РАСЧЕТ ЦИФРОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ ЗАТУХАНИЯ СВОБОДНОГО ПРОЦЕССА. Ч. II. ВРЕМЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА, БОЛЬШЕЕ МИНИМАЛЬНОГО Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

DOI: 10.17586/0021-3454-2020-63-9-794-802

РАСЧЕТ ЦИФРОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ ЗАТУХАНИЯ СВОБОДНОГО ПРОЦЕССА. Ч. II. ВРЕМЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА, БОЛЬШЕЕ МИНИМАЛЬНОГО

А. М. Коновалов, А. И. Коршунов

Военно-морской политехнический институт ВУНЦВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова",

198514, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]

Рассмотрены два способа выбора передаточной функции дискретного корректирующего фильтра (ДКУ). При более простом способе существенно уменьшается управляющее воздействие, но при этом увеличивается скоростная ошибка. Более сложный способ выбора ДКУ позволяет сохранить скоростную ошибку, как и для минимального времени затухания свободного процесса, но при менее существенном уменьшении управляющего воздействия и небольшом перерегулировании при отработке скачка. Приведен пример расчета ЦСС. Проведено численное моделирование рассчитанной ЦСС в системе Ма1ЬаЬ при отработке линейно возрастающего и скачкообразного задающего воздействия. Результаты моделирования совпали с расчетными.

Ключевые слова: цифровая следящая система, затухание свободного процесса, большее минимального конечное время

Введение. В работе [1] предложен метод расчета линеаризованной модели ЦСС, позволяющий с помощью дискретного корректирующего устройства (ДКУ) получить в ней минимальное время полного затухания свободного процесса [2—5] при скоростной ошибке, не превышающей допустимое значение.

При высоких требованиях к точности ЦСС вследствие пропорциональности 9к периоду

дискретизации Т следует выбирать малое значение Т. Время затухания свободного процесса в линейной зоне оказывается при этом очень малым. В рассмотренном в [1] примере при

_3

0кдоп = 0,15°, Одоп = 30 °/с выбрано Т=2,5-10 с, при п=3 время полного затухания свободного процесса пТ = 3 - 2,5 -10_3 = 7,5 мс. Это во многих случаях много меньше требуемого для электромеханических ЦСС. Малое время затухания свободного процесса требует больших управляющих воздействий, что сужает линейную зону системы.

Увеличение времени полного затухания свободного процесса в пределах допустимого требует меньших управляющих воздействий и расширяет линейную зону системы.

Увеличение времени полного затухания свободного процесса. Увеличим порядок желаемой передаточной функции замкнутой ЦСС до значения т > п, п — порядок исходной ЦСС без дискретной коррекции. Время полного затухания свободного процесса при этом составит т периодов дискретизации Т.

Передаточная функция дискретного корректирующего устройства определяется выражением

(1)

-1 2 -1 №т

гда Ст-1(2) = Ет-1гт + - + ^ + go, Ст-1(2) = 1, 2) =-2

2-1 г " р

{№ыч( Р)} = к

2) Оп (г)

Ри_12и-1 +... + р12 + во ф НЧ

¿и — дискретная передаточная функция НЧ, 2{...} — символ

(2 - 1)(2 - 4)...(2 - ёп-1)

2-преобразования, 4=ехр(-Т/Т').

Из соображений грубости системы и простоты П(2) примем

п-1

Ст-1(Г) = КЯп-1( 2)^т-п (2), К^-^) = X Р^',

где

'=о

п-1

Рт-п (2) =£ ^, Рт-п (1) = X ^ = 1/ X Р'. '=0 '=0 '=0 Передаточная функция ДКУ при этом имеет вид:

Б( 2 ) =

(2) • Оп (2)_ 0т-1(2)

т

бт-1(2) = Рт-п (2Х?п-1(2Х

(2)

(3)

(4)

- Ст-1(2) $т-1(2У

где 0,-1 = Оп (2)/(2 - 1) = (2 - 4) - (2 - 4,-1), $т-1 (2) = (^ - От-1 (2))/(2 - 1) = +

+^-2^ 2 + ... + Ь2 + 50 = = .1 + % ^2 = g2 + 51,—, !}т-1 = §т-1 + ^-2 = 1.

Индексы в обозначениях 0„, 0п-1, 0т-1 представляют собой степени соответствующих полиномов. Степени числителя и знаменателя П(2) равны т -1, что не противоречит физической реализуемости. По сравнению с рассмотренным в [1] случаем порядок П(2) возрос на (т-п) единиц. Как и в [1], все полюсы №Ыч( 2), кроме единичного, компенсируются, а все нули сохраняются.

Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы имеет вид:

1

Ст-1( 2 )

Жпгг(2) = —л №цсс1(2), №цсс1(2) = ■

Ц 2 -1 $т -1( 2)

Несложно показать, что:

т С (1)

$т-1 (1) = X '§т-г, №цга(2) = = 1/ X §т-г .

(5)

(6)

1=1 $т -1(1) '=1

Для получения выражения коэффициентов полинома Ст-1(2) (Ст-1(2)=

= КЯп2)Рт-п (2)) умножим в столбик полиномы КЯп2) и Рт-п (2) и положим 2=1. Учитывая коэффициенты суммы $т ^(1), сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами в,. В частном случае п = 3, т = 6, т-п = 3 с учетом формулы (1) получаем: -1 (1) = Р2 (/в + 2 /2 + 3 /1 + 4 /о) + Р1 (2 / + 3 /2 + 4 /1 + 5 /о) + + Ро(^./3 + 4/2 + 5/1 + 6/о) = Р2С/3 + /2 + /1 + /о) + Р2С/2 + 2/1 + 3/о) + + 2Р1 (/3 + /2 + /1 + /о) + Р1С/2 + 2/1 + 3/о) + 3Ро( /3 + /2 + /1 + /о) +

п-1 п-т п-1

X ('+1)Рп-1-' X /■+Х Р'

_'=о ] г=о '=о

Полученная для частного случая формула (7) справедлива и в общем случае. С учетом формулы (1о) из [1] и (2)—(5) сумму1 (1) можно представить в виде:

+Ро(/2 + 2/1 + 3/о) =

т -п-1

X + ОЛ-п-Ь

'=о

(7)

п—1 п—1 п — 1 т— п—1

(1) = Е (. + 1)Рп—1-г / Е в. в. 2 (' +1)/т—п—1—. = .=0 .=0 1=0 1=0 п—1 т—п—1

= 1/ ^1(1) + Е в. Е (. + 1) /т—п —1—. = 1/ ИЦсоС),

.=0 .=0

где »1(1) = ЕЕ в.■ / 2(/ + 1)в п—1—.. .=0 .=0

Очевидно, что »1(1) совпадает с выражением »Цсс1(1) [1, формула (10)] для исходной

ЦСС со временем затухания, равным порядку НЧ [1]. Из последней формулы непосредственно следует:

п—1 т—п —1

»ЦСС1(1) = »1 (1) / (1 + »1(1)2 вi Е (. + 1)/т—п— 1—.-). (8)

.=0 .=0

Из формулы (8) видна зависимость скоростной ошибки ЦСС

п—1 т—п—1

1 + »1(1) Е в. Е (. + 1)/т—п—1— (9)

7=0 7=0

а QT qT

ек =-=-

от выбора коэффициентов полинома Fn_m (3) . В случае

m-n-1

Е (i +1) fm-n-1-i > 0 (10)

i=0

скоростная ошибка при увеличенном времени затухания свободного процесса больше, чем при минимальном времени затухания. В простейшем случае при

n_1

fi = const = 1/[(m _ n +1) Е P j ] = f (11)

j=0

получаем

»цсс 1 (1) = W (1V[1 + 0,5( m _ n)W (1)]. (12)

Согласно (10) получаем скоростную ошибку QT QT

0к = W-^ = W71r[1 + 0,5(m _ n)W1 (1)] = ек [1 + 0,5(m _ n)W (1)], (13)

Wqcc1(1) W1(1)

QT

где ек = W1(1) совпадает со значением ошибки исходной системы, имеющей длительность

свободного процесса nT.

Пример. Для уменьшения необходимых управляющих воздействий в рассмотренном в примере [1] увеличим время полного затухания свободного процесса с nT=3T до mT=6T.

n-1

Используя рассчитанные в [1] значения Pi, i = 2, 1, 0, получаем f = 1/(m _ n +1)/ Е Рг- =

i=0

= 1/4/7,2529 • 10_6 = 3,4469 • 104 и определяем коэффициенты gi и si:

g5 = Р2f3 = Р2f = 4,324L 10_2, g4 = Pf + P2f2 = (P^tf = 0,209889, g3 = P0f3 + Pf + P2f1 == (P0 + P1+P2)f = 0,25, g2 = P0fj + Pf + P2f) = (P0 + fr+P2)f = 0,25, g1 = P0fx + Pf = CPq + P0f = 0,20676, g0 = P0f0 = P0f = 4,0115•Ю-2,

¿0 = ^ = 4,3241 -10—2, = + & = 0,24687, ¿2 = ^ + ^ = 0,49687, = ¿2 + = 0,77687, ¿4 = ¿3 + = 0,95676, ¿5 = 1. Вычисляя коэффициенты полинома числителя П( г), получаем

5

0т—1 (г) = ^т—п (г)бп (г) = / (г3 + г2 + г + 1)(г2 + а^ + с^ ) = Е Ч ,

.=0

где ч5 = / = 3,4469-104, ч4 = /(1 + а1) = —2,9567-104, ч3 = ч2 = /(1 + а1 + а0) = 1,0030-102,

Ч1 = /(а1 + а0) = —3,4369-104, ч0 = /а0 = 2,9668-104

На рис. 1 представлена цифровая модель линеаризованной ЦСС с увеличенным временем затухания свободного процесса, построенная в системе Ма1ЬаЬ 6.5 Simulink 5 и позволяющая исследовать ЦСС при линейно возрастающем воздействии и при скачке задающего воздействия.

Рис. 1

На рис. 2 и 3 представлены результаты моделирования процессов отработки линейно возрастающего воздействия и скачка задающего воздействия соответственно.

0,6

0,4

0,2

0 -0,2

0 0,004 0,008 0,012 0,016 /, с

1,2

0,8

0,4 0 -0,4

-0,8

0 0,004 0,008 0,012 /, с

Рис. 3

Из рис. 2 видно, что установившийся режим слежения с постоянной скоростью наступает через за шесть периодов дискретности. Скоростная ошибка, определенная в результате

Рис. 2

■ : ■ =±=Г |-- - -

• ^вых(0 Э[У7] ■

$1[У7]/50000

- - -

моделирования, составляет 9к = 0,2615° . Расчетная величина 0к определяется по формуле (13) с учетом вычисленного по формуле (22) [1] значения ^(1) = 0,50633 :

9к = ©К [1 + 0,5(m - n)W1 (1)] = 0,1481- [1 + 0,5(6 - 3)0,50633] = 0,2621°

хорошо согласуется с результатом моделирования.

Эффект уменьшения управляющего воздействия при увеличении времени затухания свободного процесса можно оценить, сравнив максимумы модуля 01. Так, при отработке

скачка задающего воздействия получаем из [1, рис. 4] и рис. 1 max^vJ]| соответственно

2,6105 и 3,5• 104. При отработке линейно возрастающего воздействия из [1, рис. 3] и рис. 2 соответственно получаем 1,1104 и 2,6 103.

Полагая, что при отработке скачка задающего воздействия max|01[vJ]| соответствует

v=0, снизить управляющее воздействие при увеличении времени полного затухания свободного процесса можно следующим образом. Используя передаточную функцию

ф0Дz) = 07Г = (1 -ф(z)) D( z)

1 0(z)

и Z-преобразование единичного скачка задающего воздействия z/(z-1), получаем

01 (z) = (1 - Ф(z))D(z)z / (z -1), 01 [0] = lim 01 (z) = lim (1 - Ф(z))D(z)z / (z -1) = D(ro).

z^ro z^ro>

Для исходной системы согласно формуле (16) [2] получаем при K=1 с-1

/n-1

D(ro) = Dn (ro) = 1 2 ßi,

/ i=0

а для системы с увеличенным временем затухания свободного процесса по формуле (4) с учетом sm-1=1, qm-1 = fm-n получаем:

D(ro) = Dm (ro) = qm-1/sm-1 = fm-n. (14)

При условии (11) выражение (14) принимает вид

" n-1

(m - n +1)2 ßi

_ i=0

В рассмотренных примерах n=3, m=6, Dm (ro) = Dn (ro)/ 4. Моделирование, представленное в [1, рис. 4] и на рис. 3, подтверждает полученный результат и показывает пессимистичность оценки. В действительности max^vJ]| уменьшился не в 4, а в 2,6 -105 /3,5 -104 « 7,4 раза.

Сохранение скоростной ошибки неизменной. Увеличение скоростной ошибки при

m -n

простейшем выборе коэффициентов полинома Fm-n(z) = 2 f^z1, определяемом выражением

i=1

(11), требует усложнить выбор значений коэффициентов f 1=0, 1,..., n-m. Для сохранения скоростной ошибки неизменной необходимо согласно формуле (9) выполнить условие

m-n-1

2 (1 + 1)fm-n-1-i = 0. (16)

i=0

Для рассмотренного примера (n=3, m=6) это условие принимает вид

Ф2 = f2 + 2f1 + 3f0 = 0. (17)

Кроме этого, необходимо выполнить условие (3), принимающее в рассматриваемом случае вид

Ф1 = f3 + f2 + f1 + f0 = 1/(ß2 + ß1 + ß0). (18)

Dm (ro) = fm-n = f = 1

= Dn (ro)/(m - n +1). (15)

Для выбора наилучших значений / необходим критерий оптимальности. Таковым по смыслу решаемой задачи может быть минимум квадратичной функции

т—1

2

V = Е 8.2

(19)

.=0

где 8. — коэффициенты полинома От—1( г) (2).

Выбор критерия основан на известном факте [2]: коэффициенты 8. представляют собой приращения переходной характеристики на интервалах дискретности. В рассматриваемом примере (т=6, п=3):

05( г) = (Р2 г2 + Р1* + Рс)С/3 г 3 + /2 г2 + / г + /0) = = 85г 5 + 8 4 г 4 + 83г 3 + 8 2 г 2 + 81г + g0,

(20)

где 85 = Р2/3,84 = Р2/2 + Р1/3,83 = Р2/1 + Р1/2 + Р0/3, 82 = Р2/0 + Р1/1 + Р0/2, 81 = Р1/0 + Р0/1, 80 = Р0 /0.

Таким образом, оптимальные значения /., .=0, 1, 2, 3, удовлетворяют условиям (17) и (18) и обеспечивают минимум квадратичной функции (20). Для их определения необходимо решить задачу поиска условного экстремума. Воспользовавшись методом множителей Ла-гранжа, исследуем на экстремум функцию

Ф(/0, /1, /2, /3) = V(/0, /1, /2, /3) + /0, /1, /2, /3) + ЧФ2(/0, /1, /2, /3). Совместно с уравнениями (17), (18) получаем систему из шести линейных уравнений относительно /0 — /3, >1, >2 :

Ф1 = /3 + /2 + /1 + /0 + 0 • >1 + 0 • >2 = У(Р2 + Р1 + Р0), Ф2 = 0 • /3 + /2 + 2 • /1 + /0 + 0 • > + 0 • ^2 = 0, 5Ф

— = а3/3 + а2 /2 + а/ + 0 • /0 + >1 + 0 • ^2 = 0,

0/3 5Ф

— = а2 /3 + а3/2 + а2 /1 + а1./0 + >1 + >2 = 0 (21) 0/2

5Ф

— = а1./3 + а2 /2 + а3./1 + а4 /0 + >1 + 2 • >2 = 0 °/1

5Ф

— = 0 • /3 + а^./2 + а2/1 + а3./0 + >1 + 3 • >2 = 0

I о/0

где а3 = Р2 + Р12 + Р2, а2 = Р2Р1 + Р1Р0, а = Р2Р0, а4 = Р1Р0.

Решив систему линейных уравнений (21), вычисляем коэффициенты передаточной функции ДКУ Б( г) (4):

Qm—l(г) = Рт —п (г)0п—1(г)|т=6 п=3 = (/3г3 + /2г2 + /г + /0 )(г2 + а^ + а0) =

1т=6, п=3

5 4 3 2 = ч5 г + Ч4 г + Ч3 г + Ч2 г + д1г + Ч0,

(22)

где

Ч5 = /3, Ч4 = /2 + а1/3^ Ч3 = /1 + а1/2 + а0/3, Ч2 = /0 + а1./1 + а0/2, Ч = а1./0 + а0^ Ч0 = а0./0»

Sm—1( г) = ¿5 г 5 + ¿4 г 4 + ¿3 г 3 + ¿2 г2 + ¿1г + ¿0,

¿0 = 8o, ¿1 = 81 + ¿0, ¿2 = 82 + ¿Ь ¿3 = 83 + ¿2, ¿4 = 84 + ^ ¿5 =1. В результате вычислений получена передаточная функция ДКУ ЦСС

Б( г) =

(11,682г5 - 19,792г4+8,9982г3 -5,2881г2 + 6,4190г -1,9794)• 104 г5 + 0,85344г4+0,26469г3 + 0,0050477г2 - 0,10892г - 0,026764

(24)

На рис. 4 представлен процесс отработки линейно возрастающего воздействия ( 0 = 30°/с) рассматриваемой в примере ЦСС при рассчитанном ДКУ (24). Сравнение с аналогичным процессом в ЦСС при минимальном времени переходного процесса [1, рис. 3]

неизменной скоростной ошибки и уменьшение

показывает

сохранение тах|б1[уГ] примерно в 2,1/1,7 = 1,24 раза.

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2 0

3вх(0

$1[У7]/50000 &вых(0

0,004

0,012

0,016 /, с

0,008 Рис. 4

Результаты моделирования процесса отработки единичного скачка представлены на

рис. 5.

1,0

0,5

-0,5

-1,0 ,

^вых(0

Эвх(0

Му7]/200000

0,016 и с

0,004 0,008 0,012

Рис. 5

Сравнение с аналогичным процессом в ЦСС с минимальным временем переходного процесса [1, рис. 4] показывает уменьшение тах|б1[уГ] примерно в1,3 /1 = 1,3 раза. При этом

появляется небольшое перерегулирование порядка 10 %.

Выводы

1. При высокой частоте дискретизации время полного затухания свободного процесса оказывается очень малым. Это требует больших управляющих воздействий и сужает линейную зону системы.

2. Увеличение времени полного затухания свободного процесса сверх минимального позволяет уменьшить величину управляющего воздействия, но повышает порядок дискретного корректирующего устройства и при простейшем способе его выбора увеличивает скоростную ошибку.

3. При более сложном способе выбора дискретного корректирующего устройства удается избежать увеличения скоростной ошибки, но уменьшение управляющего воздействия существенно снижается и появляется небольшое перерегулирование. Выбор другого критерия

0

оптимальности при определении коэффициентов f теоретически может улучшить свойства системы.

список литературы

1. Коновалов А. М., Коршунов А. И. Расчет цифровой следящей системы с конечным временем затухания свободного процесса. Ч. I. Минимальное время переходного процесса // Изв. вузов. Приборостроение. 2020. Т. 63, № 9. С 786—793.

2. Коршунов А. И. Цифровая следящая система с конечным временем затухания свободного процесса // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 12. С. 1078—1086.

3. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 541 с.

4. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. 567 с.

5. Шипилло В. П. Операторно-рекуррентный метод расчета электрических цепей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1991. 311 с.

Сведения об авторах

Артем Михайлович Коновалов — курсант; Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ

„Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова", факультет систем автоматизации управления

Анатолий Иванович Коршунов — д-р техн. наук, профессор; Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ „Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова", кафедра радиоэлектроники; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 28.12.2019 г.

Ссылка для цитирования: Коновалов А. М., Коршунов А. И. Расчет цифровой следящей системы с конечным временем затухания свободного процесса. Ч. II. Время переходного процесса, большее минимального // Изв. вузов. Приборостроение. 2020. Т. 63, № 9. С. 794—802.

CALCULATION OF A DIGITAL TRACKING SYSTEM WITH A FINITE DECAY TIME OF A FREE PROCESS.

PART II. TRANSITION TIME EXCEEDING MINIMUM

A. M. Konovalov, A. I. Korshunov

Naval Polytechnic Institute of Military educational and scientific center of the Navy "Naval Academy named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N. G. Kuznetsov",

198514, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]

Two methods for selecting the transfer function of a discrete correction filter are considered. With a simpler method, the control effect is significantly reduced, but the speed error increases. A more complex method of correction filter selection enables the speed error retention, as in the case of minimum damping time of the free process, but with a less significant reduction in the control effect and a small overshoot when working out the jump. An example of digital tracking system calculating is given. Numerical simulation of the calculated CSR in the MatLab system is performed for linearly increasing and stepwise reference signals. The simulation data are reported to coincide with the calculated results.

Keywords: digital tracking system, free process decay, transition time exceeding minimum

REFERENCES

1. Konovalov A.M., Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2020, no. 9(63), pp. 786-793. (in Russ.)

2. Korshunov A.I. Journal of Instrument Engineering, 2019, no. 12(62), pp. 1078-1086. (in Russ.)

3. Isermann R. Digital control systems, Berlin etc., 1981.

4. Jury E.J. Sampled-data control systems, NY, Wiley, London, Chapmen and Hall, 1958.

5. Shipillo V.P. Operatorno-rekurrentnyy metod rascheta elektricheskikh tsepey i sistem (Operator-Recurrence Method for Calculating Electrical Circuits and Systems), Moscow, 1991, 311 p. (in Russ.)

Data on authors

Artyom M. Konovalov — Military Student; Naval Polytechnic Institute of Military educational

and scientific center of the Navy "Naval Academy named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N.G. Kuznetsov", Faculty of Control Systems Automation Anatoly E. Korshunov — Dr. Sci., Professor, Naval Polytechnic Institute of Military educa-

tional and scientific center of the Navy "Naval Academy named after Admiral of the Fleet of the Soviet Union N.G. Kuznetsov", Department of Radio Electronics; E-mail: [email protected]

For citation: Konovalov A. M., Korshunov A. I. Calculation of a digital tracking system with a finite decay time of a free process. Part II. Transition time exceeding minimum. Journal of Instrument Engineering. 2020. Vol. 63, N 9. P. 794—802 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2020-63-9-794-802