CC BY
18
Известия ТулГУ. Технические науки. 2021. Вып. 7 УДК 623.466.33; 681.51/.53 501:70.24412/2071-6168-2021-7-70-79"
РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА К ПОВЕРХНОСТИ АЭРОБАЛЛИСТИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В СЛУЧАЕ БОЛЬШОЙ СКОРОСТИ ПОЛЕТА
Е.В. Шевцова
Исследуется взаимодействие поверхности аэробаллистического летательного аппарата с набегающим газом для определения зависимости теплового потока от числа Маха М и других параметров его полета, которые получены на основании модели, когда газ находится в состоянии локального термодинамического равновесия. Разработанная модель описывает динамику большого числа материальных частиц, основой модели служит кинетическое уравнение для функции распределения. В условиях локального термодинамического равновесия предложенная модель применима к любой точке поверхности летательного аппарата и в любой момент времени ^
Ключевые слова: тепловой поток, параметры полета, функция распределения, термодинамическое равновесие.
Задача определения газодинамических и тепловых нагрузок при полете аэробаллистического летательного аппарата с большими скоростями является сложной и многопараметрической [1,2].
Для большинства аэробаллистических летательных аппаратов, полет которых проходит в плотных слоях атмосферы в случае полета со скоростью М>3, тепловой поток принимает большие значения и зависит от числа Маха, числа Рейнольдса, температуры внешнего потока воздуха, температуры поверхности аэробаллистического летательного аппарата, угла атаки, состояния равновесия газового потока, условий отражения газового потока от поверхности и т.д. [3].
При значениях числа Маха больше 3, воздух перестает подчиняться законам термодинамики совершенного газа и считается реальным химически активным, многокомпонентным газом, при этом его состав изменяется с высотой Н (таблица). Поэтому становится невозможным использование модели совершенного газа, так как в нем происходят реакции диссоциации и рекомбинации, это приводит к необходимости решения уравнения Максвелла [4].
В воздушной атмосфере модели пятикомпонентной смеси реализуются 17 химических реакций [4,5]. Пятикомпонентная смесь [4] включает в себя две обменные реакции: N0 + О ^ 02 + Ы2 + 0 ^ N0 + N и три реакции диссоциации: Ы2 +1 ^ 2Ы + 2; 02 +1 ^20 +1; N0 + N + О + 2. Под 2 понимается любая из частиц, присутствующая в смеси.
В общем случае для химических реакций константа скорости реакций определяется экспериментально. Для приближенного описания кинетического процесса разделение реакций не производят. Для всех присутствующих в смеси частиц вводят обобщенный коэффициент скорости реакции.
Изменение параметров атмосферы с высотой
Высота, км; Давление, кгс/см2 Температура, ° С Концентрация частиц, 3 см Состав воздуха
0 1 +15 2,5 • 1018 N2, 02, Аг
11 0,2 -56 4,5 • 1018 N2, О2(Оэ), Аг
20 5 • 10-2 -56 2 • 1018 То же
30 10-3 -42 4 • 1017 »
46 10-4 0 3 • 1016 »
64 10-5 -33 1015 N2, О2, Аг
79 10-6 -85 1014 То же
102 10-8 -60 1012 N2, 02, О
200 10-10 +630 1010 N2, N О, О+
800 10-13 +3040 106 О, О+, Н
6500 10-16 103 - 104 103 Н, Н+
Выше 22 000 10-17 103 - 105 101 - 102 Н+, Не++
Скорости обратных реакций определяются из констант скоростей прямых реакций и константы равновесия соответствующей реакции, которая рассчитывается из общих термодинамических соотношений для равновесного состояния.
Для применения к малым элементам объёма газа законов термодинамики и законов статистической физики [6], без учета поверхностных эффектов число частиц (молекул, атомов, ионов) в элементах объёма должно быть порядка десять в девятой степени и более (высота полета до 200 км (см. таблицу).
Возможность учесть все вышеперечисленные эффекты появляется при использовании модели, основанной на статистическом состоянии частиц воздуха, находящихся в состоянии локального термодинамического равновесия (ЛТР) [4,6]. В условиях ЛТР задача существенно упрощается и сводится к составлению и решению дифферециальных уравнений Максвелла, термодинамики, диффузии и т.д.
Вводится статистическое вероятностное описание состояния множества частиц воздуха с помощью функции распределения f(r,v,t), где"г,т; - радиус-вектор положения частицы и скорость частицы в данной точке соответственно.
Адекватность построения такой модели следует из того, что из уравнений для моментов функции распределения f{f,v,t) выводится цепочка аэродинамических уравнений газа, состоящей из уравнения неразрывности, трех уравнений движения и уравнения энергии [4].
Изложим модель ЛТР, основой которой будет служить кинетическое уравнение для функции распределения.
В пространстве х, у, 2 находится «газ» - большое число материальных частиц (молекул, атомов, электронов, ионов), свободно движущихся в промежутках между взаимными «столкновениями». Если известны координаты и скорости любой частицы как функции времени, то полностью известны основные характеристики рассматриваемого ансамбля частиц, которые определяются начальным состоянием каждой частицы, характером взаимодействия между ними, а также действующими на них внешними силами.
Задавая в момент ? = 0 положение и скорости частиц и зная все действующие на них силы, можно в принципе решить основную задачу механики для рассматриваемой системы (имеется в виду, что они подчиняются законам классической механики). Такой подход (применительно к обычному газу он называется молекулярной динамикой) дает исчерпывающую информацию и занимает высшее место в иерархии математических описаний газа. Однако при достаточно большом количестве частиц реализовать его практически невозможно в том числе и потому, что их начальные положения и скорости никогда в точности не известны. Кроме того, как правило, нет необходимости прослеживать поведение каждой частицы, поскольку интерес представляют лишь средние характеристики системы, такие, как плотность, скорость, температура и т. п
Переход к следующему звену в иерархии моделей основан на отказе от изучения индивидуальной судьбы частиц. Вводится статистическое вероятностное описание их ансамбля с помощью функции распределения f(r,v,t), где~г,г? - радиус-вектор и скорость соответственно. Функция f зависит от координат шестимерного фазового пространства х, у, г, ух,уу,уг (пространства состояний) и времени.
Величина
f(r, у, 1)<1Г<1У
по определению равна числу частиц, находящихся в момент ? (точнее, их среднему значению за короткий промежуток времени в элементе (1г(11;> фазового пространства, т. е. имеющих координаты в интервале от"г до~г + <1г и скорости в диапазоне от V до V + <1у*. Элемент <1г бл? считается малым в сравнении с характерными размерами системы, но содержащим достаточно большое число частиц. Рассматривается газ, состоящий из частиц одного сорта. Через функцию распределения вычисляются средние величины, характеризующие состояние газа в пространстве и во времени. Например, очевидно, что выражение
rrrV= + <X>
n(r*,t) = III f(r,v,t)dv,
JJJv= — tx>
где интегрирование ведется по всем скоростям частиц, есть не что иное, как число частиц n(r*,t), находящихся в единице физического объема с координатой г в момент времени t.
В общем случае средние величины находятся следующим образом. Пусть Ф(у) - произвольная функция от скорости частицы (кинетическая энергия, скорость и т. д.). Обозначим £Ф(г?) усредненную за время dt сумму значений функции Ф по всем частицам, находящимся в элементарном физическом объеме dr. Тогда среднее значение Ф(г?), т. е. приходящееся на одну частицу, получается делением £ Ф(у) на число частиц в объеме dr, которое равно ndr\
(Ф) = —-р-.
ndr
С другой стороны, число частиц в элементарном фазовом объеме drdv равно f(r,v,t)drdv и каждая из них вносит в вклад, равный ф(у), а их общий элементарный вклад равен Ф(у) f(r,v,t) drdv. Учтем теперь, что частицы, находящиеся в физическом объеме dr, могут иметь любые скорости!;. Поэтому для получения их полного вклада необходимо просуммировать элементарные вклады по всем скоростям частицы:
ZrrrV= + <x>
Ф(у) = dr И Ф(р) f(r,v,t)dv.
JJJv= — <x>
Сравнивая две последние формулы, получим для среднего значения
Ф
(ф) _ С==-Г f(r,v,t)dv
п
Такова связь любой средней функции, характеризующей газ, с функцией распределения. Например, если Ф(у) = v, то для скорости газа имеем
ЯгГ==-+сТ vf(f,V,t)dx>
V(r, t) =-.
п
Аналогично по известной функции распределения можно вычислить функции r,t и другие макроскопические величины, описывающие состояние газа.
Дадим вывод уравнения функции распределения, основываясь на следующих предположениях:
1) время столкновения (непосредственного эффективного силового взаимодействия) частиц много меньше времени, проходящего между их столкновениями;
2) влиянием внешних сил, действующих на частицы (гравитационных, электрических и т. д.), можно пренебречь;
3) частицы не расщепляются и не объединяются.
73
Рассмотрим частицы, находящиеся в момент t в фазовом объеме drdv (имеющие координаты и скорости в диапазонах от f до г + dr и от v до1? + dv соответственно). Пусть столкновения между ними отсутствуют. Тогда к моменту t* — t + dt скорости частиц не изменяются, а их координаты получат приращения, соответствующие начальным скоростям:
**
v — v, г — г + vdt, где, напомним, величины v и г лежат в указанных выше диапазонах. Вычислим фазовый объем частиц drdv* в момент t*. Из последних двух равенств имеем
dv „
dv* = dv, dr* — dr + —— (dt)1 + •••,
dt
т.е.
drdv = dr*dv*
и фазовый объем частиц сохраняется с точностью до членов порядка(й£)2, при этом число членов части f{dr,dv,t) drdv, находившихся в объеме drdv, равно их числу f(dr*,dv*,t*)dr*dv*в объеме dr*dv*. Другими
словами, в отсутствие столкновений
f = f*
т. е. функция распределения не меняется со временем, частицы лишь сменяют фазовый объем (в данном случае только свои координаты).
Учтем теперь возможность столкновений, введя понятие интеграла столкновений S(f) [6]. Тогда уравнение баланса (сохранения) числа частиц за время dt при переходе от объема drdv к объему dr*dv*записыва-ется следующим образом:
f (dr*,dv*,t*)dr* dv* — f(dr, dv, t) drdv — —S(f)dr, dv, dt. Очевидно, что (в отличие от процесса без столкновений) при учете столкновений, вообще говоря, f Ф f*.
Разложим левую часть уравнения баланса в ряд Тейлора, опуская члены порядка(^С)2 и выше:
df df dr
f{dr, dv, t) df*dv* dr*dv*dt + dr*dv*dt +
dt or dt
df dv
+ —; —- dr*dv*dt — f(dr, dv, t) drdv —— —S(f)dr, dv, dt. dt? dt
В полученном равенстве = Внешняя сила по предположению
равна нулю, тогда — = ——0,т - масса частицы. Выберем промежуток dt настолько малым, что за время от t до t* = t+dt частицы не сталкиваются. Тогда фазовый объем сохраняется, и drdv — dr*dv*. Поделив обе части равенства на drdvdt, придем к уравнению Больцмана
% + = (2) 74
которое является следующей по сложности моделью (после моделей, получаемых из законов сохранения) в иерархии математических описаний газа. Оно представляет собой нелинейное интегродифференциальное уравнение. Его конкретная запись зависит от характера столкновений частиц, т. е. от вида функции £(/). Заметим, что (2) легко обобщается на газ, состоящий из частиц разного сорта, и на случай, когда внешняя сила ^ отлична от нуля (она может быть вызвана, например, наличием электромагнитных полей). При отсутствии столкновений, т. е. при 5(/) = 0, (2) превращается в уравнение переноса.
Один из наиболее широко употребляемых интегралов столкновений записывается следующим образом [4]: обозначены
*(/) = ///(/'Л' - /Л) дь аь ^ ^ (3)
Функции распределения до столкновения f{dr, (1у, £), ДС^г, <1уг, £), после столкновения £), где!; и г^' - скорости двух
сталкивающихся частиц. Величина g - модуль их относительной скорости, Ь - так называемый прицельный параметр (расстояние наименьшего сближения между частицами), ~ф - угловая характеристика их взаимодействия. Интегрирование проводится по всем возможным значениям величин
Интеграл столкновений в форме Больцмана (3) получается суммированием элементарных актов механического взаимодействия между частицами. При этом предполагается следующее: столкновения упругие (сохраняются суммарные масса, импульс, момент импульса и энергия частиц, что означает, в частности, выполнение равенств д = д',Ь = Ь'; сила взаимодействия частиц зависит лишь от расстояния между ними и внешних сил; число столкновений с участием более двух частиц пренебрежимо мало (газ не слишком плотный). При известных конкретных законах взаимодействия частиц из (3) следуют более конкретные выражения для интеграла столкновений, используемые, например, при изучении явлений в плазме.
Используя свойства интеграла (3), получим одно простое, но очень важное решение уравнения Больцмана (2). Рассмотрим газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия, т. е. в ситуации, когда все его макроскопические характеристики постоянны по пространству и не зависят от времени. При этом, очевидно, функция f(f,y,t)тaкже не зависит от г,1, следовательно, / = /(у).
Из (2), (3) сразу же следует уравнение
Щ (Г/1 - //1) дъ М = 0,
удовлетворяющееся лишь при выполнении условия
ГЛ' = /Л-
75
или
\п/(у) + \п/1(01) = \п/'(*') + Другими словами, сумма логарифмов функций распределения сохраняется, являясь инвариантом столкновения. Но при упругих столкновениях инвариантны также полная энергия частиц
ту2 ту? ту'2 ту[2
и их полный импульс
ту + ту± = ту' + ту[.
Эти свойства дают способ нахождения функциональной зависимости / от у.
Установим эту зависимость для одномерного случая, когда векторы всех скоростей находятся в параллельных плоскостях. Тогда, умножая последние два равенства на постоянные величины а1,а2 и вычитая их из предыдущего, получим
Р(у) + F01) = FO') + Р(у[), где использовано обозначение
F(x) — \п/(х) — х2 — а2тх.
В этом равенстве аргументы слагаемых произвольны, поэтому оно
может выполняться лишь при F(x) = а3 - постоянная. Таким образом,
для функции распределения справедливо
агт „
\nfiy) — + а,2ту + а3.
Выделяя в правой части этого выражения полный квадрат
а±т / а2\2 а2т \п/(у)= + — I — + а3
2 \ аг/ 2аг
и избавляясь от логарифма, приходим к формуле
гг \ Г2а1а,- а\тЛ (а1т ( , а2\2) ,
ю = ехр Н^тН ехр Нг г+г (4)
выражающей зависимость / от у.
Для исключения произвольных коэффициентов используем свойства функции /{у), для которой имеются равенства
Í + a>
f(у)
-х>
Í + m
-х>
3 Г+тт(у-У)2 — пкТ — I -2-
2 ->-ж 2
Здесь п - концентрация частиц; V - их средняя (макроскопическая) скорость; Т - средняя температура частиц (по определению), выражаемая через среднюю кинетическую энергию их хаотического движения с тепловой
скоростью с = V -V и измеряемая в градусах Кельвина; к - постоянная Больцмана. Используя эти равенства и обозначения, исключим из (4) величины а1,а2,а3, и полу им
3
/ т \2 ( т
или
т =п (_цг ехр (- ±. (5)
1 К у \2nRT/ ^ I 2ЯТ ) т у '
Аналогичное выражение справедливо (при замене V на V и V на V) и в «многомерном» случае. Формула (5) представляет собой одно из решений уравнения Больцмана, описывающее распределение частиц по скоростям в газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия (распределение Максвелла). Такое же распределение справедливо не только при полном, но и при локальном термодинамическом равновесии, когда макроскопические характеристики п, V, Т являются медленно меняющимися функциями г, I. Точнее, при ЛТР функции п(т, €),У(г, €),Т(г, О мало меняются на расстояниях порядка длины свободного пробега I и за время свободного пробега т. Поэтому в условиях ЛТР рассуждения, предшествовавшие выводу формулы (5), применимы к любой точке г в любой момент времени £ (при этом фигурирующие в (5) значения п, V, Т разные в разных точках пространства и в различные моменты времени).
Аэродинамическая подъемная сила и коэффициент подъёмной силы в точке определяются через интеграл столкновения молекулы газа с поверхностью. Молекулы газа имеют трёхмерное распределение (5):
п , (и-У5та)2+(р-Усоза)2+м2
j (и, v, w) — з ехр{ —— ) .
Тогда
q = — J J J и(и2 + у2 + w2)f(u,v,w)dudvdw.
О — от —от
С учетом энергии диссоциации молекул и энергии отраженных частиц от поверхности получим
«™=Гг-+
+ (мт sin а) (1 + erfQ-д Мт sin а))) - exp sin2oty, (6)
erf(t) = —= fg e~t2 dt - несобственный интеграл, где t = (—=Mmsrna);
u,v,w - компоненты скорости одной частицы в направлениях x - ортогональное направление к поверхности; y - касательное направление к поверхности; z - образует правую систему координат соответственно; V= —и2 + v2 + w2 - скорость летательного аппарата; n - полное число па-
дающих молекул газа в единице объема; т - масса одной молекулы; R - газовая постоянная; к - постоянная адиабаты; Мт - число Маха набегающего потока; Тн - температура внешнего потока газа; Ть - температура поверхности аэробаллистического летательного аппарата - температура отраженных или реэмитируемых частиц газа, который имелся бы в том случае, если бы все падающие молекулы реэмитировались максвеловским (5) распределением скоростей, соответствующим температуре поверхности Ть.
В формулу теплового потока ц(М) входит несобственный интеграл, который не может быть представлен аналитической формулой, поэтому необходимо использование численных методов для его определения.
Результаты численного моделирования теплового потока ^(М) для различных исходных данных приведены на рис. 1 и 2.
-<1 = эо 1
г
~~ о = 36
/
/
/
2 4 6 В 10 12 14 16 1В 30
м
Рис. 1. Тепловой поток при Ть = 773 К на высоте 30 км
Таким образом, разработана модель зависимости теплового потока от числа Маха М и других параметров движения аэробаллистического летательного аппарата в условиях локального термодинамического равновесия газа.
Показано, что движение аэробаллистического летательного аппарата с большими скоростями приводит к возникновению значительных тепловых потоков, которые необходимо учитывать при проектировании его конструкции.
Список литературы
1. Лунев В.В. Течение реальных газов с большими скоростями. М.: Физматлит, 2007. 759 с.
2. Основы теории систем управления высокоточных ракетных комплексов сухопутных войск / Гурский Б.Г., Лющанов М.А., Спирин Э.П. [и др.]; ред. Солунин В.Л. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 326 с.
3. Анфимов Н.А., Альтов В.В. Теплообмен, трение и массообмен в ламинарном многокомпонентном пограничном слое при вдуве инородных газов // Теплофизика высоких температур. 1965, №3. С. 409 - 420.
4. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов: монография. 3-е изд., испр. и доп. М.: URSS: ЛИБРОКОМ, 2013. 341 с.
5. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика: учеб. пособие для студ. авиационных спец. вузов. М.: Машиностроение, 1975. 326 с.
6. Гиршфельдер Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / пер. с англ. под ред. Ступоченко. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 929 с.
Шевцова Екатерина Викторовна, канд. техн. наук, доцент, catrin_victor@mail.ru, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана
CALCULATION OF THE HEAT FLUX TO THE SURFACE OF AN AEROBALLISTIC AIRCRAFT FOR THE CASE OF HIGH SPEED FLIGHT
E.V. Schevtsova
This paper studies the interaction between the surface of an aeroballistic aircraft and the oncoming gas to determine the dependency of the heat flux on the Mach number and other flight parameters inferred from the model of local thermodynamic equilibrium. The proposed model describes the dynamics of a large particle system and is based on kinetic equations for distribution function. The aforementioned model is applicable to any point of the aircraft surface at any given moment of time in the conditions of local thermodynamic equilibrium.
Key words: heat flow, flight parameters, distribution function, thermodynamic equilibrium.
Schevtsova Ekaterina Victorovna, candidate of technical sciences, docent, catrin_victor@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University
79
