АВС

I (1а) - I (0) 1

2а

, 2 2 /^ 1 + 1а + 1п

/ I гг\

1/а + V 1 + / а )

Учитывая значение для параметра а в формуле (5), получим

Ьоф = /у

1 +

С \

40 - 2к ср_

V ^ У с

2

1п

40 - 2 к

40 - 2к

+

Ьуф = /ос

1+

Г \

40„_ - 2к ср_

V ^ У

1 +

40ср - 2к _

V /о У Г

1п

40„,, - 2к

40ср - 2к

+

V

1+

40ср - 2к

о

У

где /у, /о - расстояние между центрами соответственно уточных или осовных нитей (геометрическая плотность по утку или по основе).

Используя данные выражения можно вычислить уработку ткани по основе и по утку для любой фазы строения ткани. В таблице 1 приведены данные расчета фактической длины нити утка Ьуф и основы Ьоф ткани в зависимости от высоты к полуволны при фиксированных значения расстояния между центрами нитей соответственно основы /о =0,278 и утка /у =0,250 и при фиксированном значении среднего диаметра нитей 0ср=0,084. За основу расчетов взята полиамидная парашютная ткань из нитей линейной плотности 5 текс, плотность ткани по основе равна 400 нит/дм, плотность танни по утку - 360 нит/дм. Проведем расчет уработок основных и уточных нитей в ткани, предполагая, что ткань может быть любого порядка фазы строения.

Одним из наиболее эффективных способов интерполяции и аппроксимации на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Математически сплайн - это многочлен ¿-(х) специального вида, принимающий в заданных узлах кривой у(х) значения 5,(х)=5(х,), совпадающие со значениями функции Ах,), и обеспечивающий непрерывность в них некоторого числа производных. Обычно достаточно прерывность первой и второй производной, для чего достаточно использовать кубические сплайн-многочлены.

+

/

2

/

+

+

/

+

2

2

/

+

/

2

+

2

2

/

о

и

+

/

о

*

а

Таблица 1 - Результаты расчета уработок нитей

Порядок фазы строения ткани Высота волны изгиба, мм Длина нити в ткани, мм, Уработка нитей, %

основы утка основы утка основы утка

1 0 0,168 0,25 0,336 0,00 17,14

2 0,021 0,147 0,251 0,323 0,47 14,05

3 0,042 0,126 0,255 0,312 1,82 11,01

4 0,063 0,105 0,260 0,303 3,92 8,11

5 0,084 0,084 0,268 0,294 6,62 5,47

6 0,105 0,063 0,277 0,287 9,71 3,22

7 0,126 0,042 0,287 0,282 13,04 1,48

8 0,147 0,021 0,299 0,279 16,47 0,38

9 0.168 0 0,312 0,278 19,92 0,00

Для построения сплайн-функции s(x) на отрезке [a,b], на котором каким-либо образом заданы значения функции fx), введем сетку

a — Xq < x^ <

< xn — b

и обозначим известные значения Л(х)=/(х,), /=0,1,_,п, функции Ах) в заданных узлах х,-. На каждом из отрезков [х,-1, х,], /-1,2,...,п, найдем функцию ^•(х)=&,,(х), в виде многочлена третьей степени

( ) Ы ( ) с/ ( ^ ( S/ (х) = а, + Ы/ (х - х,) + — I х - х, I + — I х - х,

2 6 где а,, Ы,, с,, d/■ - коэффициенты многочлена, которые определяются на каждом отрезке [х,-1, х,] из условий интерполирования

а, = Ах,), , = 1,2,., п,

и условий непрерывности первой и второй производных. Условия непрерывности производных на концах отрезков [х,-ь х,], , = 1,2, ..., п, дают 3п - 2 уравнений для 3п неизвестных Ы,, с, ё,. Два недостающих уравнения получают из граничных условий на концах отрезка [а,Ы]. В нашем случае удобно использовать так называемые «естественные» граничные условия, согласно которым на концах отрезка вторые производные равны нулю, то есть

s"(a) — 0, s" (b) — 0.

(13)

Принимая во внимание это обстоятельство можно получить следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов с, [1]

со = 0

Axici_i +2(Ax/ +Ах/+i )Ci +Axi+1С/+i — Cn — 0

— 6

f \

fi+1 _ fi fi _ fi _1

(14)

V Axi+1

i — 1,2,..., n _ 1,

Axi J

где Ах, = х, - х^. После вычисления коэффициентов с, определяются коэффициенты Ы, и с помощью явных формул:

Дх.

Ах .с . Дх . d . f. _ f., i i i i Ji Ji _1 b. — _ + , i — 1.2,..., n.

i

2 6 Ax.

В нашей задаче целесообразно использовать сплайн для интерполяции кривой, задающей форму нитей

утка и основы, на отрезке [-//2;//2]. В этом случае концы отрезка удовлетворяют «естественным» начальным условиям (01), так как концы отрезка соответствуют точкам перегиба кривой.

Особенностью данной задачи является то обстоятельство, что для построения сплайн-многочлена можно использовать только три точки, в которых определены значения кривой: А(- 1/2, к/2), В(0, к-Бср), С(- 1/2, к/2). Эти точки разбивают отрезок [- 1/2; 1/2] на два одинаковых отрезка [- 1/2; 0] и [0; 1/2]. Отсюда Ах1 = Ах2 = Ах = 1/2. Исходя из этого система уравнений (13) может быть представлена в виде

Cq — 0 4AxCj — 6

с — 0,

2

f2 _ 2f1+ f0

Ax

и ее решение фактически сводится к решению одного уравнения относительно коэффициента с1

C1

J (2°ср _ h). )

Далее находим

Cj 12(2ВСр _ h

d1 — — —-3

Ax i

12(2Dcp _ h) d2 —-3- b2 — 0

l

a — h _ Dcp, a — — 1 ср 2

Принимая во внимание симметричность кривой АВС относительно оси ординат, для определения ее длины на всем промежутке [-1/2; 1/2] можно ограничиться определением ее длины только на отрезке [-1/2; 0]. На этом отрезке получаем, что

h с1 2 d1 3

d1 2 1

(x) — + x + x , S1' (x) — C1 x + x , x g [_ ;0] 2 2 6 2 2 Тогда длина кривой на отрезке [- 1/2; 0]

Lab — J + (s'(x)) dx

_i/2

а на всем отрезке [- i/2; i/2]

3

)

2

с . _ с . , i i _1

d

L =

о

2 J

-I/2

1 +

f d 2Л

di x

Ci x + -

V

dx

У

Приведенный интеграл может быть вычислен только численно.

В заключении отметим, что применение сплайнов дает очень хорошие результаты при аппроксимации в случае малых расстояний Ах,- между узлами, так как погрешность аппроксимации сплайном функции/еС1¥[а, Ь], имеющей непрерывные производные на отрезке хе[а, Ь] до четвертого порядка включительно, имеет следующую оценку

4

< М • (Ах) ,

C[a ,b]

где

M =

fIV (x)

^ , . При разбиении всего

С[а,Ь]

отрезка на два промежутка погрешность может оказаться достаточно большой.

Для оценки величины погрешности нами протестировано применение сплайнов подобных задач. Для тестирования использовалась функция которая интерполировалась сплайном на отрезке [0, л] по трем точкам (0;0), (л/2; 1), (л; 0). В этом примере длина отрезка Ах = л/2 >1. Результаты тестирования показали, что максимальная погрешность интерполяции не превышала 4%, а длина кривой на отрезке [0, л] отличалась от длины кривой интерполирующего сплайна на том же отрезке менее, чем на 0.4%.

Результаты вычисления значений фактической длины нити основы и утка и уработки соответственно по утку и основе при аппроксимации кривой кубическим сплайном приведены в таблице 2. Здесь использованы те же значения среднего диаметра нитей и геометрических плотностей, что при расчете в таблицах 1 и 2.

Таблица 2 - Расчетные значения уработок нитей

Фаза ао, % Lvi> ау, %

1 0.2500 0 0.3317 16,18

2 0.2508 0,31 0.3201 13,17

3 0.2531 1,21 0.3097 10,24

4 0.2568 2,66 0.3005 7,49

5 0.2620 4,56 0.2927 5,01

6 0.2683 6,84 0.2864 2,93

7 0.2759 9,38 0.2818 1,34

8 0.2845 12,11 0.2789 0,34

9 0.2939 14,95 0.2780 0

Данные по расчету уработок, приведенные в таблицах, показывают незначительные отличия в величине уработки, вычисленной при различной аппроксимации формы кривой, которую принимает нить при переплетении. К сожалению, точная форма кривой неизвестна. Поэтому мы не можем говорить, какая аппроксимация лучше. Строго говоря, какой метод дает наилучшее приближение можно понять, только сравнив теоретические расчеты с экспериментальными данными.

Тем не менее, исходя из общих соображений, можно сказать следующее. При аппроксимации произвольной кривой лучшие результаты дают полиномы более высокого порядка. В нашем случае это кубический сплайн. Косвенным подтверждением этого утверждения является определение длины полуволны функции >=sinx на промежутке [0, л]. Длина этой кривой, вычисленная аналитический равна 4н « 3,820. При аппроксимации этой кривой параболой получаем /пар » 3,853, а при аппроксимации данной кривой сплайном - 1сп » 3,802. Таким образом, ошибка при определении длины кривой при аппроксимации параболой составляет 0,86%, а при аппроксимации сплайном - 0,47%.

Выводы

1. Рассмотрены известные методы расчета ура-боток нити в ткани и показано, что основным недостатком является трудоемкость их применения вследствие кусочной аппроксимации кривой формы нити.

2. Предложены методы расчета уработки нитей, основанные на интерполяции кривой формы нити с помощью кривой второго порядка (параболы), кубического сплайна. Показано, что достоинством интерполяции кривой с помощью параболы является получение одной алгебраической формулы для расчета фактической длины нити основы (или утка), что существенно облегчает расчет уработки. Достоинство использования сплайнов является лучшее приближение формы кривой, что обеспечивает более высокую точность.

3. Разработано программное обеспечение для расчета уработки нитей основы и утка по заданным параметрам строения ткани.

4. Проведен расчет уработок нитей основы и утка ткани для различных фаз строения ткани.

Литература

1. Николаев С.Д., Ковалева О.В., Ликучева А.А., Николаева Н.А., Рыбаулина И.В. Проектирование технологии тканей заданного строения: Монография. - М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2007.-276 с.

2. Сборник научных трудов МГТУ им.А.Н.Косыгина, посвященный 100-летию со дня рождения Ф.М.Розанова -М.: МГТУ им.А.Н.Косыгина, 2006. - 180 с

3. Сборник научных трудов МГТУ им.А.Н.Косыгина, посвященный 100-летию со дня рождения П.В,Власова -М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2011. -196 с

4. Карева Т. Ю. Разработка способа технологии изготовления тканей новых структур и исследование их строения. // Дис.....докт.техн.наук, МГТУ им. А. Н. Косыгина, М. 2005.- 412 с .

5. Кащеева М.М. Разработка облегченных структур технических тканей из углеродных нитей и особенности их изготовления на ткацком станке. Дис. ... канд. тех. наук - Москва, МГТУ им.А.Н.Косыгина, 2009. -141 с

6. Руденко Л.Г. Разработка автоматизированного метода расчета технологических параметров изготовления тканей. Дис. ... канд.техн.наук.- М., 2003. -144 с

7. Рыбаулина И.В. Разработка автоматизированного метода проектирования фильтровальных тканей по заданным свойствам. Дис. ... канд.техн.наук.- М., 2011. -267 с

2

2

8. Сафонов П.Е. Разработка оптимальных технологических параметров изготовления арамидных. Дис. ... канд.техн.наук.- М., 2013. - 358 с

9. Синицына И.В. Анализ тканей ортогонального и неортогонального строения для кромок. Дис. ... канд.техн.наук.- М., 2009.- 247 с

10. Синицын А.И. Разработка метода проектирования трехосных тканей. Дис. ... канд.техн.наук.- М., 2012.224 с

11. Юхина Е.А., Юхин С.С. Расчет уработки нитей по заправочным параметрам ткани. // Изв. Вузов. Техноло-

гия текстильной промышленности. - 1994, №2, сс. 3638.

12. Толубеева Г.И., Якубова И.Г., Пяртли С.Г. Методика расчета уработок нитей полотна по заправочным данным ткани и высоте волны изгиба основы. // Изв. Вузов. Технология текстильной промышленности. - 2012, №1, сс. 54-58.

13. Самарский А.А., Гулий А.В. Численные методы. Учебное пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989 г. - 432 с.

© С. Д. Николаев - профессор кафедры проектирования и художественного оформления текстильных изделий РГУ им. А.Н.Косыгина, e-mail: nsd0701@mail.ru; О. А. Каракова - соискатель кафедры проектирования и художественного оформления текстильных изделий РГУ им.А.Н.Косыгина, e-mail: olga-kar337@mail.ru.

© S. D. Nikolaev - Professor of design art and design textiles RGU im. A.N. Kosygin, e-mail: nsd0701@mail.ru; O. A. Karakova -postgraduate of the Department of design art and design textiles RGU im. A.N. Kosygin, olga-kar337@mail.ru.