Расчет цилиндрических подкрепленных оболочек с учетом нелинейного поведения элементов конструкции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ШАГИ

Том XI

19 8 0

№ 1

УДК 629.7.015.4.023.2

РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ

В. П. Фомин

Рассмотрен метод расчета цилиндрических каркасированных оболочек с недеформируемым контуром поперечного сечения произвольной формы. Оболочка находится в условиях комбинированного нагружения и неравномерного нагрева. Учитывается влияние выпучивания стрингеров и панелей обшивки и возникновения в них пластических деформаций на жесткостные характеристики оболочки. При определении напряженно-деформированного состояния конструкции используется метод конечных элементов. В качестве примера проведен расчет на кручение цилиндрической каркасированной оболочки с прямоугольным вырезом. Полученные результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

1. Постановка задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку в декартовой системе координат л;, у, z (ось х параллельна образующим оболочки). Криволинейные координаты поверхности — перпендикулярные друг другу линии х = const и s — const. Используя соотношения линейной теории оболочек и предположение

о недеформируемости контура поперечного сечения (е^ = 0) и полагая s = 0 в точке z-О верхней части контура поперечного сечения, получим выражения для продольного перемещения и, продольной деформации е и деформации сдвига -[ оболочки [1|:

и = Г -j- U — 0гу — Bvz;

dU

дх 1 дх

дО,

-1-------------------------------—? у

\ г! у дх У

дН

у

____дГ і о 0(0

Т х дГ

дх

ди>

— аТ;

(1)

(2)

где

до ________ дг

ds У дх

гЦ-, в.

ds

dW

дх

dV

дх

О =-*?-х дх

и (х), V {х), № (х) — перемещения поперечного сечения оболочки как целого в направлении осей х, у, г соответственно; ^(х) — угол поворота сечения вокруг оси х; а — коэффициент температурного

расширения материала оболочки при температуре Т. Полюс выбран в точке s = 0, так что w(s = 0) = 0.

В отличие от теории тонкостенных стержней [2], где используется гипотеза об отсутствии части сдвига срединной поверхности оболочки, здесь деформация сдвига учитывается полностью. Это позволяет уточнить распределение напряжений и деформаций в районе выреза, а также учесть влияние внешней продольной сосредоточенной силы на напряженно-деформированное состояние оболочки.

Оболочка длиной х нагружена крутящим моментом Мх; погонными осевой силой qx и изгибающими моментами ту и т2 относительно осей у и z соответственно; погонными продольными р и касательными q усилиями, действующими на свободные края оболочки (р — на поперечные края хг , q — на продольные sr).

Для получения уравнений равновесия оболочки и граничных условий используется принцип возможных перемещений в виде

8Э = 8Г1—8А, (3)

где вариации потенциальной энергии деформации 8П и внешних сил 5 А:

д:

| ф (poz -f- <?^т) dsdx,

0 5

X

оА=^ (МхЬЪх-\-qxlU — тгЬЬг —■ mybby)dx -f j pbTds j qoVdx;

0 Sp

здесь ф — интеграл по всему контуру поперечного сечения х— const;

р, д — нормальные и касательные погонные усилия.

Подставляя (1) и (2) в (3), можно получить уравнения равновесия и граничные условия:

§&ds=-q„ §d^yds-mz, §d£zds = m„

s s s

s

и (x = 0) = U, ег (x = 0) = 02, GJt (x = 0) = byt

Г (x — 0, s) = r, q (X, sr) = q (x), p(xr, s) = p(s).

Если используется условие Г(л; = 0, s) = Г, то граничное условие р{хГ, s)—p(s) можно опустить (кинематические граничные условия можно задавать и на торце х — х).

Разобьем конструкцию по длине расчетными сечениями хк — = const (k—\, 2, . . . , k) па отсеки длиной Дл:к(£ = 2, 3, . . . , k). Считаем отсеки конечными элементами, а сечения x = xk — узлами (верхний индекс „к“ обозначает соответствие конечному элементу, нижний — соответствие узлу). Положительная z 0 (отрицательная— z <0) часть контура сечения элемента „к“ содержит +А^К (~/VK) расчетных панелей обшивки толщиной 8* (—8“), ограниченных расчетными стрингерами +i^(~Jn) И jnCjn), причем ±^ —номер пре-

дыдущего, а +Гп — номер последующего стрингера, если смотреть в направлении возрастания номеров панелей. Стрингеры т = 1,

2, . . . , УИК имеют площади профилей /^т (левый верхний значок „ + “ обозначает соответствие положительной части контура поперечного сечения, значок „ — “ -- отрицательной части; там, где это несущественно, эти значки опускаются). Нумерация стрингеров, продолжающихся из элемента „к“ в элемент „к Н- 1 “, сохраняется.

Узел £ содержит уИ*= +Мк +~Мк стрингеров, причем =

= тах{ Мк, Жк+1}. Заметим, что стрингеры в соседних элементах, имеющие одинаковый номер т, не могут иметь разные координаты ут и гт.

В качестве соотношений, связывающих напряжения и деформации, принимаются приближенные соотношения, содержащие редукционные коэффициенты:

К Г' К К К „К К К с-К 1 /.К I _К \ ( л\

ат — Ет ^п — п ^0 п — ^0 яп (£~к | £—к)} (4)

1п *п

здесь окт — напряжение в стрингере т\ ооп, — нормальное (вдоль средней линии панели) и касательное напряжения в панели п. Определение редукционных коэффициентов сря, <ро, О <р, и секущего модуля Е0, детально описано в [3]. Здесь вводится лишь небольшое дополнение: если напряжение сжатия (<з?„<4)) в стрингере превышает по абсолютной величине значение критического напряжения От, то стрингер считается выпучившимся и при дальнейшем возрастании нагрузки напряжение в нем остается постоянным акт= — =4; для такого стрингера <р^т = — зкт1(Егкт).

Относительно касательных напряжений принимаются обычные для тонкостенных стержней предположения [4] — касательные напряжения постоянны по всей толщине контура поперечного сечения и направлены параллельно средней линии контура. Считаем, что стрингеры работают лишь на растяжение — сжатие, панели обшивки — только на сдвиг. Способность панелей воспринимать нормальные напряжения учитывается присоединением к стрингеру эффективно работающей на растяжение — сжатие полосы обшивки. Стрингером далее называем профиль стрингера с присоединенной полосой обшивки. Исходя из этих предположений, получим выражения для продольного Рт и касательного усилий в пределах элемента „к“:

Г)К ГГхК к „к К 5,К О л „к „к

Рт — Е/т £т , — Тп Оп — Аяп п у

п

где

фк СРК Ьк ’ ~ \//Г^7К У~1К'>2 + 27к^“ >

“ 1 п 1п ]п 1 п

Д.9К

^Оп "я

гК

у-к С-К „К , 1 Х4 „к , „к «к

] т — Ест УЕт Ч- ^ п £ п п >

П£т

сумма по панелям, примыкающим к стрингеру т(1к„=т

пет _

или /п = т).

Перемещение Гк (л;, 5) аппроксимируется по 5 между стрингерами 1п и л линейной функцией:

Г“ = Г!!К + (Г“-Г“к)

As

ль/2

В пределах элемента „к“ обобщенные перемещения UK, О*, 0“, 6* ,

I т(т= 1, 2, ... , Мк) аппроксимируются линейными функциями

от х:

UK = Uk^ + (Uk-Uk^)~x\..........

......> Гт = 1 mk-l -J- ( 1 mk — I mk—l) X ,

— X -*•&_1

где xK=—- - - , AxK = xk — Xk-\.

Выражения (1) и (2) для элемента „к“ имеют следующий вид:

£т = Р mk 1 mk—l + Uk Uk-1 (®zk ~ ®гЬ—\)Ут

-(ву* —fiy*_i)2«] —««7* , (5)

fn — >*-1 + (-ink — Тя*-]) -*K , (6)

где

1

7 nk —

W-1— д5к 1+ (Г7. k_x - r7* *_i) + Sjcft-1 Д«»й],

]г[±(Г7К . —Г-к k) + §xk Д«>я], Д‘»я= + (2-.кУ7к — 2*кУ1к)-

„ J w * 1п' 1 п п 1п I п

Появление двойного знака „+“ (верхний знак соответствует положительной части контура поперечного сечения, нижний — отрицательной) вызвано различием направлений нумерации панелей для положительной и отрицательной частей сечения.

Если использовать во всех приведенных выше формулах без-

Л Л ЛЛ л

размерные величины x = xjR, Е — Еа, q = q (а/?) и т. д. (R — ха-

д

рактерный размер, а — характерное напряжение), то все формулы приведутся к безразмерному виду. В качестве характерного раз-

Л

мера R удобно использовать средний радиус кривизны контура

Л Л

оболочки, в качестве характерного напряжения — о = Е, а — onIV

(предел пропорциональности диаграммы а = /{§)) и т. д.

Полагая, что все нагрузки (кроме Жд.) приложены к узлам, и считая М* = const, запишем выражение для вариации потенциальной энергии внешних сил:

7Г

м - X IQ,» 8<Л - М,* М.» - ы>у„ + ~(М“ Ах* +ЛЦ+‘ Д**+>) 8в„| +

/г = 1

*Гк

здесь Qxk) Alik, Myk — приращения внешней нагрузки на узле k\

М\ = Мх 1 = 0. Для простоты полагаем q = Q (продольные края оболочки свободны от нагрузки).

Вариация потенциальной энергии деформации конструкции: к' ,

6 = 2

к * к | 1 / -К « к I „к г к \ ,

Цпк—1 Ь'Хпк—1 ~П ~2~\Япк ^~[пк—1 Ч” Цпк—1 ^'{пк) Т

ЯпкНи

где

к О л „к к „к О * .к

Я пк—1— ^$п~{пк—1, Япк —

Используя выражения (4) —(6), выпишем вариации полной потенциальной энергии конструкции:

Ь/г. Э — Е

— Е'' ик-\ + 0гб-1 + *5у 6у*-1 — ^ Г т/г-1 +

т = I

4- (ЕК + Г к+1) ик - (5* + 5Г1') ^ + 5^+1) 6

у*

к / Г к f к+1 \

+ X (г? + Г”‘_ рк+'£/‘+1+я+'в*,+1 + ^+16

т -1

У к + 1

±^К + 1 ,х+1

V

.к+1

I тк + \ —■ ЕТ ~Ь Е г

■к+1 Охк

т = 1

8 и

к’

*»«Э = £

,к

^ / ,т,

Дхк

/71=1

- (5г + ^+1) £/* + (/5 + /Г1) в,* 4- (/“г + /#*) е,* -

т = 1

й / /к у к+1

Дх

тп . ,к т

АхК

.Мк+1

а." I ^ ^,К+1 | л | оК^! г / г К4-1 с г & -4-1 л |

~ Ут + А _к + 1 .У /я ) I тк "Ь $>г С^/г+1 * г + 1 I у г ^уг+1 4"

XI /•к+1 .УК+1 Гт»+1 + ^>гГ—Згг

т=1 Лх

К+1 , Мгь

80

гк1

5„ э = Е

ук

МК

/I

55 - /укг е^_! -/ - в,,., + V _г. г«т Ттк_х

А*

■ (5УК + ^+1) ик + (/;й + А^1) Кк + (/у + / У+') 6

У*

±дг

V

т=1

/К гК +1

1 т тк , -1 т „к+1

д*к г"1_гд^+1 ш

Г„г* 4 5*+1 ^*+1 - /;г+1 62й+1 - / \+1 6

у °уй-Н

- VI КЧ~1 ,

т у-к—!

V 7 т

7*\ А*к+1

.-р | ск о к+1 1

1 тк~г 1 I «Ъ\гГ ~\ г

т

ук'

8о Э =

'хк

~2~ §хк-\ + ~2~ а<от ^тк~1 ~Ь (^® + ) ®

т—\

^к + 1 ±,ИК + 1

хк

т = 1

и | чг^ /г + 1 -р

2 ™хк-\-\ | ' 2 -*- т/г +1

т = 1

ДУ

М1

&хк ' 1 „*к+1

х —

8г.,Э=(£(-^гС/,_,+ ^гЛ«

Дхг

+ Дхк а“ш 6^_1 — [ £■ ^--------------Ьхк ЪЬт ) Гтк—\

в 6

±жк

Д'Х'К а‘™г ^гк-\ + Е

г = 1

г К+1 \

■> т ,.к + 1 \

гК угК + 1 \

/ т , / т \и

- 4-Ьхк Дхк+1)

Ут +

Дл:к

+^-Т--

к + 1

,к+1

•т

+ Длк+1а^1)6

к + 1\ и , л-/г I

и/

fк f •! т . -г

Дл.к-Н лт ) ук

+ -^-(Дхка

К

сот Т

к + 1 \

) + ±-(ЬхкакЬт + Ахк+1аЬп)

Ахк Дагк+V

1^*-

и

- .и,

-4- У (Дхк '<£,+ Д*^1*^1) Г ь + Е ( -

Г- 1

/•к+1

т

&Х

и,

1Гн ^*+1

/•К + 1 ^ «»К“Ма I

д^К + 1-У/Л «** + ! +

К+1 т к + 1

Дх1

4Г 6^+1 I +4- Ддс^1^1 6,к+1 - I Е

* К+1 / т

Ьх

к-1-1

Мк+1

-£- Дл:к+1 а^1) ГтА+1----§- X, Д^+’а,^1 Г,*+1 -

Г=1

- Е{гГт ±«- - ±Д+1 ±а«+1 ±7^) - РтА§тА 8± Гт4.

Здесь приняты следующие обозначения:

РК = У +

~ Д*

К

Т ’

/к

- V*

У ту

Ьх

^=2 к

^ Дх

т к £

т,

г к. * к

/к ______ V ' т \2 /к _________________________ V •' т ,,к гк /к

1 У — 7 к \^т/ » У-2— * к т> ш

2 /I №2. к\2

у Дхк (Доз%)

- ДУ

- ДУ

К

г-к /• к К <уч К о*К гК К т-К К ^.к /-К К -г«К К

* Т — у тп О-тп * т> ^гТ — / , ] тп У-т 1 т Ут, ^уТ — 7 ^ / тп а/я * т у

^к 5к 5к

К VI х I ( V Л“« V АсоЛ

*ьт - ^ , «шЯ - + 2( йк 2- йк -

пет и \-.к п -к ип ]

'1п=т )п=т '

Яшг= -V. если (Гп = !П И 1п = г) или (г* = т И Л = Г).

к

Подставляя вариации потенциальной энергии в выражение оЭ^=0, получим систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных /л, г=1, 2, . . . , А^л({х1 — совокупность неизвестных обобщенных перемещений ик, 6гй, вук, 6А.Й, +Гтй, _ГШЙ, т— 1,2,..., ±7Йй; /г = 1,2, . . . , А):

И]{Х} + {5}-0. (7)

Система уравнений (7) нелинейна, поскольку в коэффициенты а/у- матрицы жесткости конструкции [Л] входят редукционные коэффициенты, зависящие от неизвестных {/].

2. Решение уравнений. Представим матрицу жесткости [Л] конструкции в виде [Л ] = [Л(0)] + [ДА] ([А<0)] построена в предположении о линейной связи между напряжениями и деформациями). Если нелинейность соотношений (4) незначительна, т. е. редукционные коэффициенты в большинстве своем незначительно отличаются от единицы, то решение системы нелинейных алгебраических уравнений (7) может быть получено при помощи метода упругих решений, который заключается в последовательном решении матричных уравнений |Л(П)] {Х(У)}=— [В] ~([Л(У)] — [А(°>1){х(/-1)} методом исключений Гаусса; здесь У—порядковый номер итерации. Сходимость {х<У)} к решению контролируется по относительному изменению напряженного состояния конструкции.

Если расчетная нагрузка С^р вызывает существенно нелинейное поведение конструкции, метод упругих решений становится неэффективным. В этом случае более надежным можно считать метод последовательных нагружений, заключающийся в следующем.

Представим внешнюю нагрузку Мг, М , Мх, Р) в виде

<3 = х(3р (0 < 1 — параметр нагружения). Определим X = /.<0) такое,

что под действием нагрузки О, <3(0) = х<0) *3р конструкция испытывает линейные деформации, а при Х^>Х(0) хотя бы в одном элементе конструкции нарушается линейная связь между деформациями и напряжениями. Для этого вычислим напряженное состояние конструкции при Х = Х<^(0) (^<1), затем определим Х(0> из системы неравенств (используем линейную зависимость напряжений от нагрузки и формулы для редукционных коэффициентов 13]):

Х« х<»> »о\ „ . Ш°У, . '2 42 , ,« ><0> и ,« .

*т ) I ~к ) т ~к > т (а° ~Ь 3 (т„) < (опц)оп, -Т-от<(апЦ)т,

/1 = 1, 2, ...,±л/к; т— 1, 2, . . . , ±МК; к = 2, 3, . . . , Ъ,

где сто п, — критические напряжения чистого сжатия и чистого сдвига панели п отсека & соответственно.

Задаваясь приращениями Д).(7) параметра нагружения ()У*= Х(/_1)4-+ ДХ(У)), решая последовательно матричные уравнения [Л(У-1)] {у(У)} 4-4-{В{=0 (У = 1, 2, . . . ), определяем напряженное состояние конструкции последовательно при нагрузках (3(У) = При (3(7) =

(Г\

= (2р =1) задача решается методом упругих решений. На каж-

дой итерации метода последовательных нагружений можно решать задачу методом упругих решений.

3. Пример расчета. В качестве примера рассмотрим расчет цилиндрической каркасированной оболочки кругового сечения с вырезом, нагруженной крутящим моментом. В качестве характерного

N° узлов ->• .

П 15 НП71д 19 20 21 22 23 24- 25

Рис. 2

Ж? шпангоутов

М 1+20

-г —

Номера стрингеров

Узлы 1+8,18 +25 Узлы 3+11

20 21 22 23 24 25 2£ 21 26 29 М- шпангоутов

N - шпангиути!

напряжения используем а = Е — 0,72-10® кгс/см2, в качестве харак-

Л

терного размера — радиус сечения оболочки /? = /?= 40,4 см. Обшивка толщиной 8=0,12 см равномерно подкреплена 20-ю шпангоутами и 32-мя стрингерами с площадью сечения /^ = 0,943 см2 (стрингер № 9 имеет /7С—- 1,188 см2, стрингер № 13 — /=,с= 1,46 см3).

Разбиение оболочки на конечные элементы показано на рис. 1. Под действием нагрузки Мх= Ю5 кгс-см конструкция деформируется линейно, что позволяет произвести сравнение эпюр нормальных (рис. 2) и касательных (рис. 3) напряжений и углов поворота сечений (рис. 4) с данными эксперимента [5].

При возрастании внешней нагрузки до Мх = 6,0- 10Г| кгс-см поведение конструкции становится нелинейным. На рис. 5 и 6 проводится сравнение результатов расчета конструкции в линейкой

(пунктир) и нелинейной постановках. Заметное различие между результатами этих двух расчетов позволяет сделать вывод о необходимости учета при практических расчетах нелинейного поведения конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рудых Г. Н. Прочность цилиндрической авиационной оболочки в области длинного выреза. Труды ЦАГИ, вып. 732, 1959.

2. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, колебания), М.— Л., 1940.

3. У м а и с к и й А. А. Строительная механика самолета. М., „Оборонгиз*, 1961.

4. Ф о м и н В. П. Метод и универсальная программа расчета отсеков фюзеляжа произвольной формы. Труды ЦАГИ, вып. 1841, 1977.

5. X л е б у т и н И. В. Экспериментальное исследование напряжений и деформаций при кручении цилиндрической каркасированной оболочки с прямоугольным вырезом. Труды ЦАГИ, вып. 816, 1961.

Рукопись поступила 18\ХП 1978 г.