CC BY
11УДК 624.011
РАСЧЕТ ТРЕУГОЛЬНЫХ ОБШИВОК МНОГОГРАННЫХ СЕТЧАТЫХ КУПОЛОВ Скуратов С.В., Скидан А.А., Кеворков А.Э.
Донской государственный технический университет (ДГТУ), 344000, ЮФО, Ростовская область, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, artemkevorkov@mail;. rukaf_mdipk@mail; .ruanton_skid@mail.ru
Аннотация: Рассматриваются пространственные решетчатые конструкции, образующие на поверхности сетчатую систему. Односетчатые покрытия сферической формы представляют в виде ребристых, ребристо-кольцевых и сетчатых куполов. Проектируют купола на основе сеток с треугольными ячейками. В качестве конструкционного материала используют древесину и материалы на ее основе. Изучается опыт современного строительства пространственных покрытий в форме сетчатых куполов. Приводится построение пространственных точечных решеток икосаэдрального типа в форме 80-, 320- и 1280-гранников. Определяются типоразмеры стержней и треугольников, составляющих сферическую поверхность купола. Рассматривается конструкция треугольной панели многогранного сетчатого купола с обшивкой в виде ортотропной фанерной пластинки. Используется дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки для определения ее прогибов. Применены зависимости перехода от декартовой к треугольной системе координат. К рассмотрению принимается частный случай обшивки клеевой фанерной панели в виде равносторонней треугольной пластинки. Исследуется случай обшивки из березовой строительной фанеры, приведены значения упругих характеристик фанеры марки ФСФ. Записывается основное уравнение задачи об изгибе ортотропной пластинки в форме равностороннего треугольника с использованием метода конечных разностей. Изображается схема нанесенной на пластинку треугольной сетки, разделяющей пластинку на 144 треугольных ячейки. Получена система уравнений для внутренних точек при условии жесткого ее защемления на контуре. Решение системы уравнений реализуется выражением для прогиба центральной точки ортотропной пластинки в форме равностороннего треугольника, жестко защемленной по контуру, полученного в работах других авторов. Выполнено сравнение полученного результата с известными решениями. Сделан вывод о достаточности разбиения поверхности пластинки на 144 треугольных ячейки. Предложено для достижения более точного результата использовать сетку с разделением на 324 ячейки.
Ключевые слова: Купол, фанера, обшивка, ортотропный, сетка, метод конечных разностей.
ВВЕДЕНИЕ
В практике современного строительства наибольшее распространение получили решетчатые пространственные конструкции, образующие на поверхности сетчатую систему. Однослойные конструкции имеют криволинейную сетчатую поверхность и называются односетчатыми. Двухслойные конструкции имеют две параллельные сетчатые поверхности, соединенные между собой жесткими решетчатыми связями, они получили название - двухсетчатые. Одной из эффективных форм пространственных конструкций являются односетчатые купольные покрытия сферической формы, представляемые в виде ребристых, ребристо-кольцевых и сетчатых куполов из металла и древесины.
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ
Мировой опыт проектирования и строительства показывает, что в настоящее время сетчатые купола проектируются преимущественно на основе сеток с треугольными ячейками и их разновидностями. Отечественный и зарубежный опыт куполостроения подтверждает рациональность использования односетчатых купольных покрытий сферической формы из древесины и материалов на её основе [15].
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Различают два метода построения схем сетчатой поверхности. В первом методе основой построения является плоская сеть, проецируемая на поверхность купола. Второй метод построения основан на последовательном членении вписанных в сферу правильных многогранников [1].
При построении конструктивных сетей многогранных куполов широкое применение получили пространственные точечные решётки икосаэдрального типа [3]. В работе [7] приведены результаты геометрических построений стрежневых систем в форме 80-, 320- и 1280-гранников, полученных в результате применения способа дублирования к исходному многограннику - икосаэдру, которые могут быть приняты за основу формообразования поверхности подъемистых, непологих полусферических куполов с плоским опорным контуром. Так, полуправильный 320-гранник характеризуется пятью типоразмерами стержней и шестью типоразмерами треугольников, составляющих сферическую поверхность купола [1].
Конструкции сборных многогранных куполов с применением древесных материалов состоят из отдельных панелей треугольного очертания, в качестве обшивок которых используется листовая строительная фанера. При выполнении раскроя фанерных листов возможны случаи различной ориентации волокон наружных шпонов по
отношению к контурным ребрам панели. Применяются также схемы раскроя,при которых волокна совпадают с направлением одной из сторон панели. При проектировании купольных покрытий рассматриваемого типа возникает необходимость расчета таких фанерных обшивок на поперечный изгиб от действия местной нагрузки. В этой связи представляет интерес задача об изгибе треугольной ортотропной пластинки.
Для определения упругих прогибов м рассмотрим ортотропную фанерную пластинку в форме косоугольного треугольника,
расположенную относительно координатных осей.как показано на рис. 1.
где Ех и Ev
модули упругости , соответствующие
направлениям 1 и 2; t - толщина пластинки; уху уух - коэффициенты Пуассона; вху - модуль упругости при сдвиге.
Уравнение (1) можно записать, использовав треугольную систему координат. Положение точки на плоскости может быть определено тремя координатами £ С, П Пусть при этом ось О^ совмещается с осью ОХ, а каждая из двух других осей О^ и Оп составляют с осью ОХ соответственно углы а и р (рис. 2.).
Рис.1. Ортотропная треугольная пластина Fig. 1. Orthotropictriangularplate
Необходимо также отметить, что оси упругой симметрии материала 1 и 2 совпадают с направлениями соответственно осей ОХ и ОУ. Соединение фанерной обшивки с ребрами каркаса панели позволяет считать условия на контуре соответствующими жесткому защемлению. Фанерная пластинка подвергается действию равномерно распределенной нагрузки
интенсивностью q, действующей перпендикулярно плоскости XOy.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Уравнение изогнутой поверхности пластинки имеет вид [9]:
Рис. 2. Треугольная система координат Fig. 2. Triangularcoordinatesystem
Уравнения перехода от декартовой треугольной системе координат имеют вид:
x = % + Z cos а + п cos ß,
y = Z sin а + п sin ß. Подставляя в уравнение (1) вместо
d4u> d4u> d4u>
(2)
dx4 ' dy4 ' dx2dy2
их выражения через производные в треугольной системе координат, получим следующее дифференциальное уравнение: 01 + 02ад2а • ад2р + 203ада • адР) ^ +
+D-
COS2 ß
sin2a-sin2(ß-a) d
+ d2
df4 d4w
-2(D2ctga-ctgß+D3)~
sin2 ß-sin2(ß-a) d^4 cosß d4w ^
sinasin(ß-a) d^2ä(2 cosa d4w
+2(D2ctga ■ ctgß +D3)- a . ra 2
2 u 3 sinß sm(ß-a) d(2dy2
_ d4w _ d4w „,~ __ , d4w
Dl —7+D2 —- + 2(vvxD1 + 2Dk) —;— = q.
1 dx4 2 dy4 У ю dx2dy 4
(1)
-2D-
ctgactgß d4u>
i--
2 sln2(ß-a) d^d-q2
= q .
(3)
Здесь жесткости изгиба и кручения для главных направлений упругости записываются так:
D, =
1 12(1-vXyVyX) '
и2 =■
12(1-vxyvyx) '
D3 = vyxDi +2Dk ' Dk = —
GXyt 12
Необходимо отметить, что в состав купольных покрытий, конструктивная сеть которых соответствует решеткам икосаэдрального типа, наряду с панелями в форме косоугольных треугольников входят панели с равновеликими сторонами. Этот частный случай панелей в форме равностороннего треугольника важен в практических приложениях для расчета элементов многогранных куполов. В этом случае обшивки
к
cus и
Eyt3
х
панелей выполняются в виде равносторонней треугольной пластинки, для которой а = 60о, р = 120о, и уравнение (3) в этом случае перепишется так:
, \ 9
Гг. d*^ d4w \ 9
(4)
В соответствии с приведенной на рис. 3 нумерацией узлов введем для производных по новым переменным ^, ^ их центральные конечные
разности.
Рис. 3. Схема нумерации узлов Fig. 3. Nodenumberingscheme
Обозначив =
Дз/ = d
21' /Д = "3
'
уравнение задачи запишем в таком виде:
основное
6(9 + 9d21 + 10d31)w0 - 4(9 - 5d21 + 6d31)(w1 + w4) - 4(7d21 + 3d31)(w2 + w3 + w5 + w6) + +8d21(w8 + w11) - 4(d21 - 3d31)(w7 + w9+w10 + +W12) + (9 + ¿21 - 6¿3l)(Wl3 + Wi6) + 4¿2l(Wi4 +
q^4
+W15 + W17 + +W18)=9— .
(5)
Используя значения упругих характеристик семислойной клееной березовой фанеры марки ФСФ [10] Ех=9000 МПА, £^=6000 МПА, Сжу =750 МПА, уху =0,085, ууж=0,065 при С =8 мм, а=1400 мм находим: =386,1 Нм, Д2 =257,4 Нм, =89,1 Нм, £к=32,0 Нм, й21=0,67, ^31=0,23.
Тогда основное уравнение задачи об изгибе ортотропной пластинки в форме равностороннего треугольника получает вид:
103,84м0 - 28,205^ + ю4) - 21,436(ю2 + + + м6) + 5,333(м8 + м1:1) + 0Д02(м7 + м9 + +м10 + и^12) + 8,282(м13 + м16) + 2,667(м14 + +м15 +
W17 +W1B)=9-
(6)
Нанесем на пластинку треугольную сетку, разделяющую ее на 144 треугольных ячейки таким образом, что ^=аД2 (рис. 4).
Рис. 4. Схема треугольной сетки пластинки Fig. 4. Scheme of a triangular mesh plate
Здесь a-длина стороны пластинки. Применяя уравнение (6) последовательно ко всем внутренним точкам пластинки и принимая во внимание условие жесткого защемления ее на контуре, получаем систему линейных уравнений, решение которой для центра пластинки дает
w0 = 0,000314^* . (7)
ВЫВОДЫ
Для сравнения в нижеследующей таблице приведены полученные различными авторами значения числового коэффициента в формуле для определения величины упругого прогиба центральной точки ортотропной пластинки в форме равностороннего треугольника, жестко
защемленной по контуру.
Таблица 1.
Table 1.
С.Г. Лехницкий [11] А.А. Журавлев [6] МКР
W0D1 да4 0,000234 0,000242 0,000314
Сравнение приведенных значений позволяет сделать вывод о том, что выбранное число делений пластинки уже дает в рассматриваемом случае достаточную для практического применения точность. В целях достижения более точного результата при выполнении расчета по МКР необходимо накрывать пластинку более густой сеткой, имеющей большее число треугольных ячеек. При этом следует соблюдать требование расположения центрального узла сетки на поверхности пластинки, совпадающего с ее центром. Такая сеть может быть получена в результате разделения пластинки на 324 треугольных ячейки, при этом д.
и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Металлические конструкции. Справочник проектировщика/Под редакцией Н.П. Мельникова-М.: Стройиздат, 1980. - 776с.
2. Мельников Н.П. Металлические конструкции: Современное состояние и перспективы развития-М.: Стройиздат, 1983. - 543с.
3. Журавлев А.А. Купольные покрытия из дерева и пластмасс. Спецкурс. -Ростов-на-Дону: Рост. инж. строит. ин-т, 1983. - 102с.
4. Журавлев А.А., Муро Г.Э., Кимсуор Лонг, Журавлев Ан.А. Стержневые конструкции многогранных куполов. - Ростов-на-Дону: РИЦ РГСУ, 2007. - 318с.
5. Makowski Z.S. Analysis, design and construction of braced domes. - London a.o.: Granada, 1984. - 701p., ill.
6. Журавлев А.А. Прочность и устойчивость пологих многогранных куполов из дерева и пластмасс. Дис. докт. техн. наук. - Ростов-на-Дону, 1987. - 335с.
7. Скуратов С.В. Теоретические основы расчета и проектирования деревянных конструкций непологих многогранных куполов. Дис. канд. техн. наук. - Ростов-на-Дону, 1990. - 168с.
8. Евтушенко А.И., Самсонова А.Н., Скуратов С.В. Формообразование конструктивных сетей многогранных непологих куполов. Инженерный вестник Дона. Т.44, №1(44), 2017. - с.115.
9. Кисилев В.А. Расчет пластин. - М.: Стройиздат, 1973. - 151с.
10. СП 64.13330.2017. Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-25-80. - М.:
Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ, 2017. - 102с.
11. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1957. - 463с.
REFERENCES
1. Metal constructions. Designer's Handbook / Under the editorship of N.P. Melnikova-M.: Stroyizdat, 1980. - 776p.
2. Melnikov N.P. Metallic structures: The current state-of-the-art and development prospects-M.: Stroyizdat, 1983. -543p.
3. Zhuravlev A.A. Dome coverings of wood and plastics. Special course. -Rostov-on-Don: Growth. Ing. builds Inst., 1983. - 102p.
4. Zhuravlev A.A., Muro G.E., Kimsuor Long, Zhuravlev An.A. Rod constructions of multifaceted domes. -Rostov-on-Don: RIC RSCU, 2007. - 318p.
5. Makowski Z.S. Analysis, design and construction of braced domes. - London a.o.: Granada, 1984. - 701p., ill.
6. Zhuravlev A.A. Durability and stability of shallow polyhedral domes made of wood and plastics. Dis. Dr. tech. sciences. - Rostov-on-Don, 1987. - 335p.
7. Skuratov S.V. Theoretical bases of calculation and design of wooden structures of nepolyh many-sided domes. Dis. Cand. tech. sciences. - Rostov-on-Don, 1990. - 168p.
8. Evtushenko A.I., Samsonov A.N., Skuratov S.V. The formation of constructive networks of multifaceted nepolyh domes. Engineering herald Don. T.44, N»1 (44), 2017. - p.115.
9. Kiselev V.A. Plate calculation. - M .: Stroyizdat, 1973.
- 151p.
10. SP 64.13330.2017. Wooden structures. Updated version of SNiP II-25-80. - M .: Ministry of Construction and Municipal Economy, 2017. - 102p.
11. Lekhnitsky S.G. Anisotropic plates. - M .: State. publishing house of technical and theoretical literature, 1957.
- 463p.
CALCULATION OF THE TRIANGULAR COVERS OF MULTIPLE RETAINED DOMES
Skuratov S.V, Skidan A.A, Kevorkov A.E.
Summary: Spatial lattice structures that form a mesh system on the surface are considered.Spherical single-mesh coatings are in the form of ribbed, ribbed-annular and mesh domes.Domes are designed on the basis of triangular mesh grids.Constructive materials are wood and materials based on it.The experience of modern construction of spatial coatings in the form of mesh domes is being studied.The construction of spatial point lattices of the icosahedral type in the form of 80, 320, and 1280 facets is given.The sizes of rods and triangles that make up the spherical surface of the dome are determined.The construction of a triangular panel of a multi-faceted net dome with a covering in the form of an orthotropic plywood plate is considered.The differential equation of the curved surface of the plate is used to determine its deflections. The dependences of the transition from the Cartesian to the triangular coordinate system are used.A special case of sheating of glue plywood panel in the form of an equilateral triangular plate is considered.The case of covering from birch construction plywood is investigated, the values of the elastic characteristics of plywood with increased moisture resistance are given. The basic equation of the problem of bending an orthotropic plate in the shape of an equilateral triangle using the finite difference method is written.A diagram of a triangular mesh applied to the plate which dividing the plate into 144 triangular cells is being displayed.The system of equations for interior points was obtained under the condition of its pinching on the contour. The solution of the system of equations is implemented by the expression for the deflection of the central point of an orthotropic plate in the form of an equilateral triangle, rigidly clamped along the contour obtained in the works of other authors. Comparison of the result obtained with known solutions.It is concluded that the plate surface is sufficiently to divide into 144 triangular cells.It is proposed to use a grid divided into 324 cells to achieve a more accurate result. Key words: Dome, plywood, trim, orthotropic, mesh, finite difference method.
